Résumé non disponible

Nous présentons dans ce document une étude théorique de l’effet d’une impureté répétée sur le modèle de Hubbard à une bande appliqué au YBCO, un cuprate supraconducteur. Pour résoudre approximativement ce problème, on a fait appel à la théorie du champ moyen dynamique sur amas à température nulle. Il s’agit de la première application de cette méthode à l’étude des impuretés dans les cuprates.

Depuis leur découverte dans les années 80, les supraconducteurs à haute température critique ont suscité beaucoup d'intérêt en physique du solide. Comprendre l'origine des phases observées dans ces matériaux, telle la supraconductivité, est l'un des grands défis de la physique théorique du solide des 25 dernières années. L'un des mécanismes pressentis pour expliquer ces phénomènes est la forte interaction électron-électron. Le modèle de Hubbard est l'un des modèles les plus simples pour tenir compte de ces interactions. Malgré la simplicité apparente de ce modèle, certaines de ses caractéristiques, dont son diagramme de phase, ne sont toujours pas bien établies, et ce malgré plusieurs avancements théoriques dans les dernières années. Cette étude se consacre à faire une analyse de méthodes numériques permettant de calculer diverses propriétés du modèle de Hubbard en fonction de la température. Nous décrivons des méthodes (la VCA et la CPT) qui permettent de calculer approximativement la fonction de Green à température finie sur un système infini à partir de la fonction de Green calculée sur un amas de taille finie. Pour calculer ces fonctions de Green, nous allons utiliser des méthodes permettant de réduire considérablement les efforts numériques nécessaires pour les calculs des moyennes thermodynamiques, en réduisant considérablement l'espace des états à considérer dans ces moyennes. Bien que cette étude vise d'abord à développer des méthodes d'amas pour résoudre le modèle de Hubbard à température finie de façon générale ainsi qu'à étudier les propriétés de base de ce modèle, nous allons l'appliquer à des conditions qui s'approchent de supraconducteurs à haute température critique. Les méthodes présentées dans cette étude permettent de tracer un diagramme de phase pour l'antiferromagnétisme et la supraconductivité qui présentent plusieurs similarités avec celui des supraconducteurs à haute température.

Ce mémoire contient l'essentiel de la recherche de Pierre Mercure-Boissonnault sur l'ordre de rayure dans les cuprates supraconducteurs. Cette recherche consistait à vérifier à l'aide du modèle de Hubbard et de méthodes numériques (VCA et CDMFT) si l'ordre de rayure est présent dans les plans cuivre-oxygène de ces matériaux et comment l'ordre de rayure interagit avec la supraconductivité. De plus, plusieurs amas différents sont utilisés dans le but de permettre l'observation de différentes formes d''ordre de rayure (centré sur les sites, centré sur les liens et diagonal). Finalement, les paramètres du modèle de Hubbard sont modifiés afin d'observer l'effet sur l'ordre de rayure par rapport à l'antiferromagnétisme.

Le mécanisme d'appariement donnant naissance à la supraconductivité non conventionnelle reste disputé à ce jour. Une des principales difficultés sous-jacentes nous vient du lien entre cette supraconductivité et la physique de Mott. Dans le but d'éclaircir cela, cette thèse propose de traiter trois points. Tout d'abord, nous nous intéressons aux crossovers caractérisant le régime à haute température du modèle de Hubbard demi-rempli, soit dans une situation où les fluctuations à grande longueur d'onde et même l'ordre à longue portée suggèrent que la transition de Mott n'est pas pertinente. En comparant les résultats issus de la théorie de champ moyen dynamique (DMFT), de la théorie de champ moyen dynamique cellulaire (CDMFT), et de l'approximation d'amas dynamique (DCA), nous montrons que, bien que la plupart des crossovers soient masqués par la température de Néel, le crossover de Mott (séparant le mauvais isolant de l'isolant de Mott et caractérisé par l'ouverture prononcée du gap de Mott) survit à toute température. De plus, les différentes techniques numériques voient leurs crossovers de Mott se rejoindre à une température de l'ordre de $0.45\, t$, démontrant qu'à ces températures, l'effet est dominé par la physique à très courte portée. La deuxième partie de cette thèse cherche à rendre possible l'extraction de quantités donnant accès à la dynamique supraconductrice à température finie, telle que la fonction spectrale anormale, \textit{via} la méthode d'entropie maximale. Nous avons ainsi développé la méthode MaxEntAux qui permet de calculer la fonction spectrale anormale à partir d'une fonction spectrale auxiliaire et de fonctions spectrales normales, toutes de signe constant positif et donc toutes calculables à travers la méthode d'entropie maximale. La dernière partie de cette thèse applique la méthode MaxEntAux à l'étude de la dynamique supraconductrice d'un isolant de Mott dopé aux trous et décrit par le modèle de Hubbard étendu, incorporant l'effet de la répulsion aux premiers voisins $V$. Nous montrons que $V$ joue deux rôles antagonistes dans la dynamique supraconductrice: cette répulsion renforce l'appariement à basse fréquence à travers la constante d'échange antiferromagnétique $J = 4t^2/(U-V)$ tout en accroissant la répulsion coulombienne à haute fréquence. La compétition non triviale qui en résulte tend à augmenter la température critique à faible dopage et à la diminuer à fort dopage. En parallèle, les valeurs du célèbre rapport $\Delta_{SC}/T_c$ que nous obtenons sont significativement plus grandes que les valeurs prédites par la théorie BCS, mais sont en très bel accord avec l'expérience et présentent une certaine universalité, notamment dans le régime de dopages intermédiaires. Enfin, $V$ semble également pousser le système étudié vers un ordre de charge commensurable en y favorisant la double occupation.

Il y a presque trente ans, un des problèmes les plus difficiles de la physique moderne voyait le jour: la supraconductivité à haute température critique dans les cuprates. Depuis, l'hypothèse nommée modèle Hubbard est rapidement devenu un des candidats les plus prometteurs à en détenir la solution. Dans ce contexte, ce mémoire présente des travaux de calculs numériques sur les phases de la matière prédites par le modèle de Hubbard. Le projet poursuit notamment deux objectifs. En premier lieu, on considère un couplage interplan dans le modèle, ce qui le rend plus réaliste que sa version 2D habituelle. Et en deuxième lieu, on laisse les phases antiferromagnétique et supraconductrice coexister avec en plus une autre phase supraconductrice de type pi-triplet. Plus de détails sur le contexte et ces deux objectifs sont présentés au chapitre 1 et le modèle de Hubbard est détaillé au chapitre 2. Pour obtenir des solutions numériques au modèle, les méthodes utilisées sont la théorie de champ moyen dynamique sur amas (CDMFT) et l'approximation de l'amas variationnel (VCA). Ces méthodes ainsi que le formalisme nécessaire pour les aborder sont présentés au chapitre trois. Notons qu'on utilise ces méthodes pour amas avec des méthodes de diagonalisation exacte qui ne feront pas partie de la discussion. Enfin, le dernier chapitre présente tous les résultats obtenus avec ce projet, qui mènent à deux conclusions principales. Premièrement, le couplage tridimensionnel tel qu'ajouté n'a pas fait ressortir de tendance nette dans les résultats. Cela indique une de deux choses: soit les effets interplans sont négligeables dans le modèle de Hubbard, soit il faudra les inclure d'une façon plus complète dans le futur. Deuxièmement, on observe que la phase pi-triplet apparaît lorsqu'il y a coexistence entre l'antiferromagnétisme et la supraconductivité dans le modèle mais que ces deux dernières phases se nuisent fortement l'une à l'autre, confirmant qu'il y a compétition de phases.

Les travaux présentés dans ce manuscrit de thèse peuvent être divisés en deux parties. Dans une première partie, nous nous sommes intéressé à une extension multiconfigurationnelle de la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT) par l'intermédiaire d'une séparation de portée permettant un traitement hybride entre DFT et fonction d'onde multiconfigurationnelle « state-averaged ». Ainsi, nous récupérons en même temps la corrélation dynamique et la corrélation statique. De plus, cette étude est réalisée en considérant la DFT pour les ensembles afin de considérer une alternative à la méthode usuelle utilisée (DFT dépendante du temps) pour la détermination des états excités d'une molécule, évitant ainsi certains problèmes théoriques rencontrés avec cette approche. En particulier, les intersections coniques entre états excités nous intéressent particulièrement car il s'agit de cas pour lesquels une approche multiconfigurationnelle est primordiale. Dans une seconde partie, le développement de nouvelles fonctionnelles est réalisé sur le dimère de Hubbard asymétrique afin de tester de nouvelles approximations et d'étudier plus en détail les processus auto-cohérents. De plus, des couplages non-adiabatiques sont calculés en utilisant des énergies déterminées dans le cadre de la DFT pour les ensembles ayant la particularité de ne pas être dépendant du temps. / This thesis manuscript can be divided in two parts. In the first one, we are interested in a multiconfigurational extension for the density functional theory (DFT) including a range separation to deal with a hybrid theory between DFT and state-averaged wave function theory. In this case, we recover, at the same time, the dynamical correlation and the static correlation. Moreover, this study is performed considering the ensemble DFT to use an alternative to the usual method (time-dependent DFT) to describe the excited states of a molecule, avoiding some theoretical problems known with this approach. Particularly, conical intersections between excited states are interesting because a multiconfigurational approach is necessary. In the second part, new functionals development are performed and applied on the non-symmetric Hubbard dimer in order to test new approximations and to study more in detail self-consistency processes. In addition, non-adiabatic couplings are calculated using energies from ensemble DFT framework without time-dependence.

Les applications reliées à la génération d'énergie motivent la recherche de matériaux ayant un fort pouvoir thermoélectrique (S). De plus, S nous renseigne sur certaines propriétés fondamentales des matériaux, comme, par exemple, la transition entre l'état cohérent et incohérent des quasi-particules lorsque la température augmente. Empiriquement, la présence de fortes interactions électron-électron peut mener à un pouvoir thermoélectrique géant. Nous avons donc étudié le modèle le plus simple qui tient compte de ces fortes interactions, le modèle de Hubbard. La théorie du champ moyen dynamique (DMFT) est tout indiquée dans ce cas. Nous nous sommes concentrés sur un système tridimensionnel (3d) cubique à face centrée (fcc), et ce, pour plusieurs raisons. A) Ce type de cristal est très commun dans la nature. B) La DMFT donne de très bons résultats en 3d et donc ce choix sert aussi de preuve de principe de la méthode. C) Finalement, à cause de la frustration électronique intrinsèque au fcc, celui-ci ne présente pas de symétrie particule-trou, ce qui est très favorable à l'apparition d'une grande valeur de S. Ce travail démontre que lorsque le matériau est un isolant à demi-remplissage à cause des fortes interactions (isolant de Mott), il est possible d'obtenir de grands pouvoirs thermoélectriques en le dopant légèrement. C'est un résultat pratique important. Du point de vue méthodologique, nous avons montré comment la limite de fréquence infinie de S et l'approche dite de Kelvin, qui considère la limite de fréquence nulle avant la limite thermodynamique pour S, donnent des estimations fiables de la vraie limite continue (DC) dans les domaines de température appropriée. Ces deux approches facilitent grandement les calculs en court-circuitant la nécessité de recourir à de problématiques prolongements analytiques. Nous avons trouvé que la méthode de calcul à fréquence infinie fonctionne bien lorsque les échelles d'énergie sont relativement faibles. En d'autres termes, cette approche donne une bonne représentation de S lorsque le système devient cohérent. Les calculs montrent aussi que la formule Kelvin est précise lorsque la fonction spectrale des électrons devient incohérente, soit à plus haute température. Dans la limite Kelvin, S est essentiellement l'entropie par particule, tel que proposé il y a longtemps. Nos résultats démontrent ainsi que la vision purement entropique de S est la bonne dans le régime incohérent, alors que dans le régime cohérent, l'approche à fréquence infinie est meilleure. Nous avons utilisé une méthode à la fine pointe, soit le Monte-Carlo quantique en temps continu pour résoudre la DMFT. Pour permettre une exploration rapide du diagramme de phase, nous avons dû développer une nouvelle version de la méthode des perturbations itérées pour qu'elle soit applicable aussi à forte interaction au-delà de la valeur critique de la transition de Mott. Un autre sujet a aussi été abordé. L'effet orbital du champ magnétique dans les systèmes électroniques fortement corrélés est une question très importante et peu développée. Cela est d'autant plus essentiel depuis la découverte des oscillations quantiques dans les supraconducteurs à haute temperature (haut-T[indice inférieur c]). Par désir de développer une méthode la moins biaisée possible, nous avons dérivé la DMFT lorsqu'un champ se couplant à l'opérateur énergie cinétique par la substitution de Peierls est présent. Ce type d'approche est nécessaire pour comprendre entre autres l'effet de la physique de Mott sur des phénomènes tels que les oscillations quantiques. Nous avons obtenu un résultat très important en démontrant rigoureusement que la relation d'auto-cohérence de la DMFT et le système intermédiaire d'impureté quantique restent les mêmes. L'effet du champ peut être contenu dans la fonction de Green locale, ce qui constitue la grande différence avec le cas habituel. Ceci permet de continuer à utiliser les solutionneurs d'impuretés standards, qui sont de plus en plus puissants. Nous avons aussi développé la méthode pour le cas d'un empilement de plans bidimensionnels selon z, ce qui permet d'étudier l'effet orbital du champ dans des nanostructures et même dans les matériaux massifs, si le nombre de plans est suffisant pour obtenir la limite tridimensionnelle.

Les propriétés d'électrons en deux dimensions (2D) soulèvent des questions fondamentales qui ont été largement explorées au moyen des techniques théoriques de la matière condensée. L'extension de modèles classiques tel le modèle de Hubbard en 2D, en incluant par exemple plusieurs bandes électroniques, ore la possibilité d'accéder à des phénomèmes plus complexes, comme l'interaction du transport électronique et du magnétisme observé dans les composés de fermions lourds. Ces modèles sont en lien direct avec la question de couches minces couplées, les hétérostructures, qui sont depuis peu l'objet d'intenses recherches et orent la possibilité d'intéressantes applications. Dans ce contexte, nous étudions numériquement diérents syst èmes au moyen de la méthode du Monte Carlo Quantique du Déterminant. Tout d'abord, l'eet de la corrélation électronique dans un isolant de bande est évaluée, montrant en particulier l'absence d'une phase métallique intermédiaire. Un deuxième système est composé de deux bandes électroniques couplées, dans lequel l'eet de la largeur de bande de la partie corrélée est exploré de façon systématique. Finalement, nous étudions une interface métal-isolant, qui présente une phase intermédiaire surprenante lorsque le couplage à l'interface est ajusté. / The properties of electrons in two dimensions (2D) raise fundamental questions that have been extensively explored by condensed matter theory. Extending standard frameworks such as the 2D Hubbard model by accounting for more than one electronic band oers the opportunity to access more complex phenomena, such as the interplay between transport and magnetism found in heavy-fermions materials. Such models are directly connected to the problem of coupled layers in complex materials known as heterostructures, which have been widely studied and synthesized in recent years, and are expected to lead to important applications. In that context, we study numerically several systems, by mean of the Determinant Quantum Monte Carlo Method (DQMC). We rst analyze the eect of electronic correlation in a band insulator, showing in particular the absence of an intermediate metallic phase. A second system consists of two coupled bands that modelize a heavy fermion model, in which the role of the bandwidth of the correlated band is systematically investigated. Finally, we consider the case of a metal-insulator interface, unveiling an intriguing intermediate phase as the interfacial coupling is tuned.

Dans cette thèse nous avons appliqué la RPA auto-consistante (SCRPA) au modéle de Hubbard avec un petit nombre de sites (une chaîne à 2, 4, 6, ... sites). La SCRPA avait précédemment donné de très bon résultats dans d'autres modèles comme le modèle d'appariement de Richardson. Il était donc intéressant de voir quel genre de résultats la méthode allait produire pour un modèle plus complexe comme le modèle de Hubbard. A notre grande satisfaction le cas à 2 sites et deux électrons (demi-remplissage) est résolu exactement par la SCRPA. Ceci peut sembler un peu trivial mais le fait est que d'autres approximations toute à fait respectables telles que la "GW" ou l'approche avec la fonction d'onde de Gutzwiller restent loin du compte. Avec ce bon point de départ le cas à 6 sites a été regardé ensuite. Pour ce cas la SCRPA n'est, évidemment, plus exacte, cependant les résultats SCRPA s'en écartent uniquement de très peu sur une grande plage de valeurs de la constante de couplage U et notamment dans la région de la transition de phase vers un état avec magnétisation non nulle. Ceci est vrai pour l'énergie du fondamental, les excitations et les nombres d'occupations. On peut considérer cela comme un bon succès de la théorie. Cependant, le cas à 4 sites (plaquette), comme tous les cas à 4n sites, pose un problème à cause d'une dégénérescence au niveau Hartree-Fock. Une généralisation de la présente méthode en incluant en plus des paires, des quadruples opérateurs de Fermions (seconde RPA) est proposée pour traiter ces cas dans la présente approche. En effet pour une plaquette, on peut ainsi également retrouver le résultat exact. C'est donc une perspective intéressante de ce travail.