L'objet de cette thèse est l'étude d'un modèle de la dynamique de la courbe de taux d'intérêt pour la valorisation et la gestion des produits dérivées. En particulier, nous souhaitons modéliser la dynamique des prix dépendant de la volatilité. La pratique de marché consiste à utiliser une représentation paramétrique du marché, et à construire les portefeuilles de couverture en calculant les sensibilités par rapport aux paramètres du modèle. Les paramètres du modèle étant calibrés au quotidien pour que le modèle reproduise les prix de marché, la propriété d'autofinancement n'est pas vérifiée. Notre approche est différente, et consiste à remplacer les paramètres par des facteurs, qui sont supposés stochastiques. Les portefeuilles de couverture sont construits en annulant les sensibilités des prix à ces facteurs. Les portefeuilles ainsi obtenus vérifient la propriété d’autofinancement / This PhD thesis is devoted to the study of an Affine Term Structure Model where we use Wishart-like processes to model the stochastic variance-covariance of interest rates. This work was initially motivated by some thoughts on calibration and model risk in hedging interest rates derivatives. The ambition of our work is to build a model which reduces as much as possible the noise coming from daily re-calibration of the model to the market. It is standard market practice to hedge interest rates derivatives using models with parameters that are calibrated on a daily basis to fit the market prices of a set of well chosen instruments (typically the instrument that will be used to hedge the derivative). The model assumes that the parameters are constant, and the model price is based on this assumption; however since these parameters are re-calibrated, they become in fact stochastic. Therefore, calibration introduces some additional terms in the price dynamics (precisely in the drift term of the dynamics) which can lead to poor P&L explain, and mishedging. The initial idea of our research work is to replace the parameters by factors, and assume a dynamics for these factors, and assume that all the parameters involved in the model are constant. Instead of calibrating the parameters to the market, we fit the value of the factors to the observed market prices. A large part of this work has been devoted to the development of an efficient numerical framework to implement the model. We study second order discretization schemes for Monte Carlo simulation of the model. We also study efficient methods for pricing vanilla instruments such as swaptions and caplets. In particular, we investigate expansion techniques for prices and volatility of caplets and swaptions. The arguments that we use to obtain the expansion rely on an expansion of the infinitesimal generator with respect to a perturbation factor. Finally we have studied the calibration problem. As mentioned before, the idea of the model we study in this thesis is to keep the parameters of the model constant, and calibrate the values of the factors to fit the market. In particular, we need to calibrate the initial values (or the variations) of the Wishart-like process to fit the market, which introduces a positive semidefinite constraint in the optimization problem. Semidefinite programming (SDP) gives a natural framework to handle this constraint

L'objet de cette thèse est l'étude d'un modèle de la dynamique de la courbe de taux d'intérêt pour la valorisation et la gestion des produits dérivées. En particulier, nous souhaitons modéliser la dynamique des prix dépendant de la volatilité. La pratique de marché consiste à utiliser une représentation paramétrique du marché, et à construire les portefeuilles de couverture en calculant les sensibilités par rapport aux paramètres du modèle. Les paramètres du modèle étant calibrés au quotidien pour que le modèle reproduise les prix de marché, la propriété d'autofinancement n'est pas vérifiée. Notre approche est différente, et consiste à remplacer les paramètres par des facteurs, qui sont supposés stochastiques. Les portefeuilles de couverture sont construits en annulant les sensibilités des prix à ces facteurs. Les portefeuilles ainsi obtenus vérifient la propriété d’autofinancement / This PhD thesis is devoted to the study of an Affine Term Structure Model where we use Wishart-like processes to model the stochastic variance-covariance of interest rates. This work was initially motivated by some thoughts on calibration and model risk in hedging interest rates derivatives. The ambition of our work is to build a model which reduces as much as possible the noise coming from daily re-calibration of the model to the market. It is standard market practice to hedge interest rates derivatives using models with parameters that are calibrated on a daily basis to fit the market prices of a set of well chosen instruments (typically the instrument that will be used to hedge the derivative). The model assumes that the parameters are constant, and the model price is based on this assumption; however since these parameters are re-calibrated, they become in fact stochastic. Therefore, calibration introduces some additional terms in the price dynamics (precisely in the drift term of the dynamics) which can lead to poor P&L explain, and mishedging. The initial idea of our research work is to replace the parameters by factors, and assume a dynamics for these factors, and assume that all the parameters involved in the model are constant. Instead of calibrating the parameters to the market, we fit the value of the factors to the observed market prices. A large part of this work has been devoted to the development of an efficient numerical framework to implement the model. We study second order discretization schemes for Monte Carlo simulation of the model. We also study efficient methods for pricing vanilla instruments such as swaptions and caplets. In particular, we investigate expansion techniques for prices and volatility of caplets and swaptions. The arguments that we use to obtain the expansion rely on an expansion of the infinitesimal generator with respect to a perturbation factor. Finally we have studied the calibration problem. As mentioned before, the idea of the model we study in this thesis is to keep the parameters of the model constant, and calibrate the values of the factors to fit the market. In particular, we need to calibrate the initial values (or the variations) of the Wishart-like process to fit the market, which introduces a positive semidefinite constraint in the optimization problem. Semidefinite programming (SDP) gives a natural framework to handle this constraint

Dans cette thèse, nous étudions le vaste domaine des neurosciences à travers des outils théoriques, numériques et expérimentaux. Nous étudions comment les modèles à taux de décharge peuvent être utilisés pour capturer différents phénomènes observés dans le cerveau. Nous étudions les régimes dynamiques des réseaux couplés de neurones excitateurs (E) et inhibiteurs (I): Nous utilisons une description fournie par un modèle à taux de décharge et la comparons avec les simulations numériques des réseaux de neurones à potentiel d'action décrits par le modèle EIF. Nous nous concentrons sur le régime où le réseau EI présente des oscillations, puis nous couplons deux de ces réseaux oscillants pour étudier la dynamique résultante. La description des différents régimes pour le cas de deux populations est utile pour comprendre la synchronisation d'une chaine de modules E-I et la propagation d'ondes observées dans le cerveau. Nous examinons également les modèles à taux de décharge pour décrire l'adaptation sensorielle: Nous proposons un modèle de ce type pour décrire l'illusion du mouvement consécutif («motion after effect», (MAE)) dans la larve du poisson zèbre. Nous comparons le modèle à taux de décharge avec des données neuronales et comportementales nouvelles. / In this thesis, we investigate the vast field of neuroscience through theoretical, numerical and experimental tools. We study how rate models can be used to capture various phenomena observed in the brain. We study the dynamical regimes of coupled networks of excitatory (E) and inhibitory neurons (I) using a rate model description and compare with numerical simulations of networks of neurons described by the EIF model. We focus on the regime where the EI network exhibits oscillations and then couple two of these oscillating networks to study the resulting dynamics. The description of the different regimes for the case of two populations is helpful to understand the synchronization of a chain of E-I modules and propagation of waves observed in the brain. We also look at rate models of sensory adaptation. We propose one such model to describe the illusion of motion after effect in the zebrafish larva. We compare this rate model with newly obtained behavioural and neuronal data in the zebrafish larva.

Cette thèse traite des fonctionnelles exponentielles du mouvement brownien et porte en particulier sur des calculs explicites de prix de bonds zéro-coupon associés au modèle de taux d'intérêt de Dothan. En utilisant des méthodes de noyaux de la chaleur et de résolution d'équations de Fokker-Planck, nous donnons des formules explicites de densités de probabilités ou de leurs transformées de Laplace. Les différentes formules intégrales obtenues complètent celles de l'article original "On the Term Structure of Interest Rates" (L. U. Dothan). La méthode utilisée est directe et implique notamment une nouvelle représentation intégrale pour le module au carré de la fonction Gamma. Nous étudions ensuite les applications à la physique et aux mathématiques financières des résultats obtenus pour les fonctionnelles périodiques et hyperboliques du mouvement brownien. Nous traitons aussi de calculs de sensibilités d'options par le calcul de Malliavin. Nous donnons des expressions explicites de l'indicateur delta pour des prix d'options asiatiques et des obligations reposant sur des taux courts traités dans la première partie de la thèse.

La crise financière de ces dernières années a relancé le débat sur le caractère dit « sans risque de défaut » des obligations souveraines. Face aux enjeux économiques et financiers, les établissements de crédit et les Institutions Financières ont du revoir les méthodes d’évaluation des obligations. Cette thèse a pour objectif la modélisation et la Gestion des prix obligataires et s’articule autour de quatre points. Dans le premier point, nous avons présenté les approches théoriques portant sur les modèles traditionnels des taux d’intérêt. Dans le second point, nous avons conçu un modèle test nommé M-M en discrétisant les modèles à temps continu du taux d’intérêt court et en recourant aux modèles de la famille GARCH. Ce modèle est construit en incorporant les effets niveau des taux d’intérêt à court terme et GARCH (1,1). Les résultats de l’estimation du modèle M-M suggère la nécessité de tenir compte des deux effets pour la modélisation des rendements des bons du Trésor américain. Le troisième point consiste à extraire les facteurs que l’on peut interpréter comme le niveau, la pente et la courbure. Ces facteurs sont extraits à partir de deux modèles qui sont des extensions dynamiques de la fonctionnelle de Nelson et Siegel. Les courbes des taux utilisés sont celles des Etats-Unis, de la France et de l’Afrique du Sud. La présence de l’Afrique du Sud dans cette étude est due à notre envie de traiter la structure par terme des taux d’intérêt d’un pays africain et aussi son économie émergente. A l’aide des proxies, et d’une ACP sur la courbe des taux de ces trois pays, ces facteurs ont été analysés sur la base de leur qualité d’ajustement. Le dernier point a pour but de traiter les indicateurs macroéconomiques et financiers qui peuvent expliquer les facteurs endogènes extraits. / The financial crisis of recent years has re-opened the debate of the so-called "risk-free" government bonds. Faced with economic and financial issues, credit institutions and financial institutions had reviewed the methods of bonds evaluation. The aim of this thesis is the modeling and management of the bonds prices and is organized on four points. In the first point, we present theoretical approaches on traditional models of interest rates. In the second point, we design a test model named M-M by discretizing the continuous-time models of the short interest rate and using the GARCH family models. This model is constructed by incorporating the level effect of the short term interest rates and GARCH (1,1) effect. The M-M estimation results suggest considering both effects for modeling Treasury bills yields. The third point determines the factors that can be interpreted as the level, slope and curvature, these factors are extracted from two models that are dynamics extensions of the Nelson and Siegel functional. We use Yield Curves of the United States, France and South Africa. The presence of South Africa in this study is due to our desire to treat the term structure of interest rates in an African country which is an emerging economy as well. These factors were analyzed on the basis of their goodness of fit. The last point aims to address macroeconomic and financial indicators that can explain the endogenous factors.

Ce travail étudie des modèles financiers pour les prix d'options, les taux d'intérêts et le risque de crédit, avec des processus stochastiques à mémoire et comportant des discontinuités. Ces modèles sont formulés en termes du mouvement Brownien fractionnaire, du processus de Lévy fractionnaire ou filtré (et doublement stochastique) et de leurs approximations par des semimartingales. Leur calcul stochastique est traité au sens de Malliavin, et des formules d'Itô sont déduites. Nous caractérisons les probabilités risque neutre en termes de ces processus pour des modèles d'évaluation d'options de type de Black-Scholes avec sauts. Nous étudions également des modèles de taux d'intérêts, en particulier les modèles de Vasicek, de Cox-Ingersoll-Ross et de Heath-Jarrow-Morton. Finalement nous étudions la modélisation du risque de crédit / This work investigates financial models for option pricing, interest rates and credit risk with stochastic processes that have memory and discontinuities. These models are formulated in terms of the fractional Brownian motion, the fractional or filtered Lévy process (also doubly stochastic) and their approximations by semimartingales. Their stochastic calculus is treated in the sense of Malliavin and Itô formulas are derived. We characterize the risk-neutral probability measures in terms of these processes for options pricing models of Black-Scholes type with jumps. We also study models of interest rates, in particular the models of Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross and Heath-Jarrow-Morton. Finally we study credit risk models