Cette thèse de doctorat porte sur l’étude de deux objets probabilistes, les mesures de chaos multiplicatif gaussien (GMC) et la théorie conforme des champs de Liouville (LCFT). Le GMC fut introduit par Kahane en 1985 et il s’agit aujourd’hui d’un objet extrêmement important en théorie des probabilités et en physique mathématique. Très récemment le GMC a été utilisé pour définir les fonctions de corrélation de la LCFT, une théorie qui est apparue pour la première fois en 1981 dans le célèbre article de Polyakov, “Quantum geometry of bosonic strings”. Grâce à ce lien établi entre GMC et LCFT, nous pouvons traduire les techniques de la théorie conforme des champs dans un langage probabiliste pour effectuer des calculs exacts sur les mesures de GMC. Ceci est précisément ce que nous développerons pour le GMC sur le cercle unité. Nous écrirons les équations BPZ qui fournissent des relations non triviales sur le GMC. Le résultat final est la densité de probabilité pour la masse totale de la mesure de GMC sur cercle unité ce qui résout une conjecture établie par Fyodorov et Bouchaud en 2008. Par ailleurs, il s'avère que des techniques similaires permettent également de traiter un autre cas, celui du GMC sur le segment unité, et nous obtiendrons de même des formules qui avaient été conjecturées indépendamment par Ostrovsky et par Fyodorov, Le Doussal, et Rosso en 2009. La dernière partie de cette thèse consiste en la construction de la LCFT sur un domaine possédant la topologie d’une couronne. Nous suivrons les méthodes introduites par David- Kupiainen-Rhodes-Vargas même si de nouvelles techniques seront requises car la couronne possède deux bords et un espace des modules non trivial. Nous donnerons également des preuves plus concises de certains résultats connus. / Throughout this PhD thesis we will study two probabilistic objects, Gaussian multiplicative chaos (GMC) measures and Liouville conformal field theory (LCFT). GMC measures were first introduced by Kahane in 1985 and have grown into an extremely important field of probability theory and mathematical physics. Very recently GMC has been used to give a probabilistic definition of the correlation functions of LCFT, a theory that first appeared in Polyakov’s 1981 seminal work, “Quantum geometry of bosonic strings”. Once the connection between GMC and LCFT is established, one can hope to translate the techniques of conformal field theory in a probabilistic framework to perform exact computations on the GMC measures. This is precisely what we develop for GMC on the unit circle. We write down the BPZ equations which lead to non-trivial relations on the GMC. Our final result is an exact probability density for the total mass of the GMC measure on the unit circle. This proves a conjecture of Fyodorov and Bouchaud stated in 2008. Furthermore, it turns out that the same techniques also work on a more difficult model, the GMC on the unit interval, and thus we also prove conjectures put forward independently by Ostrovsky and by Fyodorov, Le Doussal, and Rosso in 2009. The last part of this thesis deals with the construction of LCFT on a domain with the topology of an annulus. We follow the techniques introduced by David-Kupiainen- Rhodes-Vargas although novel ingredients are required as the annulus possesses two boundaries and a non-trivial moduli space. We also provide more direct proofs of known results.

In this dissertation, we first prove that for a random differential equation with the multiplicative driving noise constructed from a Q-Wiener process and the Wiener shift, which is an approximation to a stochastic evolution equation, there exists a unique solution that generates a local dynamical system. There also exist a local center, unstable, stable, centerunstable, center-stable manifold, and a local stable foliation, an unstable foliation on the center-unstable manifold, and a stable foliation on the center-stable manifold, the smoothness of which depend on the vector fields of the equation. In the second half of the dissertation, we show that any two arbitrary local center manifolds constructed as above are conjugate. We also show the same conjugacy result holds for a stochastic evolution equation with the multiplicative Stratonovich noise term as u â—¦ dW

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[pt] A otimização online de portfólios é um problema de engenharia financeira que consiste na escolha sequencial de alocação de capital entre um conjunto de ativos, com o objetivo de maximizar o retorno acumulado no longo prazo. Com o avanço dos estudos de modelos de machine learning, diversos algorítmos estão sendo utilizados para resolver esse problema. Uma série de algoritmos seguem a metodologia Follow-the-winner (FTW) , onde o peso de ações com boa performance é aumentado baseado na hipótese de que a tendência de alta será mantida; outros seguem a metodologia inversa Follow-the-loser (FTL), em que ações com má performance tem seu peso aumentado apostando em uma reversão dos preços. Algoritmos estado-da-arte do tipo FTW possuem garantia teórica de se aproximar da performance da melhor ação escolhida de antemão, entretanto, algoritmos do tipo FTL tem performance superior observada empiricamente. Nosso trabalho busca explorar a ideia de aprender quando utilizar cada uma das duas categorias. Os mecanismos utilizados são algoritmos de online learning com flexibilidade para assumir ambos comportamentos. Foi realizado um estudo da literatura sobre indicadores de memória em séries financeiras e sua possível utilização de forma explícita para escolha entre FTL e FTW. Posteriormente, propomos um método de se realizar o aprendizado entre essas duas categorias de forma online e de forma dinâmica para utilização em algoritmos de online learning. Em nossos experimentos, o método proposto supera o benchmark estabelecido UCRP com excesso de retorno de 36.76 por cento. / [en] Online portfolio selection is a financial engineering problem which aims to sequentially allocate capital among a set of assets in order to maximize long-term return. With the recent advances in the field of machine learning, several models have been proposed to address this problem. Some algorithms approach the problem with a Follow-the-winner (FTW) methodology, which increases the weights of more successful stocks based on their historical performance. Contrarily, a second approach, Follow-theloser (FTW), increases the weights of less successful stocks, betting on the reversal of their prices. Some state-of-the-art FTW type algorithms have the guarantee to asymptotically approach the same performance as the best stock chosen in hindsight, while FTL algorithms have empirical evidence of overperforming the previous. Our goal is to explore the idea of learning when to use each of those two algorithm categories. We do this by using online learning algorithms that are capable of switching between the described regimes. We review the literature for existing measures of time series memory and predictability, and explicitly use this information for chosing between FTW and FTL. Later, we propose a method for choosing between this two types of algorithms in an online and dynamic manner for usage together with online learning algorithms. The method outperforms the chosen benchmark UCRP in our experiments with 36.76 percent excess returns.

The Common Core State Standards call for more rigorous, focused, and coherent curriculum and instruction, has resulted in students being faced with more cognitively high-demanding tasks which involve forming connections within and between fundamental mathematical concepts. Because mathematical comprehension generally relates back to one’s ability to form connections to prior knowledge, this study sought to examine the extent to which current learning environments expose students to connection-making opportunities that may help facilitate mathematical understanding of elementary multiplicative inverses. As part of an embedded mixed-methods design, I analyzed curriculum materials, classroom instruction, and student assessments from four elementary mathematics teachers’ classrooms. A situation model perspective of comprehension was used for analysis. The aim of this study was thus to determine how instructional tasks, representations, and deep questions are used for connection-making, which is the foundation of a situation model that can be used for inference-making. Results suggest that student comprehension depends more on connection-making opportunities afforded by classroom teachers, rather than on learning opportunities found solely within a curriculum. This included instruction that focused on deeply unpacking side-by-side comparison type examples, situated examples in personal concrete contexts, used semi-concrete representations to illustrate structural relationships, promoted efficiency through the sequence of presented representations, and posed deep questions which supported students’ sense-making and emphasized the interconnectedness of mathematics. By analyzing these key aspects, this study contributes to research on mathematical understanding and provides a foundation for helping students facilitate transfer of prior knowledge into novel mathematical situation. / Math & Science Education

[pt] Um operador definido em um espaço de Hilbert é uniformemente estável se ele converge na topologia da norma para o operador nulo. O problema de Estabilidade Multiplicativa investiga quais são as classes de operadores que estabilizam uniformemente o operador original por uma perturbação multiplicativa. Neste trabalho colocamos este problema no contexto de produto tensorial e investigamos quais as classes que estabilizam multiplicativamente Contrações Fortemente Estáveis sob uma perturbação compacta. Em particular, apresentamos uma solução para o Problema de Estabilidade Multiplicativa para Contrações Fortemente Estáveis. / [en] An operator on a Hilbert space is uniformly stable if it converges to the null operator on the norm topology. The Multiplicative Stabilization Problem investigates which operators classes uniformly stabilize de original operator under multiplicative perturbation. This work consider the previous problem under the tensor product framework and investigates which operators classes multiplicative stabilize Strongly Stable Contraction under compact perturbations. We have established a solution to the Multiplicative Stabilization Problem for Strongly Stable Contractions.

Este estudo considera o modelo de controle ótimo estocástico sob um critério de média-variância para sistemas lineares a tempo discreto sujeitos a saltos Markovianos e ruídos multiplicativos sob dois critérios. Inicialmente, consideramos como critério de desempenho a minimização multiperíodo de uma combinação entre a média e a variância da saída do sistema sem restrições. Em seguida, consideramos o critério de minimização multiperíodo da variância da saída do sistema ao longo do tempo com restrições sobre o valor esperado mínimo. Condições necessárias e suficientes explícitas para a existência de um controle ótimo são determinadas generalizando resultados anteriores existentes na literatura. O controle ótimo é escrito como uma realimentação de estado adicionado de um termo constante. Esta solução é obtida através de um conjunto de equações generalizadas a diferenças de Riccati interconectadas com um conjunto de equações lineares recursivas. Como aplicação, apresentamos alguns exemplos numéricos práticos para um problema de seleção de portfólio multiperíodo com mudança de regime, incluindo uma estratégia de ALM (Asset and Liability Management). Neste problema, deseja-se obter a melhor alocação de portfólio de forma a otimizar seu desempenho entre risco e retorno em cada passo de tempo até o nal do horizonte de investimento e sob um dos dois critérios citados acima. / In this work we consider the stochastic optimal control problem of discrete-time linear systems subject to Markov jumps and multiplicative noise under two criterions. First, we consider an unconstrained multiperiod mean-variance trade-off performance criterion. In the sequence, we consider a multiperiod minimum variance criterion subject to constraints on the minimum expected output along the time. We present explicit necessary and sufficient conditions for the existence of an optimal control strategy for the problems, generalizing previous results in the literature. The optimal control law is written as a state feedback added with a deterministic sequence. This solution is derived from a set of coupled generalized Riccati difference equations interconnected with a set of coupled linear recursive equations. As an application, we present some practical numerical examples on a multiperiod portfolio selection problem with regime switching, including an Asset and Liability Management strategy. In this problem it is desired to nd the best portfolio allocation in order to optimize its risk-return performance in every time step along the investment horizon, under one of the two criterions stated above.In this work we consider the stochastic optimal control problem of discrete-time linear systems subject to Markov jumps and multiplicative noise under two criterions. First, we consider an unconstrained multiperiod mean-variance trade-off performance criterion. In the sequence, we consider a multiperiod minimum variance criterion subject to constraints on the minimum expected output along the time. We present explicit necessary and sufficient conditions for the existence of an optimal control strategy for the problems, generalizing previous results in the literature. The optimal control law is written as a state feedback added with a deterministic sequence. This solution is derived from a set of coupled generalized Riccati difference equations interconnected with a set of coupled linear recursive equations. As an application, we present some practical numerical examples on a multiperiod portfolio selection problem with regime switching, including an Asset and Liability Management strategy. In this problem it is desired to nd the best portfolio allocation in order to optimize its risk-return performance in every time step along the investment horizon, under one of the two criterions stated above.

Já é bem estabelecido na geometria diferencial o uso de fibrados principais com grupo de estru- tura para a definição e o estudo de algumas estruturas geométricas na base do fibrado. O uso de fibrados principais com grupoide de estrutura na definição de estruturas geométricas sobre varieda- des não tem sido muito explorada. O único exemplo do uso desses fibrados para definir estruturas geométricas foi dado Haefliger. Ele mostrou que folheações regulares sobre uma variedade estão em correspondência com uma classe de fibrados principais com grupoide de estrutura, e usando a classificação de fibrados principais ele obtive a classificação de folheações regulares a menos de homotopia sobre uma variedade aberta. Neste trabalho propomos uma definição a qual generaliza as folheações regulares para produzir uma classe de fibrados vetoriais ancorados e provamos para eles um teorema de classificação no espirito do teorema de Haefliger. Depois aplicamos a teoria desenvolvida aos grupoides com formas multiplicativas e mostramos como a nossa definição per- mite trasladar a geometria guardada na forma multiplicativa para a base do fibrado principal. Em seguida voltamos para o caso de folheações regulares e mostramos que a nossa proposta permite incluir novas estruturas transversais à folheação. / It is well know in differencial geometry the use of principal bundles with structure group to define and study some geometric structures on the base of the bundle. The use of principal bun- dle with a structure groupoid has not been extensively studied yet. The only example using this kind of bundle was provided by Haefliger in his study of regular foliations. Haefliger showed that regular foliations can be identified with some class of principal bundles with structure groupoid, then by using the classifying theorem of principal bundles he arrived to the classification theorem of regular foliations up to homotopy on open manifolds. In this work we will propose a definition that generalizes regular foliations to include anchored vector bundles and, will prove a classification theorem for these structures in the spirit of Haefligers theorem. Then we will apply this theory to groupoids with multiplicative forms and show that our definition permits to transfer the geometry encoded in the multiplicative form to the base of the bundle. Then we will back to the case of regular foliations and show that our proposal allow new transversal structures to the foliation.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:14Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Aparecido dos Santos.pdf: 8054153 bytes, checksum: fabf7380b63cda2897708af3bd5575d1 (MD5) Previous issue date: 2012-02-10 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Based on the spiral model of action-reflection-planning-action, this work aimed to investigate the contributions of formative process to the reflection on/about the practice of, when taking the as a mathematical. In order to do so, we supported our system of references in two pillars: a) the conceptual field theory; b) the teacher continuing education. From a qualitative approach, this research was carried with a group of 03 researchers/trainers and 14 polyvalent s teachers of a state school in São Paulo. In addition to this, it was developed in both diagnostic and formative stages: the former investigated the teachers assumptions about teaching and learning multiplicative conceptual field; the latter, accomplished in 16 meetings, attempted to examine how formative process contributes to changes in pedagogical practices through participatory observations. The corpus of analysis was composed by different means. The research aimed to answer the main question: considering the spiral model of action-reflection-planning-action, what are the contributions of formative process to polyvalent teaching practice, when taking the multiplicative conceptual field as a mathematical? In relation to the acquisition and expansion of multiplicative concepts, the analysis stated that the formative process contribute to the quantitative and qualitative improvements, which meant a ressignification and enlargement of teachers assumptions towards the teaching/learning process, in both conceptual, pedagogical and cognitive view-point and curricular development. The results identified some aspects which defined the teacher s learning category. It was observed that this learning took place in four-dimensional interaction: a) in the relation between teacher-student; b) in the relation among teacher-teacher-researchers/trainers; c) in the confrontation of theory and practice; d) on the reflection about the pedagogical practice, especially in the thinking process initiated from the sharing analysis of classroom practices. The investigation revealed that the formative process based on a specific field of Mathematics is an important prompter of such process, although its contributions go beyond this particular thinking, when taking the classroom practices as an object of sharing analysis, reasoning and problematization. The ressignification and transformation of pedagogical practices were being perceived as the discursive interaction improved the theoretical, practicing and reflexive courses of action among all the participants / Este estudo teve por objetivo compreender as contribuições que um processo formativo, pautado na espiral ação-reflexão-planejamento-ação, podem trazer para a reflexão na e sobre a prática de professoras polivalentes no âmbito do Campo Conceitual Multiplicativo. Para tanto, construímos nosso referencial sustentado em dois pilares teóricos: (a) na Teoria dos Campos Conceituais e (b) nas teorias que versam sobre a formação continuada de professores. A partir de uma abordagem qualitativa, a pesquisa foi realizada com um grupo constituído por três pesquisadores/formadores e 14 professoras polivalentes de uma escola da rede pública estadual, do município de São Paulo e desenvolveu em duas etapas: a diagnóstica e a formativa. A primeira investigou as concepções dessas professoras em relação ao ensino e à aprendizagem do Campo Conceitual Multiplicativo; a segunda, por meio da observação participante, procurou investigar as contribuições de um processo formativo para mudanças nas práticas pedagógicas, no decorrer de 16 encontros. As informações que constituíram o corpus para análise foram coletadas por meio de diferentes instrumentos. A pesquisa procurou responder à questão: Quais as contribuições que um processo formativo, pautado na espiral ação-reflexão-planejamento-ação, podem trazer para a reflexão na e sobre a prática de professores polivalentes no âmbito do Campo Conceitual Multiplicativo . Com relação à apropriação e expansão do Campo Conceitual Multiplicativo, a análise das informações forneceu elementos para sustentar que o processo formativo contribui para avanços quantitativos e qualitativos, o que significou para as professoras a ressignificação e a ampliação das suas concepções em relação ao ensino e à aprendizagem desse campo, tanto do ponto de vista conceitual, didático e cognitivo, como do ponto de vista do seu desenvolvimento curricular. As análises das informações coletadas conduziram para a identificação de alguns elementos que foram definidores da categoria aprendizagem docente. Foi possível observar que essa aprendizagem se deu na interface de quatro dimensões: (a) na relação professor-estudante; (b) na relação professorprofessor- pesquisadores/formadores; (c) no confronto entre a teoria e prática; e (d) na reflexão sobre a prática pedagógica, sobretudo no processo de reflexão desencadeada a partir da análise compartilhada das práticas de sala de aula. A investigação mostrou que um processo formativo pautado em um campo específico da Matemática é importante como detonador desse processo, mas que as suas contribuições vão além dessas reflexões específicas, quando se tomaram as práticas de sala de aula como objeto de análise compartilhada, de reflexão e de problematização. A ressignificação e a transformação das práticas pedagógicas foram sendo percebidas na medida em que avançava a interação discursiva entre todos os participantes nos momentos das ações: teórica, prática e reflexiva

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Vera Lucia Merlini.pdf: 4241672 bytes, checksum: 953055a1c9e9b78c5965a4e2ba54f59c (MD5) Previous issue date: 2012-05-03 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The objective of this work is to investigate the contributions and limits that a formation process, with corporate dimension, promotes to reflection on and about the teaching practice of an elementary school teacher, in the Multiplicative Conceptual Field, and its theoretical support to the Conceptual Fields Theory (VERGNAUD; 1998, 2008). This research develops a case study based on three specific aspects of a Grade three teacher of an Elementary School: (i) her formation process at her subgroup G3 (per grade) with other school teachers; (ii) her teaching practice during a class where situations related to the Multiplicative Conceptual Field developed by the G3 were applied; and (iii) a semistructured interview conducted with the teacher immediately after the class referred above. The data collected were analyzed according to the following criteria: (a) the diagnoses collected; (b) the expansion of the theoretical and practical knowledge according to her experience and reflection; (c) the resignification of the teacher s conceptions about the Multiplicative Conceptual Field and about her teaching strategies. The results show the contributions and limitations from three points of view: didactic the conception that students´ learning can be developed on a sharing basis; however, the discussions about the sharing situations have been insufficient; conceptual the development of the ability to categorize situations according to the ideas presented in the Multiplicative Conceptual Field, as opposed to the development of a partitive division, mistakenly stating that it was a quotitive division; cognitive the necessity of leading the student to understand the situation as a whole, not linking the solving strategy to any key word; however, the students have not been provided with situations that approached the quotitive division model, that would allow other cognitive solution forms. These results lead us to conclude that knowledge expansion in the Multiplicative Conceptual Field occurred in the teacher; however, it is possible that the major limitation has been the restricted timing in the formation process / A presente tese teve por objetivo investigar as contribuições e os limites que um processo formativo, com dimensões colaborativas, proporciona no que tange à reflexão na e sobre a prática de uma professora das séries iniciais do Ensino Fundamental, no âmbito do Campo Conceitual Multiplicativo, e como suporte teórico a Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD; 1998, 2008). Para tanto foi realizado um estudo de caso o qual acompanhou uma professora da 3ª série do Ensino Fundamental em três momentos distintos: (i) no processo formativo junto ao seu respectivo subgrupo G3 (por série) e as demais professoras da escola; (ii) na observação de sua aula em que houve a aplicação das situações desenvolvidas pelo G3, relativas ao Campo Conceitual Multiplicativo; e, logo em seguida a essa aula, (iii) na entrevista semi-estruturada realizada com a referida professora. Os dados coletados foram analisados sob três tópicos: (a) os diagnósticos coletados; (b) a expansão dos conhecimentos teóricos e práticos por meio da vivência e da reflexão da professora; e (c) a ressignificação das concepções da professora em relação ao Campo Conceitual Multiplicativo e das suas estratégias didáticas. Os resultados apontam as contribuições e limitações sob três pontos de vista: didático a concepção de que a aprendizagem dos estudantes pode ser construída de forma compartilhada, contudo as discussões a respeito das situações que contemplaram a operação de divisão foram insuficientes; conceitual o desenvolvimento da capacidade de categorizar situações segundo os eixos trabalhados do Campo Conceitual Multiplicativo, em contraponto a elaboração de uma situação de divisão partitiva afirmando, de forma equivocada, que se tratava de uma divisão quotitiva; cognitivo a necessidade de fazer o estudante entender a situação como um todo, e que sua estratégia de resolução não estivesse atrelada a alguma palavra-chave, no entanto não foi proporcionado aos estudantes situações que contemplassem o modelo de divisão quotitiva, que permitissem gerar outros esquemas cognitivos para sua resolução. Esses resultados levam a concluir que de fato houve expansão dos conhecimentos no Campo Conceitual Multiplicativo por parte da professora, contudo é possível que o limitador maior tenha sido o tempo do processo formativo, que fora restrito