Dans cette thèse on étudie différents problèmes portant sur les matroïdes et les matroïdes orientés. On s'intéresse à trois sujets particuliers : la décomposition du polytope des bases d'un matroïde, l'orientation de matroïdes et le jeu de commutation de Shannon. Plus précisément dans le chapitre 2 nous étudions une décomposition spéciale introduite par Lafforgue. Pour un matroïde M, une décomposition du polytope des bases d'un matroïde P(M) est une décomposition de la forme P(M) = St i=1 P(Mi) où chaque P(Mi) est également un polytope des bases d'un matroïde pour un certain matroïde Mi, et pour chaque 1 i 6= j t, l'intersection P(Mi) \ P(Mj) est une face de P(Mi) et de P(Mj). Dans cette thèse, nous étudions la séparation par hyperplan, autrement dit la décomposition du polytope quand t = 2. Nous donnons des conditions suffisantes sur M pour que P(M) puisse avoir une séparation par hyperplan. Nous caractérisons également les cas où P(M1 M2) a une séparation par hyperplan où M1 M2 dénote la somme directe des matroïdes M1 et M2. Nous montrons finalement que P(M) n'a pas de séparation par hyperplan si M est binaire. Dans le chapitre 3 nous étudions la classe des matroïdes orientés du réseau. Après avoir donné une caractérisation complète des matroïdes orientés du réseau en fonction de l'union de matroïdes orientés uniformes de rang un, nous montrons que cette classe est fermée par dualité et par mineurs. Nous étudions ensuite les simplexes de l'arrangement d'hyperplans découlant de matroïdes orientés du réseau. Nous présentons une caractérisation de ces simplexes et construisons un arrangement de n hyperplans en dimension d contenant O(2k(n k )k) simplexes avec n < k = bd 2 c. Nous approfondissons une question posée par Grünbaum [Grünbaum, 1971] concernant les colorations des arrangements de pseudodroites. Nous prolongeons la question de Grünbaum à des arrangements d'hyperplans et répondons par l'affirmative à cette question généralisée pour les arrangements découlants de matroïdes orientés du réseau. Dans le chapitre 4 nous nous sommes intéressés à une une version sur les matroïdes orientés du célèbre jeu de commutation de Shannon, version introduite par Y.O. Hamidoune et M.Las Vergnas[Hamidoune et Las Vergnas, 1997a] en 1986. Ils ont conjecturé que la classification du jeu de commutation sur les matroïdes orientés est identique à la classification de la version non orientée. Dans cette thèse, nous confortons cette conjecture en montrant sa validité pour la classe infinie de matroïdes orientés obtenues comme union de matroïdes orientés uniformes de rang 1 et/ou de rang 2.

Étude des règles de pivotage dans la résolution d'un certain nombre de problèmes lies aux manipulations de matrices.

Introduction. Graphes de cordes. Généralités. Diagrammes orientés. Orientations géométriques. Pseudo-tournois de cordes orientées. PL-graphes. Graphes de cordes et matroïdes binaires. Bibliographie

La notion de connexité est fondamentale en théorie des graphes. Nous proposons une étude approfondie d'un récent développement dans ce domaine, en ajoutant des contraintes de matroïdes.Dans un premier temps, nous exhibons deux opérations de réduction sur les graphes connectés avec contraintes de matroïdes. Ces opérations permettent de généraliser le théorème de caractérisation de la connectivité de Menger et le théorème de packing d'arborescences d'Edmonds.Cependant, cette extension du théorème d'Edmonds ne garantie plus que les arborescences soient couvrantes. Il a été conjecturé que l'on peut toujours trouver de telles arborescences couvrantes. Nous prouvons cette conjecture dans certains cas particuliers, notamment pour les matroïdes de rang deux et pour les matroïdes transversaux. Nous réfutons cette conjecture dans le cas général en construisant un contre-exemple à plus de 300 sommets, sur une extension parallèle du matroïde de Fano.Enfin, nous explorons d'autres notions de connexité avec contraintes de matroïdes: pour des graphes mixtes, des hypergraphes, et avec condition d'atteignabilité. / The notion of connectivity is fundamental in graph theory. We study thoroughly a recent development in this field, with the addition of matroid constraints.Firstly, we exhibit two reduction operations on connected graphs with matroid constraints. Using these operations, we generalize the Menger's theorem on connectivity and Edmond's theorem on packing of arborescences.However, this extension of Edmond's theorem does not ensure that the arborescences are spanning. It has been conjectured that one can always find such spanning arborescences. We prove this conjecture in some cases, including matroids of rank two and transversal matroids. We disprove this conjecture in the general case by providing a counter-example with more than 300 vertices, on a parallel extension of the Fano matroid.Finally, we explore other generalizations of connectivity with matroid constraints: in mixed graphs, hypergraphs and with reachability conditions.

Orienter un graphe c'est remplacer chaque arête par un arc de mêmes extrémités. On s'intéresse à la connexité du graphe orienté ainsi obtenu. L'orientation avec des contraintes d'arc-connexité est maintenant comprise en profondeur mais très peu de résultats sont connus en terme de sommet-connexité. La conjecture de Thomassen avance que les graphes suffisament sommet-connexes ont une orientation k-sommet-connexe. De plus, la conjecture de Frank propose une caractérisation des graphes qui admettent une telle orientation. Les résultats de cette thèse s'articulent autour des notions d'orientation, de packing, de connexité et de matroïde. D'abord, nous infirmons une conjecture de Recski sur la décomposition d'un graphe en arbres ayant des orientations avec degrés entrants prescrits. Nous prouvons également un nouveau résultat sur le packing d'arborescences enracinées avec contraintes de matroïdes. Ceci généralise un résultat fondamental d'Edmonds. Enfin, nous démontrons un nouveau théorème de packing sur les bases des matroïdes de dénombrement qui nous permet d'améliorez le seul résultat connu sur la conjecture de Thomassen. D'autre part, nous donnons une construction et un théorème d'augmentation pour une famille de graphes liée à la conjecture de Frank. En conclusion, nous réfutons la conjecture de Frank et prouvons que, pour tout entier k >= 3, décider si un graphe a une orientation k-sommet-connexe est un problème NP-complet. / Orienting an undirected graph means replacing each edge by an arc with the same ends. We investigate the connectivity of the resulting directed graph. Orientations with arc-connectivity constraints are now deeply understood but very few results are known in terms of vertex-connectivity. Thomassen conjectured that sufficiently highly vertex-connected graphs have a k-vertex- connected orientation while Frank conjectured a characterization of the graphs admitting such an orientation. The results of this thesis are structures around the concepts of orientation, packing, connectivity and matroid. First, we disprove a conjecture of Recski on decomposing a graph into trees having orientations with specified indegrees. We also prove a new result on packing rooted arborescences with matroid constraints. This generalizes a fundamental result of Edmonds. Moreover, we show a new packing theorem for the bases of count matroids that induces an improvement of the only known result on Thomassen's conjecture. Secondly, we give a construction and an augmentation theorem for a family of graphs related to Frank's conjecture. To conclude, we disprove the conjecture of Frank and prove that, for every integer k >= 3, the problem of deciding whether a graph admits a k-vertex-orientation is NP-complete.

Introduction. Couvertures des graphes par des cycles. Couverture par des circuits d'un matroïde régulier qui admet un Z.5- flot non nul. Flots de Fulkerson. Flots de Petersen. Constructions locales. Annexe. Bibliographie

Orienter un graphe c'est remplacer chaque arête par un arc de mêmes extrémités. On s'intéresse à la connexité du graphe orienté ainsi obtenu. L'orientation avec des contraintes d'arc-connexité est maintenant comprise en profondeur mais très peu de résultats sont connus en terme de sommet-connexité. La conjecture de Thomassen avance que les graphes suffisament sommet-connexes ont une orientation k-sommet-connexe. De plus, la conjecture de Frank propose une caractérisation des graphes qui admettent une telle orientation. Les résultats de cette thèse s'articulent autour des notions d'orientation, de packing, de connexité et de matroïde. D'abord, nous infirmons une conjecture de Recski sur la décomposition d'un graphe en arbres ayant des orientations avec degrés entrants prescrits. Nous prouvons également un nouveau résultat sur le packing d'arborescences enracinées avec contraintes de matroïdes. Ceci généralise un résultat fondamental d'Edmonds. Enfin, nous démontrons un nouveau théorème de packing sur les bases des matroïdes de dénombrement qui nous permet d'améliorez le seul résultat connu sur la conjecture de Thomassen. D'autre part, nous donnons une construction et un théorème d'augmentation pour une famille de graphes liée à la conjecture de Frank. En conclusion, nous réfutons la conjecture de Frank et prouvons que, pour tout entier k >= 3, décider si un graphe a une orientation k-sommet-connexe est un problème NP-complet.

La géométrie combinatoire est une large et belle branche des mathématiques. Cette thèse doctorale se compose de l'étude de cinq sujets différents dans ce domaine. Même si les problèmes et les techniques utilisés pour y faire face sont divers, ils partagent le mêeme objectif: Étudier l'interaction entre les structures combinatoires et géométriques. Dans le chapitre 1, nous étudions le problème suivant : pour un entier positif k, combien de points en position générale devons-nous prendre dans le plan de sorte que nous pouvons toujours trouver k d'entre eux définissant des triangles avec un rayon du cercle circonscrit distinct ? Cette question a été posée par Paul Erdös en 1975 qui a lui même proposé une solution en 1978. Toutefois, la preuve a omis par inadvertance un cas non trivial. Nous avons repris ce cas et donné une solution à la question en utilisant des outils de base de la géométrie algébrique et nous fournissons une borne polynomiale pour le nombre de points nécessaires.Dans le chapitre 2, nous sommes intéressés par de généralisations géométriques du critère de Hall pour les couplages dans les graphes bipartits (1935). Nous obtenons des théorèmes géométriques type Hall pour des ensembles convexes disjoints et pour points en position générale dans l'espace euclidien. Les outils de ce chapitre sont topologiques, et l'approche est motivés par une méthode remarquable introduite par Aharoni et Haxell en $2000$ ainsi que par ses généralisations.D'autre part, dans le chapitre 3, nous commençons par un théorème de Helly fractionné de 1979 due à A. Liu et M. Katchalski pour motiver un résultat combinatoire. Nous étudions des conditions combinatoires que des familles de graphes doivent avoir pour permettre d'obtenir des versions plus fine du théorème de Turán. Nous trouvons des liens intéressants entre les nombres de Turán, les nombres chromatiques et les nombres de clique dans la famille. Les outils de ce chapitre sont purement combinatoires.Dans le chapitre 4, nous nous concentrons sur l'obtention des résultats pour la bien connue classe des matroïde chemin du réseau introduite par Bonin, de Mier et Noy en 2003. La contribution principale est de prouver pour cette classe la validité d'une conjecture de Merino et Welsh (1999) sur une inégalité de certaines valeurs du polynôme de Tutte. Pour ce faire, nous introduisons et étudions des serpents, une classe spéciale de matroïdes chemin du réseau ``mince''.Enfin, dans le chapitre 5, nous étudions une variante d'un problème des transversales posé par J.L. Arocha, J. Bracho, L. Montejano et J.L. Ramírez-Alfonsín en 2010. Dans leur travaux originaux, ils ont rémarqué que si nous avons peu de points dans l'espace euclidien alors il est possible de trouver une transversale d'une dimension donnée qui travers les enveloppes convexes de tous les k-ensembles de points. De m&eme, ils montrent qu'il est impossible de trouver une telle transversale lorsque nous avons beaucoup de points. Les auteurs donnent des bornes spécifiques et ils laissent aussi quelques problèmes ouverts. Si la définition de transversale est légèrement plus restrictive, alors le problème peut être étudié en utilisant la théorie des matroïdes orientés. Dans la présente thèse, nous fournissons les détails de cette relation et nous donnons des bornes pour la famille de polytopes cycliques. / Combinatorial geometry is a broad and beautiful branch of mathematics. This PhD Thesis consists of the study of five different topics in this area. Even though the problems and the tools used to tackle them are diverse, they share a unifying goal: To explore the interaction between combinatorial and geometric structures.In Chapter 1 we study a problem by Paul Erdös: for a positive integer k, how many points in general position do we need in the plane so that we can always find a k-subset of them defining triangles with distinct circumradii? This question was posed in 1975 and Erdös himself proposed a solution in 1978. However, the proof inadvertently left out a non-trivial case. We deal with the case using basic tools from algebraic geometry and we provide a polynomial bound for the needed number of points.In Chapter 2 we are interested in providing geometric extensions of Hall's criterion for matchings in bipartite graphs (1935). We obtain geometric Hall-type theorems for pairwise disjoint convex sets and for points in general position in euclidean space. The tools of this chapter are topological, and are motivated by a remarkable method introduced by Aharoni and Haxell in 2000 and its generalizations.On the other hand, in Chapter 3 we begin with a fractional Helly theorem from 1979 by A. Liu and M. Katchalski to motivate a combinatorial result. We study combinatorial conditions on families of graphs that allow us to have sharpened variants of Turán's theorem. We find interesting relations between the Turán numbers, the chromatic numbers and the clique numbers of graphs in the family. The tools in this chapter are only combinatorial.In Chapter 4 we focus on obtaining some results for the well studied class of lattice path matroids introduced by Bonin, de Mier and Noy in 2003. The main contribution is proving for this class the validity of a 1999 conjecture of Merino and Welsh concerning an inequality involving certain values of the Tutte polynomial. In order to do this, we introduce and study snakes, a special class of ``thin'' lattice path matroids.Finally, in Chapter 5 we explore a variant of a transversal problem posed by J.L. Arocha, J. Bracho, L. Montejano and J.L. Ramírez-Alfonsín in 2010. In their original work, they realized that if we have few points in euclidean space then it is possible to find a transversal of a given dimension that goes through all the convex hulls of k-subsets of points. Similarly, they show that it is impossible to find such a transversal when we have many points. The authors give some specific bounds and they also leave some open problems. If the definition of transversal is slightly more restrictive, then the problem can be tackled using oriented matroid theory. We provide the details of the relation and we give bounds for the family of cyclic polytopes.

La théorie de la rigidité étudie l'unicité des réalisations des graphes, i.e., des charpentes. Initialement motivée par l'ingénierie des structures, la théorie de la rigidité trouve aujourd'hui des applications dans plusieurs domaines importants comme la prédiction de la flexibilité des protéines, la conception assistée par ordinateur, la localisation dans les réseaux des capteurs, etc. Cette thèse traite une grande variété de problèmes concernant différents types de rigidité, qui correspondent à différents niveaux d'unicité (locale/infinitésimale, globale et universelle) dans des modèles variés de charpentes. D'abord, nous développons des résultats sur la construction récursive et la décomposition des graphes avec des conditions mixtes de sparsité ainsi que des résultats sur le packing des arborescences avec des contraintes de matroïde. Ces résultats sont alors utilisés pour obtenir des caractérisations de la rigidité infinitésimale des charpentes avec des contraintes mixtes. Nous étudions aussi l'effet des opérations d'extension sur des charpentes et étendons un résultat connu sur la préservation de la rigidité globale d'$1$-extension dans les charpentes à direction et à longueur de la dimension deux aux dimensions supérieures. Pour la rigidité universelle, un sujet que l'on connait très peu, nous obtenons une caractérisation complète pour la classe des charpentes biparties complètes sur la ligne. Nous généralisons aussi une condition suffisante pour la rigidité universelle des charpentes en permettant des positions non générales. / The theory of rigidity studies the uniqueness of realizations of graphs, i.e., frameworks. Originally motivated by structural engineering, rigidity theory nowadays finds applications in many important problems such as predicting protein flexibility, Computer-Aided Design, sensor network localization, etc. The present thesis treats a wide range of problems concerning different kinds of rigidity, corresponding to different scopes of uniqueness (local/infinitesimal, global and universal), in various types of frameworks. First, we develop results in inductive construction and decomposition of graphs with mixed sparsity conditions as well as results on the packing of arborescences with matroidal constraints. These results are then used to obtain characterizations of infinitesimal rigidity in frameworks with mixed constraints. We also investigate the effect of extension operations on frameworks and extend a known result on the global rigidity preservation of $1$-extension on direction-length frameworks in dimension two to all dimensions. For universal rigidity, where little is known, we obtain a complete characterization for the class of complete bipartite frameworks on the line. We also generalize a sufficient condition for the universal rigidity of frameworks by allowing non-general positions.

La théorie de la rigidité étudie l'unicité des réalisations des graphes, i.e., des charpentes. Initialement motivée par l'ingénierie des structures, la théorie de la rigidité trouve aujourd'hui des applications dans plusieurs domaines importants comme la prédiction de la flexibilité des protéines, la conception assistée par ordinateur, la localisation dans les réseaux des capteurs, etc. Cette thèse traite une grande variété de problèmes concernant différents types de rigidité, qui correspondent à différents niveaux d'unicité (locale/infinitésimale, globale et universelle) dans des modèles variés de charpentes. D'abord, nous développons des résultats sur la construction récursive et la décomposition des graphes avec des conditions mixtes de sparsité ainsi que des résultats sur le packing des arborescences avec des contraintes de matroïde. Ces résultats sont alors utilisés pour obtenir des caractérisations de la rigidité infinitésimale des charpentes avec des contraintes mixtes. Nous étudions aussi l'effet des opérations d'extension sur des charpentes et étendons un résultat connu sur la préservation de la rigidité globale d'$1$-extension dans les charpentes à direction et à longueur de la dimension deux aux dimensions supérieures. Pour la rigidité universelle, un sujet que l'on connait très peu, nous obtenons une caractérisation complète pour la classe des charpentes biparties complètes sur la ligne. Nous généralisons aussi une condition suffisante pour la rigidité universelle des charpentes en permettant des positions non générales.