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Dans cette thèse, on étudie la contrôlabilité et la stabilisation de certaines équations aux dérivées partielles dispersives. On s'intéresse d'abord au problème du contrôle interne. Grâce à des méthodes d'analyse microlocale et à l'utilisation des espaces de Bourgain, on prouve la stabilisation et la contrôlabilité en grand temps de l'équation de Schrödinger non linéaire, d'abord sur un intervalle, puis sur des variétés de dimension 3. Dans le cas d'un intervalle, on raisonne à la régularité L^2, permettant ainsi de traiter une non-linéarité focalisante ou défocalisante. On obtient aussi des résultats de régularité supplémentaire pour le contrôle. De plus, on prouve la contrôlabilité aux trajectoires, dont on déduit une deuxième preuve de la contrôlabilité globale. On applique ensuite ces méthodes à l'équation de Korteweg-de Vries en données périodiques. Pour cette équation, on donne aussi un terme d'amortissement dépendant du temps permettant d'avoir un taux de décroissance exponentielle arbitraire. On étudie aussi l'équation de Klein-Gordon sur des variétés compactes avec une nonlinéarité critique. Sous des hypothèses légèrement plus fortes que la condition de contrôle géométrique, on prouve la stabilisation et la contrôlabilité en grand temps pour des données haute fréquence. La preuve nécessite la mise en oeuvre d'une décomposition en prols sur des variétés pour laquelle des effets géométriques doivent être analysés. Dans une dernière partie, on étudie le contrôle bilinéaire. Grâce à un effet régularisant, on établit la contrôlabilité locale de l'équation de Schrödinger sur un intervalle avec une preuve plus simple que dans la littérature existante, permettant ainsi d'atteindre les espaces optimaux et en temps arbitraire. La méthode est assez robuste pour être étendue à d'autres situations : les données radiales sur la boule, l'équation de Schrödinger non linéaire et des ondes non linéaire sur un intervalle.

Thesis (MSc (Applied Mathematics))--Stellenbosch University, 2008. / The Korteweg-de Vries (KdV) hierarchy is an important class of nonlinear evolution equa- tions with various applications in the physical sciences and in engineering. In this thesis analytical solution methods were used to ¯nd exact solutions of the third and ¯fth order KdV equations, and numerical methods were used to compute numerical solutions of these equations. Analytical methods used include the Fan sub-equation method for constructing exact trav- eling wave solutions, and the simpli¯ed Hirota method for constructing exact N-soliton solutions. Some well known cases were considered. The Fourier spectral method and the ¯nite di®erence method with Runge-Kutta time dis- cretisation were employed to solve the third and the ¯fth order KdV equations with periodic boundary conditions. The one soliton and the two soliton solutions were used as initial conditions. The numerical solutions are obtained and compared with the exact solutions. The propagation of a single soliton as well as the interaction of double soliton solutions is modeled well by both numerical methods, although the Fourier spectral method performs better. The stability, consistency and convergence of these numerical methods were investigated. Error propagation is studied. The theoretically predicted quadratic convergence of the ¯nite di®erence method as well as the exponential convergence of the Fourier spectral method is con¯rmed in numerical experiments.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:21Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissESS.pdf: 437600 bytes, checksum: 7016fae41aa0f1227b06cf92849139b1 (MD5) Previous issue date: 2006-12-05 / Financiadora de Estudos e Projetos / The aim in this work is to estudy the existence and certain qualitative properties of travellingwave to the Korteweg-de Vries-Burgers (KdVB) equation. The asymptotic behaviour of these waves is analysed when ε ↓ 0, δ ↓ 0 or when both ε,δ ↓ 0, subject to the determined conditions. / O objetivo deste trabalho é estudar a existência e certas propriedades de soluções ondas viajantes da equação Korteweg-de Vries-Burgers (KdVB). O comportamento assintótico destas ondas é analisado quando e # 0, d # 0 ou quando ambos e,d # 0, sujeito à determinadas condições.

Dans cette thèse nous nous intéresserons aux équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) d'un point de vue aussi bien théorique que numérique. Ces équations peuvent être vues comme une généralisation du concept d'équations aux dérivées partielles (EDP) déterministes, équations donnant des modèles dans de nombreux domaines tel que la physique, la biologie ou encore l'économie. L'aspect stochastique apparaît avec la volonté de prendre en compte des données que l'on ne connaît pas de façon déterministe et dont nous avons uniquement des informations statistiques. Ces données peuvent être aussi bien un coefficient de l'équation qu'un terme de force, on qualifie alors ces données de "bruits". De par leurs complexités, il est courant de ne pas avoir de solution formelle pour certaines EDPS, la résolution numérique est alors l'unique moyen d'obtenir certaines statistiques de la solution inconnues formellement. La discrétisation de cette source d'information représentée par les termes de bruit pose le problème de leur troncature. L'information contenue dans ces termes de bruits est infini, ainsi tout comme il est impossible de représenter numériquement, sauf cas particulier, de façon exacte une fonction sur l'intervalle $[0,1]$, il est impossible de stocker de façon exacte ces termes de bruits, se pose alors la question du traitement numérique de ces termes de bruits. Une des méthodes consiste à simuler le bruit afin d'obtenir une famille de trajectoires du bruit et résoudre pour chacune de ces trajectoires l'équation associée afin de pouvoir faire des statistiques sur l'ensemble des solutions obtenues, cette méthode correspond à la méthode de Monte-Carlo. Elle offre l'avantage d'être relativement simple à mettre en œuvre mais se pose alors des problèmes de lenteur de convergence dûs au coût unitaire des intégrations numériques de chaque trajectoire qui dépendent en général de la méthode déterministe utilisée, de la dimension du problème et de la variance des moments que l'on souhaite estimer. Une deuxième philosophie est la décomposition du bruit sur une base polynomiale adaptée à une mesure de référence (ici la mesure de Wiener). C'est la méthode principalement étudiée dans cette thèse. Nous décrirons comment à l'aide d'une décomposition dite en chaos il est possible d'obtenir des statistiques de solutions d'EDPS, mais également comment on peut se servir d'une telle décomposition afin de réduire la variance dans une méthode de Monte Carlo / In this thesis, we will be interested by the numerical approximation of SPDEs. Such equations can be seen as generalization of deterministic PDEs whose coefficients have been perturbed in order to take into account incertainties. Usually those incertainties are only known through their statistical properties. This kind of data could be included into the coefficients of the PDE or can be modelized through an infinite dimensional diffusion term in the second member. The main purpose of the numerical investigations concerning SPDEs is the estimation of the joint probability distribution of its solution, and practically the estimation of some moments or some event's probabilities. The discretization of the noise's information in the small scales implies a large number of additionnal parameters and yields, in general, problems. The first and most popular method used usually is the Monte Carlo method. It relies upon the simulation of a large number of trajectories of the noise followed by the numerical integration of the associated SPDE's solution. Its main advantage is its simplicity and its capacity to be parallelized. Nevertheless, its main drawback is the rather slow convergence due to the unit cost of numerical integration of each trajectory which depend on the deterministic method used, the problem's dimension. Also the convergence can be slowed down because of the large variance of the statistical moments we want to estimate. A second approach consists in the chaos expansion of the coefficients based on a reference measure (Wiener's mesure e.g.). It will be the main purpose of this thesis. We will describe how such an expansion can be made possible in the SPDEs' framework, through the examples of the KdV and Burgers stochastic equations, in order to obtain statistical moments of the solutions but also in order to reduce wariance within a Monte Carlo method

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El objetivo principal en este trabajo es estudiar el comportamiento asint´otico en el tiempo de las soluciones del problema de valor inicial ∂ᵘt+ ∂ᶟᵪu + α∂ᶟᵪv + uᵖ∂ᵪu + vp∂ᵛᵪ = 0 ∂tᵛ + ∂ᶟᵪ v + α∂ᶟᵪu + vᵖ∂ᵪᵛ + ∂ᵪ (uvᵖ) = 0 u (x, 0) = u₀ v (x, 0) = v₀, donde α es una constante real menor que 1. El sistema se considera para x ∈ R y t ≥ 0. El exponente p es un entero mayor o igual a 1. El sistema tiene la estructura de un par de ecuaciones de Korteweg-de Vries generalizadas acopladas a través de ambos efectos dispersivos y no lineales, y es un caso particular del sistema derivado por Gear y Grimshaw como un modelo para describir la interacción fuerte de ondas largas débilmente no lineales. Para esto se demuestra, mediante la teoría de T. Kato para ecuaciones de evolución cuasi lineales del tipo hiperbólico, que el problema está bien formulado localmente en los espacios clásicos de Sobolev Hs (R) × Hs (R) para s ≥ 3. Usando el método de la fase estacionaria analizamos la parte lineal del sistema y entonces usando la versión integral de nuestro problema se genera el siguiente resultado: existe una constante C > 0 tal que: II(u, v) (t)IIH³͚ ≤ C (1 + t)-⅓ cuando t → ∞, suponiendo que el dato inicial en t = 0 satisface las condiciones para p ≥ 4 y |α| < 1. / Tesis

Dans cette thèse, nous prouvons des résultats concernant le contrôle et la stabilisation d'équations dispersives étudiées sur un intervalle borné. Pour commencer, nous étudions la stabilisation interne du système de Gear-Grimshaw, qui est un système de deux équations de Korteweg-de-Vries (KdV) couplées. Nous obtenons une décroissance exponentielle de l'énergie totale associée au modèle en introduisant une fonction de Lyapunov convenable. Nous prouvons aussi des résultats de contrôlabilité à zéro et exacte pour l'équation de Korteweg-de Vries avec un contrôle distribué à support dans un sous-intervalle du domaine. Pour la contrôlabilité à zéro du système linéarisé, nous utilisons l'approche classique basée sur la dualité qui ramène le problème à l'étude d'une inégalité d'observabilité qui, dans ce travail, est établie à l'aide d'une inégalité de Carleman. Ensuite, utilisant des fonctions plateau, nous prouvons un résultat de contrôlabilité exacte. Dans les deux cas, le résultat concernant le système non linéaire est obtenu à l'aide d'un argument de point fixe. Enfin, dans la lignée du résultat de contrôlabilité au bord obtenu par L. Rosier pour KdV, nous prouvons que le système linéaire de Boussinesq de type KdV-KdV est exactement contrôlable lorsque des contrôles sont appliqués au bord. Notre méthode repose sur l'utilisation de multiplicateurs et l'approche de la dualité mentionnée ci-dessus. Lorsqu'un mécanisme d'amortissement est introduit au bord, nous montrons que le système non linéaire est aussi exactement contrôlable et que l'énergie associée au modèle décroit exponentiellement / This work is devoted to prove a series of results concerning the control and stabilization properties of dispersive models posed on a bounded interval. Initially, we study the internal stabilization of a coupled system of two Korteweg-de Vries equations (KdV), the so-called Gear-Grimshaw system. Defining a convenient Lyapunov function we obtain the exponential decay of the total energy associated to the model. We also prove results of null and exact controllability for the Korteweg-de Vries equation with a control acting internally on a subset of the domain. In the case of the null controllability for the linear model, we use a classical duality approach which reduces the problem to the study of an observability inequality that, in this work, is proved by means of a Carleman inequality. Then, making use of cut-off functions, the exact controllability is also investigated. In both cases, the result for the nonlinear system is obtained by means of fixed-point argument. Finally, in view of the result of the boundary controllability obtained by L. Rosier for the KdV equation, we prove that the linear Boussinesq system of KdV-KdV type is exactly controllable when the controls act in the boundary conditions. Our analysis is performed using multipliers and the duality approach mentioned above. Adding a damping mechanism in the boundary, it is proved that the nonlinear system is also exactly controllable and that the energy associated to the model decays exponentially

Orientador: Ademir Pastor Ferreira / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-25T19:57:48Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Andrade_ThiagoPinguellode_D.pdf: 2608603 bytes, checksum: 20935cf463b03d1c5c1390b127a42f4f (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Nesta tese estudamos estabilidade orbital de ondas viajantes periódicas para modelos dispersivos. O estudo de ondas viajantes iniciou-se em meados do século XVIII quando John S. Russell estabeleceu que ondas de água em um canal raso possui evolução constante. A estratégia geral para se obter a estabilidade consiste em provar que a onda viajante em questão minimiza um funcional conservado restrito a uma certa variedade. No nosso contexto, seguindo tais ideias, minimizamos o funcional restrito a uma nova variedade. Embora acreditamos que a teoria possa ser aplicada a outros modelos, nos restringimos às equações de Benjamin-Bona-Mahony (BBM) com termo não linear fracionário e Korteweg-de Vries modificada (mKdV). Além disso, resultados similares para a equação de Gardner são obtidos, usando uma estreita relação que esta possui com a mKdV / Abstract: In this thesis we study the orbital stability of periodic traveling waves for dispersive models. The study of traveling waves started in the mid-18th century when John S. Russel established that the flow of water waves in a shallow channel has constant evolution. The general strategy to obtain stability consists in proving that the traveling wave in question minimizes a conserved functional restricted to a certain manifold. In our context, following such ideas, we minimize such a functional restricted to a new manifold. Although we believe our theory can be applied to other models, we deal with the Benjamin-Bona-Mahony (BBM) equation with fractional nonlinear terms and modified Korteweg-de Vries (mKdV) equation. Besides, similar stability results for the Gardner equation are obtained, using a close relation between this equation and the mKdV / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Le but de cette thèse est d’étudier certaines équations aux dérivées partielles hyperboliques-dispersives. Une part importante est consacrée à l’analyse numérique et plus particulièrement à la convergence de schémas aux différences finies pour l’équation de Korteweg-de Vries et les systèmes abcd de Boussinesq. L’étude numérique suit les étapes classiques de consistance et de stabilité. Nous transposons au niveau discret la propriété de stabilité fort-faible des lois de conservations hyperboliques. Nous déterminons l’ordre de convergence des schémas et le quantifions en fonction de la régularité de Sobolev de la donnée initiale. Si nécessaire, nous régularisons la donnée initiale afin de toujours assurer les estimations de consistance. Une étape d’optimisation est alors nécessaire entre cette régularisation et l’ordre de convergence du schéma. Une seconde partie est consacrée à l’existence d’ondes progressives pour l’équation de Korteweg de Vries-Kuramoto-Sivashinsky. Par des méthodes classiques de systèmes dynamiques : système augmenté, fonction de Lyapunov, intégrale de Melnikov, par exemple, nous démontrons l’existence d’ondes oscillantes de petite amplitude. / The aim of this thesis is to study some hyperbolic-dispersive partial differential equations. A significant part is devoted to the numerical analysis and more precisely to the convergence of some finite difference schemes for the Korteweg-de Vries equation and abcd systems of Boussinesq. The numerical study follows the classical steps of consistency and stability. The main idea is to transpose at the discrete level the weak-strong stability property for hyperbolic conservation laws. We determine the convergence rate and we quantify it according to the Sobolev regularity of the initial datum. If necessary, we regularize the initial datum for the consistency estimates to be always valid. An optimization step is thus necessary between this regularization and the convergence rate of the scheme. A second part is devoted to the existence of traveling waves for the Korteweg-de Vries-Kuramoto-Sivashinsky equation. By classical methods of dynamical systems : extended systems, Lyapunov function, Melnikov integral, for instance, we prove the existence of oscillating small amplitude traveling waves.