Cette thèse est consacrée au développement d'outils pour FreeFem++ destinés à faciliter la résolution des problèmes d'optimisation. Ce travail se compose de deux parties principales. La première consiste en la programmation, la validation et l'exploitation d'interfaces permettant l¿utilisation de routines d'optimisation directement dans le logiciel. La seconde comprend le développement de solutions pour le calcul automatisé des dérivées, toujours au sein de FreeFem++, en exploitant les paradigmes de la différentiation automatique. FreeFem++ est un environnement de développement intégré dédié à la résolution numérique d¿équations aux dérivées partielles en dimension 2 et 3. Son langage ergonomique permet à l'utilisateur d'exploiter aisément ses nombreux outils de création de maillages, de résolution de systèmes linéaires, ainsi que ses bibliothèques d'éléments finis, etc... Nous introduisons les nouvelles routines d'optimisation désormais accessibles depuis la bibliothèque de modules du logiciel. En particulier, le logiciel libre d'optimisation sous contraintes IPOPT, qui implémente une méthode de points intérieurs très robuste pour l¿optimisation en grande dimension. Nous appliquons avec succès ces algorithmes à une série de problèmes concrets parmi lesquels la résolution numérique de problèmes de sur- faces minimales, la simulation de condensats de Bose-Einstein, ou encore un problème de positionnement inverse en mécanique des fluides. Une version prototypique de FreeFem++ contenant les outils de différentiation automatique est présentée, après avoir exposé les principes fondamentaux de cette méthode de calcul de dérivées pour le calcul scientifique. / The goal of this Ph.D. thesis was the development of tools for the FreeFem++ software in order to make optimization problems easier to deal with. This has been accomplished following two main directions. Firstly, a set of optimization softwares is interfaced and validated before making use of them. Then, we analyse the field of automatic differentiation as a potential mean of simplification for the users. FreeFem++ is an integrated development environment dedicated to numerically solving partial differential equations. Its high level language allows the user for a comfortable experience while using its mesh generation capabilities, linear system solvers, as well as finite elements capabilities. We describe the newly available optimization features, with a certain emphasis on the open source software IPOPT, which implements a state of the art interior points method for large scale optimization. These optimization tools are then used in a set of quite successful applications, among which minimal surfaces, Bose-Einstein condensate simulation, and an inverse positioning problem in the context of computational fluid dynamics. Finally, after an introduction to the techniques of algorithmic differentiation, we also present an unstable prototype version of FreeFem++ including automatic differentiation features.

Les métamatériaux sont des structures composites périodiques sub-longueur d’onde pouvant posséder une perméabilité et/ou une permittivité négative. Si ces deux grandeurs sont négatives simultanément, nous sommes en présence d’un matériau à indice négatif, appelés parfois matériaux « main gauche », capable donc de réfraction négative. Par le contrôle de certaines propriétés de la matière les métamatériaux offrent ainsi des comportements inexistants dans la nature. Ceci ouvre ainsi la voie à de nouvelles applications. Dans cette thèse, l’utilisation de matériaux diélectriques se justifie par la réduction d'un inconvénient majeur, les pertes. On s’affranchie en effet de la limites des pertes ohmiques dans les matériaux métalliques. Une étude numérique approfondie des résonateurs diélectriques, composants de base des métamatériaux « tout-diélectrique », a été menée à l’aide d’un logiciel commercial d’éléments finis. Cette étude a permis de mettre en évidence à l’entrée de la gamme terahertz une perméabilité, une permittivité et un indice de réfraction négatifs, pour deux céramiques particulières : le SrTiO₃ et le TiO₂. Les études paramétriques effectuées sur ces deux céramiques ont permises de mettre en évidente le rôle primordial du couplage inter-modal dans l’obtention d’un indice négatif. Nous avons également montré le caractère non conventionnel du couplage inter-modal lorsque les deux modes sont de nature différente, l’un magnétique, l’autre électrique. Il existe en effet deux régimes de couplage distincts, l’un de simple rapprochement des modes de résonances, l’autre de dégénérescence des modes où ceux-ci restent à la même fréquence sur une large gamme, chose jusqu’alors peu visible dans la littérature. En plus de cet apport théorique, nos études paramétriques ont permis de proposer une alternative au paradigme à deux résonateurs, en montrant la faisabilité d’un métamatériau à indice négatif à l’aide d’une cellule élémentaire bimodale au térahertz. / Metamaterials are periodic sub wavelength composite structures how may have a negative permeability and / or a negative permittivity. If permittivity and permeability are negative simultaneously, we are in presence of what we called a negative index material, sometimes called “left hand media", capable of negative refraction. By controlling some of these properties, metamaterials allow us to obtained behavior nonexistent in nature. This opens the way to new applications. In this thesis, the use of dielectric materials is justified by the reduction of a major downside: losses. Thanks to the removal of ohmic losses specific to metallic materials. A thorough numerical study of dielectric resonators, basic components of "all-dielectric" metamaterials, was conducted using a finite element commercial software. This study highlighted, at the beginning of the terahertz range, a negative permeability, a negative permittivity and a negative index, for two special ceramics, well known in literature: SrTiO₃ and TiO₂. The parametric studies on these ceramics have allowed to put in clear the key role of the inter-modal coupling in order to obtain a negative index. We have also shown the unconventional nature of inter-modal coupling when the two modes concerned are different: one magnetic, other electric. There are in fact two different coupling regimes: a simple progressive shifting of both resonance modes, and then the apparition of degenerative regime, where both modes are at the same frequency for a long range, something not really common in the literature. In addition to this theoretical contribution, our parametric studies have proposed an alternative to the two resonators paradigm, showing the possibility to design a negative index metamaterial with a single bimodal cell in terahertz range.

Ce mémoire traite du développement d'un procédé de polissage ultrasonique de moule employant un outil de polymère. Cette méthode consiste à faire vibrer à haute fréquence un outil baignant dans un fluide abrasif près de la pièce à polir. Quelques méthodes de polissage sont présentées pour permettre d'expliquer la raison de la recherche d'une nouvelle méthode. Une analyse par éléments finis vérifie le comportement de l'outil par l'étude de ses fréquences de résonance, de son amplitude de vibration et de sa déformation lors de la vibration ultrasonique. Des expériences sont réalisées en trois temps afin de vérifier le potentiel du procédé, puis pour valider s'il permet le polissage jusqu'à un fini de type miroir et finalement pour étudier les paramètres ou combinaisons de paramètres ayant le plus d'effet sur le procédé. Finalement, des observations sur le polissage permettent de tirer des conclusions complémentaires concernant le procédé.

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'impact des courbures sur les guides d'onde qui interviennent dans la confection des dispositifs optiques. Ces guides doivent être conçus pour minimiser la perte du signal causée par la courbure. Nous nous proposons, dans ce travail, de résoudre les équations de Maxwell vectorielles qui modélisent la propagation du champ électromagnétique, pour différents types de guide d'onde. Ainsi, nous développons une formulation en coordonnées curvilignes générales de ces équations basée sur l'approche modale. Pour discrétiser notre problème, nous utilisons une méthode numérique basée sur les éléments finis, ce qui requiert la troncature du domaine de calcul et la considération d'une frontière artificielle. Cette frontière fictive induit des réflexions numériques importantes dans le cas des guides courbés. Pour remédier à ce problème, des conditions de frontières absorbantes sont utilisées. Notre choix porte sur les PML (couches parfaitement adaptées) qui ont montré leur efficacité dans plusieurs cas de problèmes posés sur des domaines ouverts. Pour satisfaire l'exigence de précision requise pour la détermination des constantes de propagation de ces guides, des éléments finis mixtes d'ordre élevé ont été développés. Dans le cas des géométries rectangulaires, nous proposons une nouvelle famille d'éléments quadrangulaires d'ordre 1 et 2 pour discrétiser les équations écrites en coordonnées cylindriques. Pour les géométries circulaires, où une transformation en coordonnées toroïdales est considérée, nous utilisons une nouvelle famille d’éléments axisymétriques d'ordre 1 et 2. Des analyses comparatives montrent la robustesse des formulations et l'efficacité des éléments finis d'ordre élevé développés.

En service, les pièces aéronautiques en matériaux composites et structures sandwiches subissent des dommages qui nécessitent des réparations. Les réparations par patch interne en biseau, en escalier ou par combinaison des deux offrent une excellente restauration de la résistance mécanique pour ces structures composites. Cependant, l’environnement de réparation peut se révéler être un défi de taille quant à leur mise en œuvre, au choix des paramètres géométriques (angle de biseau, nombre de plis extra), à leur comportement mécanique sous différents chargements ainsi qu’à leur processus d’endommagement. Cette thèse présente une étude expérimentale et numérique (éléments finis) du comportement mécanique de réparations par patch interne effectuées sur des structures avec des peaux en composites à renforts tissés fabriquées hors autoclave et âme en Nomex en nid d’abeille. Afin de déterminer l’effet de différents paramètres géométriques sur la résistance de la réparation et de comprendre son comportement mécaniqueet son processus d’endommagement, une série de tests de caractérisation sous différents chargements (traction, compression, flexion) a été effectuée sur des structures sandwiches faite avec deux matériaux composites tissés pour la peau : soit du composite tissé taffetas (PW) ou satin de 8 (8HS) Des simulations numériques ont été effectuées afin de prédire le comportement mécanique de la réparation. Cette étude numérique a été effectuée en plusieurs étapes. Un premier modèle 2D qui suppose que la colle ait un comportement linéaire élastique a été développé et permet d’étudier la distribution des contraintes dans le joint de colle pour différentes configurations de réparation rectangulaire. Ensuite, le modèle 2D est modifié pour tenir compte du comportement élastoplastique de la colle et ceci permet de prédire le comportement mécanique d’une réparation rectangulaire jusqu’à la rupture. Par la suite, un modèle 3D est développé pour prédire le comportement de réparations circulaires sous des chargements de compression. Ce modèle tient compte de l’endommagement progressif des peaux en composite. Les résultats de ces simulations numériques sont comparés par la suite aux mesures expérimentales. Les modèles par éléments finis, avec une loi de comportement élastoplastique pour le joint de colle, permettent une estimation adéquate de la résistance ainsi que de l’endommagement des structures sandwiches réparées. Une étude paramétrique a eu lieu afin d’étudier l’effet de différents paramètres géométriques sur la résistance de la réparation. La mise en œuvre et la détermination de la performance mécanique des réparations par patch interne des structures sandwiches est une tâche complexe avec de multiples paramètres de matériaux et de procédés. D’une manière générale, cette thèse contribue à une meilleure compréhension du comportement mécanique des structures sandwiches réparées et de leur processus d’endommagement. Les modèles par éléments finis développés dans ces travaux ont été validés expérimentalement et des simulations paramétriques ont contribué à une meilleure compréhension de l’influence des différents paramètres géométriques sur la résistance de la réparation par patch interne. / In service, aeronautical components made of composite materials and sandwich structures are subject to type of damages that require repairs. Adhesively bonded repairs (scarf-scarf, step-step or scarf-step) offer an excellent mechanical strength recovery for these composite structures. However, the repair environment can be a significant challenge in terms of the choice of geometrical parameters (scarf angle, addition of an overply), damage process parameters and mechanical behavior under different loads.This thesis presents both experimental and numerical investigations of the mechanical behavior of internal patch repairs carried-out on Nomex honeycomb composite sandwich structures. The skins use an out-of-autoclave woven fabric made of carbon-epoxy composite materials. In order to determine the effect of different geometric parameters on the resistance of the internal patch repair and to better understand its mechanical behavior and damage processes, a series of mechanical tests under different loads (tensile, compression, bending) is conducted on the repaired sandwich panels made with either plain weave or 8 harness satin textile composites. Numerical simulations were carried out, in several stages, in order to determine the mechanical behavior of the repair. First, a 2D model that assumes a linear elastic behavior of the adhesive film was developed. This simple model allows to study the distribution of the stresses in the adhesive joint for different configurations of rectangular patch repair. Then, the 2D model is modified in order to account for the elastoplastic behavior of the adhesive film. The latter allows to predict the mechanical behavior of a rectangular internal patch repair until rupture. Subsequently, a 3D model is developed to predict the mechanical behavior of circular internal patch repairs under compressive loadings. This model takes into account the progressive damage and failure of the woven fabric skins. The results of these numerical simulations are validated by comparing them to experimental measurements. The finite element models that account for the elastoplastic behavior law for the adhesive joint allow predictions of the strength as well as the damage morphology of the repaired sandwich structures. A parametric study has also been conducted in order to determine the influence of the geometrical design parameters in the repair strength. Processing and assessment of the mechanical performance of internal patch repairs on sandwich structures is a complex task with multiple material and process parameters. In general, this thesis contributes to a better understanding of the mechanical behavior of adhesively bonded repaired sandwich structures and their damage process. The finite element models developed in this work and validated experimentally have contributed through parametric numerical simulations to an economical better understanding of the influence of different geometric parameters on the strength and failure of internal patch repaired sandwich panels.

La recherche dans le domaine de la glace afin de mieux connaître la poussée sur les ouvrages hydrauliques se poursuit depuis plusieurs décennies. Les forces générées par les couverts de glace sur les structures sont non négligeables particulièrement pour les petits ouvrages là où la pression hydrostatique est faible. La littérature est remplie de méthode empirique permettant de déterminer ces efforts. Dans un premier temps, l'analyse des résultats de la campagne de mesure menée par l'Université Laval, l'Institut de recherche d'Hydro-Québec (IREQ) et BMT Fleet Technologie en 2007-2008 a permis de démontrer que la poussée de la glace est variable dans l'espace. Ainsi, l'application d'une valeur uniforme de poussée de la glace, bien que simplificatrice, ne représente pas la réalité. La valeur suggérée par l'association canadienne des barrages de 150 kN/m se trouve bien au-delà de la valeur intégrée mesurée durant la première année de ce projet de 77 kN/m. Dans la même optique, la variabilité spatiale implique l'utilisation de plusieurs instruments de mesure sur un même ouvrage afin de tenir compte de l'effet d'indentation. D a été démontré que pour un même nombre d'instruments à un moment précis, les valeurs moyennes de poussée de la glace peuvent varier considérablement. Cette observation remet en doute les résultats d'expériences ayant été réalisées à l'aide de quelques capteurs de pression isolés. Enfin, l'analyse des résultats a mis en évidence l'importance des fluctuations de niveau d'eau. Il est prouvé que les fluctuations thermiques, bien que non négligeables, ne sont pas responsables à elles seules de la poussée de la glace. Dans un deuxième temps, la mise au point d'un modèle thermomécanique a été réalisée dans le logiciel à éléments finis ANSYS 12.1. Ce modèle est capable de résoudre pour une géométrie tridimensionnelle appuyée sur une fondation élastique (poussée d'Archimède) et prenant en compte le fluage de la glace selon les paramètres de Barnes et coll. (1971) et une équation de type Norton. Ce projet était le premier pas pour la mise au point du modèle. Des projets en cours permettront d'améliorer le modèle afin de prendre en compte, entre autres, la fissuration et les conditions d'appuis des berges. Les résultats confirment que le modèle fonctionne correctement et donne des résultats conformes à la littérature. Une étude paramétrique a été menée afin d'éclaircir l'influence du module de Young sur la poussée de la glace. De plus, plusieurs analyses ont été effectuées afin d'établir l'importance des conditions d'appuis sur le barrage et le type de chargement. Conformément à la théorie, le modèle semble indiquer qu'à de faibles températures, la glace flue lentement. Toujours en accord avec la théorie, le modèle montre une dissipation des contraintes plus lente lors de plus faibles températures. L'impact réel de ce phénomène devra faire l'objet d'études plus approfondies. Dans cette optique, une glace très froide subissant un événement de déformation rapide atteindra des niveaux de contraintes maximaux tels qu'observés lors du mois février de l'hiver à l'étude. Enfin, le modèle numérique montre que les fluctuations de niveaux d'eau sont non négligeables et doivent faire partie des mécanismes générateurs de poussées.

Au cours de la production de l'aluminium via le procédé de Hall-Héroult, le bain gelé, obtenu par solidification du bain électrolytique, joue un rôle significatif dans le maintien de la stabilité de la cellule d'électrolyse. L'objectif de ce travail est le développement d'un modèle numérique bidimensionnel afin de prédire le profil du bain gelé dans le système biphasé bain liquide/bain gelé, et ce, en résolvant trois problèmes physiques couplés incluant le problème de changement de phase (problème de Stefan), la variation de la composition chimique du bain et le mouvement de ce dernier. Par souci de simplification, la composition chimique du bain est supposée comme étant un système binaire. La résolution de ces trois problèmes, caractérisés par le mouvement de l'interface entre les deux phases et les discontinuités qui ont lieu à l'interface, constitue un grand défi pour les méthodes de résolution conventionnelles, basées sur le principe de la continuité des variables. En conséquence, la méthode des éléments finis étendus (XFEM) est utilisée comme alternative afin de traiter les discontinuités locales inhérentes à chaque solution tandis que la méthode de la fonction de niveaux (level-set) est exploitée pour capturer, implicitement, l'évolution de l'interface entre les deux phases. Au cours du développement de ce modèle, les problématiques suivantes : 1) l'écoulement monophasique à densité variable 2) le problème de Stefan couplé au transport d'espèces chimiques dans un système binaire sans considération du phénomène de la convection et 3) le problème de Stefan et le mouvement du fluide qui en résulte sont investigués par le biais du couplage entre deux problèmes parmi les problèmes mentionnées ci-dessus. La pertinence et la précision de ces sous-modèles sont testées à travers des comparaisons avec des solutions analytiques ou des résultats obtenus via des méthodes numériques conventionnelles. Finalement, le modèle tenant en compte les trois physiques est appliqué à la simulation de certains scénarios de solidification/fusion du système bain liquide-bain gelé. Dans cette dernière application, le mouvement du bain, induit par la différence de densité entre les deux phases ou par la force de flottabilité due aux gradients de température et/ou de concentration, est décrit par le problème de Stokes. Ce modèle se caractérise par le couplage entre différentes physiques, notamment la variation de la densité du fluide et de la température de fusion en fonction de la concentration des espèces chimiques. En outre, la méthode XFEM démontre sa précision et sa flexibilité pour traiter différents types de discontinuité tout en considérant un maillage fixe. / During the Hall-Héroult process for smelting aluminium, the ledge formed by freezing the molten bath plays a significant role in maintaining the internal working condition of the cell at stable state. The present work aims at building a vertically two-dimensional numerical model to predict the ledge profile in the bath-ledge two-phase system through solving three interactive physical problems including the phase change problem (Stefan problem), the variation of bath composition and the bath motion. For the sake of simplicity, the molten bath is regarded as a binary system in chemical composition. Solving the three involved problems characterized by the free moving internal boundary and the presence of discontinuities at the free boundary is always a challenge to the conventional continuum-based methods. Therefore, as an alternative method, the extended finite element method (XFEM) is used to handle the local discontinuities in each solution space while the interface between phases is captured implicitly by the level set method. In the course of model building, the following subjects: 1) one-phase density driven flow 2) Stefan problem without convection mechanism in the binary system 3) Stefan problem with ensuing melt flow in pure material, are investigated by coupling each two of the problems mentioned above. The accuracy of the corresponding sub-models is verified by the analytical solutions or those obtained by the conventional methods. Finally, the model by coupling three physics is applied to simulate the freezing/melting of the bath-ledge system under certain scenarios. In the final application, the bath flow is described by Stokes equations and induced either by the density jump between different phases or by the buoyancy forces produced by the temperature or/and compositional gradients. The present model is characterized by the coupling of multiple physics, especially the liquid density and the melting point are dependent on the species concentration. XFEM also exhibits its accuracy and flexibility in dealing with different types of discontinuity based on a fixed mesh.

Des simulations ont été effectuées avec la méthode des éléments finis pour déterminer les effets de composantes et d'ajustements variables de la charrue à versoirs sur sa stabilité en profondeur. Les forces sur l'outil et les contraintes dans une argile Sainte-Rosalie ont été calculées en 3-D avec les modèles constitutifs du sol Cam clay et de friction Coulombien. La largeur du soc (W), le coefficient de friction (p) de la surface et la pointe ont davantage influencé la stabilité. En effet, la force verticale spécifique décroissait avec une augmentation de W. De plus, l'effet bénéfique de la pointe sur le soc était plus dominant à faible profondeur pour initier la pénétration du versoir. Une diminution de p a engendré des variations bénéfiques des forces longitudinale et verticale sur le versoir et des contraintes dans le sol. Bref, il serait recommandé de concevoir un versoir ayant un faible déportement latéral, une surface avec un p minimal et une pointe sur le soc pour améliorer la stabilité de la charrue. / Québec Université Laval, Bibliothèque 2020

La résolution des équations de Poisson-Nernst-Planck (PNP) dans les structures neurales gagne de la reconnaissance comme un outil important pour modéliser le champ électrique et l'évolution des concentrations ioniques dans les compartiments sous microscopiques. Cette approche a l'avantage de ne pas compter sur la simplification des hypothèses généralement faites dans le formalisme de la théorie du câble, comme la localisation du gradient électrique à la membrane ou l'homogénéité des concentrations ioniques dans les sous-domaines. Employant la méthode des éléments finis (FEM), nous appliquons les équations de PNP pour déchiffrer la relation, demeurée insaisissable jusqu'à maintenant, deinsaisissable entre la forme et la fonction des épines dendritiques. Nous montrons que la géométrie des épines (le volume de la tête des épines, la longueur et le rayon du cou des épines) est un déterminant important de la dynamique calcique dans l'épine dendritique, tout en ayant un impact limité sur le signal électrique.

Au niveau d'une zone transformante atypique se situant au sud-ouest de l'Islande, une série de séismes majeurs (MW = 6,5) s'est produite en juin 2000. De nombreuses données InSAR et GPS couvrent les différentes phases d'un cycle sismique. L'utilisation d'un code de calcul numérique fondé sur une méthode d'éléments finis a permis d'explorer les influences sur la déformation des hétérogénéités présentes au niveau de la zone sismique sud islandaise. Dans la phase co-sismique, l'hypothèse majeure est la rigidification de la lithosphère avec la profondeur. Dans la phase post-sismique, la géométrie des couches rhéologiques a également une influence, ainsi que l'étude simultanée des différents processus associés (relaxations visco- et poro-élastique, afterslip...). Enfin, la répartition asymétrique des contraintes lors de la phase inter-sismique due à l'amincissement de la croûte vers l'ouest semble être un facteur essentiel pour expliquer la migration est-ouest observée dans la sismicité