Ce mémoire est centré sur l'étude des coefficients de corrélation partiels en régression linéaire multiple, à travers les tests de permutation. Ces tests sont nécessaires lorsque les suppositions du modèle linéaire ne sont pas verifiées, et l'application des tests classiques est erronnée. On présente les bases théoriques de trois méthodes de la littérature, Manly (1991), Freedman et Lane (1983) et Kennedy (1995), et on fait une étude de simulation afin de les comparer. On ajoute aux comparaisons le test paramétrique, ainsi qu'une méthode qu'on propose. On regarde l'erreur de type I et la puissance de ces tests. Un dernier volet du mémoire est la présentation des tests de Mantel (1967) et Smoose et al. (1986) qui sont des généralisations de ces méthodes de permutation pour la régression multiple à des matrices de distances. A titre d'exemple, ces différentes techniques de permutation sont appliquées sur des matrices de distances génétiques en relation avec des distances environnementales et des distances géographiques. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Échangeabilité, Test de permutation, Test de Mantel, Test de Mantel partiel, Régression multiple, Corrélation partielle, Résidus.

Ce travail étudie les difficultés éprouvées par les étudiants en formation initiale à passer du statut détudiant universitaire à celui de professeur du secondaire. En analysant leurs pratiques et leurs discours à propos de lenseignement de la dérivée et du critère de croissance, nous montrerons comment ils adoptent spontanément des pratiques dostension déguisée pour pallier labsence de discours technologique, cest-à-dire de discours rationnel et justificatif. Sur base dune analyse spécifique du thème mathématique concerné, nous caractériserons deux niveaux de rationalité. Le premier correspond à la modélisation mathématique dun système intra ou extra-mathématique formé dobjets mentaux (ici, la détermination de grandeurs), et le second concerne un travail dorganisation déductive du modèle ainsi créé (ici, lanalyse réelle) et de ses propriétés. A ces deux niveaux de rationalité peuvent alors être associés des niveaux de discours qui leur sont spécifiques et qui nous serviront à analyser les pratiques et discours des élèves-professeurs. En confrontant les élèves-professeurs à des projets denseignement relevant de ces différents niveaux, nous mettrons alors en évidence comment labsence didentification du premier niveau, commea limpossibilité à comprendre le milieu effectivement proposé aux élèves, amène les élèves-professeurs à mettre en place un discours hybride tentant de faire cohabiter des arguments de nature visuelle sur les objets mentaux avec des énoncés directement extraits de la théorie. Nous en dégagerons des perspectives concernant lenseignement du thème mathématique choisi, mais aussi les enjeux de la formation initiale et de la recherche en didactique sur cette formation.

En bioinformatique, un des problèmes très étudiés est la reconstitution des événements évolutifs qui transforment un génome A en un autre génome B. L'ordre des gènes dans les génomes est souvent modélisé par des permutations signées. Dans ce travail, nous définissons des liens entre le problème de tri des permutations signées par inversions et la conservation des structures combinatoires communes aux génomes à comparer. En utilisant les arbres des intervalles forts (Bergeron et al. (3)), nous démontrons que même si le calcul d'un scénario parfait et parcimonieux est difficile (Figeac et Varré (11)), il peut se faire d'une façon efficace pour une grande classe de permutations. Nous avons appliqué ces résultats à la comparaison des chromosomes X de l'humain, de la souris et du rat, basée sur les données de l'article de Gibbs et al. (12). ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Génomique comparée, Scénarios d'évolution, Tri par inversions, Intervalles communs.

Le présent mémoire est une synthèse de quelques-uns des principaux résultats d'auteurs tels que Burstein, Corteel, Steingrimsson, Viennot et Williams traitant des tableaux de permutation et des tableaux-vidés. Ceux-ci sont des diagrammes dits de Ferrer remplis de 1 et de 0 selon certaines contraintes. Comme on le montrera, l'ensemble des tableaux de permutation et l'ensemble des tableaux-vidés sont en bijection avec l'ensemble des permutations. On introduit un algorithme mettant en évidence une bijection directe entre tableaux de permutation et tableaux-vidés. Ceci répond à une question apparemment ouverte de Burstein. On présente ensuite comment traduire plusieurs statistiques sur les permutations (nombre de croisements, d'alignements, de certains motifs, etc) dans le contexte des tableaux de permutation et des tableaux-vidés. Le principal résultat combinatoire sur les tableaux de permutation est une expression polynomiale donnant la distribution complète d'un motif de permutation de longueur supérieure à 2. On termine par une étude d'un sous-ensemble des tableaux de permutation: l'ensemble des tableaux de Catalan. Les tableaux de permutation et les tableaux de Catalan apparaissent naturellement, en liaison avec les problèmes de la mécanique statistique, notamment dans l'étude des modèles « Partially Asymmetric Exclusion Model »(PASEP) et « Totally Asymmetric Exclusion Model »(TASEP). Ils permettent de déterminer les probabilités stationnaires de particules en mouvement. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Tableau de permutation, Tableau-vidé, Permutation, Tableau de Catalan, PASEP.

Dans ce travail, nous nous intéressons dans la première partie, constituée de cinq chapitres, aux mots de Yamanouchi et dans la deuxième partie, constituée d'un seul chapitre, aux permutations connexes et aux hypercartes pointées. Dans le premier chapitre, nous donnerons un résumé des résultats connus et utilisés dans cette thèse. Dans le chapitre 2, nous généraliserons l'expression donnant read(t) et row(t) pour t un tableau de Young standard aux tableaux gauches standards où read(t) et row(t) sont deux mots associés au tableau t. Nous donnerons une interprétation géométrique pour les standardisations à gauche et à droite d'un mot quelconque. Ensuite, nous utiliserons les arrangements de van Leeuwen pour donner une preuve naturelle à tous les résultats de ce chapitre. Nous définirons les paires de mots de Yamanouchi indécomposables ct nous montrerons qu'elles sont en bijection avec les permutations connexes. Dans le chapitre 3, nous élaborerons des algorithmes sur les mots de Yamanouchi qui sont en bijection avec les tableaux de Young standards. Ces algorithmes simileront les algorithmes connus sur les tableaux à savoir : la transposition, les glissements du jeu taquin de Schützenberger, l'évacuation et la correspondance de Schensted. Dans le chapitre 4, nous élaborerons un algorithme de redressement d'un mot qui n'est pas un mot de Yamanouchi. Cet algorithme similera l'algorithme connu de redressement d'un tableau gauche standard en un tableau de Young standard par une suite de glissements du jeu de taquin de Schützenberger. Nous montrerons que le mot de Yamanouchi obtenu par cet algorithme est identique au mot de Yamanouchi obtenu par un algorithme de Robinson. Nous généraliserons le résultat de van Leeuwen donnant le lien entre la correspondance de Robinson, entre les permutations et les paires de mots de Yamanouchi, et celle de Schensted, entre les permutations et les paires de tableaux de Young standards, des permutations aux mots arbitraires. Nous utiliserons le résultat obtenu pour donner une réponse à une question posée par Thomas. Nous utiliserons l'algorithme de Robinson pour donner une expression à l'évacué d'un mot de Yamanouchi. Nous utiliserons l'algorithme de redressement pour donner une nouvelle formule à la correspondance de Schensted. Dans le chapitre 5, nous poserons une nouvelle conjecture ayant un lien étroit avec une conjecture de Schützenberger qui concerne son opération d'évacuation d'un tableau de Young standard et avec la correspondance de Schensted. Nous montrerons que cette nouvelle conjecture implique celle de Schützenberger. Nous donnerons une solution pour cette nouvelle conjecture dans le cas particulier des tableaux ayant seulement deux lignes. Dans le dernier chapitre, nous utiliserons les formules de Dumont et Kreweras, qui ont étudié une famille particulière de fractions continues liée à la série hypergéométrique, pour donner une nouvelle preuve aux formules donnant les permutations connexes selon leur nombre et aussi selon leur nombre de cycles. Nous établirons deux nouvelles formules pour les permutations connexes. Nous montrerons que le résultat de Sillke et celui de Dumont et Kreweras sont équivalents ensuite nous généraliserons chacun des deux résultats en passant au type cyclique au lieu du nombre de cycles. Nous généraliserons une formule donnée par Cori qui concerne les hypercartes étiquetées à n points. Nous donnons une expression à chacune des deux séries formelles donnant le nombre des permutations selon leur type cyclique et aussi le nombre des permutations connexes selon leur type cyclique. Finalement, nous donnerons le nombre de sous-groupes normaux d'indice n dans le groupe libre à deux générateurs pour n un entier premier. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Tableaux de Young standards, tableaux gauches standards, mots de Yamanouchi, standardisation à gauche et à droite, transposition, glissements du jeu taquin de Schützenberger, évacuation, redressement d'un tableau gauche standard, correspondance de Schensted, correspondance de Robinson, relations de Knuth, monoïde palxique, permutations connexes, hypercartes pointées, sous-groupes du groupe libre à deux générateurs.

Ce travail de thèse, réalisé à l'Institut Mathématiques de Bordeaux (IMB) de 2010 à 2015 sous la direction de Thierry Colin et Olivier Saut, décrit la création et le développement progressif d'un ensemble de théories, de techniques et d'outils liant l'imagerie médicale aux mathématiques appliquées dans le but d'envisager leur application clinique à courte échéance en oncologie. Cette thèse a tout d'abord consisté à optimiser les modèles spatiaux de croissance tumorale développés à l'IMB incluant des éléments microscopiques et macroscopiques obtenus par analyse des informations disponibles des examens d’imagerie. Plusieurs étapes ont été réalisées permettant de mieux appréhender la modélisation in vivo. Différents organes et types tumoraux ont été explorés, en particulier au niveau du poumon, du foie, et du rein. Ces localisations ont été successivement étudiées afin d’enrichir progressivement les modèles par les réponses qu'elles apportaient et répondre ainsi à la réalité clinique. De façon concomitante, des outils ont été intégrés au fur et à mesure afin de standardiser la démarche de recueil de données et permettre d'affiner l'évaluation thérapeutique par l'imagerie à l'aide de marqueurs numériques. L'implémentation de l'imagerie fonctionnelle dans une pratique clinique est ainsi devenue une réalité. Le but est à terme d’appliquer de façon prospective ces outils d'assistance en pratique quotidienne. La modélisation a été aussi appliquée en oncologie interventionnelle par l'étude de la distribution du champ électrique lors des électroporations de prostate et bientôt du foie. Ceci permettra de mieux contrôler les zones d'ablation et ainsi améliorer la sécurité et l'efficacité de ces traitements. Tout cela a permis d'envisager des projets cliniques combinant une part exploratoire impliquant la modélisation. Ces développements et leurs perspectives sont rapportés successivement dans ce manuscrit. / This work performed at the Institute of Mathematics of Bordeaux (IMB) from 2010 to 2015 under the direction of Thierry Colin and Olivier Saut describes the creation and gradual development of a set of theories, techniques and tools linking medical imaging and applied mathematics in order to consider their clinical application in the short term in oncology. The first goal was to optimize the spatial models of tumor growth developed at the IMB including microscopic and macroscopic elements obtained by analyzing the information available on imaging explorations. Several steps were performed to better understand the in vivo modeling. Various organs and tumor types were investigated, especially in the lung, liver, and kidney. These locations were studied successively to progressively enrich the model by the answers they brought and thus respond to clinical reality. Concomitantly, tools were integrated to standardize the data collection process and help to refine the therapeutic evaluation by imaging with digital markers. The implementation of functional imaging in clinical practice has become a reality. The goal is ultimately to apply prospectively these support tools in a daily practice. Modelling was also applied in interventional oncology for the study of the electric field distribution after percutaneous irreversible electroporation in the prostate and soon in the liver. This will allow a better control of the ablation areas and thereby improve the safety and efficacy of these treatments.

La durabilité des structures en béton du génie civil est conditionnée par la diffusion d'espèces chimiques dans le réseau poreux du matériau cimentaire. C'est en particulier le cas avec le transport des ions chlore dans les bétons et avec la lixiviation et le séchage des matériaux à base de ciment. Des modélisations de ces phénomènes, basées sur la méthode des volumes finis, sont présentées dans ce travail dans le but de fournir des outils de prédiction de la dégradation des matériaux cimentaires. La dégradation chimique d'un matériau poreux est d'abord étudiée à partir d'un modèle simplifie de diffusion et de dissolution non instantanée. Des solutions analytiques correspondant à des cas limites sont comparées à celles obtenues par un schéma numérique de volumes finis. La concordance des résultats montre que cette méthode numérique simule parfaitement la progression de fronts de dissolution raides. Le modèle simplifie est ensuite étendu au cas de la lixiviation d'une pâte de ciment, permettant ainsi la restitution de résultats expérimentaux. Le transport des ions chlore est modélisé par une équation de diffusion-sorption. Le cas d'une isotherme de fixation de Freundlich conduit à un front de pénétration des chlorures, observe sur des résultats expérimentaux et une simulation numérique. Une modélisation des transferts hydriques en milieu poreux non sature est décrite dans la seconde partie et est appliquée au séchage isotherme de matériaux cimentaires faiblement perméables. La comparaison entre les résultats de cette modélisation et d'expériences de séchage sur bétons et pates de ciment permet l'identification du mode de transfert de l'humidité dans ces matériaux. Ce travail débouche sur une méthode de caractérisation de la perméabilité à l'eau des bétons faiblement perméables, paramètre difficilement accessible par les moyens d'investigation classiques.

Ce mémoire traite d'une application pratique de deux méthodes statistiques non paramétriques : le bootstrap et le test de permutation. La méthode du bootstrap a été proposée par Bradley Efron (1979) comme une alternative aux modèles mathématiques traditionnels dans des problèmes d'inférence complexe; celle-ci fournit plusieurs avantages sur les méthodes d'inférence traditionnelles. L'idée du test de permutation est apparue au début du XXème siècle dans les travaux de Neyman, Fisher et Pitman. Le test de permutation, très intensif quant au temps de calcul, est utilisé pour construire une distribution empirique de la statistique de test sous une hypothèse afin de la comparer avec la distribution de la même statistique sous l'hypothèse alternative. Notre objectif est de déterminer l'intervalle de confiance pour un estimateur à maximum de vraisemblance d'une méthode de cartographie génétique existante (MapArg, Larribe et al. 2002) et de tester la qualité de cet estimateur, c'est-à-dire d'établir des seuils de signification pour la fonction de la vraisemblance. Les deux méthodes utilisent le calcul répétitif d'une même statistique de test sur des échantillons obtenus à partir de l'échantillon initial, soit avec le «bootstrap», soit avec des permutations. Dans un test d'hypothèse, les deux méthodes sont complémentaires. Le but de ce mémoire est de proposer différentes variantes pour la construction de l'intervalle de confiance, et de tester des hypothèses distinctes, afin de trouver la meilleure solution adaptée pour la méthode MapArg. Pour faciliter la compréhension des décisions prises, un rappel de l'inférence statistique et des tests d' hypothèse est fait dans les chapitres 4 et 5 où la théorie du bootstrap et celle de test de permutation sont présentées. Comme les qualités d'un estimateur dépendent de la méthode utilisée pour le calculer, les chapitres 1 et 2 présentent la base biologique et la base en mathématiques sur lesquelles la méthode MapArg est construite, tandis qu'on trouvera dans le chapitre 3 une explication de la méthode MapArg. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Mutation, Recombinaison, Coalescence, Cartographie génétique, «Bootstrap», Test de permutation.

Dans la pratique clinique, on fait souvent appel aux études de bioéquivalence afin de comparer deux médicaments. Un premier objectif de ce mémoire est d'introduire la notion pharmacocinétique et statistique de ce type d'étude, ainsi que de définir et de présenter l'application des tests d'équivalence à travers les études de bioéquivalence. Pour réaliser l'inférence statistique des études de bioéquivalence, en pratique on utilise le test t de Student. Le second but de ce mémoire est l'utilisation du test de permutations dans le cas où les hypothèses du test paramétrique ne sont pas satisfaites. À travers une étude de simulation des données de plusieurs lois on compare la performance du test de permutations avec le test t de Student et le test de WiIcoxon pour deux échantillons. Ce dernier est le test non paramétrique utilisé dans la pratique courante des études de bioéquivalence. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Bioéquivalence, Tests d'hypothèses, Plan d'expérience croisé, Test de permutation.

Les milieux périodiques présentent des propriétés intéressantes dans un grand nombre d'applications (les cristaux photoniques en optique, les matériaux composites en mécanique,...). Dans ces applications, on rencontre souvent ces milieux présentant des défauts localisés, c'est-à-dire des milieux qui diffèrent de milieux périodiques dans des régions bornées. Il nous semble intéressant de proposer des méthodes mathématiques et numériques nouvelles spécifiques au traitement des structures périodiques de grande taille, pouvant présenter des défauts localisés. Les caractéristiques du problème rendant très souvent les méthodes d'homogénéisation inapplicables, l'idée est d'exploiter la structure particulière des milieux périodiques pour restreindre les calculs au voisinage du défaut. Nous avons donc approfondi la question de trouver des conditions aux bords parfaitement transparentes. C'est pourquoi nous avons cherché à généraliser les techniques de conditions transparentes non locales, de type Neumann-to-Dirichlet, bien établies pour les milieux homogènes à l'extérieur de la perturbation. La difficulté est que lorsque le milieu extérieur est homogène, on ne dispose plus d'une représentation explicite de la solution. Nous traitons successivement trois situations de difficulté croissante : le cas monodimensionnel qui est un cas classique mais dont l'étude a des vertus pédagogiques, le problème du guide périodique localement perturbé et le problème plus complexe du milieu périodique dans les deux dimensions. Pour chaque situation, la démarche est la même : elle consiste tout d'abord à résoudre le problème pour un milieu absorbant puis pour un milieu non absorbant par absorption limite. Nous pouvons alors montrer que les opérateurs DtN peuvent être caractérisés en utilisant la solution de problèmes de cellule locaux, l'utilisation d'outils mathématiques tels que la Transformée de Floquet-Bloch et la solution d'équations quadratiques et linéaires à valeurs et inconnus opérateurs.