Illustrated pictures play an important role as mediators of mathematical concepts and relations in mathematical textbooks used in Swedish primary school classrooms. Theories of the meaning of semiotics for teaching and learning, as well as the Variation theory of learning, are used as a framework to investigate the critical aspects for developing multiplicative reasoning through visual presentations. In this study143 students in 3rd grade (age 9-10) participated in a test where multiplication is represented with illustrations, using both additive and multiplicative groupings. The students were also instructed to draw multiplication expressions with various visual supports. Students’ responses were analyzed by quantifying groupings based on the multiplication expressions students identify, as well as the extend of which they use additive and multiplicative visual representations and support in their own drawings. Results show indications of different properties of multiplication that can be presented in illustrations. How teacher knowledge can be used to identify the critical aspects for learning multiplication is here discussed, leading to suggestions regarding ways is which textbook pictures can be useful tools in teaching and learning.

[pt] O Planejamento da Operação Energética de Médio Prazo do Sistema Interligado Nacional (SIN) é um problema de decisão sob incerteza, com acoplamentos espacial e temporal. A solução vigente determina a política ótima através do algoritmo Programação Dinâmica Dual Estocástica (PDDE), onde a incerteza hidrológica é representada como um processo Periódico Autorregressivo (PAR). Para a aplicação do planejamento, uma restrição do modelo PAR é a possibilidade do mesmo simular valores negativos de afluência. A abordagem usada no modelo para que este gere apenas valores positivos criou uma relação de dependência entre os resíduos do modelo e as afluências passadas, em detrimento da premissa de independência temporal assumida pela PDDE. Neste contexto, o modelo Periódico Vetorial Autorregressivo com erro multiplicativo (PVARm) torna-se interessante para representação da incerteza das afluências, visto que, junto ao método de estimação adotado, garante as premissas da PDDE, além de incorporar a correlação espacial das afluências na própria formulação do modelo. Este trabalho apresenta o modelo PVARm aplicado à geração de cenários para atendimento do processo de otimização, a partir de dados do SIN. A estimação do modelo considera as mudanças de topologia das usinas ao longo do horizonte de planejamento e avalia dois critérios de identificação – ordem fixa unitária e ordem selecionada a partir da menor soma de erros de ajuste. Os cenários gerados são comparados aos cenários gerados pelo modelo que representa aquele vigente, o PAR. A comparação se baseia nos quesitos reprodução de estatísticas mensais e anuais e na adequação dos modelos, medida por testes de sequências. Os resultados mostraram que o PVARm de ordem unitária fixa apresentou comportamento satisfatório na maioria dos testes e motivou a continuidade dos estudos para aplicação no Planejamento da Operação Energética do SIN. / [en] The Medium-Term Energy Planning of the National Interconnected System (SIN) is a decision-making problem under uncertainty, coupled in space and time. The official solution uses the Stochastic Dual Dynamic Programming (SDDP) algorithm, where uncertainty is represented as a Periodic Autoregressive (PAR) process. Specifically for the Planning application, the possibility of PAR simulates negative streamflow values is a limitation of the model. The approach used in PAR to solve this question creates a link between the current residual and the past streamflow in spite of the stochastic component stage-wise independency assumption of SDDP algorithm. In this context, the Periodic Vector Autoregressive model with multiplicative error (PVARm) becomes interesting for streamflow formulation, since it guarantees the PDDE assumptions, it can simulate only positive streamflow values, besides incorporating the spatial inflows correlation. This work presents the PVARm model applied to the simulation of scenarios to attend the optimization process, based on data from the SIN. The estimation of the model is considered as the topology change of the last decades for the planning and selection of two classification criteria - unit and alternative fixed order from the smallest sum of model errors of fit. The scenarios generated are compared to the scenarios generated by the model that represent the current one, the PAR. The comparison is based on the results of the monthly and annual statistics measurement and the adequacy of the models, as measured by sequence tests. The results were that the PVAR is of a type of test that was not implemented in most of the tests and motivated the continuity of the studies for the application in the Planning of the Energy Operation of the SIN.

Essa dissertação apresenta um conjunto de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) que foram desenvolvidos com o objetivo de promover a aprendizagem das operações com números positivos e negativos sob a perspectiva da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Além disso, também foi desenvolvida uma proposta didática para auxiliar o professor que desejar utilizá-lo nas suas aulas. Nossa pesquisa ainda apresenta a construção histórica do conjunto dos números positivos e negativos, uma discussão sobre o uso das tecnologias de informação e comunicação (TICs) em Educação e uma revisão de propostas voltadas para o ensino dos números positivos e negativos. De caráter experimental, nossa proposta foi aplicada em dois momentos diferentes: no final de 2008 numa turma de 6º série do Ensino Fundamental do Colégio de Aplicação da UFRGS e durante o primeiro semestre de 2010 numa escola da rede privada do município de Guaíba/RS. A análise dos resultados obtidos serviu como subsídio para a implementação de modificações no ODA e na proposta didática, bem como para a reflexão do desenvolvimento de ODAs que promovam o desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo através de problemas que envolvam operações com números positivos e negativos. / This master's research shows a set of Digital Learning Objects (DLO) which were developed to promote learning of operations with whole numbers through Vergnaud's theory of conceptual fields. Furthermore, a didactical proposal was also developed in order to aid the teacher who wishes to use it in the classroom. Our research also presents the historical construction of the set of positive and negative numbers, a discussion of the use of information and communication technologies (ICTs) in Education and a review of proposals aimed at whole numbers teaching. Having an experimental character, our proposal was applied on two different moments: in the end of 2008 on an 6th grade of Colégio de Aplicação da UFRGS in the city of Porto Alegre and during the first semester of 2010 in a private school in the district of Guaíba/RS. The analysis of the results gathered served as foundation to implement a few modifications on the DLO and on the didactical proposal, as well to reflect over the development of DLOs which can promote the development of the additive and multiplicative reasoning through problems involving operations with whole numbers.

The study was focused on the research of the continuous formation process of the teachers that act on the 3 rd and 4 Th degrees of the fundamental ensign of the public net of the state, on the metropolitan region of Alagoas state. The continuous formation was in the space of math s laboratory, including the discussions about multiplicative structures, connected to the questions of the cotição ideas and repartition that are inside the problems of division. About the studies the Conceptual fields of the Multiplicative Structures of Gerard Vergnaud and the construction of concepts of Vygostky, admitting the use of the seeds game as a resource for counting through group s additives and multiplicities. Specifically during the workshops according to actions and activities developed. Then, recovering the actions and the results of the analysis, that were done by oral and written reports of the teachers about the use of the conventional algorithm, with the understanding of the process of division by the students. Obviously, without the systematization and understanding of the formalization process of the division operation, and the ideas of cotição and repartition of values, just, the algorithm is developed. It was seen the teachers' representations about the annotation of the appropriation process of the concept of division and effective didactic transposition. The qualitative analysis of the discussions and reflections recorded in videos on the teaching and learning of the teachers has caused practices reflected in methodological procedures, targeted to various possibilities didactic, by the teachers and result in the of students learning / O estudo focalizou-se na investigação do processo de formação continuada dos professores que atuam na 3ª e 4ª séries do Ensino Fundamental da rede pública estadual, da região metropolitana de Alagoas. A formação continuada ocorreu no espaço do laboratório de Matemática, abrangendo as discussões acerca das estruturas multiplicativas, no que se refere às questões das idéias de cotição e de repartição presentes nos problemas de divisão e como referência os estudos dos Campos Conceituais das Estruturas Multiplicativas de Gerard Vergnaud e da construção de conceitos de Vygostky, admitindo-se o uso do jogo de sementes como recurso de contagem através dos agrupamentos aditivos e multiplicativos, mais especificamente durante as oficinas, de acordo com ações e atividades desenvolvidas. Em seguida, foram retomados os resultados das ações e da análise realizados pelos relatos orais e escritos dos professores sobre a utilização do algoritmo convencional, com a compreensão do processo de divisão por parte dos alunos. Obviamente, sem a sistematização e compreensão do processo da formalização da operação de divisão, e das idéias de cotição e de repartição de valores, apenas, desenvolvese o algoritmo. Verificaram-se ainda as representações dos professores em relação à anotação do processo de apropriação do conceito de divisão e da efetiva transposição didática. A análise qualitativa das discussões e das reflexões gravadas em vídeos sobre o ensino e a aprendizagem dos professores fez com que as práticas fossem refletidas em procedimentos metodológicos direcionados para diversas possibilidades didáticas, por parte dos professores e, por conseqüência, a aprendizagem dos alunos

Este trabalho apresenta investigação acerca das concepções de professores dos Anos Inicias sobre o Campo Multiplicativo à luz da Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud. O campo multiplicativo foi escolhido como tema de estudo por permear todo o ensino básico, sendo assim de grande importância para a formação matemática escolar dos estudantes. A coleta de dados se dá em um curso de formação continuada, que se desenvolveu ao longo de 5 encontros de 4 horas, com 11 professoras da Escola Estadual de Ensino Médio Célia Flores Lavra Pinto localizada no município de Viamão/RS. Utilizou-se a pesquisa-ação como metodologia da pesquisa. Ao final da pesquisa, concluímos que o grupo de professores pesquisado se mantém restrito ao trabalho voltado para o algoritmo de multiplicação e a memorização da tabuada, quando se trata do Campo Multiplicativo das Operações. O produto desta pesquisa é um conjunto de atividades sobre o tema Campo Multiplicativo das Operações, dentre outros temas relacionados, que poderão auxiliar professores que ensinam matemática interessados em pensar sobre a prática docente e ampliar suas possibilidades de intervenção junto aos estudantes. / This paper presents the development of a training course for teachers of the early years in order to investigate teachers' conceptions about Multiplicative Field Operations to the Theory of Conceptual Fields Gérard Vergnaud. The multiplicative field was chosen as the subject of study not only because it permates the whole basic education, but also because it has a great importance to the training school mathematics students. Data collection occurs in a continuing education course, which was developed in 5 meetings of 4 hours, with 11 teachers from State Preparatory School High School Celia Flores Lavra Pinto localized in Viamão/RS. We used the action research as the research methodology. At the end of the paper, we conclude that the studied group of teachers remains restricted to the work facing the multiplication algorithm and memorizing multiplication tables when it comes to the field Multiplicative Operations . The product of this research is a set of activities on the theme Multiplicative Field Operations. Among other issues, it may help teachers to teach mathematics for those who are interested in thinking about teaching practice and expand their possibilities of intervention with students.

Essa dissertação apresenta um conjunto de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) que foram desenvolvidos com o objetivo de promover a aprendizagem das operações com números positivos e negativos sob a perspectiva da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Além disso, também foi desenvolvida uma proposta didática para auxiliar o professor que desejar utilizá-lo nas suas aulas. Nossa pesquisa ainda apresenta a construção histórica do conjunto dos números positivos e negativos, uma discussão sobre o uso das tecnologias de informação e comunicação (TICs) em Educação e uma revisão de propostas voltadas para o ensino dos números positivos e negativos. De caráter experimental, nossa proposta foi aplicada em dois momentos diferentes: no final de 2008 numa turma de 6º série do Ensino Fundamental do Colégio de Aplicação da UFRGS e durante o primeiro semestre de 2010 numa escola da rede privada do município de Guaíba/RS. A análise dos resultados obtidos serviu como subsídio para a implementação de modificações no ODA e na proposta didática, bem como para a reflexão do desenvolvimento de ODAs que promovam o desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo através de problemas que envolvam operações com números positivos e negativos. / This master's research shows a set of Digital Learning Objects (DLO) which were developed to promote learning of operations with whole numbers through Vergnaud's theory of conceptual fields. Furthermore, a didactical proposal was also developed in order to aid the teacher who wishes to use it in the classroom. Our research also presents the historical construction of the set of positive and negative numbers, a discussion of the use of information and communication technologies (ICTs) in Education and a review of proposals aimed at whole numbers teaching. Having an experimental character, our proposal was applied on two different moments: in the end of 2008 on an 6th grade of Colégio de Aplicação da UFRGS in the city of Porto Alegre and during the first semester of 2010 in a private school in the district of Guaíba/RS. The analysis of the results gathered served as foundation to implement a few modifications on the DLO and on the didactical proposal, as well to reflect over the development of DLOs which can promote the development of the additive and multiplicative reasoning through problems involving operations with whole numbers.

Este estudo considera o problema de controle ótimo multi-período de média-variância para sistemas em tempo discreto com saltos markovianos e ruídos multiplicativos. Inicialmente considera-se um critério de desempenho formado por uma combinação linear da variância nal e valor esperado da saída do sistema. É apresentada uma solução analítica na obtenção da estratégia ótima para este problema. Em seguida são considerados os casos onde os critérios de desempenho são minimizar a variância nal sujeito a uma restrição no valor esperado ou maximizar o valor esperado nal sujeito a uma restrição na variância nal da saída do sistema. As estratégias ótimas de controle são obtidas de um conjunto de equações de diferenças acopladas de Riccati. Os resultados obtidos neste estudo generalizam resultados anteriores da literatura para o problema de controle ótimo com saldos markovianos e ruídos multiplicativos, apresentando condições explícitas e sucientes para a otimalidade da estratégia de controle. São apresentados modelos e simulações numéricas em otimização de carteiras de investimento e estratégias de gestão de ALM (asset liabilities management). / This thesis focuses on the stochastic optimal control problem of discrete-time linear systems subject to Markov jumps and multiplicative noise under three kinds of performance criterions related to the nal value of the expectation and variance of the output. In the first problem it is desired to minimize the nal variance of the output subject to a restriction on its nal expectation, in the second one it is desired to maximize the nal expectation of the output subject to a restriction on its nal variance, and in the third one it is considered a performance criterion composed by a linear combination of the nal variance and expectation of the output of the system. The optimal control strategies are obtained from a set of interconnected Riccati dierence equations and explicit sufficient conditions are presented for the existence of an optimal control strategy for these problems, generalizing previous results in the literature. Numerical simulations of investment portfolios and asset liabilities management models for pension funds with regime switching are presented.

Essa dissertação apresenta um conjunto de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) que foram desenvolvidos com o objetivo de promover a aprendizagem das operações com números positivos e negativos sob a perspectiva da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Além disso, também foi desenvolvida uma proposta didática para auxiliar o professor que desejar utilizá-lo nas suas aulas. Nossa pesquisa ainda apresenta a construção histórica do conjunto dos números positivos e negativos, uma discussão sobre o uso das tecnologias de informação e comunicação (TICs) em Educação e uma revisão de propostas voltadas para o ensino dos números positivos e negativos. De caráter experimental, nossa proposta foi aplicada em dois momentos diferentes: no final de 2008 numa turma de 6º série do Ensino Fundamental do Colégio de Aplicação da UFRGS e durante o primeiro semestre de 2010 numa escola da rede privada do município de Guaíba/RS. A análise dos resultados obtidos serviu como subsídio para a implementação de modificações no ODA e na proposta didática, bem como para a reflexão do desenvolvimento de ODAs que promovam o desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo através de problemas que envolvam operações com números positivos e negativos. / This master's research shows a set of Digital Learning Objects (DLO) which were developed to promote learning of operations with whole numbers through Vergnaud's theory of conceptual fields. Furthermore, a didactical proposal was also developed in order to aid the teacher who wishes to use it in the classroom. Our research also presents the historical construction of the set of positive and negative numbers, a discussion of the use of information and communication technologies (ICTs) in Education and a review of proposals aimed at whole numbers teaching. Having an experimental character, our proposal was applied on two different moments: in the end of 2008 on an 6th grade of Colégio de Aplicação da UFRGS in the city of Porto Alegre and during the first semester of 2010 in a private school in the district of Guaíba/RS. The analysis of the results gathered served as foundation to implement a few modifications on the DLO and on the didactical proposal, as well to reflect over the development of DLOs which can promote the development of the additive and multiplicative reasoning through problems involving operations with whole numbers.

Este trabalho apresenta investigação acerca das concepções de professores dos Anos Inicias sobre o Campo Multiplicativo à luz da Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud. O campo multiplicativo foi escolhido como tema de estudo por permear todo o ensino básico, sendo assim de grande importância para a formação matemática escolar dos estudantes. A coleta de dados se dá em um curso de formação continuada, que se desenvolveu ao longo de 5 encontros de 4 horas, com 11 professoras da Escola Estadual de Ensino Médio Célia Flores Lavra Pinto localizada no município de Viamão/RS. Utilizou-se a pesquisa-ação como metodologia da pesquisa. Ao final da pesquisa, concluímos que o grupo de professores pesquisado se mantém restrito ao trabalho voltado para o algoritmo de multiplicação e a memorização da tabuada, quando se trata do Campo Multiplicativo das Operações. O produto desta pesquisa é um conjunto de atividades sobre o tema Campo Multiplicativo das Operações, dentre outros temas relacionados, que poderão auxiliar professores que ensinam matemática interessados em pensar sobre a prática docente e ampliar suas possibilidades de intervenção junto aos estudantes. / This paper presents the development of a training course for teachers of the early years in order to investigate teachers' conceptions about Multiplicative Field Operations to the Theory of Conceptual Fields Gérard Vergnaud. The multiplicative field was chosen as the subject of study not only because it permates the whole basic education, but also because it has a great importance to the training school mathematics students. Data collection occurs in a continuing education course, which was developed in 5 meetings of 4 hours, with 11 teachers from State Preparatory School High School Celia Flores Lavra Pinto localized in Viamão/RS. We used the action research as the research methodology. At the end of the paper, we conclude that the studied group of teachers remains restricted to the work facing the multiplication algorithm and memorizing multiplication tables when it comes to the field Multiplicative Operations . The product of this research is a set of activities on the theme Multiplicative Field Operations. Among other issues, it may help teachers to teach mathematics for those who are interested in thinking about teaching practice and expand their possibilities of intervention with students.

Submitted by Fabio Sobreira Campos da Costa (fabio.sobreira@ufpe.br) on 2017-04-27T13:26:27Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) Dissertação_Fernanda_Augusta_Lima_das_Chagas.pdf: 1669768 bytes, checksum: aaa8a92bffbeb14e628c00eb4fc9283b (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-27T13:26:27Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) Dissertação_Fernanda_Augusta_Lima_das_Chagas.pdf: 1669768 bytes, checksum: aaa8a92bffbeb14e628c00eb4fc9283b (MD5) Previous issue date: 2014-02-26 / FACEPE / Pesquisas em Psicologia da Educação Matemática apontam algumas das dificuldades que as crianças apresentam em relação às estruturas multiplicativas. Por isso, o presente estudo investigou, se e como, a noção de agrupamento explícito poderia favorecer o raciocínio matemático das crianças na resolução de problemas de multiplicação e divisão (partição e quota) de proporção simples de um-para-muitos. De forma específica, investigou as estratégias utilizadas pelas crianças para resolver essa classe de problemas, buscando observar se algum tipo de problema desse agrupamento explícito favoreceu a resolução, como também analisar a maneira na qual a criança lida com os problemas que possui o agrupamento implícito. Para tanto, a dissertação se fundamenta nas ideias de Jean Piaget para discorrer sobre o desenvolvimento cognitivo e a construção de conceitos, e no campo da Matemática, na Teoria dos Campos Conceituais apresentada por Gérard Vergnaud. Participaram dessa pesquisa 119 crianças, de ambos os sexos, com idades entre 6 e 11 anos, cursando 2º ano, 3º ano, 4º ano e 5º ano, do Ensino Fundamental (anos iniciais) de escolas públicas da cidade do Recife. Todos os participantes foram entrevistados individualmente em duas sessões, sendo solicitados a resolver seis problemas em cada sessão, totalizando doze problemas, envolvendo o agrupamento explícito e implícito. Após aplicação das tarefas foi realizada uma entrevista individual, seguindo o método clínico piagetiano, onde foi solicitado ao participante que explicasse a estratégia utilizada na resolução dos problemas apresentados. Os dados foram analisados em função do número de acertos e das estratégias utilizadas. De modo geral, os resultados mostraram que não houve diferença significativa nos problemas de agrupamento explícito, quando comparado aos de agrupamento implícito. Isso talvez tenha ocorrido devido há algumas limitações encontradas na pesquisa. Entretanto, no que diz respeito aos participantes do 2º ano foi verificada uma diferença significativa nos problemas de divisão por quota, contendo o agrupamento explícito, quando comparado aos problemas de partição. Mas apesar do dado encontrado não é possível afirmar com precisão que esse tipo de agrupamento tenha favorecido, uma vez que pesquisas anteriores demonstram que as crianças tendem a apresentar melhores resultados na resolução nos problemas de divisão por quota. As estratégias foram analisadas, considerando a pesquisa realizada por Magina, Santos e Merlini (2010) e por Chagas (2011), sendo, detectados quatro tipos de respostas, a saber: inconsistente, pensamento aditivo, transição e pensamento multiplicativo. O teste aplicado em relação às estratégias não detectou diferenças significativas nos diferentes tipos de agrupamento, considerando os anos investigados. Conclui-se que o agrupamento explícito não favorece no raciocínio das crianças na resolução de problemas de multiplicação e divisão (partição), de proporção simples de um-para-muitos. No entanto, o fato de ter encontrado uma diferença na resolução dos problemas de divisão por quota de agrupamento explícito, nos estudantes do 2º ano, faz com que se pense na possibilidade de realizar outro estudo mais detalhado, contendo um maior número de problemas e de participantes para de verificar se realmente há diferença, visto que não é possível afirmar a diferença na atual pesquisa. / Research in Psychology of Mathematics Education point out the difficulties that children have in relation to the multiplicative structures. This study had as general objective investigate if and how the explicit grouping can influence in the logic of the students in the resolution of multiplication and division problems (partition and share) of simple proportion from one-to-many. Specifically, we investigated the strategies used by children to solve this class of problems, trying to see if any problems that explicit grouping favored the resolution, but also examine the way in which the child deals with the problems that have the implicit grouping. Therefore, the dissertation is based on Jean Piaget ideas to discuss cognitive development and the construction of concepts, and in the field of Mathematics, Theory of Conceptual Fields by Gérard Vergnaud. Participated in this study 119 children of both sexes, aged between 6 and 11 years old, attend classes 2º grade, 3º grade, 4º grade and 5º grade, of Elementary Education (first years) of public schools from Recife. All the participants were interviewed individually in two sessions, being order to resolve six problems in each session, totalizing 12 problems, involving the idea of explicit grouping and implicit grouping. After the problems application it was make an individual interview, following Piaget clinical methods, which was order that the participant explain the strategy used in the resolution of presented problems. The data were analyzed in function of correct numbers and follow strategies. In general, the results showed no significant differences in explicit grouping problems, when compare with implicit grouping. This maybe happen because there are some limitations found in the search. However, about the participants of 2º grade it was observed a significant difference in share by division problems, the explicit containing group when compared to partitioning problems. But even with this data is not possible to state precisely that type of grouping has favored, since previous research has shown that children tend to have better results in solving problems in the division by quota. About the strategies were analyzed considering the research made by Magina, Santos and Merlini (2010) and by Chagas (2011) and it was found four types of answers, to know: inconsistent, additive thought, transition and multiply thought. The test applied in relation to the strategies did not detect significant differences in the different types of grouping, considering the years investigated. It concluded that the explicit grouping doesn´t influence the children logical in resolution of multiplication and division problems (partition) of simple proportion from one-to-many. However, the fact of having found a significant difference in solving division problems by explicit grouping share, the students of 2º grade, makes you think of the possibility of carrying out a more detailed study, containing a large number of problems and participants to check if there really is a difference, since it is not possible to state the difference in current research.