Ce mémoire présente les travaux que j'ai effectués, tout d'abord, à<br />l'Institut de Mathématiques de l'Université de Dijon, pendant ma thèse de<br />1998 à 2000, puis dans l'équipe d'Analyse Numérique et Equations aux<br />Dérivées Partielles du Département de Mathématiques de l'Université<br />d'Orsay, depuis 2001.<br />Ces travaux sont regroupés en deux parties, la première traitant de<br />problèmes de contrôle en dimension finie, et la seconde, en dimension<br />infinie. Ces deux parties sont elles-mêmes séparées en deux<br />sous-parties~: les résultats théoriques, et les résultats<br />numériques. A la fin de chaque partie, des projets de recherche sont<br />présentés.<br /><br /><br />Dans la première partie, on s'intéresse à <br />la régularité de la fonction valeur associée à un problème de contrôle<br />optimal non linéaire en dimension finie. Il s'avère<br />que cette régularité est liée à l'existence de \textit{trajectoires<br />singulières minimisantes}.<br />Rappelons qu'une trajectoire \textit{singulière} est une singularité<br />de l'ensemble des solutions du système de contrôle.<br />Selon le principe du maximum de Pontryagin, les trajectoires<br />singulières sont projections d'\textit{extrémales anormales}, par<br />opposition aux \textit{extrémales normales} qui constituent le cadre<br />classique du calcul des variations.<br />Pour des systèmes affines à coût quadratique,<br />on montre que, s'il n'existe aucune trajectoire singulière<br />minimisante, alors la fonction valeur associée est<br />\textit{sous-analytique} (cela s'étend à des situations<br />plus générales). <br /><br />Ces résultats ont des conséquences dans les théories d'Hamilton-Jacobi<br />et de stabilisation. Tout d'abord, on montre que<br />la \textit{solution de viscosité} de certaines<br />classes d'\textit{équations d'Hamilton-Jacobi}<br />est sous-analytique, ce qui implique en particulier<br />que l'ensemble de ses singularités est une sous-variété stratifiée de<br />codimension au moins un. Ensuite, on montre un résultat de<br />\textit{stabilisation hybride semi-globale} pour des<br />systèmes de contrôle affines sans dérive.<br /><br />S'il existe des trajectoires singulières minimisantes, la fonction<br />valeur n'est pas sous-analytique en général. Une étude<br />asymptotique est faite sur le cas modèle sous-Riemannien de Martinet.<br />Dans le cas intégrable, on montre que la fonction valeur appartient à<br />la classe \textit{log-exp}, qui est une extension de la classe<br />sous-analytique avec des fonctions logarithme et exponentielle.<br /><br />Ces résultats motivent donc l'étude des propriétés des<br />trajectoires singulières.<br /><br />Tout d'abord, concernant leur optimalité, ces trajectoires ont,<br />sous des conditions génériques, la propriété de<br />\textit{rigidité}, c'est-à-dire qu'elles sont localement isolées<br />parmi toutes les solutions du système ayant les mêmes extrémités, et<br />donc, elles sont localement optimales, jusqu'à un premier temps dit<br />\textit{conjugué} que l'on peut caractériser.<br /><br />On s'intéresse alors à l'occurence des trajectoires singulières<br />minimisantes.<br />Des résultats de type \textit{Morse-Sard} sont présentés dans le cadre<br />de la géométrie sous-Riemannienne, qui montrent qu'elles ne<br />remplissent que peu d'espace.<br />En particulier, on montre que l'image de l'application exponentielle<br />(qui paramétrise les extrémales normales) est partout dense, et même<br />de mesure de Lebesgue pleine dans le cas de corang un.<br /><br />On prend ensuite le point de vue inverse, en s'intéressant aux<br />propriétés de généricité des trajectoires singulières, pour des<br />systèmes de contrôle affines. On montre que, génériquement au sens de<br />Whitney, elles sont \textit{d'ordre minimal} et \textit{de corang un},<br />ce qui a des corollaires en contrôle optimal.<br />Par exemple, pour des systèmes de contrôle affines génériques ayant<br />plus de trois champs de vecteurs, avec coût quadratique, il n'existe<br />aucune trajectoire singulière minimisante~;<br />en particulier, la fonction valeur associée est donc sous-analytique.<br /><br /><br /><br />Dans le deuxième chapitre de la première partie, on s'intéresse aux<br />méthodes numériques en<br />contrôle optimal. Il existe deux types principaux de méthodes~: les<br />\textit{méthodes directes} d'une part, qui reposent sur une discrétisation<br />totale du problème de contrôle optimal, et conduisent à des problèmes<br />de programmation non linéaire~; les \textit{méthodes indirectes}<br />d'autre part,<br />basées sur le principe du maximum, qui réduisent le problème à un<br />problème aux valeurs limites se résolvant numériquement par une<br />\textit{méthode de tir}. Ces dernières sont<br />particulièrement adaptées aux applications en aéronautique présentées<br />ici. Le principe du maximum étant une condition nécessaire<br />d'optimalité, il convient de s'assurer a posteriori que les<br />extrémales calculées par la méthode de tir sont bien optimales.<br />Pour cela, on rappelle le concept de \textit{temps<br />conjugué}, c'est-à-dire le temps au-delà duquel une extrémale n'est<br />plus localement optimale, et on décrit des algorithmes de calcul,<br />basés sur des développements théoriques récents en théorie du<br />contrôle optimal géométrique, qui couvrent le cas normal et le cas<br />anormal. Ces algorithmes, ainsi que la méthode de tir, sont<br />implémentés dans le logiciel \textit{COTCOT}<br />(Conditions of Order Two and COnjugate times), disponible sur le web.<br /><br />Des applications en aéronautique sont ensuite présentées~: le problème<br />de rentrée atmosphérique d'une navette spatiale tout d'abord, où le<br />but est de déterminer une trajectoire optimale jusqu'à une cible<br />donnée, le contrôle étant l'angle de g\^\i te, et le coût étant<br />le flux thermique total (facteur d'usure). La navette est de plus<br />soumise à des contraintes sur l'état~: flux thermique,<br />accélération normale, et pression dynamique. Ces contraintes<br />rendent le problème de contrôle optimal difficile, et nécessitent<br />une étude préliminaire théorique et géométrique sur les synthèses<br />optimales locales avec contraintes.<br />Ensuite, on présente le problème de transfert orbital d'un satellite à<br />poussée faible, où le but est de transférer l'engin d'une orbite basse<br />à une orbite géostationnaire, en temps minimal, sachant que la force de<br />propulsion est très faible. Le problème de temps optimal est important<br />lorsque la poussée est faible (par exemple, une propulsion<br />ionique), car le transfert orbital peut prendre plusieurs mois.<br />Pour ces deux problèmes, des simulations numériques,<br />utilisant les méthodes précédentes, sont présentées.<br /><br /><br /><br /><br /><br />Dans la deuxième partie, on s'intéresse à des problèmes de contrôle des<br />équations aux dérivées partielles.<br />On présente tout d'abord une méthode de contrôlabilité et de<br />stabilisation, qui consiste à stabiliser un système de contrôle le<br />long d'un chemin d'états stationnaires. Pour mettre en évidence l'idée<br />principale, cette méthode est présentée en dimension finie. Elle<br />permet de construire un contrôle feedback sous forme explicite, ainsi<br />qu'une fonction de Lyapunov, et par ailleurs, elle est facilement<br />implémentable. Cette méthode de déformation quasi-statique permet<br />d'établir des résultats de contrôlabilité exacte et de stabilisation<br />pour des équations de la chaleur et des ondes semi-linéaires en<br />dimension un, où la non-linéarité est quelconque. Notons que<br />l'existence de fonctions barrières et/ou de<br />phénomènes d'explosion limitent les résultats de contrôlabilité.<br />Pour ces deux équations, on montre que l'on peut passer, avec un<br />contrôle frontière, en temps éventuellement grand, d'un état<br />stationnaire à tout autre, pourvu qu'ils appartiennent à une même<br />composante connexe de l'ensemble des états stationnaires (cette<br />condition étant vérifiée dans un grand nombre de cas). La procédure<br />consiste en fait à stabiliser un système de contrôle linéaire<br />instationnaire de dimension finie, et on peut construire un contrôle<br />sous forme de boucle fermée, en calculant un nombre fini de composantes<br />de la solution, dans une décomposition sur une base Hilbertienne (pour<br />l'équation de la chaleur) ou sur une base de Riesz (pour l'équation<br />des ondes). Des simulations numériques sont effectuées.<br /><br />On présente ensuite un résultat de contrôlabilité exacte<br />sur les flots de Couette, qui sont des solutions stationnaires<br />particulières des équations de Navier-Stokes d'un fluide<br />incompressible entre deux cylindres<br />concentriques infinis en rotation. On montre qu'il est possible de passer d'un<br />flot de Couette à tout autre, en agissant juste sur la rotation du<br />cylindre extérieur.<br /><br /><br />Dans le dernier chapitre,<br />on s'intéresse à la semi-discrétisation (en espace) des<br />équations aux dérivées partielles linéaires contrôlées.<br />La discrétisation d'une EDP contrôlable, en utilisant par exemple une<br />méthode de Galerkin, conduit à une<br />famille de systèmes de contrôle linéaires, et on se pose la question<br />de savoir si on peut déterminer des contrôles pour ces systèmes<br />semi-discrétisés, convergeant, lorsque le pas de discrétisation tend<br />vers zéro, vers un contrôle pour le modèle continu, permettant<br />d'atteindre un certain point. Pour des EDP<br />linéaires contrôlables, il existe de nombreuses<br />méthodes pour réaliser la contrôlabilité~; parmi elles, la méthode HUM<br />(\textit{Hilbert Uniqueness Method})<br />consiste à minimiser la norme $L^2$ du<br />contrôle pour atteindre une cible fixée. Pour des systèmes<br />paraboliques exactement contrôlables à zéro, sous des conditions<br />standards sur le procédé de semi-discrétisation (vérifiées pour la<br />plupart des méthodes habituelles), lorsque l'opérateur de contrôle<br />n'est que faiblement non borné, on montre un résultat de<br />\textit{contrôlabilité uniforme} des systèmes de contrôles<br />discrétisés. De plus, on donne un procédé de minimisation pour<br />calculer des contrôles sur les modèles approchés, qui convergent<br />vers le contrôle HUM du modèle continu permettant d'atteindre une<br />certaine cible.<br />La condition sur l'opérateur de contrôle est vérifiée, par exemple,<br />pour l'équation de la chaleur avec contrôle frontière de type Neumann,<br />et des simulations numériques sont présentées dans ce cadre.

Ce doctorat porte sur trois domaines de la théorie du contrôle : le contrôle par le bord d'une équation de Korteweg-de Vries, le contrôle de trois équations de la chaleur couplées par des termes cubiques et la stabilisation en temps fini de trois systèmes classiques de dimension finie. Pour l'équation de Korteweg-de Vries, on démontre d'abord une inégalité de Carleman en utilisant un poids exponentiel bien choisi, puis on en déduit la contrôlabilité à 0 de l'équation. Pour le système de trois équations de la chaleur couplées par des termes cubiques, on montre la contrôlabilité à 0 globale alors que le linéarisé autour de 0 n'est pas contrôlable. On applique la méthode du retour pour obtenir la contrôlabilité locale : on construit des trajectoires du système de contrôle allant de 0 à 0 et ayant un linéarisé contrôlable. Puis un changement d'échelle permet d'obtenir un résultat global. Enfin, concernant les trois systèmes de dimension finie, il s'agit de systèmes contrôlables mais à linéarisés non contrôlables et qui ne sont pas stabilisables à l'aide de feedbacks stationnaires (continus). On construit des feedbacks explicites dépendant du temps conduisant à une stabilisation en temps fini. Pour cela on s'occupe de différentes parties du systèmes pendant différents intervalles de temps. / This doctoral thesis focuses on three fields of Control Theory: the control on the edge of the Korteweg-de Vries equation, the control of three heat equations coupled by cubic terms, and the stabilisation in finite time of three classic systems of finite dimension. For the KdV equation, we first demonstrate a Carleman inequality using a well-chosen exponential weight, then we deduce the controllability at zero of the equation. For the system of three heat equations coupled by cubic terms, we show the global controllability at zero even though the linearized system around zero is not controllable. We apply the return method to obtain local controllability: we build control system trajectories going from zero to zero and whose linearised systems are controllable. Then a scale change allows us to obtain a global result. Finally, concerning the three systems of finite dimension, these systems are controllable systems but the linearised systems are not controllable and are not stabilised with means of continuous stationary feedback. We construct an explicit time-dependent feedback leading to a stabilisation in finite time. For this we deal with different parts of systems during different intervals of time.

Soit H une algebre hereditaire sauvage de dimension finie sur un corps algebriquement clos et X un H-module de dimension finie. Nous etudions la structure d'Auslander-Reiten de l'extension ponctuelle $H[\tau^mX]$ et prouvons en particulier l'existence d'une composante pre-injective pour |m|>>0.

Ce travail se situe dans le cadre de la commande des systèmes à paramètres répartis régis par des équations aux dérivées partielles non linéaires. On cherche ici à élargir l'utilisation de la stratégie de commande prédictive du cadre classique de systèmes décrits par des équations différentielles ordinaires à celui où les systèmes sont décrits par une classe d'équations non linéaires aux dérivées partielles (EDP). L'intérêt de l'utilisation de la stratégie de commande prédictive est de pouvoir résoudre divers problèmes de conduite tout en tenant compte explicitement de diverses contraintes de fonctionnement. Nous avons choisi une démarche qui a consisté à considérer directement des cas réels issus du Génie des Procédés, où de nombreux modèles de connaissance sont décrits par des EDP fortement non linéaires : un procédé de séchage de peinture par infrarouge (donnant lieu à une application réelle), un procédé de fabrication de matériau composite et un procédé de destruction de gaz polluants par catalyse. La particularité de ce travail concerne le fait de proposer une structure adaptée de commande prédictive par modèle interne, celui-ci étant déterminé autour d'une trajectoire soit prédéfinie, soit générée en tenant compte de diverses contraintes de fonctionnement. Dans le contexte de résolution du problème d'optimisation posé par l'approche prédictive, nous proposons un algorithme hors-ligne (génération de trajectoire) et un autre en ligne.

Cette thèse est consacrée à l'étude des revêtements galoisiens et à la recherche du revêtement universel et du groupe fondamental pour les algèbres de dimension finie, connexes et basiques sur un corps algébriquement clos. Pour ce faire, nous partons d'une construction déjà existante: le groupe fondamental associé à toute présentation d'une telle algèbre A par son carquois ordinaire Q et des relations admissibles. Nous commençons par comparer les différentes présentations de A. Les automorphismes de l'algèbre kQ des chemins de Q permettent de relier deux présentations de A et parmi ceux-là, nous distinguons les dilatations et les transvections: elles engendrent le groupe des automorphismes de kQ, en outre, les groupes fondamentaux de deux présentations de A reliées par une dilatation ou une transvection sont liés entre eux par un passage au quotient. Ceci permet d'exhiber un groupe fondamental pour A lorsque le corps de base est de caractéristique nulle et lorsque Q n'a pas de double raccourci. Ces raisonnements se transposent à l'étude des revêtements galoisiens de A puisqu'à chaque présentation de A est associé un revêtement galoisien de A et de groupe le groupe fondamental de la présentation. Ainsi, sous les hypothèses précédentes fournissant le groupe fondamental de A, un revêtement universel de A existe. Ce dernier résultat est également démontré pour un corps de caractéristique quelconque, lorsque A est monomiale et lorsque Q n'a ni flèches multiples ni cycle orienté tout en admettant d'éventuels double raccourcis.

Dans ce mémoire nous avons développé des méthodes de réduction des systèmes hamiltoniens à port en dimension finie et infinie qui préservent leur structure. Dans la première partie, nous avons défini une représentation des systèmes hamiltoniens à port avec contraintes sous la forme d'équations différentielles algébriques (DEA) de type de système descripteur. De cette forme nous avons déduit une réalisation équilibrée du système hamiltonien à port exprimée sous forme de système descripteur contenant les mêmes systèmes d'équations de contrainte. Dans la deuxième partie, nous avons défini une classe de problèmes de commande LQG tels que le contrôleur dynamique LQG est passif et admet une réalisation hamiltonien à port. Deux méthodes de synthèse de commande passive LQG sont proposées et une de ces méthodes LQG nous a permis de définir une réalisation équilibrée LQG. Puis nous avons appliqué la méthode de contrainte de l'effort pour réduire le système hamiltonien à port et obtenir une commande LQG passive d'ordre réduit. Ce contrôleur LQG admettant une réalisation hamiltonienne, la structure hamiltonienne est préservée pour le système en boucle fermée par interconnexion de systèmes hamiltoniens à port. Dans la troisième partie, nous avons généralisé les résultats précédents aux systèmes hamiltoniens à ports linéaires de dimension infinie. Pour cela nous avons considéré une classe de systèmes hamiltoniens à ports de dimension infinie dont l'opérateur d'entrée est borné et un problème de commande LQG passif. Sous des conditions de nucléarité de l'opérateur de Hankel lié au problème LQG, nous définissons une réalisation équilibrée LQG passive du système et une approximation en dimension finie. Le contrôleur LQG passif d'ordre réduit obtenu par cette approximation admet une réalisation hamiltonienne à port et par conséquent la structure hamiltonienne et la passivité sont préservées en boucle fermée / In this thesis we have developed different structure preserving reduction methods for finite and infinite dimensional port Hamiltonian systems by using a balanced model reduction approach. In the first part we have defined a descriptor representation of port Hamiltonian systems with constraints. The balanced realization of the descriptor system has been used for reducing the port Hamiltonian descriptor system and conserving explicitly the constraint equations. In the second part, conditions have been derived on the weighting matrices of the LQG control problem such that the dynamical LQG controller is passive and has a port Hamiltonian realization. Two passive LQG control design methods have been suggested and one of them allows us to define a LQG balanced realization. Based on this realization, the effort constraint method has been used to reduce the LQG balanced port Hamiltonian system and obtain a reduced order passive LQG controller. In this way the closed-loop system is derived from the interconnection of 2 port Hamiltonian systems, hence the Hamiltonian structure has been preserved. In the third part, the proceeding results have been extended to a class of infinite dimensional port Hamiltonian system with bounded input operator. A passive LQG control design method for infinite dimensional port Hamiltonian system has been derived as by Control by Interconnection (CbI). Based on the balanced realization associated with this passive LQG control design, a finite dimensional approximation has been achieved and a reduced order passive LQG controller has been derived. As a consequence, the system in closed-loop with this reduced order LQG controller again admits a port Hamiltonian structure and satisfies the passivity

Les algèbres cellulaires furent introduite par J.J. Graham et G.I. Lehrer en 1996. Elles forment une famille d’algèbres associatives de dimension finie définies en termes de « données cellulaires » satisfaisant certains axiomes. Ces données cellulaires, lorsqu’elles sont identifiées pour une certaine algèbre, permettent une construction explicite de tous ses modules simples, à isomorphisme près, et de leurs couvertures projectives. Dans ce mémoire, nous définissons ces algèbres cellulaires en introduisant progressivement chacun des éléments constitutifs d’une façon axiomatique. Deux autres familles d’algèbres associatives sont discutées, à savoir les algèbres quasihéréditaires et celles dont les modules forment une catégorie de plus haut poids. Ces familles furent introduites durant la même période de temps, au tournant des années quatre-vingtdix. La relation entre ces deux familles ainsi que celle entre elles et les algèbres cellulaires sont prouvées. / Cellular algebras were introduced by J.J. Graham and G.I. Lehrer in 1996. They are a class of finite-dimensional associative algebras defined in terms of a “cellular datum” satisfying some axioms. This cellular datum, when made explicit for a given associative algebra, allows for the explicit construction of all its simple modules, up to isomorphism, and of their projective covers. In this work, we define these cellular algebras by introducing each building block of the cellular datum in a fairly axiomatic fashion. Two other families of associative algebras are discussed, namely the quasi-hereditary algebras and those whose modules form a highest weight category. These families were introduced at about the same period. The relationships between these two, and between them and the cellular ones, are made explicit.