Cette thèse propose une nouvelle stratégie d'amortissement des oscillations de fréquence critiques par la modulation de l'injection rapide de puissances actives, qui ouvre la voie à l'utilisation d'actionneurs géographiquement dispersés, par exemple des ressources énergétiques distribuées (DERs), dans le contrôle des basses fréquences dynamique de l'angle du rotor du réseau électrique, qui comprend les oscillations interzones et les oscillations de fréquence transitoire. La méthode proposée intègre ces deux dynamiques différentes dans un cadre basé sur un système linéaire invariant dans le temps, dans lequel le contrôle de l'oscillation de fréquence transitoire est traduit en contrôle de la dynamique de mode commun du système. A cet effet, un examen attentif de la relation entre la variation transitoire de fréquence et la dynamique du mode commun est effectué; Les simulations montrent que le mode commun définit la forme d'un changement transitoire de faible signal de fréquence. La méthode de contrôle proposée vise à utiliser efficacement la réserve de marche limitée des DERs existants pour atténuer ces oscillations. Ceci est réalisé en découplant les actions de commande d'amortissement à différents endroits en utilisant les signaux d'oscillation du mode concerné comme commandes de puissance. Une base théorique pour cette commande de modulation découplée est fournie. Techniquement, les signaux d'oscillation modale souhaités sont filtrés en combinant linéairement les fréquences de l'ensemble du système, ce qui est déterminé par la technique (LQRSP). Avec la stratégie proposée, la modulation de chaque injection de puissance active peut être conçue efficacement en tenant compte de la limite de réponse et de la capacité de sortie en régime permanent du dispositif de support. Dans le cadre proposé, le signal de commande pour la commande de fréquence primaire est automatiquement déterminé dans une direction de commande (presque) optimale; des expériences montrent que ce signal a tendance à être la vitesse du système vue par le point d'injection de puissance. La commande modulante découplée a tendance à isoler les actions de commande pour les oscillations interzones et les oscillations de fréquence transitoire, ce qui atténue grandement les préoccupations concernant l'interaction entre la commande de ces deux types de dynamiques / This dissertation provides a novel wide-area control strategy for damping of critical frequency oscillations via modulation of fast active power injections, which paves the way for the utilization of large-scale geographically dispersed actuators, e.g., distributed energy resources (DERs), in the control of power system low-frequency rotor angle dynamics, this includes the inter-area oscillations and the transient frequency swing. The proposed method incorporates these two different dynamics into a linear time invariant (LTI) system based control framework, in which the control of the transient frequency swing is translated into the control of the system common mode dynamics. For this purpose, a careful examination of the relationship between the transient frequency swing and the common mode dynamics is carried out; extensive simulations show that the common mode defines the shape of a small-signal transient frequency swing. The proposed control method pursues an efficient utilization of the limited power reserve of existing DERs to mitigate these oscillations. This is accomplished by decoupling the damping control actions at different sites using the oscillation signals of the concerned mode as the power commands. A theoretical basis for this decoupled modulating control is provided. Technically, the desired sole modal oscillation signals are filtered out by linearly combining the system-wide frequencies, which is determined by the linear quadratic regulator based sparsity-promoting (LQRSP) technique. With the proposed strategy, the modulation of each active power injection can be effectively engineered considering the response limit and steady-state output capability of the supporting device. In the proposed control framework, the power command signal for the primary frequency control is determined in a (near) optimal control sense; experiments show that this signal tends to be the system speed seen by the power injection point. Importantly, the decoupled modulating control tends to isolate the control actions for the inter-area oscillations and the transient frequency swing, thereby greatly relieving the concern about the interaction between the control of these two types of dynamics.

Titre de l'écran-titre (visionné le 18 mars 2024) / Cette thèse, intitulée « Excavations dans les argiles sensibles de la Mer Champlain : Comportement et modélisation », découle d'un projet de recherche initié par l'Institut de recherche Robert-Sauvé en santé et en sécurité du travail (IRSST) en 2016, en collaboration avec des chercheurs de l'Université Laval. L'étude vise à répondre aux risques associés aux travaux d'excavation, notamment dans les dépôts d'argiles sensibles de la Mer Champlain, qui ont causé 48 décès et 17 accidents graves au Québec entre 1974 et 2013. Face à la complexité des comportements des excavations dans les dépôts d'argiles sensibles, la thèse souligne la nécessité de disposer de méthodes fiables pour prédire ces comportements. Une méthode numérique avec une loi de comportement avancé, intégrant le couplage hydromécanique et les calculs des coefficients de sécurité par la méthode de réduction des résistances, est présentée comme une solution potentielle. Cependant, jusqu'à présent, la potentialité de cette méthode n'a pas été suffisamment exploitée dans le cas de l'excavation dans les dépôts d'argiles sensibles de la Mer Champlain et le retour d'expérience en manque cruellement. Ainsi, cette thèse cherche à combler cette lacune, elle vise à contribuer à une meilleure compréhension et gestion des risques associés à ces travaux, en offrant des outils prédictifs plus robustes pour assurer la sécurité des travailleurs sur le terrain. La thèse a été structurée en 3 volets à savoir le volet « expérimentation en vraie grandeur sur terrain », le volet « étude en laboratoire » et le volet « modélisation numérique ». Le premier se focalise sur le mécanisme de rupture, l'évoluton des pressions interstitielles et des déplacements observés sur terrain. Le deuxième volet présente et discute les comportements en contrainte-déformation de l'argile de Louiseville sous différentes trajectoires des charges en laboratoire. Le troisième, la modélisation et la simulation numérique, cible 3 objectifs : (1) examiner les différentes méthodes de calcul des coefficients de sécurité d'excavations réalisées dans des matériaux fins post-glaciaires; (2) rendre opérationnel le modèle avec écrouissage HSS$_\textup{struct}$ pour les argiles sensibles (3) mettre en œuvre et de rendre opérationnel un modèle numérique avancé sur deux excavations instrumentées dans l'argile sensible. Les résultats de cette thèse démontrent que cette méthode numérique avancée a pu être rendue opérationnelle et a permis d'expliquer les comportements observés sur terrain qui sont ces surfaces ruptures verticales et successives pour la tranchée A1 et cette évolution des pressions interstitielles qui n'est pas conforme à la prédiction de Bishop et Bjerrum (1960) pour la tranchée A2. Un modèle constitutif baptisé HSS$_\textup{struct}$, prenant en compte la structuration des argiles sensibles, a été développé, et des recommandations ont été formulées sur la fiabilité des différentes méthodes de calcul examinées au chapitre 5. / This thesis titled "Excavations in the sensitive clays of the Champlain Sea: Behavior and modeling", stems from a research project initiated by the "Institut de recherche Robert-Sauvé en santé et en sécurité du travail (IRSST)" in 2016, in collaboration with researchers from Université Laval. The study aims to address the risks associated with excavation work, particularly in the deposits of sensitive clays of the Champlain Sea, which caused 48 deaths and 17 serious accidents in Quebec between 1974 and 2013. In the face of the complexity of the behaviors of excavations in sensitive clay deposits, the thesis accentuates the need for reliable methods to predict these behaviors. A numerical method with a complex model that describes theses behaviors, integrating hydromechanical coupling and the calculations of safety coefficients by the method of reduction of resistances, is presented as a potential solution. However, up to now, the potential of this method has not been sufficiently exploited regarding excavation in the sensitive clay deposits of the Champlain Sea, and the feedback is sorely lacking. Thus, this thesis seeks to fill this gap. It aims to contribute to a better understanding and management of the risks associated with these works, by offering more robust predictive tools to ensure the safety of workers on site. The thesis was structured in 3 parts namely the "full-scale field experimentation" part, the "laboratory study" part and the "numerical modeling" part. The first focuses on the rupture mechanism, the evolution of interstitial pressures and displacements observed on site. The second part presents and discusses the stress-strain behaviors of Louiseville clay under different load trajectories in the laboratory. The third, modeling and numerical simulation, targets 3 objectives: (1) examine the different methods of calculating safety coefficients for excavations performed in in fine post-glacial materials; (2) operationalize the model with HSS$_\textup{struct}$ hardening for sensitive clays (3) implement and operationalize an advanced numerical model on two instrumented excavations in sensitive clay. The results of this thesis demonstrate that this advanced numerical method could be made operational and was able to explain the behaviors observed on site which are these vertical and successive rupture surfaces for trench A1 and this evolution of interstitial pressures which is not consistent with the prediction of Bishop and Bjerrum (1960) for trench A2. A constitutive model named HSS$_\textup{struct}$, considering the structuring of sensitive clays was developed, and recommendations were made on the reliability of the different calculation methods examined in chapter 5.

Un cas de glissement de terrain est survenu dans des matériaux d’argiles sensibles au village de La Romaine suite à des activités de sautage dans le roc. L’étude de ce cas de glissement a entraîné plusieurs questionnements, surtout à savoir si les vibrations de sautage peuvent être un élément déclencheur de glissement de terrain dans les argiles sensibles. Ce projet de doctorat a donc débuté ainsi, et avait pour but de répondre à la question, qu’est-ce qui a causé la rupture au site de La Romaine? Pour ce faire, le site a d’abord été investigué par des essais in situ ainsi que des essais de laboratoire. Une première campagne d’investigation a été réalisée en 2009. Les matériaux et la surface de rupture ont été bien caractérisés lors de cette campagne. Des analyses à l’équilibre limite ont été réalisées avec le logiciel Slope/W, et les coefficients de sécurité (C.S.) obtenus étaient supérieurs à l’unité avant les événements de sautage, ce qui signifie que la pente était stable avant le sautage. Une seconde campagne d’investigation comprenant de l’échantillonnage grand diamètre et du piézocône sismique a été réalisée en 2012. Des essais de laboratoire ont été réalisés (essai triaxial, DSS monotone et cyclique, essais à la colonne de résonnance) afin de caractériser les propriétés dynamiques du dépôt, dans l’objectif de faire des analyses dynamiques avec un logiciel de différences finies. Une méthode de simulation de sautage a été développée afin de simuler le sautage multi-trous, et cette méthode a été validée par un second cas d’étude, Eastmain-1. Les résultats obtenus de cette simulation sont cohérents avec les données recueillies sur le terrain. L’analyse dynamique du cas de La Romaine ont montré que les vibrations estimées survenues lors du sautage sont importantes (environ 500 mm/s), ce qui a entraîné des déformations de cisaillement entre 1 et 2% dans le dépôt argileux et certainement sa rupture. La surface de rupture observée dans l’analyse dynamique est représentative de la surface de rupture réelle. Des recommandations générales suite à l’étude de ce cas et aussi de 12 autres cas de rupture survenus suite à des travaux de sautage sont présentées dans la conclusion de cette thèse. / A landslide occurred in sensitive clay materials at the village of La Romaine following rock blasting activities. The study of this sliding case has led to several questions, especially whether blasting vibrations can be a trigger for landslides in sensitive clays. This doctoral project began like this, and was intended to answer the question, what caused the rupture at La Romaine site? The site was first investigated by in situ tests as well as laboratory tests. A first investigation campaign was carried out in 2009. The materials and the surface rupture were well characterized during this campaign. Limit equilibrium analyzes were performed with the Slope/W software, and the security coefficients (S.C.) obtained were greater than unity prior to the blasting events, which means that the slope was stable before blasting. A second investigation campaign involving large diameter sampling and seismic piezocone was carried out in 2012. Laboratory tests were carried out (triaxial test, monotonic and cyclic DSS, resonance column tests) to characterize dynamic properties of the deposit, with the aim of dynamic analysis with a finite difference software. A blasting simulation method has been developed to simulate multi-hole blasting, and this method has been validated by a second case study, Eastmain-1. The results obtained from this simulation are consistent with the data collected in the field. The dynamic analysis of La Romaine case showed that the estimated vibrations that occurred during the blasting are important (about 500 mm/s), which led to shear deformations between 1 and 2% in the clay deposit. The failure surface observed in the dynamic analysis is representative of the actual failure surface. General recommendations following the study of this case and also 12 other cases of rupture that occurred after blasting work are presented in the conclusion of this thesis

Le réseau électrique joue un rôle important en tant qu'infrastructure majeure dans chaque pays. Toutefois, avec l'accroissement de la pression économique et environnementale, les systèmes électriques deviennent plus étendus, plus complexes et fonctionnant plus près de leur limite de stabilité. Les blackouts de réseau électrique qui se sont produits dans le monde ces dernières années sont la conséquence de cette situation. Cette thèse a pour objectif de fournir des solutions permettant de prévenir les blackouts de réseaux électriques. Une analyse des phénomènes de blackouts passés est tout d'abord proposée afin de comprendre leurs principales causes et leurs mécanismes. Sur la base de cette analyse, il est établi que les principales causes de blackouts sont directement liées aux problèmes de la stabilité, tels que la stabilité angulaire et la stabilité de tension. Afin de pouvoir prévenir les pannes du réseau causées par les problèmes de stabilité, une nouvelle approche énergétique fondée sur l'utilisation des gramiens de commandabilité et d'observabilité a été proposée. La méthode permet la meilleure sélection de contrôleurs/capteurs afin de pouvoir améliorer l'amortissement des oscillations électriques. Les résultats pourraient être appliqués à grande échelle aux systèmes électriques, afin de construire une nouvelle structure de commande robuste. Dans ce mémoire, cette approche énergétique a également été appliquée afin de maîtriser la stabilité transitoire. Il s'agit d'une méthode heuristique utilisant le gramien de commandabilité comme moyen de choisir les générateurs qui sont utilisés pour replanifier la production d'électricité afin d'améliorer la stabilité transitoire de plus en plus critique lors d'un blackout. Enfin, les principaux facteurs influençant l'écroulement de tension ont été pris en compte à long terme grâce à une approche par simulation dynamique. Une stratégie de contrôle préventif fondée sur un « power flow » optimal a été également proposée. Du point de vue de la prévention, le problème du délestage de charges en cas de sous-tension a été discuté et évalué.

Une partie des travaux présentés dans ce mémoire est inspirée du modèle mathématique écrit sous forme " semi strict feedback " du vérin électropneumatique présent au centre d'essais Fluid Power du laboratoire Ampère. En effet, ce modèle a suscité un approfondissement des travaux de recherche concernant la synthèse de lois de commandes non linéaires robustes des systèmes " strict feedback " (ou triangulaires) généraux. Ainsi deux approches directes sont développées pour l'élaboration de lois de commandes continues mono et multidimensionnelles en suivi de trajectoires. La stabilité exponentielle globale du point d'équilibre est prouvée pour le système nominal. La preuve de la stabilité au sens entrée bornée / état borné (" input-state stable ") est également proposée dans le cas de variations paramétriques ou de dynamiques mal modélisées. De plus, une solution au problème du suivi de trajectoire pour une classe de systèmes non linéaires monodimensionnels sous forme " strict feedback " avec une dynamique interne à minimum ou non minimum de phase est énoncée. Après un rappel des modèles de simulation et de commande utilisés, la mise en oeuvre sur le vérin électropneumatique des approches proposées est alors décrite. Les résultats expérimentaux obtenus sont convaincants et ont permis de compléter le benchmark de l'ensemble des travaux du groupe "Automatique, Commande et Mécatronique " du laboratoire par une extension du tableau comparatif initialisé en 1999 des lois de commandes appliquées à ce type d'actionneur. Enfin, une solution est proposée pour résoudre le phénomène du redécollage du vérin électropneumatique. Ce problème, rencontré par le groupe depuis de nombreuses années, concerne toutes les commandes linéaires et non linéaires mono et multidimensionnelles étudiées au laboratoire. Il se traduit par un mouvement saccadé du vérin lorsque les trajectoires suivies en position comportent des phases statiques. Il résulte conjointement de l'existence des forces de frottement sec et du fait que le système atteint lors de ces régimes seulement un équilibre mécanique alors que les pressions dans les chambres continuent à évoluer. Pour pallier à cet inconvénient, la dernière partie de ce mémoire propose de commuter la commande sur deux régulations de pressions quand le système atteint cet équilibre partiel. Cette technique est finalement mise en oeuvre et son efficacité est constatée.

L'objectif principal de cette thèse est la formulation des mélanges stables contenant l'hydroxyapatite gel synthétisée (Ca-HAGel). Le comportement rhéologique des mélanges Eau/(sulfate de calcium) et hydroxyapatite/(sulfate de calcium) a été étudié. Les résultats ont montrés que tous les mélanges sont caractérisés par un comportement rhéologique rhéofluidifiant et thixotrope. Le potentiel zêta a été utilisé dans cette étude pour mieux appréhender les interactions entre les particules et leurs effets sur le comportement des mélanges. La fixation de sulfate sur la surface de Ca-HA favorise la stabilité de la structure du Ca-HAGel. Les analyses de caractérisation effectuées sur les formulations ont montrées la formation de nouveaux composés tels que le sulfate-phosphate de calcium hydrate et l'Ardealite. Les tests de lixiviation et de percolation ont révélés que le taux de relargage de soufre et strontium à partir des sous-produits de gypse était négligeable pour les mélanges contenant Ca-HAGel. Ca-HAGel stabilise les métaux lourds relargués à partir du gypse et plâtre. Les particules du gypse améliorent les performances hydrauliques de Ca-HAGel et le plâtre hydraté stabilise la structure de Ca-HAGel par la formation des particules agglomérées. Le test colonne effectués sur la formulation AWPG2 a montré une grande performance à retenir le plomb et le cadmium avec des capacités de rétention de plus de 99% et 88% respectivement. Le traitement des métaux lourds était lié aux particules de Ca-HA et au phosphate et calcium libres. La formulation AWPG2 peut être utilisée dans les barrières perméables réactives pour traiter les eaux souterraines contaminées.

L'ensemble du travail présenté dans cette thèse est très expérimental. Différentes expériences ont été réalisées et de nombreux systèmes de chaufferette testés.Dans le cas des supraconducteurs à basse température critique, nous avons recherché une technologie de chaufferette qui soit facile à mettre en oeuvre, qui puisse être étalonnée et puisse fournir des énergies minimales de transition reproductibles. Nous avons suggéré une manière de mener le calibrage de l'énergie absorbée par le brin àtravers une étude de faisabilité. Nous avons égalementmené des études de répétabilité de l'expérience.Toutefois, nous n'avons pas pu tester dans le temps qui nous était imparti d'autres échantillons.

Ce travail de thèse traite de l’analyse de la stabilité et la stabilisation des systèmes non-linéaires représentés par des modèles T-S. L’objectif est de réduire le conservatisme des conditions de stabilité, obtenue par la méthode directe de Lyapunov, et écrites, dans la mesure du possible, sous forme de LMIs. Dans ce cadre, deux contributions principales ont été apportées. Tout d’abord, nous avons proposé de nouvelles conditions de synthèse non-quadratique de lois de commande, strictement LMIs et sans restriction d’ordre, pour les modèles T-S via des FLICs. En effet, dans ce contexte, les résultats de la littérature ne sont valables que pour les modèles T-S d’ordre inférieur ou égal à 2. Afin de lever cette restriction, les conditions ont été obtenues grâce à la démonstration d’une propriété de dualité. Ensuite, peu de travaux traitant de la spécification des performances en boucle fermée, de nouvelles conditions LMIs (quadratiques et non-quadratiques) ont été proposées via le concept de D-stabilité. Dans un premier temps, la synthèse de lois de commande PDC et non-PDC D-stabilisantes a été proposée pour les modèles T-S nominaux. Ensuite, ces résultats ont été étendus au cas des modèles T-S incertains. De plus, nous avons mis en évidence, au travers d’un exemple de D-stabilisation en attitude d’un modèle de drone quadrirotor, que les modèles T-S incertains pouvaient être avantageusement considérés lorsque les non-linéarités d’un modèle non-linéaire dépendent à la fois de l’état et de l’entrée. / This work deals with the stability analysis and the stabilisation of nonlinear systems represented by T-S models.The goal is to reduce the conservatism of the stability conditions, obtained through the direct Lyapunov methodand written, when it is possible, as LMIs. In this framework, two main contributions has been proposed. First ofall, we have proposed some new conditions based on FLICs, strictly LMIs and without any order restrictions, forthe non-quadratic design of control laws devoted to stabilize T-S models. Indeed, in this non-quadratic context,the existing works are only available for 2nd order T-S models. In order to unlock this restriction, the proposed conditions have been obtained based on the proof of a dual property. Then, starting from the fact that few worksdeals with the closed-loop performances specification, some new LMI conditions (quadratic and non-quadratic)have been proposed via the D-stability concept. As a first step, D-stabilizing PDC and non-PDC controller designhas been considered for nominal T-S models. Then, these results have been extended to uncertain T-S models.Moreover, it has been highlighted, from an example of the attitude D-stabilization of a quadrotor model, that wecan make use of uncertain T-S models to cope with nonlinear models involving nonlinearities depending on bothstate and input variables.

Pour maintenir la tension dans des bornes admissibles, des régulations locales de puissance réactive (Q) en fonction de la tension (U) sont envisagées sur les réseaux de distribution. Ces travaux étudient l’impact de ces régulations sur la stabilité des réseaux de distribution accueillant de la production. Une étude empirique confirme le risque d’instabilité de la tension et souligne le lien avec les paramètres de la régulation. Pour aider les gestionnaires à les choisir, trois méthodes d’étude de la stabilité sont proposées. Tout d’abord, une méthode formelle fondée sur les notions d’abstraction discrète et de bisimulation est développée. Elle offre une grande précision au prix d’un effort de calcul important. Pour contournercette difficulté, un critère analytique portant sur le temps de réponse des régulations Q(U) est formulé. Ensuite, un critère valable dans tous les cas est proposé pour les codes de réseaux. Enfin, l’extension desméthodes à des cas plus complexes est discutée. / To maintain the voltage within specified limits, local control laws of distributed generators (DGs) reactive power (Q) with respect to their voltage (U) have been considered. This work studies the impact of Q(U) control laws on distribution feeders’voltage stability. An empirical study confirms the risk of voltage instability and highlights its dependence on control law parameters. To help distribution grid operators to choose these parameters, three methods assessing stability are formulated.First, a formal method based on discrete abstraction and bisimulation calculation is developed. The proposed approach yields precise results but with a high computational load. Then, to overcome this issue, an analytical criterion adapting Q(U) control laws response time with respect to grid parameters is formulated. Finally, a general criterion, valid in any cases, is established in order to be included in the grid codes. To conclude this work, extension to more complex cases is discussed.

Le contrôle des tourbillons de sillages d'aéronefs permet de réduire leur dangerosité et d'augmenter par conséquent le débit de décollages et d'atterrissages dans les aéroports. Ce contrôle permettrait également d'agir sur la formation des rainées de condensation et des cirrus artificiels en haute atmosphère dans le but de réduire le forçage radiatif terrestre causé par l'aviation. Brion (2014) ont montré par analyse de stabilité modale que le dipôle de Lamb-Chaplygin, souvent utilisé comme un modèle représentatif des tourbillons de sillage en champ lointain, est bidimensionnellement instable à des nombres de Reynolds faibles. Nous étendons premièrement cette analyse de stabilité modale bidimensionnelle à des modèles de dipôles plus réalistes, pour une large gamme de rapport d'aspect, et obtenons, à faibles nombre de Reynolds, des instabilités de même nature (modes de déplacement) que pour le dipôle de Lamb-Chaplygin. Nous montrons cependant que la croissance des instabilités observées dépend fortement du rapport d'aspect du dipôle, et que cette croissance est fortement diminuée lorsque la diffusion du dipôle est prise en compte. Nous étudions ensuite la stabilité bidimensionnelle transitoire en champ lointain (dipôles) et en champ proche (nappes de vorticité), en atmosphères homogène et stratifiée. Dans tous les cas, les perturbations optimales sont des spirales de vorticité orientées à contre-cisaillement et situées en périphérie des tourbillons, qui conduisent in fine aux instabilités écrites par l'analyse modale grâce à un mécanisme de contamination du cœur des tourbillons, initialement identifié par Antkowiak & Brancher 2004 sur un tourbillon isolé. / Aircraft wake vortex control allows for reducing of their dangerousness and consequently improve airport take-off / landing requencies. Contrails and artificial cirrus clouds formation could also be influenced through this control of wake vortices and allow for reducing of terrestrial radiative forcing generated by aviation. Brion (2014) have shown by a modal stability analysis that the Lamb-Chaplygin dipole, often used as a far-field model for aircraft wake vortices, is unstable to two-dimensional perturbations at Iow Reynolds numbers. We first extend this twodimensional modal stability analysis to more realistic dipole models, for a Wide range of aspect ratios, and obtain, for Iow Reynolds numbers, instabilities of the same nature (displacement modes) as for the Lamb-Chaplygin dipole. However, we show that the growth of those modes depends greatly on the dipole aspect ratio, and that this growth is greatly diminished hen the dipole diffusion is taken into account. We then study two-dimensional transient growth for far-field models (dipoles) and near-field models (vorticity sheets), in homogeneous and stratified atmospheres. ln all cases, optimal perturbations are vorticity spirals oriented against shear and located at the periphery of the vortices, which eventually lead to development of the instabilities described in the modal analysis through a contamination mechanism of the vortex cores, initially identified by Antkowiak & Brancher (2004) for an isolated vortex.