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Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie, nous introduisons une nouvelle condition, appelée additivité torique, sur une famille de variétés abéliennes qui dégénèrent en un schéma semi-abelien au-dessus d’un diviseur à croisements normaux. La condition ne dépend que du module de Tate T l A(K sep ) de la fibre générique. Nous montrons que l’additivité torique est une condition suffisante pour l’existence d’un modèle de Néron, si la base est un schéma de caractéristique nulle. Dans le cas de la jacobienne d’une courbe lisse à réduction semi-stable, on obtient le même résultat sans aucune hypothèse sur la caractéristique de base; et nous montrons que l’additivité torique est aussi nécessaire pour l’existence d’un modèle de Néron, si la base est un schéma de caractéristique nulle. Dans la deuxième partie, on considère le cas d’une famille de courbes nodales sur un anneau de valuation discrète. On donne une condition combinatoire sur le graphe dual de la fibre spéciale, appelée semi-factorialité, qui équivaut au fait que tous les faisceaux inversibles sur la fibre générique s’étendent en des faisceaux inversibles sur l’espace total de la courbe. Il est démontré par la suite que cette condition est automatiquement satisfaite après un éclatement centré aux points fermés non-réguliers de la famille de courbes. On applique le résultat ci-dessus pour généraliser un théorème de Raynaud sur le modèle de Néron des jacobiennes de courbes lisses, au cas des courbes nodales. / This thesis is subdivided in two parts. In the first part, we introduce a new condition, called toric-additivity, on a family of abelian varieties degenerating to a semi-abelian scheme over a normal crossing divisor. The condition depends only on the Tate module TlA(Ksep) of the generic fibre, for a prime l invertible on the base. We show that toric-additivity is a sufficient condition for the existence of a Néron model if the base is a Q-scheme. In the case of the jacobian of a smooth curve with semi-stable reduction, we obtain the same result without assumptions on the base characteristic; and we show that toric-additivity is also necessary for the existence of a Néron model, when the base is a Q-scheme. In the second part, we consider the case of a family of nodal curves over a discrete valuation ring, having split singularities. We say that such a family is semi factorial if every line bundle on the generic fibre extends to a line bundle on the total space. We give a necessary and sufficient condition for semi- factoriality, in terms of combinatorics of the dual graph of the special fibre. In particular, we show that performing one blow-up with center the non regular closed points yields a semi-factorial model of the generic fibre. As an application, we extend the result of Raynaud relating Néron models of smooth curves and Picard functors of their regular models to the case of nodal curves having a semi-factorial model.

Soit R un anneau de valuation discrète de corps de fractions K. Soit X_K un K- schéma propre géométriquement normal. On montre que X_K possède des modèles X sur R, propres, plats, normaux et tels que tout faisceau inversible sur X_K se prolonge en un faisceau inversible sur X. On peut alors reconstruire le modèle de Néron de la variété de Picard de X_K, à partir du foncteur de Picard de X/R.Lorsque R est hensélien à corps résiduel algébriquement clos, on en tire des informations sur le prolongement de l’équivalence algébrique de X_K à X. En particulier, on peut décrire le symbole de Néron entre 0-cycles de degré zéro et diviseurs algébriquement équivalents à zéro sur X_K, en termes de multiplicités d’intersection sur le modèle X. Ceci nous permet de reformuler la conjecture de dualité de Grothendieck pour les modèles de Néron des variétés abéliennes, en termes d’équivalence algébrique relative. / Let R be a discrete valuation ring with fraction field K. Let X_K be proper geometrically normal scheme over K. One shows that X_K admits models X over R which are proper, flat, normal an such that any invertible sheaf on X_K can be extended to an invertible sheaf on X. Then, one can recover the Néron model of the Picard variety of X_K from the Picard functor of X/R.When R is henselian with algebraically closed residue field, one obtains some consequences about the extension of algebraic equivalence from X_K to X. In particular, one can describe the Néron symbol between 0-cycles of degree zero and divisors which are algebraically equivalent to zero on X_K, in terms of intersection multiplicities on the model X. This allows us to reformulate Grothendieck’s duality conjecture for Néron models of abelian varieties, in terms of relative algebraic equivalence.

Dans cette thèse, on aborde plusieurs questions autour des modèles de Néron de variétés abéliennes sur un corps de valuation discrète. On dit qu’une variété abélienne a réduction scindée si la suite exacte définissant le groupe des composantes de la fibre spéciale est scindée. On donne un exemple de variété abélienne modérément ramifiée qui n’a pas réduction scindée. Pour les variétés jacobiennes,on montre que l’on obtient réduction scindée après toute extension modérément ramifiée de degré plus grand qu’une constante ne dépendant que de la dimension.On considère aussi le lien avec le conducteur de Swan. Ensuite, on s’intéresse aux groupes formels des variétés abéliennes. Pour les courbes elliptiques, on détermine le rayon du plus grand voisinage de 0 qui est isomorphe à un polydisque muni de sa structure de groupe usuelle. On s’intéresse aussi aux groupes des composantes de modèles lisses, de type fini et séparés du groupe additif ou multiplicatif ainsi qu’à leurs sous-groupes des points rationnels. Enfin, on montre que le conducteur efficace d’une courbe algébrique ne peut pas s’exprimer uniquement en fonction deson conducteur d’Artin. / In this thesis, we tackle several questions about Néron models of abelian varieties on a discrete valuation field. We say that an abelian variety has split reduction if the exact sequence defining the group of components of the special fiber is split. We give an example of a tamely ramified abelian variety which does not have split reduction. For Jacobian varieties, we show that one gets split reduction after any tamely ramified extension of degree greater than aconstant depending on the dimension only. We also consider the link with theSwan conductor. Then, we deal with formal groups of abelian varieties. For elliptic curves, we compute the radius of the largest neighbourhood of 0 which is isomorphic to a polydisk equipped with its usual group law. We also deal with groups of components of smooth and separated models of finite type of the additive or multiplicative group as well as their subgroups of rational points. Finally, we show that the efficient conductor of an algebraic curve cannot be expressed interms of its Artin conductor only.

Ce travail comporte essentiellement deux conclusions. D'une part nous déterminons une minoration de la hauteur de Faltings d'une variété abélienne quelconque sur un corps de nombres faisant intervenir de nouveaux invariants non archimédiens. Il s'agit de la première partie de ce travail dans lequel nous introduisons systématiquement ces invariants. Ils sont liés à la géométrie non archimédienne aux places de mauvaise réduction des variétés abéliennes.Dans une deuxième partie nous donnons une évaluation approximative de ces invariants nous permettant d'établir une minoration de la hauteur de Faltings faisant intervenir le nombre de composantes de la fibre spéciale du modèle de Néron des variétés abéliennes aux places de mauvaise réduction.On déduit de ces estimations un corollaire qui fournit une borne sur le cardinal du groupe des points rationnels de torsion des variétés abéliennes faisant essentiellement intervenir la hauteur de Faltings. Cette borne est jusqu'à présent la meilleure connue. / This thesis leads essentially to two conclusions. On the one hand we determine a lower bound for the Faltings height of abelian varieties over number fields in which enter new non-archimedean invariants. It consists in the first part of this work in which we introduce systematically this invariants. They are directly linked to the non-archimedean geometry of abelian varities at places of bad reduction.In a second part we provides an approximative evaluation of this invariants which leads to a lower bound on the Faltings heights in terms of the number of components of the special fiber of the Néron model of abelian varieties at places of bad reduction.We deduce from this estimates a corollary that provides an upper bound on the cardinality of the group of rational torsion points of abelian varieties essentially in terms of the Falting height. This bound is the best bound known till now.

Tacite et Suétone laissent une image délirante de Néron, tout à la fois matricide perfide et histrion précieux, amant insatiable ou Orphée cocasse. La dramatisation de ces visions antagonistes se poursuit depuis l’antiquité depuis l’Octavie du Pseudo-Sénèque jusqu’au Britannicus de Racine. Loin de nous proposer une énième effigie tragique du despote latin, le XVIII e siècle présente une image paradoxale de Néron : d’abord celle d’un despote timoré et peu sanguinaire dans l’œuvre d’Alfieri puis celle d’un dictateur artiste du crime qui se suicide sur scène avec Legouvé. Le sang répandu signifie la mort du classicisme et ouvre la voie au romantisme. Soumet prolonge et accentue la paradoxale vision d’un être sanguinaire et sensible, qui tue pour être libre de s’adonner à sa passion de la scène. C’est ce qu’a bien saisi Marceau qui montre un artiste brimé qui assassine pour compenser ses faiblesses artistiques. A l’inverse, pour Hubay, le crime est l’art théâtral par excellence car il métaphorise la mort de l’esthétique précédente. Le dramaturge hongrois invente un Néron comique. Par ses crimes, le dictateur dramaturge crée la modernité. Il incarne métaphoriquement l’œuvre théâtrale. Il est l’Artiste dramatique qui transmute l’horreur du monde en beauté et sa victime innocente se transcende en objet esthétique. L’artiste tyran assassine par métaphore les conventions arides à respecter, toujours en quête de sensations nouvelles, d’émotions esthétiques à la fois coupables et ensorcelantes. Le meurtre néronien est quête de l’ailleurs esthétique, plasticage plastique des normes, redéfinition de l’œuvre, déflagration, incendie, fureur, mot. / From Roman History, Nero calls attention to him because he both symbolizes the top of the criminal figures and the highest slaughtering actor. This opposition is drawned by all the playwrights from Pseudo-Seneca till Racine who casts the last portrait of the Roman murderer in the climax of the French classicism. However, the Italian poet Alfieri contests this idea. He draws a threatened, distrusted and frightened imperator. To continue this thought, the French Revolution shows on stage Nero’s death. With Legouvé, the dangerous artist commits suicide on stage. The blood, which droops over the scene, translates the end of the French classicism and the beginning of a new area : romanticism. Soumet finishes Britannicus describing a Nero fond of Greek plays. The matricide is set to music and dances by the bombastic murder. Killing his mother is a lyrical party. Nero the bloodthirsty practices playing as well as slaughtering. The decay ! of, Nero’s picture provides a real comic vision of beheading. Marceau looks at the master of offences as a dangerous fool : his jokes are pitiful. In the opposite, Hubay succeeds in painting a hilarious despot : the cleverest performer of the Roman world. He uses to entertain the audience by “kil-ling jokes” ! He brilliantly turns death to performance. To conclude, Nero’s image is reversed. He becomes a comical dictator.

Cette thèse est consacrée à l'étude d'une conjecture de Lang et Silverman de minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes sur les corps de nombres. Le premier chapitre décrit le matériel nécessaire à l'étude des chapitres suivants et fixe les notations et normalisations. On montre dans le second chapitre que la conjecture est vraie pour certaines classes de variétés abéliennes de dimension 2, en particulier pour les jacobiennes ayant potentiellement bonne réduction et restant loin des produits de courbes elliptiques dans l'espace de modules. Le second chapitre renferme aussi des corollaires allant dans la direction de la conjecture de borne uniforme sur la torsion et de majoration uniforme du nombre de points rationnels d'une courbe de genre 2. Le troisième chapitre généralise les résultats de minoration du second chapitre aux jacobiennes de courbes hyperelliptiques de genre g supérieur ou égal à 2. Le quatrième chapitre contient une étude de la restriction des scalaires à la Weil et une étude asymptotique de la hauteur des points de Heegner sur les jacobiennes de courbes modulaires. Le cinquième chapitre est une annexe contenant des formules explicites utiles pour la dimension 2 et un paragraphe sur un raisonnement par isogénies.

Cette thèse est composée de trois parties de tailles inégales. Au centre, une pièce de théâtre intitulée Néron. Cette pièce décrit l’histoire d’une révolte ratée. Néron, nouvellement empereur, peine à concilier ses aspirations artistiques aux impératifs du pouvoir. Des sénateurs conspirent à le remplacer. Chaque personnage ambitionne de mener la prochaine révolution qui portera Rome vers une nouvelle gloire. Aucun d’entre eux ne réussira. Les augures promettaient un âge d’or ; Néron, conseillé par un mauvais génie, précipitera la chute de l’empire. Ce projet de création est suivi de quelques commentaires dans lesquels je dévoile mes sources d’inspiration et je précise certaines idées du texte. Néron est-elle une pièce romantique ? Quelle différence entre Néron et le Caligula d’Albert Camus, le Britannicus de Racine et le Lazarus Laughed de Eugene O’Neill ? Comment adapter l’intrigue à la langue québécoise ? La majorité de la thèse est constituée par la longue étude théorique qui précède la pièce. Cette étude porte sur la révolte politique. Sont examinées les raisons qui contribuent à invalider ses prétentions, quitte à expliquer pourquoi il arrive que cette révolte débouche sur une impasse et qu’elle se termine par un échec. Une révolte prétend changer une situation. Est-elle la seule à militer au nom des principes qu’elle a élus ? Au fil du temps, ces principes se répètent-ils ? Risque-t-elle d’imiter ce qu’elle se jurait de changer ? Comment négocie-t-elle la part inhérente d’aventurisme de son projet ? Comment justifie-t-on la violence révolutionnaire ? Les artistes et les intellectuels ont-ils un rôle fondamental ou subalterne à jouer dans cette révolte ? Les images et les symboles auxquels elle a recours ont-ils un contenu idéologique qui leur est propre ou les détourne-t-elle à des fins polémiques ? Peut-on mener une révolte politique en dehors du champ politique ? S’appuyant, notamment, sur les écrits de Max Weber, Hannah Arendt, Raymond Aron, Michel Foucault, Marcel Gauchet et Marc Angenot, cette étude reconstruit les phraséologies politiques de la révolte pour mieux mettre en valeur certains des défis structurants auxquels elle doit faire face.

Cette thèse étudie le problème de minoration de la hauteur canonique sur les courbeselliptiques. Son résultat diophantien principal utilise des méthodes d’intersectionarithmétique pour retrouver un résultat de Laurent, qui démontrait la conjecturede Lehmer pour les courbes elliptiques à multiplications complexes à un exposant" près, tout en explicitant complètement sa dépendance en divers paramètres liésà la courbe elliptique ; une telle démarche peut être motivée par la conjecture deLang, qui présage une minoration possible de la hauteur canonique proportionnelle,essentiellement, à la hauteur de Faltings de la courbe.Notre dissertation commence toutefois par une partie dédiée à l’explicitation duthéorème de densité de Chebotarev, qui reprend les grandes lignes d’un travail deLagarias et Odlyzko, et s’avère être cruciale dans notre approche du problème deLehmer elliptique. On obtient également des majorations des zéros de Siegel et de lanorme du plus petit idéal premier entrant en jeu dans le théorème de Chebotarev. / In this thesis we consider the problem of lower bounds for the canonical height onelliptic curves, aiming for the conjecture of Lehmer. Our main diophantine result isan explicit version of a theorem of Laurent (who proved this conjecture for ellipticcurves with CM up to a " exponent) using arithmetic intersection, enlightening thedependence with parameters linked to the elliptic curve ; such a result can be motivatedby the conjecture of Lang, hoping for a lower bound proportional to, roughly,the Faltings height of the curve.Nevertheless, our dissertation begins with a part dedicated to a completely explicitversion of the density theorem of Chebotarev, along the lines of a previous workdue to Lagarias and Odlyzko, which will be crucial to investigate the elliptic Lehmerproblem. We also obtain upper bounds for Siegel zeros, and for the smallest primeideal whose Frobenius is in a fixed conjugacy class.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.