Nous établissons une nouvelle décomposition des surmartingales, additive dans l'algèbre Max-Plus. Elle consiste essentiellement à exprimer toute surmartingale quasi-continue à gauche de la classe (D) comme une espérance conditionnelle d'un certain processus de running supremum. Comme application, nous montrons comment la décomposition Max-Plus permet en particulier de résoudre le problème Américain d'arrêt optimal sans avoir à calculer le prix de l'option. Ensuite, nous donnons quelques exemples illustratifs basés sur des processus de diffusion uni-dimensionnels. Une autre application intéressante concerne l'assurance de portefeuille. Nous proposons en effet une nouvelle approche au problème classique de maximisation d'utilité, avec garantie Américaine. Pour cela, nous nous ramenons à un problème général de martingales, sous contrainte de dominer un obstacle, ou de façon équivalente son enveloppe de Snell, à toute date intermédiaire. L'optimisation est relative à l'ordre convexe sur la valeur terminale, de manière à minimiser le rôle de la fonction d'utilité. Nous montrons l'optimalité de la "martingale Max-Plus" et nous traitons un exemple explicite dans le cadre d'un Brownien géométrique. Par ailleurs, nous exploitons les liens entre les martingales d'Azéma-Yor et la décomposition Max-Plus pour résoudre certains problèmes d'optimisation de portefeuille sous contraintes d'état et d'autres relatifs aux options Américaines perpétuelles. Nous retrouvons en particulier, d'une manière élémentaire, la plupart des résultats classiques sur les frontières Américaines de processus de Lévy. Le dernier chapitre propose de nouvelles méthodes numériques pour valoriser les contrats Swing.

Thesis (MSc (Mathematics))--University of Stellenbosch, 2010. / ENGLISH ABSTRACT: The first approach initiated by Merton [Mer69, Mer71] to solve utility maximization portfolio problems in continuous time is based on stochastic control theory. The idea of Merton was to interpret the maximization portfolio problem as a stochastic control problem where the trading strategies are considered as a control process and the portfolio wealth as the controlled process. Merton derived the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation and for the special case of power, logarithm and exponential utility functions he produced a closedform solution. A principal disadvantage of this approach is the requirement of the Markov property for the stocks prices. The so-called martingale method represents the second approach for solving utility maximization portfolio problems in continuous time. It was introduced by Pliska [Pli86], Cox and Huang [CH89, CH91] and Karatzas et al. [KLS87] in di erent variant. It is constructed upon convex duality arguments and allows one to transform the initial dynamic portfolio optimization problem into a static one and to resolve it without requiring any \Markov" assumption. A de nitive answer (necessary and su cient conditions) to the utility maximization portfolio problem for terminal wealth has been obtained by Kramkov and Schachermayer [KS99]. In this thesis, we study the convex duality approach to the expected utility maximization problem (from terminal wealth) in continuous time stochastic markets, which as already mentioned above can be traced back to the seminal work by Merton [Mer69, Mer71]. Before we detail the structure of our thesis, we would like to emphasize that the starting point of our work is based on Chapter 7 in Pham [P09] a recent textbook. However, as the careful reader will notice, we have deepened and added important notions and results (such as the study of the upper (lower) hedge, the characterization of the essential supremum of all the possible prices, compare Theorem 7.2.2 in Pham [P09] with our stated Theorem 2.4.9, the dynamic programming equation 2.31, the superhedging theorem 2.6.1...) and we have made a considerable e ort in the proofs. Indeed, several proofs of theorems in Pham [P09] have serious gaps (not to mention typos) and even aws (for example see the proof of Proposition 7.3.2 in Pham [P09] and our proof of Proposition 3.4.8). In the rst chapter, we state the expected utility maximization problem and motivate the convex dual approach following an illustrative example by Rogers [KR07, R03]. We also brie y review the von Neumann - Morgenstern Expected Utility Theory. In the second chapter, we begin by formulating the superreplication problem as introduced by El Karoui and Quenez [KQ95]. The fundamental result in the literature on super-hedging is the dual characterization of the set of all initial endowments leading to a super-hedge of a European contingent claim. El Karoui and Quenez [KQ95] rst proved the superhedging theorem 2.6.1 in an It^o di usion setting and Delbaen and Schachermayer [DS95, DS98] generalized it to, respectively, a locally bounded and unbounded semimartingale model, using a Hahn-Banach separation argument. The superreplication problem inspired a very nice result, called the optional decomposition theorem for supermartingales 2.4.1, in stochastic analysis theory. This important theorem introduced by El Karoui and Quenez [KQ95], and extended in full generality by Kramkov [Kra96] is stated in Section 2.4 and proved at the end of Section 2.7. The third chapter forms the theoretical core of this thesis and it contains the statement and detailed proof of the famous Kramkov-Schachermayer Theorem that addresses the duality of utility maximization portfolio problems. Firstly, we show in Lemma 3.2.1 how to transform the dynamic utility maximization problem into a static maximization problem. This is done thanks to the dual representation of the set of European contingent claims, which can be dominated (or super-hedged) almost surely from an initial endowment x and an admissible self- nancing portfolio strategy given in Corollary 2.5 and obtained as a consequence of the optional decomposition of supermartingale. Secondly, under some assumptions on the utility function, the existence and uniqueness of the solution to the static problem is given in Theorem 3.2.3. Because the solution of the static problem is not easy to nd, we will look at it in its dual form. We therefore synthesize the dual problem from the primal problem using convex conjugate functions. Before we state the Kramkov-Schachermayer Theorem 3.4.1, we present the Inada Condition and the Asymptotic Elasticity Condition for Utility functions. For the sake of clarity, we divide the long and technical proof of Kramkov-Schachermayer Theorem 3.4.1 into several lemmas and propositions of independent interest, where the required assumptions are clearly indicate for each step of the proof. The key argument in the proof of Kramkov-Schachermayer Theorem is an in nitedimensional version of the minimax theorem (the classical method of nding a saddlepoint for the Lagrangian is not enough in our situation), which is central in the theory of Lagrange multipliers. For this, we have stated and proved the technical Lemmata 3.4.5 and 3.4.6. The main steps in the proof of the the Kramkov-Schachermayer Theorem 3.4.1 are: We show in Proposition 3.4.9 that the solution to the dual problem exists and we characterize it in Proposition 3.4.12. From the construction of the dual problem, we nd a set of necessary and su cient conditions (3.1.1), (3.1.2), (3.3.1) and (3.3.7) for the primal and dual problems to each have a solution. Using these conditions, we can show the existence of the solution to the given problem and characterize it in terms of the market parameters and the solution to the dual problem. In the last chapter we will present and study concrete examples of the utility maximization portfolio problem in speci c markets. First, we consider the complete markets case, where closed-form solutions are easily obtained. The detailed solution to the classical Merton problem with power utility function is provided. Lastly, we deal with incomplete markets under It^o processes and the Brownian ltration framework. The solution to the logarithmic utility function as well as to the power utility function is presented. / AFRIKAANSE OPSOMMING: Die eerste benadering, begin deur Merton [Mer69, Mer71], om nutsmaksimering portefeulje probleme op te los in kontinue tyd is gebaseer op stogastiese beheerteorie. Merton se idee is om die maksimering portefeulje probleem te interpreteer as 'n stogastiese beheer probleem waar die handelstrategi e as 'n beheer-proses beskou word en die portefeulje waarde as die gereguleerde proses. Merton het die Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) vergelyking afgelei en vir die spesiale geval van die mags, logaritmies en eksponensi ele nutsfunksies het hy 'n oplossing in geslote-vorm gevind. 'n Groot nadeel van hierdie benadering is die vereiste van die Markov eienskap vir die aandele pryse. Die sogenaamde martingale metode verteenwoordig die tweede benadering vir die oplossing van nutsmaksimering portefeulje probleme in kontinue tyd. Dit was voorgestel deur Pliska [Pli86], Cox en Huang [CH89, CH91] en Karatzas et al. [KLS87] in verskillende wisselvorme. Dit word aangevoer deur argumente van konvekse dualiteit, waar dit in staat stel om die aanvanklike dinamiese portefeulje optimalisering probleem te omvorm na 'n statiese een en dit op te los sonder dat' n \Markov" aanname gemaak hoef te word. 'n Bepalende antwoord (met die nodige en voldoende voorwaardes) tot die nutsmaksimering portefeulje probleem vir terminale vermo e is verkry deur Kramkov en Schachermayer [KS99]. In hierdie proefskrif bestudeer ons die konveks dualiteit benadering tot die verwagte nuts maksimering probleem (van terminale vermo e) in kontinue tyd stogastiese markte, wat soos reeds vermeld is teruggevoer kan word na die seminale werk van Merton [Mer69, Mer71]. Voordat ons die struktuur van ons tesis uitl^e, wil ons graag beklemtoon dat die beginpunt van ons werk gebaseer is op Hoofstuk 7 van Pham [P09] se onlangse handboek. Die noukeurige leser sal egter opmerk, dat ons belangrike begrippe en resultate verdiep en bygelas het (soos die studie van die boonste (onderste) verskansing, die karakterisering van die noodsaaklike supremum van alle moontlike pryse, vergelyk Stelling 7.2.2 in Pham [P09] met ons verklaarde Stelling 2.4.9, die dinamiese programerings vergelyking 2.31, die superverskansing stelling 2.6.1...) en ons het 'n aansienlike inspanning in die bewyse gemaak. Trouens, verskeie bewyse van stellings in Pham cite (P09) het ernstige gapings (nie te praat van setfoute nie) en selfs foute (kyk byvoorbeeld die bewys van Stelling 7.3.2 in Pham [P09] en ons bewys van Stelling 3.4.8). In die eerste hoofstuk, sit ons die verwagte nutsmaksimering probleem uit een en motiveer ons die konveks duaale benadering gebaseer op 'n voorbeeld van Rogers [KR07, R03]. Ons gee ook 'n kort oorsig van die von Neumann - Morgenstern Verwagte Nutsteorie. In die tweede hoofstuk, begin ons met die formulering van die superreplikasie probleem soos voorgestel deur El Karoui en Quenez [KQ95]. Die fundamentele resultaat in die literatuur oor super-verskansing is die duaale karakterisering van die versameling van alle eerste skenkings wat lei tot 'n super-verskans van' n Europese voorwaardelike eis. El Karoui en Quenez [KQ95] het eers die super-verskansing stelling 2.6.1 bewys in 'n It^o di usie raamwerk en Delbaen en Schachermayer [DS95, DS98] het dit veralgemeen na, onderskeidelik, 'n plaaslik begrensde en onbegrensde semimartingale model, met 'n Hahn-Banach skeidings argument. Die superreplikasie probleem het 'n prag resultaat ge nspireer, genaamd die opsionele ontbinding stelling vir supermartingales 2.4.1 in stogastiese ontledings teorie. Hierdie belangrike stelling wat deur El Karoui en Quenez [KQ95] voorgestel is en tot volle veralgemening uitgebrei is deur Kramkov [Kra96] is uiteengesit in Afdeling 2.4 en bewys aan die einde van Afdeling 2.7. Die derde hoofstuk vorm die teoretiese basis van hierdie proefskrif en bevat die verklaring en gedetailleerde bewys van die beroemde Kramkov-Schachermayer stelling wat die dualiteit van nutsmaksimering portefeulje probleme adresseer. Eerstens, wys ons in Lemma 3.2.1 hoe om die dinamiese nutsmaksimering probleem te omskep in 'n statiese maksimerings probleem. Dit kan gedoen word te danke aan die duaale voorstelling van die versameling Europese voorwaardelike eise, wat oorheers (of super-verskans) kan word byna seker van 'n aanvanklike skenking x en 'n toelaatbare self- nansierings portefeulje strategie wat in Gevolgtrekking 2.5 gegee word en verkry is as gevolg van die opsionele ontbinding van supermartingale. In die tweede plek, met sekere aannames oor die nutsfunksie, is die bestaan en uniekheid van die oplossing van die statiese probleem gegee in Stelling 3.2.3. Omdat die oplossing van die statiese probleem nie maklik verkrygbaar is nie, sal ons kyk na die duaale vorm. Ons sintetiseer dan die duale probleem van die prim^ere probleem met konvekse toegevoegde funksies. Voordat ons die Kramkov-Schachermayer Stelling 3.4.1 beskryf, gee ons die Inada voorwaardes en die Asimptotiese Elastisiteits Voorwaarde vir Nutsfunksies. Ter wille van duidelikheid, verdeel ons die lang en tegniese bewys van die Kramkov-Schachermayer Stelling ref in verskeie lemmas en proposisies op, elk van onafhanklike belang waar die nodige aannames duidelik uiteengesit is vir elke stap van die bewys. Die belangrikste argument in die bewys van die Kramkov-Schachermayer Stelling is 'n oneindig-dimensionele weergawe van die minimax stelling (die klassieke metode om 'n saalpunt vir die Lagrange-funksie te bekom is nie genoeg in die geval nie), wat noodsaaklik is in die teorie van Lagrange-multiplikators. Vir die, meld en bewys ons die tegniese Lemmata 3.4.5 en 3.4.6. Die belangrikste stappe in die bewys van die die Kramkov-Schachermayer Stelling 3.4.1 is: Ons wys in Proposisie 3.4.9 dat die oplossing vir die duale probleem bestaan en ons karaktiriseer dit in Proposisie 3.4.12. Uit die konstruksie van die duale probleem vind ons 'n versameling nodige en voldoende voorwaardes (3.1.1), (3.1.2), (3.3.1) en (3.3.7) wat die prim^ere en duale probleem oplossings elk moet aan voldoen. Deur hierdie voorwaardes te gebruik, kan ons die bestaan van die oplossing vir die gegewe probleem wys en dit karakteriseer in terme van die mark parameters en die oplossing vir die duale probleem. In die laaste hoofstuk sal ons konkrete voorbeelde van die nutsmaksimering portefeulje probleem bestudeer vir spesi eke markte. Ons kyk eers na die volledige markte geval waar geslote-vorm oplossings maklik verkrygbaar is. Die gedetailleerde oplossing vir die klassieke Merton probleem met mags nutsfunksie word voorsien. Ten slotte, hanteer ons onvolledige markte onderhewig aan It^o prosesse en die Brown ltrering raamwerk. Die oplossing vir die logaritmiese nutsfunksie, sowel as die mags nutsfunksie word aangebied.

In this thesis, we use martingales to show that the dilation of a sequence of monotone convolutions $D_\frac{1}{b_n} (\mu_1 \triangleright \mu_2 \triangleright \cdots \triangleright \mu_n)$ is stable, where $\mu_j$ are probability distributions with the condition $\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{1}{b_n} \text{var}(\mu_n) < \infty$. This proves a law of large numbers for monotonically independent random variables.

Doctor of Philosophy / Department of Mathematics / Charles N. Moore / The main purpose of this thesis is to derive the law of the iterated logarithm for tail sums in various contexts in analysis. The various contexts are sums of Rademacher functions, general dyadic martingales, independent random variables and lacunary trigonometric series. We name the law of the iterated logarithm for tail sums as tail law of the iterated logarithm. We first establish the tail law of the iterated logarithm for sums of Rademacher functions and obtain both upper and lower bound in it. Sum of Rademacher functions is a nicely behaved dyadic martingale. With the ideas from the Rademacher case, we then establish the tail law of the iterated logarithm for general dyadic martingales. We obtain both upper and lower bound in the case of martingales. A lower bound is obtained for the law of the iterated logarithm for tail sums of bounded symmetric independent random variables. Lacunary trigonometric series exhibit many of the properties of partial sums of independent random variables. So we finally obtain a lower bound for the tail law of the iterated logarithm for lacunary trigonometric series introduced by Salem and Zygmund.

Lam, Ho Man. / "August 2010." / Thesis (M.Phil.)--Chinese University of Hong Kong, 2010. / Includes bibliographical references (leaves 42-43). / Abstracts in English and Chinese. / Chapter 1 --- Introduction --- p.1 / Chapter 2 --- Levy Process --- p.5 / Chapter 2.1 --- Merton's Jump-Diffusion model (1976) --- p.8 / Chapter 2.2 --- Estimation of Levy processes --- p.9 / Chapter 3 --- Transform Martingale Estimation --- p.11 / Chapter 3.1 --- Maximum Likelihood Estimation --- p.11 / Chapter 3.2 --- Transform Martingale Estimating Functions --- p.13 / Chapter 3.2.1 --- Transform Quasi-Score Function --- p.15 / Chapter 3.2.2 --- Composite Quasi-Score Function --- p.17 / Chapter 3.2.3 --- Implementation Issue --- p.18 / Chapter 3.2.4 --- Transform Martingale Estimation on Levy process --- p.21 / Chapter 4 --- Structural Models of Credit Risk --- p.22 / Chapter 4.1 --- Overview --- p.22 / Chapter 4.2 --- Merton's structural credit risk model (1974) --- p.23 / Chapter 4.3 --- Estimation Methodologies --- p.24 / Chapter 4.4 --- Martingale Estimation with KMV's Method --- p.26 / Chapter 5 --- Simulation Study --- p.28 / Chapter 5.1 --- Equity Estimation --- p.28 / Chapter 5.2 --- Estimation of Structural Models --- p.37 / Chapter 6 --- Conclusion --- p.41 / Bibliography --- p.42

Nous nous intéressons à l'étude asymptotique de certaines statistiques dans des modèles ARMA spatiaux quadrantaux<br />dont les innovations sont supposées être indépendantes et identiquement distribuées ou plus généralement vérifier une propriété de martingales fortes. Après une revue des théorèmes limites pour des martingales spatiales sur un réseau, nous démontrons d'abord un théorème de la limite centrale et un principe d'invariance sous la condition de Lindeberg conditionnelle pour des tableaux de martingales fortes. Afin de mieux situer notre étude des champs ARMA quadrantaux, nous rappelons divers résultats conçernant l'estimation et l'identification dans d'autres modèles ARMA spatiaux. Puis, dans le but de sélectionner les ordres et d'estimer les paramètres autorégressifs de modèles ARMA spatiaux quadrantaux, nous introduisons un nouvel estimateur obtenu à partir des équations de Yule-Walker généralisées. Nous démontrons sa consistance et sa normalité asymptotique. Enfin, pour un certain nombre de modèles ARMA spatiaux, nous illustrons leurs comportements par des représentations graphiques et nous <br />présentons une étude de procédures pour les identifier à partir de nombreuses simulations.

La première partie concerne l'estimation séquentielle du paramètre de régression pour le modèle de Cox pour des données censurées à droite. Il est ainsi possible de définir des règles d'arrêt garantissant une bonne estimation. Celles-ci conduisent alors à des estimateurs dépendant de tailles d'échantillons aléatoires pour lesquels le comportement asymptotique est le même que celui des estimateurs non séquentiels. Les propriétés démontrées sont étendues au cadre multidimensionnel et illustrées par des simulations. Cette première partie s'achève par l'étude théorique du comportement de la variable d'arrêt dans le cadre d'intervalles de confiance séquentiels. La règle d'arrêt normalisée est alors asymptotiquement normale. La seconde partie porte sur la construction de tests d'homogénéité dans le cadre d'un modèle de durées de vie non paramétrique incluant des covariables ainsi que la censure à droite. Une statistique de test est proposée et son comportement asymptotique est établi.

Cette thèse étudie différents aspects asymptotiques du modèle de jeux répétés à information incomplète d'un côté à travers une approche temps discret/temps continu. On relie les fonctions valeurs et les stratégies optimales du joueur informé à des problèmes de contrôle stochastique. On étudie la représentation duale de ces problèmes en termes de solution de viscosité d'EDP non-linéaires du premier et du second ordre. Ces résultats sont appliqués dans des modèles de jeux d'échanges financiers servant à identifier des dynamiques de prix d'équilibre en temps continu. Le dernier chapitre étudie un modèle de jeu à somme non-nulle dans lequel des techniques propres aux jeux à somme nulle sont adaptées pour obtenir des résultats asymptotiques.

Le mouvement Brownien fractionnaire (mBf) est devenu un processus incontournable dès que l'on veut s'affranchir des propriétés de Markov et d'indépendance des accroissements. Nous verrons les principales propriétés de ce processus, nous insisterons sur certains aspects de son utilisation comme modèle de file fluide. On développe ensuite la construction d'une intégrale anticipative relative au mBf à partir de l'intégrale anticipative relative au mouvement Brownien. Fort de cette idée, nous avons introduit une intégrale anticipative relative à des processus de Poissons filtrés (pPf) à partir d'une intégrale anticipative pour des processus de Poissons marqués, intégrale que nous relions à l'intégrale de Stieltjès. L'étude se poursuit par une formule de Itô pour des fonctionnelles cylindriques et par un résultat sur la continuité de Holdër des processus intégrés. Pour finir, un théorème de convergence en loi d'une suite de pPf vers un processus de Volterra est établi.

Nous considérons des modèles de régression où la variable expliquée est censurée à droite aléatoirement. Nous proposons de nouveaux estimateurs de la fonction de régression dans des modèles paramétriques, et nous proposons une procédure de test non paramétrique d'adéquation à ces modèles. Nous prolongeons ces méthodes à l'étude du modèle semi-paramétrique "single-index", généralisant ainsi des techniques de réduction de dimension utilisées en l'absence de censure. Nous nous penchons tout d'abord sur le cas d'un modèle où la variable de censure est indépendante de la variable expliquée ainsi que des variables explicatives. Nous travaillons dans un second temps dans un cadre moins restrictif où la variable expliquée et la censure sont indépendantes conditionnellement aux variables explicatives. Une difficulté spécifique à ce dernier type de modèle tient en l'impossibilité des techniques actuelles à estimer une espérance conditionnelle (de façon paramétrique ou non) en présence de plus d'une<br />variable explicative. Nous développons une nouvelle approche de réduction de la dimension afin de résoudre ce problème.