Diese Dissertation untersucht Brill-Noether-Theorie der algebraischen Kurven, unter besonderer Berücksichtigung von Kurven auf K3-Flächen und Del-Pezzo-Flächen. In Kapitel 2 studieren wir den Gieseker-Petri-Ort GP_g im Modulraum M_g der glatten irreduziblen Kurven vom Geschlecht g. Dieser Ort wird definiert durch Kurven mit einer Brill-Noether-Varietät G^r_d(C), die singulär ist oder deren Dimension größer als erwartet ist. Der Satz von Gieseker-Petri impliziert, dass GP_g mindestens Kodimension 1 hat, und es wurde vermutet, dass er von reiner Kodimension 1 ist. Wir beweisen diese Vermutung für Geschlecht höchstens 13. Dies wird dadurch ermöglicht, dass man für kleine Geschlechter die Dimension der irreduziblen Komponenten von GP_g mittels "ad hoc"-Beweisführungen untersuchen kann. Lazarsfelds Beweis des Gieseker-Petri-Theorems mittels Kurven auf allgemeninen K3-Flächen deutet darauf hin, dass die Brill-Noether-Theorie von K3-Schnitten wichtig ist, um den Gieseker-Petri-Ort besser zu verstehen. Linearscharen von Kurven, die auf K3-Flächen liegen, stehen in tiefgehender Beziehung zu sogenannten Lazarsfeld-Mukai-Vektorbündeln. In Kapitel 3 untersuchen wir die Stabilität der Lazarsfeld-Mukai-Vektorbündel vom Rang 3 auf einer K3-Fläche S, und wir zeigen, dass sie viele Informationen über Netze vom Typ g^2_d auf Kurven in S enthalten. Wenn d größ genug ist, erhalten wir eine obere Schranke für die Dimension der Varietät G^2_d(C). Wenn die Brill-Noether-Zahl negativ ist, beweisen wir, dass jedes g^2_d in einer von einem Geradenbündel induzierten Linearschar enthalten ist, wie von Donagi und Morrison vermutet wurde. Kapitel 4 befasst sich mit Syzygien einer gegebenen Kurve C, die auf einer Del-Pezzo-Fläche liegt. Wir insbesondere, dass C die Greens Vermutung erfüllt, die impliziert, dass die Existenz gewisser spezieller Linearscharen auf C von den Gleichungen ihrer kanonischen Einbettung abgelesen werden kann. / We investigate Brill-Noether theory of algebraic curves, with special emphasis on curves lying on $K3$ surfaces and Del Pezzo surfaces. In Chapter 2, we study the Gieseker-Petri locus GP_g inside the moduli space M_g of smooth, irreducible curves of genus g. This consists, by definition, of curves [C] in M_g such that for some r, d the Brill-Noether variety G^r_d(C), which parametrizes linear series of type g^r_d on C, either is singular or has some components exceeding the expected dimension. The Gieseker-Petri Theorem implies that GP_g has codimension at least 1 in M_g and it has been conjectured that it has pure codimension 1. We prove this conjecture up to genus 13; this is possible since, when the genus is low enough, one is able to determine the irreducible components of GP_g and to study their codimension by "ad hoc" arguments. Lazarsfeld''s proof of the Gieseker-Petri-Theorem by specialization to curves lying on general K3 surfaces suggests the importance of the Brill-Noether theory of K3-sections for a better understanding of the Gieseker-Petri locus. Linear series on curves lying on a K3 surface are deeply related to the so-called Lazarsfeld-Mukai bundles. In Chapter 3, we study the stability of rank-3 Lazarsfeld-Mukai bundles on a K3 surface S, and show it encodes much information about nets of type g^2_d on curves C contained in S. When d is large enough and C is general in its linear system, we obtain a dimensional statement for the variety G^2_d(C). If the Brill-Noether number is negative, we prove that any g^2_d is contained in a linear series which is induced from a line bundle on S, as conjectured by Donagi and Morrison. Chapter 4 concerns syzygies of any given curve C lying on a Del Pezzo surface S. In particular, we prove that C satisfies Green''s Conjecture, which implies that the existence of some special linear series on C can be read off the equations of its canonical embedding.

In dieser Arbeit behandeln wir die birationale Geometrie verschiedener Modulräume; die Modulräume von Kurven mit einem k-Differential mit vorgeschierbenen Nullen, besser bekannt als Strata von Differenzialen, Moduln von K3 Flächen mit markierten Punkten und Moduln von Kurven. Für bestimmte Geschlechter nennen wir Abschätzungen der Kodaira-Dimension, konstruieren unirationale Parametrisierungen, rationale deckende Kurven und unterschiedliche birationale Modelle. In Kapitel 1 führen wir die zu untersuchenden Objekte ein und geben einen kurzen Überblick ihrer wichtigsten Eigenschaften und offenen Problemen. In Kapitel 2 konstruieren wir einen Hilfsmodulraum, der als Brücke zwischen bestimmten finiten Quotienten von Mgn für kleines g und den Moduln der polarisierten K3 Flächen vom Geschlecht 11 dient. Wir entwickeln die Deformationstheorie, die nötig ist, um die Eigenschaften und die oben genannten Modulräume zu erforschen. In Kapitel 3 bedienen wir uns dieser Werkzeuge, um birationale Modelle für Moduln polarisierter K3 Flächen vom Geschlecht 11 mit markierten Punkten zu konstruieren. Diese nutzen wir, um Resultate über die Kodaira-Dimension herzuleiten. Wir beweisen, dass der Modulraum von polarisierten K3 Flächen vom Geschlecht 11 mit n markierten Punkten unirational ist, falls n<=6, und uniruled, falls n<=7. Wir beweisen auch, dass die Kodaira-Dimension von Modulraum von polarisierten K3 Flächen vom Geschlecht 11 mit n markierten Punkten nicht-negativ ist für n>= 9. Im letzten Kapitel gehen wir noch auf die fehlenden Fälle der Kodaira-Klassifizierung von Mgnbar ein. Schliesslich behandeln wir in Kapitel 4 die birationale Geometrie mit Blick auf die Strata von holomorphen und quadratischen Differentialen. Wir zeigen, dass die Strata holomorpher und quadratischer Differentiale von niedrigem Geschlecht uniruled sind, indem wir rationale Kurven mit pencils auf K3 und del Pezzo Flächen konstruieren. Durch das Beschränken des Geschlechts 3<= g<=6 bilden wir projektive Bündel über rationale Varietäten, die die holomorphe Strata mit maximaler Länge g-1 dominieren. Also zeigen wir auch, dass diese Strata unirational sind. / In this thesis we investigate the birational geometry of various moduli spaces; moduli spaces of curves together with a k-differential of prescribed vanishing, best known as strata of differentials, moduli spaces of K3 surfaces with marked points, and moduli spaces of curves. For particular genera, we give estimates for the Kodaira dimension, construct unirational parameterizations, rational covering curves, and different birational models. In Chapter 1 we introduce the objects of study and give a broad brush stroke about their most important known features and open problems. In Chapter 2 we construct an auxiliary moduli space that serves as a bridge between certain finite quotients of Mgn for small g and the moduli space of polarized K3 surfaces of genus eleven. We develop the deformation theory necessary to study properties of the mentioned moduli space. In Chapter 3 we use this machinery to construct birational models for the moduli spaces of polarized K3 surfaces of genus eleven with marked points and we use this to conclude results about the Kodaira dimension. We prove that the moduli space of polarized K3 surfaces of genus eleven with n marked points is unirational when n<= 6 and uniruled when n<=7. We also prove that the moduli space of polarized K3 surfaces of genus eleven with n marked points has non-negative Kodaira dimension for n>= 9. In the final section, we make a connection with some of the missing cases in the Kodaira classification of Mgnbar. Finally, in Chapter 4 we address the question concerning the birational geometry of strata of holomorphic and quadratic differentials. We show strata of holomorphic and quadratic differentials to be uniruled in small genus by constructing rational curves via pencils on K3 and del Pezzo surfaces respectively. Restricting to genus 3<= g<=6 we construct projective bundles over rational varieties that dominate the holomorphic strata with length at most g-1, hence showing in addition, these strata are unirational.