Zentrale Grenzwertsätze und Konfidenzmengen werden in zwei verschiedenen, nichtparametrischen, inversen Problemen ähnlicher Struktur untersucht, und zwar in der Kalibrierung eines exponentiellen Lévy-Modells und im Dekonvolutionsmodell. Im ersten Modell wird eine Geldanlage durch einen exponentiellen Lévy-Prozess dargestellt, Optionspreise werden beobachtet und das charakteristische Tripel des Lévy-Prozesses wird geschätzt. Wir zeigen, dass die Schätzer fast sicher wohldefiniert sind. Zu diesem Zweck beweisen wir eine obere Schranke für Trefferwahrscheinlichkeiten von gaußschen Zufallsfeldern und wenden diese auf einen Gauß-Prozess aus der Schätzmethode für Lévy-Modelle an. Wir beweisen gemeinsame asymptotische Normalität für die Schätzer von Volatilität, Drift und Intensität und für die punktweisen Schätzer der Sprungdichte. Basierend auf diesen Ergebnissen konstruieren wir Konfidenzintervalle und -mengen für die Schätzer. Wir zeigen, dass sich die Konfidenzintervalle in Simulationen gut verhalten, und wenden sie auf Optionsdaten des DAX an. Im Dekonvolutionsmodell beobachten wir unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit additiven Fehlern und schätzen lineare Funktionale der Dichte der Zufallsvariablen. Wir betrachten Dekonvolutionsmodelle mit gewöhnlich glatten Fehlern. Bei diesen ist die Schlechtgestelltheit des Problems durch die polynomielle Abfallrate der charakteristischen Funktion der Fehler gegeben. Wir beweisen einen gleichmäßigen zentralen Grenzwertsatz für Schätzer von Translationsklassen linearer Funktionale, der die Schätzung der Verteilungsfunktion als Spezialfall enthält. Unsere Ergebnisse gelten in Situationen, in denen eine Wurzel-n-Rate erreicht werden kann, genauer gesagt gelten sie, wenn die Sobolev-Glattheit der Funktionale größer als die Schlechtgestelltheit des Problems ist. / Central limit theorems and confidence sets are studied in two different but related nonparametric inverse problems, namely in the calibration of an exponential Lévy model and in the deconvolution model. In the first set-up, an asset is modeled by an exponential of a Lévy process, option prices are observed and the characteristic triplet of the Lévy process is estimated. We show that the estimators are almost surely well-defined. To this end, we prove an upper bound for hitting probabilities of Gaussian random fields and apply this to a Gaussian process related to the estimation method for Lévy models. We prove joint asymptotic normality for estimators of the volatility, the drift, the intensity and for pointwise estimators of the jump density. Based on these results, we construct confidence intervals and sets for the estimators. We show that the confidence intervals perform well in simulations and apply them to option data of the German DAX index. In the deconvolution model, we observe independent, identically distributed random variables with additive errors and we estimate linear functionals of the density of the random variables. We consider deconvolution models with ordinary smooth errors. Then the ill-posedness of the problem is given by the polynomial decay rate with which the characteristic function of the errors decays. We prove a uniform central limit theorem for the estimators of translation classes of linear functionals, which includes the estimation of the distribution function as a special case. Our results hold in situations, for which a square-root-n-rate can be obtained, more precisely, if the Sobolev smoothness of the functionals is larger than the ill-posedness of the problem.

Durant ces travaux, nous nous sommes intéressés à l’étude des transferts thermiques aux nano-échelles dans les couches minces par spectroscopie pompe-sonde femtoseconde. Dans un premier temps, nous nous sommes intéressés à la mesure haute-cadence de la conductivité thermique d’alliages de Fe-Si-Ge et Ti-Ni-Sn, dans le but d’optimiser leur processus de fabrication et de créer une base de données des propriétés thermiques de ces matériaux. Afin de pouvoir mesurer une grande quantité d’échantillons en un temps réduit, un système de mesure haute cadence entièrement automatisé a été développé et utilisé avec succès. Dans un second temps,ces travaux ont portés sur l’étude du transport thermique dans trois matériaux (Ge, GaAs In-GaAs) par spectroscopie pompe-sonde femtoseconde. Une nouvelle méthode de mesure de la réponse spectrale des nanomatériaux sur une gamme de fréquences allant de quelques centaines de kHz jusqu’au THz a été développée. Les mesures à l’aide de cette méthode ont permis de confirmer la présence d’un régime de transport qualifié de quasi-balistique dans certains matériaux,et une méthode d’extraction de propriétés thermiques à partir de la réponse spectrale mesurée, et prenant en compte ces effets quasi-balistiques, a été développée. L’ensemble des résultats obtenus par ces nouvelles méthodes confirment les travaux précédents décrits dans la littérature. Enfin, la mesure de la réponse spectrale d’un nano-matériau à haute fréquence est en grande partie limitée par la gigue des cavités lasers utilisées par l’expérience. Ainsi, la dernière étape a été de développer un système de mesure de cette gigue et de synchronisation de cavités laser qui pourra permettre de repousser la limite des fréquences mesurables par spectroscopie pompe-sonde femtoseconde. / In this work, we studied ultrafast thermal transport at nanoscale in thin films by femtosecond pump-probe thermal spectroscopy. We first developed a high-throughput heterodyne thermoreflectance setup that allows the extraction of thermal properties of a large number of sample in a minimum time, aiming at creating a database of these properties for a large numberof thin film ternary alloys with thermoelectric potential. In the second part of this work, wefocused on the study of thermal transport in three materials : Ge, GaAs and InGaAs. A high resolution phonon spectroscopy setup, along with a spectral reconstruction method allowed usto measure the response of these materials up to several tens of GHz in Fourier domain, which highlighted the presence of non-diffusive thermal transport in InGaAs. Non-diffusive theory,based on Lévy dynamics, allowed us to model this superdiffusion phenomenon and to extract coherent, frequency-independant thermal properties of these materials. Also, high frequency(>GHz) measurements of these spectral responses have shown interesting effects related to the ultrafast thermalisation in transducer-like very thin films. Finally, high-frequency thermal spectroscopy is inherently limited by the intrinsic timing jitter of laser cavities. Thus, the last partof this work was dedicated to developing a timing jitter measurement and active laser synchronisation system in order to increase the signal-to-noise ratio and access higher frequencies in pump-probe thermal spectroscopy experiments.

Ce travail est centré sur la charactérisation de certaines classes de processus aléatoires par des formules de dualité. En particulier on considérera des processus réciproques à sauts, un cas jusqu'à présent négligé dans la littérature.Dans la première partie nous formulons de façon innovante une charactérisation des processus à accroissements indépendants. Celle-ci est basée sur une formule de dualité pour des processus infiniment divisibles, déjà connue dans le cadre du calcul de Malliavin. On va présenter deux nouvelles méthodes pour prouver cette formule, qui n'utilisent pas la décomposition en chaos de l'espace des fonctionnelles de carré intégrable. Une méthode s'appuie sur une formule d'intégration par parties satisfaite par des vecteurs aléatoires infiniment divisibles. Sous cet angle, notre charactérisation est une généralization du lemme de Stein dans le cas Gaussien et du lemme de Chen dans le cas Poissonien. La généralité de notre approche nous permet de plus, de présenter une charactérisation des mesures aléatoires infiniment divisibles.Dans la deuxième partie de notre travail nous nous concentrons sur l'étude des classes réciproques de processus de Markov avec ou sans sauts, et sur leur charactérisation. On commence avec un résumé des résultats déjà existants concernant les classes réciproques de diffusions browniennes comme solutions d'une formule de dualité. Nous obtenons notamment une nouvelle interprétation des classes réciproques comme les solutions d'une équation de Newton. Cela nous permet de relier nos résultats à la mécanique stochastique d'une part et à la théorie du contrôle optimale, d'autre part. La formule de dualité nous permet aussi de prouver une propriété d'invariance par retournement du temps de la classe réciproque d'une diffusion brownienne.En outre nous obtenons une série de nouveaux résultats concernant les processus de sauts purs. Nous décrivons d'abord la classe réciproque associée à un processus markovien de comptage, c'est-à-dire un processus de sauts de taille un, puis en présentons une charactérisation par une formule de dualité. Cette formule contient une dérivée stochastique, une intégrale stochastique compensée, et une fonctionnelle qui est une grandeur invariante de la classe réciproque. De plus nous livrons une interprétation de la classe réciproque comme ensemble des solutions d'un problème de contrôle optimal. Enfin, par une utilisation appropriée de la formule de dualité, nous montrons que la classe réciproque d'un processus markovien de comptage est invariante par retournement du temps.Quelques-uns de ces résultats restent valables pour des processus de sauts purs dont les sauts sont de taille variée. En particulier nous montrons que certaines fonctionnelles dites invariants réciproques permettent de distinguer différentes classes réciproques. Notre dernier résultat est la charactérisation de la classe réciproque d'un processus de Poisson composé dès lors que les (tailles des) différents sauts sont incommensurables. / This work is concerned with the characterization of certain classes of stochastic processes via duality formulae. In particular we consider reciprocal processes with jumps, a subject up to now neglected in the literature. In the first part we introduce a new formulation of a characterization of processes with independent increments. This characterization is based on a duality formula satisfied by processes with infinitely divisible increments, in particular Lévy processes, which is well known in Malliavin calculus. We obtain two new methods to prove this duality formula, which are not based on the chaos decomposition of the space of square-integrable functionals. One of these methods uses a formula of partial integration that characterizes infinitely divisible random vectors. In this context, our characterization is a generalization of Stein's lemma for Gaussian random variables and Chen's lemma for Poisson random variables. The generality of our approach permits us to derive a characterization of infinitely divisible random measures.The second part of this work focuses on the study of the reciprocal classes of Markov processes with and without jumps and their characterization. We start with a resume of already existing results concerning the reciprocal classes of Brownian diffusions as solutions of duality formulae. As a new contribution, we show that the duality formula satisfied by elements of the reciprocal class of a Brownian diffusion has a physical interpretation as a stochastic Newton equation of motion. Thus we are able to connect the results of characterizations via duality formulae with the theory of stochastic mechanics by our interpretation, and to stochastic optimal control theory by the mathematical approach. As an application we are able to prove an invariance property of the reciprocal class of a Brownian diffusion under time reversal.In the context of pure jump processes we derive the following new results. We describe the reciprocal classes of Markov counting processes, also called unit jump processes, and obtain a characterization of the associated reciprocal class via a duality formula. This formula contains as key terms a stochastic derivative, a compensated stochastic integral and an invariant of the reciprocal class. Moreover we present an interpretation of the characterization of a reciprocal class in the context of stochastic optimal control of unit jump processes. As a further application we show that the reciprocal class of a Markov counting process has an invariance property under time reversal. Some of these results are extendable to the setting of pure jump processes, that is, we admit different jump-sizes. In particular, we show that the reciprocal classes of Markov jump processes can be compared using reciprocal invariants. A characterization of the reciprocal class of compound Poisson processes via a duality formula is possible under the assumption that the jump-sizes of the process are incommensurable.

La thèse est consacrée à l'étude de modèles bivariés en Fabilité, qui tiennent compte de différents types de dépendance entre composants. Dans un premier temps, nous nous intéressons au cas d'un système formé de deux composants, dont la dégradation est modélisée par un processus de Lévy croissant bivarié (subordinateur bivarié). Sous cette hypothèse, eux études sont faites : l'une sous l'hypothèse de surveillance continue et de réparation parfaite du système, l'autre sous une hypothèse d'inspections périodiques et de réparation imparfaite. Dans un deuxième temps, la thèse est consacrée à un autre modèle de survie bivarié, sous influence d'un environnement stochastique stressant ponctuel. La dépendance entre composants est ici induite par un environnement stressant commun, qui induit des détériorations différentes sur chacun des composants (augmentation du taux de panne pour l'un, du niveau de détérioration pour l'autre). Pour chacun des modèles étudiés, nos résultats montrent l'importance de la prise en compte de la dépendance entre les composants d'un système. / The thesis is devoted to the study of bivariate models in reliability, which take into account several types of dependence between components. As a first step, we are interested in a two-component system with accumulating deterioration modeled by a bivariate increasing Lévy process (bivariate subordinator). Under this hypothesis, two different studies are made : one under the assumption of continuous monitoring and perfect repair, the other one under the assumption of periodic inspections and imperfect repair. In a second step, the thesis is devoted to the study of another bivariate survivalmodel, under the influence of a stochastic and stressful environment. The dependence between components is here induced by the common stressful environment, with different incidence on the two components (increment of failure rate for one, of deterioration level for the other). For each of the studied models, our results show the importance of taking into account the dependence between the components of a system.

Cette thèse porte sur l'étude d'équations différentielles de type frottement, c'est à dire d'équations de type attractive, avec un unique point stable 0, caractérisant la vitesse d'un objet soumis à une force de frottement. La vitesse de cet objet subit des perturbations aléatoires de type Lévy. Dans une première partie, nous nous intéressons aux propriétés fondamentales de ces EDS : existence et unicité de la solution, caractère markovien et ergodique de celle-ci et plus particulièrement le cas des processus de Lévy stable. Dans une deuxième partie, nous étudions la stabilité de la solution de ces EDS lorsque la perturbation est un processus de Lévy stable qui tend vers 0. En effet, nous démontrons l'existence d'un développement limité d'ordre un autour de la solution déterministe pour la vitesse et la position de l'objet. Dans une troisième partie, nous étudions le comportement asymptotique des solutions lorsque la vitesse initiale est nulle et que la perturbation est un processus de Lévy stable symétrique. Nous prouvons dans cette partie que l'accumulation de perturbations entraîne un comportement asymptotique gaussien de la position de l'objet, à condition que l'indice de stabilité du processus de Lévy et la croissance du potentiel soient suffisamment grand. Dans une quatrième partie, nous levons l'hypothèse de symétrie de la perturbation en démontrant le même résultat que dans la troisième partie mais avec une dérive. Pour cela, nous étudions tout d'abord la queue de distribution de la mesure invariante associée à la vitesse de l'objet. Enfin dans une dernière partie, nous nous intéressons au résultat de la troisième partie lorsque la perturbation est la somme d'un mouvement brownien et d'un processus de Lévy purement à sauts. Puis nous commençons l'étude de la dimension deux en traitant le cas où les équations sont découplées mais où les mouvement brownien directeurs sont dépendants. / This thesis deals with the study of friction type differential equations, in other words, attractive equations, with a unique stable point 0, describing the speed of an object submitted to a frictional force. This object's speed is disturbed by Lévy type random perturbations. In a first part, one is interested in fondamental properties of these SDE: existence and unicity of a solution, Markov and ergodic properties, and more particularly the case of stable Lévy processes.In a second part, one study the stability of the solution of these SDE when the perturbation is an stable Lévy process that tends to 0. In fact, one proves the existence of a Taylor expansion of order one around the deterministic solution for the object's speed and position. In a third part, one study the asymptotic behaviour of the solutions when the initial speed is 0 and the perturbation is a symmetric stable Lévy process. One proves that the amount of perturbations, if the stability's index of the Lévy process and the increasing of the potential are big enough, leads to a gaussian asymptotic behaviour for the object's position.In a forth part, one relaxes the assumption of symmetry of the perturbation by proving the same result as in the third part but with a drift. To do so, one first studies the tail of the invariant measure of the object's speed.Finally, in a last part, one is interested in the same result as in the third part when the perturbation is the sum of the Brownian motion and a pure jump stable Lévy process. Then, one begins the study of the dimension two by considering the case where the equations are separated but where the driving Brownian motions are dependent.

Em teoria dos números, o teorema de Erdös-Kac, também conhecido como o teorema fundamental de teoria probabilística dos números, diz que se w(n) denota a quantidade de fatores primos distintos de n, então a sequência de funções de distribuições N definidas por FN(x) = (1/N) #{n <= N : (w(n) log log N)/(log log N)^(1/2)} <= x}, converge uniformemente sobre R para a distribuição normal padrão. Neste trabalho desenvolvemos todos os teoremas necessários para uma demonstração analítica, que nos permitirá encontrar a ordem de erro da convergência acima. / In number theory, the Erdös-Kac theorem, also known as the fundamental theorem of probabilistic number theory, states that if w(n) is the number of distinct prime factors of n, then the sequence of distribution functions N, defined by FN(x) = (1/N) #{n <= N : (w(n) log log N)/(log log N)^(1/2)} <= x}, converges uniformly on R to the standard normal distribution. In this work we developed all theorems needed to an analytic demonstration, which will allow us to find an order of error of the above convergence.

由於違約事件不斷發生以及在財務實證上顯示證券的報酬率有厚尾與高狹峰的現象，本文使用縮減式模型與Lévy過程來評價有信用風險下的可轉換公司債。在Lévy過程中，本研究假設股價服從NIG及VG模型，發現此兩種模型比傳統的GBM模型更符合厚尾現象。此外，在Lévy過程參數估計方面，本文使用最大概似法估計參數，在評價可轉換公司債方面，本研究採用最小平方蒙地卡羅法。本文之實證結果顯示，Lévy模型的績效比傳統GBM模型佳。 / Due to the reason that the default events occurred constantly and still continue taking place, empirical log return distributions exhibit fat tail and excess kurtosis, this paper evaluates convertible bonds under Lévy process with default risk using the reduced-form approach. Under the Lévy process, the underlying stock prices are set to be normal inverse Gaussian (NIG) and variance Gamma (VG) model to capture the jump components. In the empirical analysis, we use the maximum likelihood method to estimate the parameters of Lévy distributions, and apply the least squares Monte Carlo Simulation to price convertible bonds. Five examples are shown in pricing convertible bonds using the traditional model and Lévy model. The empirical results show that the performance of Lévy model is better than the traditional one.

On présente une nouvelle approche de simulation pour la fonction de densité conjointe du surplus avant la ruine et du déficit au moment de la ruine, pour des modèles de risque déterminés par des subordinateurs de Lévy. Cette approche s'inspire de la décomposition "Ladder height" pour la probabilité de ruine dans le Modèle Classique. Ce modèle, déterminé par un processus de Poisson composé, est un cas particulier du modèle plus général déterminé par un subordinateur, pour lequel la décomposition "Ladder height" de la probabilité de ruine s'applique aussi. La Fonction de Pénalité Escomptée, encore appelée Fonction Gerber-Shiu (Fonction GS), a apporté une approche unificatrice dans l'étude des quantités liées à l'événement de la ruine été introduite. La probabilité de ruine et la fonction de densité conjointe du surplus avant la ruine et du déficit au moment de la ruine sont des cas particuliers de la Fonction GS. On retrouve, dans la littérature, des expressions pour exprimer ces deux quantités, mais elles sont difficilement exploitables de par leurs formes de séries infinies de convolutions sans formes analytiques fermées. Cependant, puisqu'elles sont dérivées de la Fonction GS, les expressions pour les deux quantités partagent une certaine ressemblance qui nous permet de nous inspirer de la décomposition "Ladder height" de la probabilité de ruine pour dériver une approche de simulation pour cette fonction de densité conjointe. On présente une introduction détaillée des modèles de risque que nous étudions dans ce mémoire et pour lesquels il est possible de réaliser la simulation. Afin de motiver ce travail, on introduit brièvement le vaste domaine des mesures de risque, afin d'en calculer quelques unes pour ces modèles de risque. Ce travail contribue à une meilleure compréhension du comportement des modèles de risques déterminés par des subordinateurs face à l'éventualité de la ruine, puisqu'il apporte un point de vue numérique absent de la littérature. / We discuss a simulation approach for the joint density function of the surplus prior to ruin and deficit at ruin for risk models driven by Lévy subordinators. This approach is inspired by the Ladder Height decomposition for the probability of ruin of such models. The Classical Risk Model driven by a Compound Poisson process is a particular case of this more generalized one. The Expected Discounted Penalty Function, also referred to as the Gerber-Shiu Function (GS Function), was introduced as a unifying approach to deal with different quantities related to the event of ruin. The probability of ruin and the joint density function of surplus prior to ruin and deficit at ruin are particular cases of this function. Expressions for those two quantities have been derived from the GS Function, but those are not easily evaluated nor handled as they are infinite series of convolutions with no analytical closed form. However they share a similar structure, thus allowing to use the Ladder Height decomposition of the Probability of Ruin as a guiding method to generate simulated values for this joint density function. We present an introduction to risk models driven by subordinators, and describe those models for which it is possible to process the simulation. To motivate this work, we also present an application for this distribution, in order to calculate different risk measures for those risk models. An brief introduction to the vast field of Risk Measures is conducted where we present selected measures calculated in this empirical study. This work contributes to better understanding the behavior of subordinators driven risk models, as it offers a numerical point of view, which is absent in the literature.

Weakly nonstationary processes appear in many challenging problems related to the physics of complex systems. An interesting question is how to quantify the rate of convergence to Gaussian behavior of rescaled heteroscedastic comming from economics time series with stationary first moments but nonstationary multifractal long-range correlated second moments and also time series generated from fractionated brownian motion where the series correlation is dependent of a parameter. Here it is used the approach Which uses a recently proposed extension of the Lévy sections theorem. It was analyzed the statistical and multifractal properties of heteroscedastic time series and found that the Lévy sections approach provides a faster convergence to Gaussian behavior relative to the convergence of traditional partial sums of variables. To understand this transition it is used several statistical tests to provide enough data on convergence behavior. It was also observed that the rescaled signals retain multifractal properties even after reaching what appears to be the stable Gaussian regime. / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Processos não-estacionários com interações fracas aparecem como problemas desafiadores em sistemas complexos em física. Uma questão interessante é como quantificar a taxa de convergência para o comportamento gaussiano em séries temporais heteroscedásticas, sem uma variância única em toda a série, provenientes de sistemas financeiros, reescaladas com os primeiros momentos estacionários mas com uma multifractalidade não estacionária e segundos momentos que possuem uma correlação do longo alcance e verificar o mesmo mecanismo também em séries temporais geradas a partir de um movimento Browniano Fracionado onde a correlação da série depende de um parâmetro ajustável. Aqui é usada uma extensão do teorema das seções de Lévy. Analisando as propriedades estatísticas e multifractais de uma série temporal heteroscedástica e encontrando que as seções de Lévy fornece uma convergência mais rápida para o comportamento gaussiano relativo à convergência das tradicionais somas de variáveis, o teorema do limite central. Para entender essa transição foram utilizados vários testes estatísticos que forneceram dados suficientes sobre o comportamento de convergência. Também observou-se que os sinais reescalados mantêm suas propriedades multifractais mesmo depois de atingirem um regime que parece ser um regime gaussiano.

Em teoria dos números, o teorema de Erdös-Kac, também conhecido como o teorema fundamental de teoria probabilística dos números, diz que se w(n) denota a quantidade de fatores primos distintos de n, então a sequência de funções de distribuições N definidas por FN(x) = (1/N) #{n <= N : (w(n) log log N)/(log log N)^(1/2)} <= x}, converge uniformemente sobre R para a distribuição normal padrão. Neste trabalho desenvolvemos todos os teoremas necessários para uma demonstração analítica, que nos permitirá encontrar a ordem de erro da convergência acima. / In number theory, the Erdös-Kac theorem, also known as the fundamental theorem of probabilistic number theory, states that if w(n) is the number of distinct prime factors of n, then the sequence of distribution functions N, defined by FN(x) = (1/N) #{n <= N : (w(n) log log N)/(log log N)^(1/2)} <= x}, converges uniformly on R to the standard normal distribution. In this work we developed all theorems needed to an analytic demonstration, which will allow us to find an order of error of the above convergence.