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Variable selection procedures for high dimensional data have been proposed and studied by a large amount of literature in the last few years. Most of the previous research focuses on the selection properties as well as the point estimation properties. In this paper, our goal is to construct the confidence intervals for some low-dimensional parameters in the high-dimensional setting. The models we study are the partially penalized linear and accelerated failure time models in the high-dimensional setting. In our model setup, all variables are split into two groups. The first group consists of a relatively small number of variables that are more interesting. The second group consists of a large amount of variables that can be potentially correlated with the response variable. We propose an approach that selects the variables from the second group and produces confidence intervals for the parameters in the first group. We show the sign consistency of the selection procedure and give a bound on the estimation error. Based on this result, we provide the sufficient conditions for the asymptotic normality of the low-dimensional parameters. The high-dimensional selection consistency and the low-dimensional asymptotic normality are developed for both linear and AFT models with high-dimensional data.

Nous considérons le problème de l'estimation d'une fonction inconnue en un point fixe à l'aide de données régies par des modèles de régression ou de diffusion. Pour définir le risque associé à l'emploi d'un estimateur et ainsi mesurer la qualité de celui-ci, nous utilisons la fonction de perte liée à l'erreur absolue. Le travail de cette thèse suit l'approche minimax dont l'objectif est de trouver une borne inférieure asymptotique du risque minimax puis de construire un estimateur, dit asymptotiquement efficace, dont le risque maximal atteint asymptotiquement cette borne.<br />Pour un modèle de régression non paramétrique et hétéroscédastique, où l'écart-type du bruit dépend à la fois du régresseur et de la fonction de régression supposée appartenir à une classe höldérienne faible de régularité connue, nous montrons qu'un estimateur à noyau est asymptotiquement efficace. Lorsque la régularité de la fonction de régression est inconnue, nous obtenons la vitesse de convergence minimax adaptative des estimateurs sur une famille de classes höldériennes. Enfin, pour un modèle de diffusion où la dérive appartient à un voisinage höldérien faible centré en une fonction lipschitzienne, nous présentons la construction d'un estimateur à noyau asymptotiquement efficace.

Nous considérons l'estimation non-paramétrique d'une densité k-monotone définie sur (0,∞), pour un entier k > 0 donné, via les méthodes de maximum de vraisemblance et des moindres carrés qu'on note respectivement par MLE et LSE.<br /><br />Dans l'introduction, nous présentons tout d'abord la motivation principale derrière ce problème et nous faisons l'effort d'inclure dans le cadre général de notre travail les résultats asymptotiques qui étaient déjà établis pour les cas spéciaux k=1 et k=2.<br /> <br />Ensuite, nous nous penchons sur l'étude des propriétés des MLE et LSE d'une densité k-monotone g_0 dans le cas où on dispose de n observations indépendantes générées de g_0. Notre étude asymptotique est locale, c'est-à-dire que nous nous intéressons uniquement aux propriétés asymptotiques des estimateurs et de leur dérivées à un point fixe, x_0. Sous certaines hypothèses que nous précisons, nous établissons d'abord les bornes inférieures minimax pour l'estimation des dérivées g^{(j)}_0(x_0), j=0,...,k-1. Les bornes obtenues indiquent que n^{-(k-j)/(2k+1)} est la vitesse de convergence optimale de n'importe quel estimateur non-paramétrique de g^{(j)}_0(x_0). Sous les mêmes hypothèses et si une certaine conjecture est vraie, nous démontrons que cette vitesse optimale est atteinte dans le cas des MLE et LSE.<br /><br />Pour compléter la théorie asymptotique des estimateurs et de leur dérivées au point x_0, nous passons à la dérivation de leurs distributions limites lorsque la taille de l'échantillon n tend vers l'infini. Il s'avère que ces distributions dépendent d'un processus stochastique bien particulier défini sur l'ensemble des réels R. On note ce processus par H_k Le 3ème chapitre est consacré essentiellement à l'existence et à l'unicité de H_k, ainsi qu'à sa caractérisation. Nous démontrons que si Y_k est la primitive (k-1)-ème d'un mouvement Brownien + k!/(2k)! t^{2k}, alors H_k reste au-dessus (au-dessous) de Y_k lorsque k est pair (impair). Un simple changement de variable suffit pour reconnaître que nos résultats comprennent les cas spéciaux k=1 et k=2 où le problème se réduit à l'estimation d'une densité décroissante et d'une densité décroissante et convexe respectivement. Pour ces cas-là, la théorie asymptotique des MLE et LES a été déjà établie.<br /><br />L'aspect algorithmique fait l'objet du 4ème chapitre. Les algorithmes de Splines itératifs (Iterative Spline algorithms) sont développés et implémentés afin de calculer les estimateurs et aussi pour obtenir une approximation du processus limite sur n'importe quel compact dans R. Ces algorithmes exploitent essentiellement la structure 'splineuse' des MLE, LSE et H_k, et se basent ainsi sur la suppression et l'addition itératives des noeuds de certains Splines aléatoires.

Cette Thèse porte sur les familles tangentielles et les équations de Hamilton--Jacobi. <br />Ces deux sujets sont reliés à des thèmes classiques en théorie des singularités, comme la théorie des enveloppes, les singularités des fronts d'onde et des caustiques, la géométrie symplectique et de contact. <br />Les premiers trois chapitres de la Thèse sont consacrés à l'étude des familles tangentielles, à la classification de leurs singularités stables et simples, et à leurs interprétation dans le cadre de la Géométrie de Contact. <br />Le dernier chapitre est dédié à l'étude des solutions de minimax pour l'équation de Hamilton--Jacobi, notamment à la classification des leurs singularités génériques de petite codimension.

Cette thèse se consacre à l'estimation non paramétrique pour les modèles autorégressifs. Nous considérons le problème de l'estimation d'une fonction inconnue en un point fixe à l'aide de données régies par des modèles autorégressifs. Pour définir le risque associé à l'emploi d'un estimateur et ainsi mesurer la qualité de celui-ci, nous utilisons la fonction de perte liée à l'erreur absolue. Le travail de cette thèse suit l'approche minimax dont l'objectif est de trouver une borne inférieure asymptotique du risque minimax puis de construire un estimateur, dit asymptotiquement efficace, dont le risque maximal atteint asymptotiquement cette borne. Pour un modèle autorégressif non paramétrique où la fonction autorégressive est supposée appartenir à une classe H\"{o}ldérienne faible de régularité connue, nous montrons qu'un estimateur à noyau est asymptotiquement efficace. Lorsque la régularité de la fonction autorégressive est inconnue, nous obtenons la vitesse de convergence minimax adaptative des estimateurs sur une famille de classes H\"{o}ldériennes.\\

Variational structure plays an important role in critical point theory and methods. However many differential problems are non-variational i.e. they are not the Euler- Lagrange equations of any variational functionals, which makes traditional critical point approach not applicable. In this thesis, two types of non-variational problems, a nonlinear eigen solution problem and a non-variational semi-linear elliptic system, are studied. By considering nonlinear eigen problems on their variational energy profiles and using the implicit function theorem, an implicit minimax method is developed for numerically finding eigen solutions of focusing nonlinear Schrodinger equations subject to zero Dirichlet/Neumann boundary condition in the order of their eigenvalues. Its mathematical justification and some related properties, such as solution intensity preserving, bifurcation identification, etc., are established, which show some significant advantages of the new method over the usual ones in the literature. A new orthogonal subspace minimization method is also developed for finding multiple (eigen) solutions to defocusing nonlinear Schrodinger equations with certain symmetries. Numerical results are presented to illustrate these methods. A new joint local min orthogonal method is developed for finding multiple solutions of a non-variational semi-linear elliptic system. Mathematical justification and convergence of the method are discussed. A modified non-variational Gross-Pitaevskii system is used in numerical experiment to test the method.

As control systems are becoming more and more complex, system complexity is rapidly becoming a limiting factor in the efficacy of established techniques for control systems design. To cope with the growing complexity, control architectures often have a hierarchical structure. At the base of the system pyramid lie feedback loops with simple closed-loop control laws. These are followed, at a higher level, by discrete control logics. Such hierarchical systems typically have a hybrid nature. A common approach to addressing these types of complexity consists of decomposing, in the time domain, the control task into a number of modes, i.e. control laws dedicated to carrying out a limited task. This type of control generally involves switching laws among the various modes, and its design poses a major challenge in many application domains. The primary goal of this thesis is to develop a unified framework for addressing this challenge. To this end, the contribution of this thesis is threefold: 1. An algorithmic framework for how to optimize the performance of switched autonomous systems is derived. The optimization concerns both the sequence in which different modes appear in and the duration of each mode. The optimization algorithms are presented together with detailed convergence analyses. 2. Control strategies for how to optimize switched autonomous systems operating in real time, and when the initial state of the system is unknown, are presented. 3. A control strategy for how to optimally navigate an autonomous mobile robot in real-time is presented and evaluated on a mobile robotics platform. The control strategy uses optimal switching surfaces for when to switch between different modes of operations (behaviors).

A multi-precision function interpolator, which is fitted in with the IEEE-754 single precision floating point standard, is proposed in this paper. It provides logarithms, exponentials, reciprocal and square root reciprocal operations. Each operation is able to dynamically select four different precision modes in demand. The hardware architecture is designed with fully pipeline in order to comply with hardware architectures of general digital signal processors (DSPs) and graphics processors (GPUs). When considering the usefulness of each precision mode, it is designed to minimize the error among various modes as far as possible in the beginning. According to the precision from high to low, function interpolator can provide 23, 18, 13 and 8-bit accuracy respectively in spite of the rounding effect. This function interpolator is designed based on the look-up table method. It can get the approximation value of target function through the calculation of quadratic polynomial. The coefficient of quadratic polynomial is obtained by piecewise minimax approximation. Before implementing the hardware, we use the Maple algebra software to generate the quadratic polynomial coefficients of aforementioned four operations, and estimate whether these coefficients can meet IEEE-754 single precision floating point standard. In addition, we take the exhaustive search to check the results generated by our implementation to make sure that it can meet the requirements for various operations and precision modes. When performing one of the above four operations, only the tables of the operation are used to obtain the quadratic polynomial coefficient. Therefore, we can take the advantage of the tri-state buffer as a switch to reduce dynamic power consumption of tables for the other three operations. In addition, when performing lower precision modes, we can turn off a part of hardwares, which are used to calculate the quadratic polynomial, to save the power consumption more effectively. By providing multi-precision hardware, we hope users or developers, those who use the battery device, can choose a lower precision mode within the permissible error range to extend the battery life.

Mes travaux s'articulent autour de trois thématiques. <br />La première thèmatique porte sur la résolution via l'approche minimax de divers problèmes d'estimation et de tests d'hypothèses dans un cadre non-paramétrique. <br />En statistique Bayésienne non-paramétrique, je me suis intéressée à un problème d'estimation d'ensembles à niveau. Les résultats obtenus résultent de l'étude des propriétés asymptotiques d'estimation Bayésienne d'ensembles à niveau. Ce sont des résultats généraux au sens où la consistance et la vitesse de convergence de l'estimateur Bayésien sont établies pour une large classe de lois a priori. <br />La troisième thématique concerne un problème d'estimation paramétrique dans un modèle de déconvolution aveugle bruitée : il s'agit de restituer la loi du signal entrant. La consistance ainsi que la distribution asymptotique d'une nouvelle procédure d'estimation sont établies.