Nos différents résultats consistent principalement à établir des extensions du calcul stochastique classique. Pour (X_t) processus de Markov, il s'agissait à l'origine de donner dans les quatre cas suivants, la décomposition explicite de F(X_t,t) en tant que processus de Dirichlet, sous des conditions minimum sur F fonction déterministe à valeurs réelles. Dans le premier cas, X est un processus de Lévy réel avec composante brownienne. Dans le deuxième cas X est un processus de Lévy symétrique sans composante brownienne mais admettant des temps locaux en tant que processus de Markov. Dans le troisième cas, X est un processus de Markov symétrique général sans condition d'existence de temps locaux mais F(x,t) ne dépend pas de t. Dans le quatrième cas, nous supprimons l'hypothèse de symétrie du troisième cas. Dans chacun des trois premiers cas, on obtient une formule d'Itô à la seule condition que la fonction F admette des dérivées de Radon-Nikodym d'ordre 1 localement bornées. On rappelle que dans l'hypothèse où X est une semi-martingale, la formule d'Itô classique nécessite que F soit C^2. C'est l'hypothèse que nous devons prendre dans le quatrième cas. Le premier cas excepté, chacune des formules d'Itô obtenues s'appuie sur la construction de nouvelles intégrales stochastiques par rapport à des processus aléatoires qui ne sont pas des semi-martingales.

La thèse porte sur une décomposition explicite de Föllmer-Schweizer d'une classe importante d'actifs conditionnels lorsque le cours du sous-jacent est un processus à accroissements indépendants ou une exponentielle de tels processus. Ceci permet de mettre en oeuvre un algorithme efficace pour établir des stratégies optimales dans le cadre de la couverture quadratique. Ces résultats ont été implémentés dans le cas du marché de l'électricité.

Le transport turbulent d'un plasma de décharge à travers un champ magnétique toroïdal a été étudié par diffusion collective de la lumière. Cette technique permet d'accéder à la transformée de Fourier spatiale des fluctuations de densité, résolue en temps. La continuité entre la diffusion incohérente et la diffusion collective a été montrée, justifiant par la même l'interprétation de la diffusion de la lumière aux grandes échelles comme étant une diffusion sur les fluctuations de la densité fluide. Un calcul a pour cela été mené, prenant en compte le caractère discret des particules diffusantes (les électrons) et les fluctuations induites par le mouvement thermique des différentes particules du plasma. Il en résulte que le caractère discret des diffuseurs est négligeable, quoique potentiellement sensible. Les conditions dans lesquelles il est possible d'identifier la fonction d'auto corrélation du signal diffusé à la fonction caractéristique de la distribution des déplacements turbulents ont par ailleurs été écrites. L'état stationnaire du plasma a été étudié et les fluctuations de densité, de température et de potentiel ont été observées simultanément, au moyen d'une sonde de Langmuir rapide. L'ajout d'une petite composante verticale au champ magnétique toroïdal permet d'obtenir un plasma uniforme. Le facteur de forme du plasma, sans et avec champ magnétique vertical additionnel, a été mesuré en fonction du vecteur d'onde d'analyse k en unités absolues. Les fonctions d'auto corrélation du signal diffusé, identifiées à la fonction caractéristique du déplacement turbulent, ont été analysées. Il s'est avéré que la statistique du déplacement turbulent à un temps donné présente les caractéristiques d'une marche de Lévy, avec un paramètre α proche de 1. La distribution du déplacement turbulent s'éloigne donc d'une gaussienne et se rapproche d'une lorentzienne. Il s'agit d'une mesure expérimentale qui peut être rapportée directement aux modèles théoriques.

We propose a new construction of point processes, which generalizes the class of infinitely divisible point processes. Examples are the quantum Boson and Fermion gases as well as the classical Gibbs point processes, where the interaction is given by a stable and regular pair potential.

We consider an SDE driven by a Lévy noise on a foliated manifold, whose trajectories stay on compact leaves. We determine the effective behavior of the system subject to a small smooth transversal perturbation of positive order epsilon. More precisely, we show that the average of the transversal component of the SDE converges to the solution of a deterministic ODE, according to the average of the perturbing vector field with respect to the invariant measures on the leaves (of the unpertubed system) as epsilon goes to 0. In particular we give upper bounds for the rates of convergence. The main results which are proved for pure jump Lévy processes complement the result by Gargate and Ruffino for Stratonovich SDEs to Lévy driven SDEs of Marcus type.

La fondation d'une littérature « nationale » n'est possible que dans la réactualisation du mythe ou de l'événement mythique, qui restent tous deux introuvables ici, chez nous, nous dit Victor-Lévy Beaulieu dans une entrevue réalisée en 1979, suite à la parution de Monsieur Melville. Ce mémoire reconnaît donc, dans un premier temps, cette alliance que fait systématiquement Beaulieu entre la question nationale du Québec et son inscription « dans » l'histoire, toutes deux encore non-advenues selon lui, et pourtant essentielles au développement et à la postérité d'une littérature dite « nationale ». L'apparition du texte historique, tel qu'on le retrouve finalement dans La grande tribu, reste un événement singulier dans l'œuvre de Victor-Lévy Beaulieu. Inspiré par la méthode de Michelet, qui, tel un romancier a su donner corps et voix aux grandes figures de l'histoire, l'auteur choisit de présenter huit personnages du XIXe siècle, en alternance avec un récit de fiction, comprenant l'invention d'une épopée québécoise (reprenant le parcours allant de la Bretagne à la grande traversée, à la rencontre des « sauvages » d'Amérique aboutissant au premier métissage, à la Nouvelle-France jusqu'à la Conquête anglaise) qu' il présente à travers le trou du crâne d'un interné. L'auteur suggère une façon nouvelle de raconter, fondée sur une apparente tension axiomatique entre la fiction et l'histoire. Par conséquent, nous croyons que le roman appelle une analyse détaillée des enjeux liés au traitement de l'histoire. L'essai philosophique Temps et récit, de Paul Ricœur, propose un regard pertinent pour étudier cette complexité narrative, et sera convoqué à divers endroits dans le mémoire pour éclairer les enjeux soulevés. Nous proposons donc une entrée en matière abordant exclusivement le travail d'écriture historiographique de Beaulieu, qui se trouve dans la partie des Libérateurs. Seront soulevées, à travers une analyse de ces textes biographiques, bon nombre de questions liées au discours proprement historique de Beaulieu. Dans le deuxième chapitre, et à partir de l'un des entrecroisements narratifs majeur, impliquant le libérateur Jules Michelet et le personnage lésionnaire Habaquq Cauchon, nous nous pencherons sur les chapitres de fiction, en abordant l'un des éléments clés, soit la folie, présentée sous diverses appellations, dont l'« hystérie-historique ». Les auteurs placés en bibliographie par Beaulieu seront convoqués afin d'éclairer certains aspects du récit, et ainsi faire la lumière sur les différents enjeux reliés au contexte de l'enfermement psychiatrique. Au troisième chapitre, il nous faudra étudier le jeu sur les registres mythologique, épique, grotesque, qui donnent à ce roman sa forme et sa matière, et mettent en acte le désir de hausser l'histoire et la mémoire de ce pays au statut des mythes universels. La langue de Beaulieu est la proie de métamorphoses et offre au récit une portée avant tout littéraire. La plasticité de la langue, incarnée par les figures signifiantes de Claude Gauvreau et de Walt Whitman, cherche à nous ramener aux origines de l'humanité, tout comme le recours à l'animalité, omniprésent dans l'œuvre de l'écrivain. L'usage du grotesque mène à la guérison de l'« hystérie historique » du personnage (la fusion du cerveau porcin et humain, la révolution carnavalesque du Québec), et au rétablissement du rapport au temps, dorénavant équilibré. Dans ce mémoire, ce sont ces complexes intrications du grotesque, de l'épique et du sublime qu'il faudra reconnaître. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Victor-Lévy Beaulieu, La grande tribu, Historiographie, Folie, Mémoire/Oubli, Internement.

Dans le premier chapitre, nous étudions le conditionnement d'un processus de Lévy complètement asymétrique à demeurer dans un intervalle fini. <br /><br />Les deux suivants sont consacrés aux processus de branchement à espace d'états continu, qui sont des processus de Lévy sans saut négatif changés de temps : généalogie (deuxième chapitre), dont nous dérivons des théorèmes de type Ray-Knight, et conditionnement à ne jamais s'éteindre (troisième chapitre). <br /><br />Enfin, le dernier chapitre traite de théorie du renouvellement multivariée dans deux cas naturels d'ensembles aléatoires emboîtés.

We introduce the notion of coupling distances on the space of Lévy measures in order to quantify rates of convergence towards a limiting Lévy jump diffusion in terms of its characteristic triplet, in particular in terms of the tail of the Lévy measure. The main result yields an estimate of the Wasserstein-Kantorovich-Rubinstein distance on path space between two Lévy diffusions in terms of the couping distances. We want to apply this to obtain precise rates of convergence for Markov chain approximations and a statistical goodness-of-fit test for low-dimensional conceptual climate models with paleoclimatic data.

L'objet de cette thèse est l'étude de l'option américaine dans un modèle exponentiel de Lévy général. Dans le premier chapitre nous étudions la continuité des réduites dans le cadre des processus de Markov de Feller. Ensuite, nous introduisons les processus de Lévy multidimensionnels et nous montrons la continuité des réduites associées à ceux-ci. Dans le deuxième chapitre, nous clarifions les propriétés basiques de la frontière libre du put américain dans un modèle exponentiel de Lévy général avec dividendes. Nous commençons par caractériser le prix de l'option américaine comme l'unique solution d'une inéquation variationnelle au sens des distributions. Ce qui nous permettra de montrer la continuité de la frontière libre et de donner une caractérisation explicite de la limite du prix critique près de l'échéance. Dans le troisième chapitre, nous étudions la continuité de la dérivée de la fonction valeur du put américain à horizon fini et du put perpétuel. Nous donnons des conditions nécessaires et d'autres suffisantes pour la vérification du principe de smooth-fit. Dans le quatrième chapitre, nous étudions la vitesse de convergence du prix critique vers sa limite à l'échéance dans le cadre d'un modèle exponentiel de Lévy, dans le cas de diffusion avec sauts, puis dans le cas d'un processus de Lévy sans partie Brownienne. Après, nous donnons cette vitesse dans le cas où le terme de diffusion est absent. Enfin, dans le dernier chapitre, nous introduisons deux méthodes numériques pour le calcul des prix des options américaines : la méthode de l'arbre multinomial et celle des différences finies. Nous comparons les deux approches et nous améliorons la convergence de la première dans certains modèles exponentiels de Lévy

La valorisation des options exotiques continues de façon "exacte" est très difficile (voire impossible) dans les modèles exponentiels de Lévy. En fait nous verrons que pour les options lookback et barrière digitale, et sous l'hypothèse que les sauts de l'actif sous-jacent sont tous négatifs, nous avons des formules semi-fermées. En général il faut recourir à des techniques qui permettent d'approcher les prix de ces dérivés, ce qui engendre des erreurs. Nous étudierons le comportement asymptotique de ces erreurs. Dans certains cas ces erreurs peuvent être corrigées de sorte à obtenir une convergence plus rapide vers la valeur "exacte" recherchée. Nous proposons aussi des méthodes permettant d'évaluer les prix des options exotiques par des techniques de Monte-Carlo