La modélisation mathématique de la dynamique des maladies auto-immunes contribue à la compréhension de leurs mécanismes, offrant ainsi une meilleure orientation pour les traite- ments. Dans ce contexte, ce mémoire fait l’analyse d’un système d’équations différentielles à délai distribué modélisant l’évolution du VIH dans un corps infecté, mettant en relation les cellules CD4-T non infectées, les cellules infectées, les particules de virus et la réponse immunitaire. Aavani [1] a étudié un tel modèle à délai discret, que nous généralisons et qui demande une méthode alternative d’analyse de stabilité des points fixes. Le comportement asymptotique des solutions est alors caractérisé entièrement par le délai, noté \(\tau \) , représentant le temps que prend une cellule infectée avant de produire des particules de virus. Nous démontrons que pour une valeur de \(\tau \) assez grande, soit au-dessus d’un certain seuil \(\tau_1 \), l’infection tend à s’éteindre puisque le point fixe sans maladie est asymptotiquement stable. Pour un délai en dessous de ce seuil, l’infection perdure : le point fixe sans maladie est instable. Dans ce cas, le point fixe aigu et le point fixe chronique s’échangent la stabilité asymptotique selon un autre seuil \(\tau_2 \). Des simulations numériques appuient finalement les conclusions obtenues analytiquement / The mathematical modeling of the dynamics of autoimmune diseases contributes to the understanding of their mechanisms, thus providing better guidance for treatments. In this context, this thesis analyzes a distributed delay differential equations system modeling the evolution of HIV in an infected body, describing the interactions between uninfected CD4-T cells, infected cells, virus particles and the immune response. Aavani [1] studied a similar but simpler model, incorporating a discrete delay, which we generalize using alternative methods for the investigation of stability of stationary solutions. The asymptotic behavior of the solutions is entirely characterized by the delay, denoted \(\tau \) , representing the time before an infected cell produces virus particles. It is shown that for a sufficiently large value of \(\tau \) , i.e. above a certain threshold \(\tau_1 \), the infection tends to die out since the disease-free steady-state is asymptotically stable. Then, for a delay below this threshold, the infection persists : the disease-free steady-state being unstable. In this case, the acute steady-state and the chronic stage exchange asymptotic stability according to another threshold \(\tau_2 \). Numerical simulations finally support the conclusions obtained analytically.

Dans l'apprentissage par renforcement, une fonction de récompense guide le comportement de l'agent vers des objectifs spécifiques. Cependant, dans des environnements complexes, ces récompenses extrinsèques ne suffisent souvent pas, car leur conception nécessite beaucoup de travail humain. Cette thèse explore les récompenses intrinsèques comme une alternative, en mettant en avant leur potentiel pour permettre aux agents d'apprendre de manière autonome et d'explorer sans supervision. Tout d'abord, nous identifions un problème majeur avec de nombreuses récompenses intrinsèques : leur nature non-stationnaire, qui complique l'optimisation. Pour résoudre ce problème, nous proposons des objectifs stationnaires pour l'exploration (SOFE), qui transforment les récompenses non-stationnaires en récompenses stationnaires grâce à des représentations d'état augmentées. Cette approche améliore les performances de différentes méthodes de récompenses intrinsèques dans divers environnements. Ensuite, nous introduisons S-Adapt, une nouvelle méthode de motivation intrinsèque adaptative basée sur le contrôle de l'entropie. Ce mécanisme, conçu comme un problème de bandit à plusieurs bras, permet aux agents de développer des comportements émergents dans divers environnements sans avoir besoin de récompenses extrinsèques. Enfin, nous présentons RLeXplore, un cadre complet qui normalise l'implémentation de huit méthodes de récompense intrinsèque de pointe. Ce cadre vise à résoudre les incohérences dans l'optimisation et les détails de mise en œuvre des récompenses intrinsèques, accélérant ainsi la recherche dans le domaine du RL à motivation intrinsèque. Ces contributions avancent notre compréhension et l'application de la motivation intrinsèque dans des environnements virtuels, montrant sa capacité à développer des comportements d'agent plus autonomes dans une variété de situations complexes / In reinforcement learning, a reward function is used to guide the agent's behavior towards task-specific objectives. However, such extrinsic rewards often fall short in complex environments due to the significant human effort required for their design. This thesis explores intrinsic rewards as an alternative, focusing on their potential to enable agents to learn autonomously and explore in an unsupervised manner. First, we identify a fundamental issue with many intrinsic rewards: their non-stationarity, which complicates the optimization process. To mitigate this, we propose Stationary Objectives For Exploration (\textbf{SOFE}), which transforms non-stationary rewards into stationary ones through augmented state representations and achieves performance gains across various intrinsic reward methods and environments. Secondly, we present \textbf{S-Adapt} a novel approach for adaptive intrinsic motivation based on entropy control. This adaptive mechanism, framed as a multi-armed bandit problem, empowers agents to exhibit emergent behaviors in diverse settings without extrinsic rewards. Finally, we introduce \textbf{RLeXplore}, a comprehensive framework that standardizes the implementation of eight state-of-the-art intrinsic reward methods. This framework addresses the lack of consistency in the optimization and implementation details of intrinsic rewards, thereby accelerating research progress in intrinsically-motivated RL. Collectively, these contributions advance the understanding and application of intrinsic motivation in RL, demonstrating its viability for developing more autonomous agent behavior across a spectrum of challenging environments.

Joseph Kampé de Fériet (1893–1982) est un mathématicien lillois, spécialiste international en mécanique des fluides et directeur de l'Institut de mécanique des fluides de Lille (IMFL) depuis sa création en 1929. En se familiarisant avec ce domaine et avec les questions expérimentales grâce à ses travaux de balistique pendant sa mobilisation scientifique à la Commission de Gâvre (1915-1919), ce savant a joué un triple rôle à l'institut. En tant que mathématicien, il a donné une contribution remarquable à la théorie statistique de la turbulence de Taylor-von Kármán à l'aide de la théorie des fonctions aléatoires de Kolmogorov, Khintchine, et Slutsky. En tant qu'expérimentateur, il a participé aux travaux expérimentaux de l'IMFL visant d'une part à étudier la turbulence atmosphérique et d’autre part à légitimer les idées de l'école de Philippe Wehrlé et Georges Dedebant, une école qui s'est constituée au sein de la Commission de la Turbulence Atmosphérique, créée par le ministère de l'Air en 1935. Enfin, en tant que directeur, il a valorisé les liens avec l'industrie et la société lilloise comme il a valorisé ses liens avec les officiers militaires pendant son expérience à Gâvre. Dans notre thèse, nous utiliserons le parcours scientifique et institutionnel de J. Kampé de Fériet - de sa mobilisation à Gâvre (1915) à l’année de sa démission de la direction de l’IMFL (1945) - en tant que prisme pour répondre à des questions plus générales concernant la mécanique des fluides en France pendant la première moitié du XXe siècle, dont certaines, mais pas toutes, apportent des éléments nouveaux qui sont communs à la balistique et aux autres domaines des mathématiques appliquées. / Joseph Kampé de Fériet (1893-1982), a French mathematician of Lille, was an international specialist in fluid mechanics and was director of the Institut de mécanique des fluides de Lille (IMFL) from its creation in 1929. By familiarizing himself with this field and by addressing questions of an experimental nature through his work on ballistics, during his scientific wartime service to the Gâvre Commission (1915-1919), this scientist played a triple role in the institute. As a mathematician, he made a remarkable contribution to Taylor-von Kármán's statistical theory of turbulence using the theory of random functions due to Kolmogorov, Khintchine, and Slutsky. As an experimental scientist, he took part in the experimental work of the IMFL aiming on one hand to study atmospheric turbulence and, on the other hand, to validate the ideas of the school of Philippe Wehrle and Georges Dedebant. This school was formed within the Atmospheric Turbulence Commission, created by the Minister of Air in 1935. Finally, as director of the institute, he strengthened links with industry and society in Lille, in the same way that he reinforced links with military officers during his work in Gâvre.In our thesis, we will use the scientific and institutional career path of J. Kampé de Fériet – from his service at Gâvre (1915) up until the year of his resignation as director of the IMFL (1945) - as a prism by which we will answer further questions of a more general nature regarding fluid mechanics in France during the first half of the twentieth century. Some but not all of these considerations bring to light new elements that are common to ballistics and to other areas of applied mathematics.

Cette étude comporte deux objectifs principaux. Le premier est de contribuer à l'évaluation des deux approches, empirique et conceptuelle, de modélisation du transport de polluants diffus d'origine agricole quant à leur capacité à représenter l'évolution temporelle des concentrations et des flux des matières en suspension, des nitrates et du phosphore, à l'exutoire d'un petit bassin versant agricole. Nous avons validé deux modèles représentatifs de chacune des approches ; le premier modèle est inspiré des modèles CREAMS et SWRRB et le deuxième est modèle le HSPF. Le deuxième objectif est d'analyser l'utilité des modèles mathématiques dans la gestion de la pollution diffuse d'origine agricole et ceci par rapport à cinq critères de décision auxquels sont confrontés les gestionnaires : (1) estimation des flux polluants, (2) évaluation du risque de dépassement d'une concentration, (3) description de mécanismes de transport de polluants , (4) détermination et quantification des sources de polluants et (5) évaluation de l'impact sur la qualité de l'eau des changements des pratiques agricoles. La première partie de ce mémoire décrit les enjeux de la pollution diffuse d'origine agricole, analyse les phases du processus de gestion de la qualité de l'eau dans les bassins versants agricoles et situe les diverses méthodologies d'aide à la gestion dans les différentes étapes de ce processus. On met en évidence de quelle manière la modélisation peut apporter une aide aux gestionnaires et aux décideurs. Elle comporte également une description des différentes étapes de la mise en oeuvre d'un modèle et une analyse des principaux problèmes extrinsèques aux modèles qui limitent leur application par les gestionnaires. La deuxième partie décrit les mécanismes mis en jeu dans le transport de polluants d'origine diffuse et les principales approches de modélisation de chaque processus individuel par cycle : l'eau, l'érosion, l'azote puis le phosphore. Enfin nous présentons les principaux modèles mathématiques de simulation du transport des polluants agricoles en les classant, en mettant en évidence leurs avantages et leurs inconvénients, et en précisant leur domaine d'application. La troisième partie présente la démarche de modélisation suivie, les modèles mathématiques utilisés et les résultats obtenus individuellement pour chacun des modèles pour le bassin versant de l'Orgeval (à Mélarchez). Finalement, nous présentons les résultats de nos réflexions sur l'utilité des modèles mathématiques dans la gestion de bassins agricoles afin d'évaluer le réel intérêt d'une telle démarche dans la résolution des problèmes concrets qui sont posés aux gestionnaires. Considérés comme outils de simulation des concentrations ou des débits à l'exutoire, ces modèles sont trop complexes par rapport à l'information disponible dans les données ce qui conduit à une sous-détermination des paramètres. De plus, l'évolution temporelle des concentrations de polluants à l'exutoire est en général mal représentée notamment lors les événements à fortes concentrations. Considérés comme outils de gestion, ces modèles ne sont guère plus performant dans l'estimation des flux polluants à l'exutoire que des modèles plus simples. Par ailleurs, ces modèles pourraient en principe simuler l'évolution d'autres variables d'état (e.g., stock d'azote du sol) ou simuler l'impact de changements des pratiques agricoles sur la qualité de l'eau tels que les modifications des surfaces cultivées ou de la rotation de différentes espèces végétales ou des changements dans la quantité ou dans le mode d'apport de fertilisants. Pour cela ils devraient être validés sur leur réalisme physique, c'est-à-dire, sur leur capacité de décrire fidèlement les processus essentiels responsables de la dynamique de polluants dans le bassin versant. Cependant, comme ils ne sont jamais validés sur cette propriété et comme aucune mesure à l'intérieur du bassin ne permet de justifier a priori la validité de la représentation, on ne peut encore raisonnablement leur accorder confiance pour la prise de décision en matière de gestion.

Cette thèse contient quatre contributions indépendantes a la mécanique aléatoire: 1) une contribution aux suites à discrépance faible afin d'accélérer la convergence des algorithmes de type Monte-Carlo ; 2) l'homogénéisation des matériaux élastiques à microstructure aléatoire : on définit rigoureusement les tenseurs élastiques macroscopiques, on donne une méthode de simulation pour les calculer, enfin cette méthode est mise en oeuvre sur un matériau fictif ; 3) la fatigue à grand nombre de cycles des métaux polycristallins : on établit un nouveau critère d'endurance pour tous les chargements périodiques ; ce critère est susceptible de modéliser l'aspect aléatoire de la rupture ; 4) l'analyse de la simulation en calcul a 1 rupture probabiliste des structures discrètes : on montre notamment que l'approche par les vitesses est adaptée quand on a à effectuer une simulation et que l'algorithme du simplexe peut être utilisé.

L’apprentissage automatique repose pour un bon nombre de problèmes sur la minimisation d’une fonction de coût, pour ce faire il tire parti de la vaste littérature sur l’optimisation qui fournit des algorithmes et des garanties de convergences pour ce type de problèmes. Cependant récemment plusieurs modèles d’apprentissage automatique qui ne peuvent pas être formulé comme la minimisation d’un coût unique ont été propose, à la place ils nécessitent de définir un jeu entre plusieurs joueurs qui ont chaque leur propre objectif. Un de ces modèles sont les réseaux antagonistes génératifs (GANs). Ce modèle génératif formule un jeu entre deux réseaux de neurones, un générateur et un discriminateur, en essayant de tromper le discriminateur qui essaye de distinguer les vraies images des fausses, le générateur et le discriminateur s’améliore résultant en un équilibre de Nash, ou les images produites par le générateur sont indistinguable des vraies images. Malgré leur succès les GANs restent difficiles à entrainer à cause de la nature antagoniste du jeu, nécessitant de choisir les bons hyperparamètres et résultant souvent en une dynamique d’entrainement instable. Plusieurs techniques de régularisations ont été propose afin de stabiliser l’entrainement, dans cette thèse nous abordons ces instabilités sous l’angle d’un problème d’optimisation. Nous commençons par combler le fossé entre la littérature d’optimisation et les GANs, pour ce faire nous formulons GANs comme un problème d’inéquation variationnelle, et proposons de la littérature sur le sujet pour proposer des algorithmes qui convergent plus rapidement. Afin de mieux comprendre quels sont les défis de l’optimisation des jeux, nous proposons plusieurs outils afin d’analyser le paysage d’optimisation des GANs. En utilisant ces outils, nous montrons que des composantes rotationnelles sont présentes dans le voisinage des équilibres, nous observons également que les GANs convergent rarement vers un équilibre de Nash mais converge plutôt vers des équilibres stables locaux (LSSP). Inspirer par le succès des GANs nous proposons pour finir, une nouvelle famille de jeux que nous appelons adversarial example games qui consiste à entrainer simultanément un générateur et un critique, le générateur cherchant à perturber les exemples afin d’induire en erreur le critique, le critique cherchant à être robuste aux perturbations. Nous montrons qu’à l’équilibre de ce jeu, le générateur est capable de générer des perturbations qui transfèrent à toute une famille de modèles. / Many machine learning (ML) problems can be formulated as minimization problems, with a large optimization literature that provides algorithms and guarantees to solve this type of problems. However, recently some ML problems have been proposed that cannot be formulated as minimization problems but instead require to define a game between several players where each player has a different objective. A successful application of such games in ML are generative adversarial networks (GANs), where generative modeling is formulated as a game between a generator and a discriminator, where the goal of the generator is to fool the discriminator, while the discriminator tries to distinguish between fake and real samples. However due to the adversarial nature of the game, GANs are notoriously hard to train, requiring careful fine-tuning of the hyper-parameters and leading to unstable training. While regularization techniques have been proposed to stabilize training, we propose in this thesis to look at these instabilities from an optimization perspective. We start by bridging the gap between the machine learning and optimization literature by casting GANs as an instance of the Variational Inequality Problem (VIP), and leverage the large literature on VIP to derive more efficient and stable algorithms to train GANs. To better understand what are the challenges of training GANs, we then propose tools to study the optimization landscape of GANs. Using these tools we show that GANs do suffer from rotation around their equilibrium, and that they do not converge to Nash-Equilibria. Finally inspired by the success of GANs to generate images, we propose a new type of games called Adversarial Example Games that are able to generate adversarial examples that transfer across different models and architectures.

Ce mémoire présente une méthode de reconstruction de la surface d’un pare-brise à partir d’une image observée au travers de celui-ci. Cette image est déformée, car les rayons lumineux traversant le pare-brise subissent deux réfractions : une de chaque côté du verre. La déformation de l’image est dépendante de la forme du pare-brise, c’est donc cette donnée qui est utilisée pour résoudre le problème. La première étape est la construction d’un champ de vecteurs dans l’espace ambiant à partir des déviations des rayons lumineux passant par le pare-brise. Elle repose sur la loi de la réfraction de Snell-Descartes et sur des hypothèses simplificatrices au sujet de la courbure et de l’épaisseur du pare-brise. Le vecteur en un point de ce champ correspond à une prédiction du vecteur normal à la surface, sous l’hypothèse que celle-ci passe par le point en question. La deuxième étape est de trouver une surface compatible avec le champ de vecteurs obtenu. Pour y arriver, on formule un problème de minimisation où la donnée minimisée est la différence entre les vecteurs normaux à la surface et ceux construits à partir des mesures du système d’inspection. Il en résulte une équation d’Euler-Lagrange non linéaire à laquelle on impose des conditions de Dirichlet. Le graphe de la solution à ce problème est alors la surface recherchée. La troisième étape est une méthode de point fixe pour résoudre l’équation d’Euler-Lagrange. Elle donne une suite d’équations de Poisson linéaires dont la limite des solutions respecte l’équation non linéaire étudiée. On utilise le théorème du point fixe de Banach pour obtenir des conditions suffisantes d’existence et d’unicité de la solution, qui sont aussi des conditions suffisantes pour lesquelles la méthode de point fixe converge. / This Master’s thesis presents a method for the reconstruction of a windshield surface using an image observed through it. This image is distorted because the light rays passing through the windshield undergo two refractions : one on each side of the glass. The distortion depends on the windshield shape and therefore this data is used to solve the problem. The first step is the construction of a vector field in the ambient space, from the deviations of the light rays passing through the windshield. This step relies on the Snell-Descartes refraction law and on simplifying assumptions regarding the curvature and thickness of a windshield. A vector at a point of this field corresponds to a prediction of the surface normal vector at this point, under the hypothesis that this point lies on the surface. The second step is to find a surface that is compatible with the obtained vector field. For this purpose, a minimisation problem is formulated for which the minimized variable is the difference between the surface normal vector and the one deduced from the system’s measurements. This leads to a nonlinear Euler- Lagrange equation for which the Dirichlet boundary conditions are imposed. The graph of the solution is the desired surface. The third step is a fixed-point method to solve the Euler- Lagrange equation. At the center of this method is a sequence of linear Poisson equations, each giving an approximating solution. It is shown that the limit of this sequence of solutions respects the original nonlinear equation. The Banach fixed-point theorem is used to get sufficient existence and uniqueness conditions, that are also sufficient conditions under which the proposed fixed-point method converges.

Ce mémoire est composé de deux articles qui ont pour but commun de lever le voile et de compléter le schéma d’Askey des q–polynômes orthogonaux dans la limite q = −1. L’objectif est donc de trouver toutes les familles de polynômes orthogonaux dans la limite −1, de caractériser ces familles et de les connecter aux autres familles de polynômes orthogonaux −1 déjà introduites. Dans le premier article, une méthode basée sur la prise de limites dans les relations de récurrence est présentée. En utilisant cette méthode, plusieurs nouvelles familles de polynômes orthogonaux sur des intervals continus sont introduites et un schéma est construit reliant toutes ces familles de polynômes −1. Dans le second article, un ensemble de polynômes, orthogonaux sur l’agencement de quatre grilles linéaires, nommé les polynômes de para-Bannai-Ito est introduit. Cette famille de polynômes complète ainsi la liste des parapolynômes. / This master thesis contains two articles with the common goal of unveiling and completing the Askey scheme of q–orthogonal polynomials in the q = −1 limit. The main objective is to find and characterize new families of -1 orthogonal polynomials and connect them to other already known families. In the first article, a method based on applying limits in recurrence relations is presented. This method is used to find many new families of polynomials orthogonal with respect to continuous measure. A −1 scheme containing them is constructed and a compendium containing the properties of all such families is included. In the second article, a new set of polynomials named the para–Bannai–Ito polynomials is introduced. This new set, orthogonal on a linear quadri–lattice, completes the list of parapolynomials, but it is also a step toward the finalization of the -1 scheme of polynomials orthogonal on finite grids.

Les outils de programmation sont des programmes informatiques qui aident les humains à programmer des ordinateurs. Les outils sont de toutes formes et tailles, par exemple les éditeurs, les compilateurs, les débogueurs et les profileurs. Chacun de ces outils facilite une tâche principale dans le flux de travail de programmation qui consomme des ressources cognitives lorsqu’il est effectué manuellement. Dans cette thèse, nous explorons plusieurs outils qui facilitent le processus de construction de systèmes intelligents et qui réduisent l’effort cognitif requis pour concevoir, développer, tester et déployer des systèmes logiciels intelligents. Tout d’abord, nous introduisons un environnement de développement intégré (EDI) pour la programmation d’applications Robot Operating System (ROS), appelé Hatchery (Chapter 2). Deuxièmement, nous décrivons Kotlin∇, un système de langage et de type pour la programmation différenciable, un paradigme émergent dans l’apprentissage automatique (Chapter 3). Troisièmement, nous proposons un nouvel algorithme pour tester automatiquement les programmes différenciables, en nous inspirant des techniques de tests contradictoires et métamorphiques (Chapter 4), et démontrons son efficacité empirique dans le cadre de la régression. Quatrièmement, nous explorons une infrastructure de conteneurs basée sur Docker, qui permet un déploiement reproductible des applications ROS sur la plateforme Duckietown (Chapter 5). Enfin, nous réfléchissons à l’état actuel des outils de programmation pour ces applications et spéculons à quoi pourrait ressembler la programmation de systèmes intelligents à l’avenir (Chapter 6). / Programming tools are computer programs which help humans program computers. Tools come in all shapes and forms, from editors and compilers to debuggers and profilers. Each of these tools facilitates a core task in the programming workflow which consumes cognitive resources when performed manually. In this thesis, we explore several tools that facilitate the process of building intelligent systems, and which reduce the cognitive effort required to design, develop, test and deploy intelligent software systems. First, we introduce an integrated development environment (IDE) for programming Robot Operating System (ROS) applications, called Hatchery (Chapter 2). Second, we describe Kotlin∇, a language and type system for differentiable programming, an emerging paradigm in machine learning (Chapter 3). Third, we propose a new algorithm for automatically testing differentiable programs, drawing inspiration from techniques in adversarial and metamorphic testing (Chapter 4), and demonstrate its empirical efficiency in the regression setting. Fourth, we explore a container infrastructure based on Docker, which enables reproducible deployment of ROS applications on the Duckietown platform (Chapter 5). Finally, we reflect on the current state of programming tools for these applications and speculate what intelligent systems programming might look like in the future (Chapter 6).