Estudia las propiedades de controlabilidad para la ecuación Korteweg de Vries lineal e un intervalo limitado. Se establece un resultado, de controlabilidad nula para la ecuación lineal a través de la condijo de contorno tipo Durichlet. / Tesis

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We study the Korteweg-de Vries-Burgers equation. With a deep investigation into the spectral and smoothing properties of the linearized system, it is shown by applying Banach Contraction Principle and Gronwall's Inequality to the integral equation based on the variation of parameters formula and explicit representation of the operator semigroup associated with the linearized equation that, under appropriate assumption appropriate assumption on initial states w(x, 0), the nonlinear system is well-posed and its solutions decay exponentially to the mean value of the initial state in H1(O, 1) as t -> +". / Ph. D.

Tez (Yüksek Lisans) - Süleyman Demirel Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, 2007. / Kaynakça var.

Ce doctorat porte sur trois domaines de la théorie du contrôle : le contrôle par le bord d'une équation de Korteweg-de Vries, le contrôle de trois équations de la chaleur couplées par des termes cubiques et la stabilisation en temps fini de trois systèmes classiques de dimension finie. Pour l'équation de Korteweg-de Vries, on démontre d'abord une inégalité de Carleman en utilisant un poids exponentiel bien choisi, puis on en déduit la contrôlabilité à 0 de l'équation. Pour le système de trois équations de la chaleur couplées par des termes cubiques, on montre la contrôlabilité à 0 globale alors que le linéarisé autour de 0 n'est pas contrôlable. On applique la méthode du retour pour obtenir la contrôlabilité locale : on construit des trajectoires du système de contrôle allant de 0 à 0 et ayant un linéarisé contrôlable. Puis un changement d'échelle permet d'obtenir un résultat global. Enfin, concernant les trois systèmes de dimension finie, il s'agit de systèmes contrôlables mais à linéarisés non contrôlables et qui ne sont pas stabilisables à l'aide de feedbacks stationnaires (continus). On construit des feedbacks explicites dépendant du temps conduisant à une stabilisation en temps fini. Pour cela on s'occupe de différentes parties du systèmes pendant différents intervalles de temps. / This doctoral thesis focuses on three fields of Control Theory: the control on the edge of the Korteweg-de Vries equation, the control of three heat equations coupled by cubic terms, and the stabilisation in finite time of three classic systems of finite dimension. For the KdV equation, we first demonstrate a Carleman inequality using a well-chosen exponential weight, then we deduce the controllability at zero of the equation. For the system of three heat equations coupled by cubic terms, we show the global controllability at zero even though the linearized system around zero is not controllable. We apply the return method to obtain local controllability: we build control system trajectories going from zero to zero and whose linearised systems are controllable. Then a scale change allows us to obtain a global result. Finally, concerning the three systems of finite dimension, these systems are controllable systems but the linearised systems are not controllable and are not stabilised with means of continuous stationary feedback. We construct an explicit time-dependent feedback leading to a stabilisation in finite time. For this we deal with different parts of systems during different intervals of time.

Cette thèse est consacrée la contrôlabilité lagrangienne, l'étude du champ de vitesse de l'Équation de Korteweg-de Vries, le problème de stabilisation rapide d'une équation aux dérivées partielles linéaires et aux méthodes numériques permettant d'obtenir la convergence des contrôles numériques vers les contrôles optimaux. Dans la première partie, on montre, l'aide de la solution de N-solitons de l'équation de Korteweg-de Vries, qu'il est possible de faire sortir des particules du fluide l’extérieur d'un domaine déterminé en temps arbitrairement petit. Une meilleure approximation du champ de vitesse associée la solution de N-solitons est également présentée, permettant de retrouver en particulier une propriété typique des trajectoires des particules soumises des ondes solitaires : les particules situées plus haut dans le fluide ont un plus grand déplacement. Dans la deuxième partie, la stabilisation rapide d'une équation de Schrödinger est obtenue grâce une méthode inspirée du backstepping en dimension infinie. Une équation de Schrödinger stable est considérée comme l'image d'une transformation ayant comme domaine de définition les solutions de l'équation de Schrödinger stabilisé. La stabilisation de l'équation de Schrödinger est obtenue en montrant l'inversibilité de la transformation. La nouveauté du travail présentée est l'introduction d'une condition d’unicité sur la transformation. Finalement, un filtre spectral, une formulation mixte et une formulation de Nitsche sont proposées comme technique afin d'obtenir numériquement l’observabilité uniforme de l'équation des ondes semi-discrétisée avec une méthode spectrale de Legendre-Galerkin. Une étude numérique de la convergence des contrôles numériques sans l’admissibilité uniforme de l’opérateur de contrôle est également présentée. / This thesis is devoted to the Lagrangian controllability and the analysis of the particle trajectories for the Korteweg-de Vries equation, to the rapid stabilization problem of the bilinear Schrödinger equation and to the convergence of the numerical controls of the wave equation. In the first part, we prove that the N-solitons solution of the Korteweg-de Vries equation allows one to move the particles outside an arbitrarily long domain in an arbitrarily small time. A higher approximation of the velocity field associated to the N-soliton is also presented, allowing to recover a typical property of solitary waves: the higher the particle is located in the fluid, the greater its displacement. These results are of a nonlinear nature since there exists no linear approximation of solitons. In the second part, inspired by the backstepping method, the rapid stabilization of a linearized Schrödinger equation is obtained. The proof consists to prove the invertibility of a transformation mapping the equation to stabilize to a stable linearized Schrödinger equation. The key ingredient of this proof is the introduction of a uniqueness condition. In the last part, a spectral filter, a mixed method and the Nitsche's method are proposed as a remedy to the lack of uniformness of the discrete observability constant for the Legendre-Galerkin semi-discretization of the wave equation. A numerical study of the convergence of the numerical controls is also presented.

This thesis is concerned with the existence and spectral stability of periodic waves in the fractional Korteweg-de Vries (KdV) equation and the fractional modified Korteweg-de Vries (mKdV) equation. We study the existence of periodic travelling waves using various tools such as Green's function for fractional Laplacian operator, Petviashvili fixed point method, and a new variational characterization in which the periodic waves in fractional KdV and fractional mKdV are realized as the constrained minimizers of the quadratic part of the energy functional subject to fixed L3 and L4 norm respectively. This new variational framework allows us to identify the existence region of periodic travelling waves and to derive the criterion for spectral stability of the periodic waves with respect to perturbations of the same period. / Thesis / Doctor of Philosophy (PhD)

published_or_final_version / abstract / Mechanical Engineering / Doctoral / Doctor of Philosophy

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Abstract not available