Bilingual fourth graders’ math stories were collected to explore their math identities. Students expressed identities of powerfulness and powerlessness and identified the key resources they need in order to feel like successful mathematicians. These resources included collaboration, manipulatives, their native language, and the support of family. Implications and suggestions for educators are discussed. / text

Le manuscrit est constitué de deux parties indépendantes.Propriétés des Solutions de Viscosité des Equations Integro-Différentielles.Nous considérons des équations intégro-différentielles elliptiques et paraboliques non-linéaires (EID), où les termes non-locaux sont associés à des processus de Lévy. Ce travail est motivé par l'étude du Comportement en temps long des solutions de viscosité des EID, dans le cas périodique. Le résultat classique nous dit que la solution u(¢, t ) du problème de Dirichlet pour EID se comporte comme ?t Åv(x)Åo(1) quand t !1, où v est la solution du problème ergodique stationaire qui correspond à une unique constante ergodique ?.En général, l'étude du comportement asymptotique est basé sur deux arguments: la régularité de solutions et le principe de maximumfort.Dans un premier temps, nous étudions le Principe de Maximum Fort pour les solutions de viscosité semicontinues des équations intégro-différentielles non-linéaires. Nous l'utilisons ensuite pour déduire un résultat de comparaison fort entre sous et sur-solutions des équations intégro-différentielles, qui va assurer l'unicité des solutions du problème ergodique à une constante additive près. De plus, pour des équationssuper-quadratiques le principe de maximum fort et en conséquence le comportement en temps grand exige la régularité Lipschitzienne.Dans une deuxième partie, nous établissons de nouvelles estimations Hölderiennes et Lipschitziennes pour les solutions de viscosité d'une large classe d'équations intégro-différentielles non-linéaires, par la méthode classique de Ishii-Lions. Les résultats de régularité aident de plus à la résolution du problème ergodique et sont utilisés pour fournir existence des solutions périodiques des EID.Nos résultats s'appliquent à une nouvelle classe d'équations non-locales que nous appelons équations intégro-différentielles mixtes. Ces équations sont particulièrement intéressantes, car elles sont dégénérées à la fois dans le terme local et non-local, mais leur comportement global est conduit par l'interaction locale - non-locale, par exemple la diffusion fractionnaire peut donner l'ellipticité dans une direction et la diffusion classique dans la direction orthogonale.Visualisation et Restauration d'Images par Mouvements de CourbureLe rôle de la courbure dans la perception visuelle remonte à 1954, et on le doit à Attneave. Des arguments neurologiques expliquent que le cerveau humain ne pourrait pas possiblement utiliser toutes les informations fournies par des états de simulation. Mais en réalité on enregistre des régions où la couleur change brusquement (des contours) et en outre les angles et les extremas de courbure. Pourtant, un calcul direct de courbures sur une image est impossible. Nous montrons comment les courbures peuvent être précisément évaluées, à résolution sous-pixelique par un calcul sur les lignes de niveau après leur lissage indépendant.Pour cela, nous construisons un algorithme que nous appelons Level Lines (Affine) Shortening, simulant une évolution sous-pixelique d'une image par mouvement de courbure moyenne ou affine. Aussi bien dans le cadre analytique que numérique, LLS (respectivement LLAS) extrait toutes les lignes de niveau d'une image, lisse indépendamment et simultanément toutes ces lignes de niveau par Curve Shortening(CS) (respectivement Affine Shortening (AS)) et reconstruit une nouvelle image. Nousmontrons que LL(A)S calcule explicitement une solution de viscosité pour le le Mouvement de Courbure Moyenne (respectivement Mouvement par Courbure Affine), ce qui donne une équivalence avec le mouvement géométrique.Basé sur le raccourcissement de lignes de niveau simultané, nous fournissons un outil de visualisation précis des courbures d'une image, que nous appelons un Microscope de Courbure d'Image. En tant que application, nous donnons quelques exemples explicatifs de visualisation et restauration d'image : du bruit, des artefacts JPEG, de l'aliasing seront atténués par un mouvement de courbure sous-pixelique

Nous explicitons la cohomologie d'André-Quillen des algèbres sur une opérade à l'aide de la dualité de Koszul des opérades. Cette cohomologie est représentée par le complexe cotangent. Nous donnons des critères assurant que cette cohomologie s'écrit en termes de foncteur Ext. En particulier, c'est le cas des algèbres sur des opérades cofibrantes, ce qui fournit une nouvelle propriété de stabilité homotopique de ces algèbres. Nous généralisons ensuite la dualité de Koszul des algèbres associatives dans deux directions indépendantes. D'un côté, nous étendons la dualité de Koszul aux opérades non nécessairement augmentées de façon à étudier les algèbres unitaires. La notion de courbure apparaît pour coder le défaut d'augmentation. Nous obtenons ainsi les théories homotopiques et cohomologiques des algèbres associatives unitaires ou des algèbres de Frobenius avec unité et counité. Nous détaillons le cas des algèbres associatives unitaires. D'un autre côté, nous généralisons la dualité de Koszul aux algèbres sur une opérade. Nous montrons pour cela que le complexe cotangent est la bonne généralisation du complexe de Koszul.

Le domaine de cette thèse est la théorie des modèles, une branche de la logique mathématique.Ce travail porte sur l'étude d'une classe de théories, appelés théories NIP, qui inclut en particulier des corps ordonnés et corps valués. On y étudie plusieurs aspects. Tout d'abord, on définit une classe particulière de mesures sur ces structures, appelées "mesures génériquement stables". On montre qu'elles ont des propriétés analogues aux types dans une théorie stable, puis on donne des constructions pour en produire. On étudie aussi une forme faible de définissabilité des types. Enfin, on définit une notion de théories NIP "purement instable" et on montre comment on peut, dans le cas général, détecter des parties stables de types.

L'objet de ce travail est l'utilisation de certains formalismes non classiques (analyses non standard, analyses constructives) afin de proposer des bases théoriques nouvelles autour des problèmes de discrétisations d'objets continus. Ceci est fait en utilisant un modèle discret du système des nombres réels appelé droite d'Harthong-Reeb ainsi que la méthode arithmétisation associée qui est un processus de discrétisation des fonctions continues. Cette étude repose sur un cadre arithmétique non standard. Dans un premier temps, nous utilisons une version axiomatique de l'arithmétique non standard. Puis, dans le but d'améliorer le contenu constructif de notre méthode, nous utilisons une autre approche de l'arithmétique non standard découlant de la théorie des Ω-nombres de Laugwitz et Schmieden. Cette seconde approche amène à une représentation discrète et multi-résolution de fonctions continues.Finalement, nous étudions dans quelles mesures, la droite d'Harthong-Reeb satisfait les axiomes de Bridges décrivant le continu constructif.

Le sujet de cette thèse est l'étude du spectre de l'opérateur de Koiter pour des coques minces en fonction de leur épaisseur. On se restreint au cas de coques minces axisymétriques et encastrées. L'opérateur de Koiter se décompose en un opérateur de membrane indépendant de l'épaisseur et un opérateur de flexion. Le spectre de l'opérateur de Koiter est discret alors que celui de la membrane contient du spectre essentiel. En utilisant la symétrie axiale du problème, on décompose les opérateurs en fonction de la fréquence angulaire k. Dans une démarche constructive, on cherche les solutions du problème aux valeurs propres comme séries formelles en puissances inverses de k. On obtient alors un théorème de réduction formelle général ramenant le problème à l'étude d'un problème scalaire. On s'intéresse ensuite au cas d'une coque cylindrique et on exhibe une famille de quasimodes correspondant aux plus petites valeurs propres. Lorsque l'on rajoute l'opérateur de flexion, on sélectionne alors un mode k dépendant de l'épaisseur et il apparaît des couches limites. On exhibe également des quasimodes dans ce régime. Des simulations numériques à l'aide de la librairie d'éléments finis Melina pour l'opérateur de membrane et pour le modèle sous-jacent de Lamé ont justifié nos résultats théoriques.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la série principale unitaire de certains groupes de Lie semi-simples, du point de vue de la géométrie non-commutative. Pour une famille de sous-groupes paraboliques minimaux de composante de Levi L fixée, nous décrivons la famille des représentations de la série principale unitaire associées au moyen de C*-modules sur C*(L). Cette construction s'inspire de celle des modules d'induction de M. A. Rieffel et nous proposons plusieurs modèles pour les C*-modules obtenus, qui reflètent à ce niveau global les réalisations classiques des représentations de la série principale. En rang réel 1, nous caractérisons certains opérateurs bornés sur ces modules, obtenant ainsi un résultat d'irréductibilité analogue à celui de F. Bruhat dans le cas classique. Nous démontrons ensuite la convergence, sur des sous-modules, d'intégrales d'entrelacement analogues à celles définissant les opérateurs de Knapp et Stein. Ces intégrales peuvent être décomposées en somme d'un opérateur densément défini et vraisemblablement borné, d'un opérateur densément défini et d'un terme résiduel, étudiés séparément. Nous indiquons enfin, dans certains cas particuliers, une procédure de normalisation aboutissant à la construction d'opérateurs d'entrelacement unitaires entre C*-modules. Ces opérateurs manifestent l'action du groupe de Weyl régissant les équivalences entre représentations de la série principale au niveau de la C*-algèbre réduite du groupe.

Nous nous intéressons dans ce travail à la dynamique des opérateurs de Schrödinger unidimensionnels, discrets, associés à un potentiel sturmien quasi-périodique. Le résultat principal de cette thèse est une borne supérieure pour les exposants de transport qui mesurent la vitesse de propagation du système. Cette borne, valide pour presque tous les potentiels sturmiens, est sous balistique pour une force de couplage suffisante. La validité de la borne est couplée à une condition diophantienne liée au nombre irrationnel qui définit le potentiel. Cette condition est vraie presque sûrement. Nous exhibons par ailleurs un exemple d'irrationnel pour lequel une borne supérieure sous balistique est impossible indépendamment de la force de couplage. Nous faisons l'étude de la dimension fractale du spectre de l'opérateur qui minore sous certaines conditions les exposants de transport. Nous obtenons une nouvelle borne inférieure pour la dimension de boîte du spectre grâce aux propriétés connues sur la forme du pseudo spectre. Les restrictions pour obtenir une borne dynamique à partir de notre résultat sont d'avoir une condition initiale cyclique standard et que le potentiel soit associé à un irrationnel à densité bornée. Enfin dans la dernière partie de ce travail, nous démontrons que le spectre de l'opérateur associé au nombre d'argent ß = [2, 2, . . . ] possède une structure hyperbolique. L'expression du pseudo spectre peut être vu comme un système dynamique. Nous conjuguons ledit système à une dynamique symbolique abstraite selon la méthode dite des partitions de Markov. Le système se comporte comme un fer à cheval de Smale. Nous dérivons de l'hyperbolicité des propriétés pour les dimensions fractales du spectre. Dimensions dont l'attrait dynamique a été rappelé dans la partie précédente. Nous déduisons notamment l'égalité des dimensions de Hausdorff et de boîte pour cet opérateur.

Suivant les applications considérées et le nombre de degrés de liberté à envisager, il est étudié deux grandes classes de systèmes. La première classe de systèmes est décrite par des équations non-linéaires aux dérivées ordinaires. Les contrôles correspondants ont été envisagés avec une dynamique mixte discrète/continue, dites hybrides. Ils permettent de stabiliser des systèmes non-linéaires avec une robustesse, et une certaine optimalité. La seconde classe de systèmes concerne ceux à paramètres distribués. Des résultats ont concerné plus particulièrement le contrôle ou la stabilisation de structures flexibles, ainsi que la stabilisation robuste de l'écoulement de l'eau dans un réseau de canaux.

Ce manuscrit présente une synthèse de mes travaux de recherche effectués au sein de l'IRMAR depuis mon arrivée à l'université de Rennes 1 en 2004. Il tente de dégager les idées directrices qui sous-tendent cette recherche, portant sur l'étude des singularités des germes de fonctions réelles à travers des relations d'équivalence après résolution des singularités, tout en se permettant à l'occasion de rentrer dans quelques détails en vue d'illustrer les méthodes utilisées.