L'étude de la stabilité et de l'instabilité des systèmes hamiltoniens proches de systèmes intégrables est un problème ancien et difficile en systèmes dynamiques.<br /><br /> Il y a deux types de théorèmes :<br /><br /> i) Les résultats of stabilité sur des temps infinis obtenus avec la théorie K.A.M. qui sont valables sur un ensemble de Cantor de grande mesure mais on a très peu d'informations sur les autres trajectoires et même une instabilité importante peut se développer.<br /><br /> ii) D'autre part, des résultats de stabilité sur des ensembles ouverts mais seulement sur un temps exponentiellement long par rapport à la taille de la perturbation.<br /><br /> Ce deuxième type de résultats est du à N.N. Nekhorochev qui a établi en 1977 un théorème de stabilité global en temps exponentiellement long dans le cas où le hamiltonien non perturbé (intégrable) est escarpé. C'est à dire s'il vérifie certaines conditions de transversalité qui sont génériquement satisfaites par les fonctions infiniment différentiables. Notamment, les fonctions convexes sont escarpées. L'étude de cette notion et ses conséquences n'a pas été reprise depuis la démonstration originale de Nekhorochev malgrés la densité de la classe des fonctions escarpées et différents exemples issus de la physique où le hamiltonien intégrable considéré est escarpé mais pas convexe.<br /><br /> Dans ce mémoire, on présente tout d'abord une démonstration notablement simplifiée du théorème de Nekhorochev. Ceci permet d'obtenir des estimations raffinées sur les temps de stabilité qui sont essentiellement optimales dans le cas convexe.<br /><br /> D'autre part, Y. Ilyashenko a donné une caractérisation géométrique des fonctions escarpées dans le cas holomorphe. On reprend cette étude à l'aide d'outils de géométrie sous analytique réelle (lemme de sélection de courbe et exposants de Lojaciewicz). Ceci permet d'étendre le résultat d'Ilyashenko au cas réel et de montrer clairement que les hypothèses d'escarpement sont presques minimales pour assurer la stabilité effective des systèmes hamiltoniens proches d'un système intégrable. On en déduit aussi des méthodes de calcul explicites des constantes intervenant dans ce type de théorème.<br /><br /> Enfin, on montre un théorème de stabilité en temps exponentiellement long pour des systèmes hamiltoniens presques-intégrables avec une condition de non-dégénérescence sur le hamiltonien non perturbé strictement plus faible que la raideur. L'intérêt de ce raffinement vient du fait qu'il permet d'établir un résultat de stabilité générique avec des exposants fixes. Il s'agit de généricité au sens de la mesure (ensembles prévalents suivant la terminologie de Kaloshin) parmi les fonctions réelle-analytiques. Ce résultat est obtenu grâce à l'application d'une version quantitative du théorème de Sard due à Yomdin.

The goal of this dissertation is characterize the stability of equilibrium solutions of Reversible Systems of second-order resonance. To this end, we provide de nitions and basic properties relevant to the Reversible systems; we obtain the normal form of the linearized system and from the Poincar e-Dulac method, we will write the Normal Form of third order of the system studies. For last, we treat the necessary and su cient conditions for the stability of the trivial solution of a reversible system at 1:1 resonance analyzing two cases: the case in which the system matrix is Diagonalizable and the case where the matrix is non-diagonalizable. / O objetivo dessa disserta c~ao e a caracteriza c~ao da estabilidade de solu c~oes de equil brio de Sistemas Revers veis com resson^ancia de segunda ordem. Para tanto, fornecemos de ni c~oes e propriedades b asicas pertinentes aos Sistemas Revers veis; obteremos a forma normal do sistema linearizado e, a partir do m etodo de Poincar e-Dulac, escreveremos a forma normal de terceira ordem do sistema em estudo. Por m, trataremos das condi c~oes necess arias e/ou su cientes a estabilidade de uma solu c~ao nula de um Sistema Revers vel com resson^ancia de segunda ordem analisando dois casos: o caso em que a matriz do sistema e diagonaliz avel e o caso em que a matriz e n~ao-diagonaliz avel

Este trabalho é dedicado à extensão do Método da Forma Normal para Equações Diferenciais Ordinárias às Equações Diferenciais Funcionais Retardadas. O método da forma normal para equações diferenciais funcionais retardadas nos dará o fluxo sobre uma variedade localmente invariante de dimensão finita através de uma equação diferencial ordinária. Como aplicação, calcularemos a forma normal para equação diferencial funcional retardada escalar com uma singularidade do tipo Bogdanov-Takens. Analisaremos também a forma normal para equações diferenciais funcionais retardadas com parâmetro. Finalizaremos este trabalho com o cálculo da forma normal de um sistema planar com singularidade do tipo Bogdanov-Takens. / In this work, we compute the normal forms associated with the flow on a finite dimensional invariant, manifold tangent to an invariant space for the infinitesimal generator of the linearized equation at the singularity. As an application, the Bogdanov-Takens singularity is considered.

Orientador : Vivaldo Fernando da Costa / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-04T02:42:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Domingues_AdrianaFavaro_D.pdf: 789245 bytes, checksum: 9ca2b124a01cd871aa7f4bbb4c63c57a (MD5) Previous issue date: 2005 / Resumo: Este trabalho aborda o problema das oscilações eletromecânicas de baixa freqüência de modo interárea em sistemas de energia elétrica através de duas metodologias: primeiramente, através do método convencional da análise modal linear e, posteriormente, através da aplicação do método da forma normal dos campos vetoriais como ferramenta para viabilizar o acréscimo dos termos não lineares de segunda ordem resultantes da expansão em série de Taylor. Neste caso, o método da forma normal é aplicado a um Modelo de Sensibilidade de Potência com representação de segunda ordem, para investigar os efeitos das interações não lineares entre os modos naturais de oscilação de sistemas de energia elétrica. São consideradas, em ambas as análises, a inclusão de dispositivos FACTS e da modelagem dinâmica das cargas. As simulações são realizadas para um sistema simétrico de duas áreas e para o Sistema Equivalente Sul-Sudeste Brasileiro. A metodologia de análise proposta mostra-se bastante satisfatória como alternativa à simulação não linear no domínio do tempo e à análise modal convencional / Abstract: In this work, the analysis of power systems inter-area mode oscillations is performed by the application of two different methodologies: first, the linear modal analysis, and then the analysis including second order nonlinear terms from a Taylor series expansion, with the application of the method of normal forms of vector fields. In this case, the method of normal forms is applied to a Power Sensitivity Model including second order nonlinear terms, in order to investigate the effects of nonlinear interactions between system modes. Both methodologies consider the inclusion of FACTS devices and dynamic load model. Simulations are performed for a symmetric two-area test power system and for the Equivalent South-Southeast Brazilian system. The results obtained show that the methodology proposed is very effective as an alternative to linear modal analysis and timedomain simulation in the performance of inter-area mode oscillations analysis / Doutorado / Energia Eletrica / Doutor em Engenharia Elétrica

Le sujet de cette thèse est la question du nombre minimal d'orbites de Reeb distinctes sur une variété de contact qui est le bord d'une variété symplectique compacte.<p>L'homologie symplectique $S^1$-équivariante positive est un des outils principaux de cette thèse; elle est construite à partir d'orbites périodiques de champs de vecteurs hamiltoniens sur une variété symplectique<p>dont le bord est la variété de contact considérée.<p>Nous analysons la relation entre les différentes variantes d'homologie symplectique d'une variété symplectique exacte compacte (domaine de Liouville) et les orbites de Reeb de son bord.<p>Nous démontrons certaines propriétés de ces homologies.<p>Pour un domaine de Liouville plongé dans un autre, nous construisons un morphisme entre leurs homologies.<p>Nous étudions ensuite l'invariance de ces homologies par rapport au choix de la forme de contact sur le bord.<p>Nous utilisons l'homologie symplectique $S^1$-équivariante positive pour donner une nouvelle preuve d'un théorème de Ekeland et Lasry<p>sur le nombre minimal d'orbites de Reeb distinctes sur certaines hypersurfaces dans $R^{2n}$.<p>Nous indiquons comment étendre au cas de certaines hypersurfaces dans certains fibrés en droites complexes négatifs.<p>Nous donnons une caractérisation et une nouvelle façon de calculer l'indice de Conley-Zehnder généralisé, défini par Robbin et Salamon pour tout chemin de matrices symplectiques.<p>Ceci nous a mené à développer de nouvelles formes normales de matrices symplectiques.<p>/<p>This thesis deals with the question of the minimal number of distinct periodic Reeb orbits on a contact manifold which is the boundary of a compact symplectic manifold.<p>The positive $S^1$-equivariant symplectic homology is one of the main tools considered in this thesis.<p>It is built from periodic orbits of Hamiltonian vector fields in a symplectic manifold whose boundary is the given contact manifold.<p>Our first result describes the relation between the symplectic homologies of an exact compact symplectic manifold with contact type boundary (also called Liouville domain), and the periodic Reeb orbits on the boundary.<p>We then prove some properties of these homologies.<p>For a Liouville domain embedded into another one, we construct a morphism between their homologies.<p>We study the invariance of the homologies with respect to the choice of the contact form on the boundary.<p>We use the positive $S^1$-equivariant symplectic homology to give a new proof of a Theorem by Ekeland and Lasry about the minimal number of distinct periodic Reeb orbits on some hypersurfaces in $R^{2n}$.<p>We indicate how it extends to some hypersurfaces in some negative line bundles.<p>We also give a characterisation and a new way to compute the generalized Conley-Zehnder index defined by Robbin and Salamon for any path of symplectic matrices.<p>A tool for this is a new analysis of normal forms for symplectic matrices. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

On considère des germes de champs de vecteurs holomorphes singuliers trimimensionnels, appelés noeud-cols doublement résonants. Ces champs de vecteurs correspondent à des systèmes différentiels bidimensionnels à singularité irrégulière, et dont la partie linéaire possède deux valeurs propres non-nulles opposées. Ce type de singularité apparait par exemple à l'infini dans les équations de Painlevé PI,...,PV après compactification à poids de l'espace, pour des valeurs génériques des paramètres. Depuis Boutroux, l'étude de ces singularités a générè de nombreux travaux de recherche. Récemment, plusieurs auteurs ont fournis des informations nouvelles, en étudiant notamment les phénomènes de Stokes non-linéaires et quasi-linéaires associés, en donnant des formules de connexion. Les coefficients de Stokes quasi-linéaires sont invariants sous l'action de changement de coordonnées analytiques locaux, mais ne forment pas un système complet d'invariants analytiques. L'objectif de ce travail de thèse est de fournir une classification analytique générale et complète des noeud-cols doublement résonants. L'idée pour cela est d'adapter les travaux de Martinet et Ramis, généralisés ensuite par Stolovitch. Dans une première partie on fournit une classification formelle, i.e. sous l'action de changements de coordonnées formels, en exhibant des formes normales formelles. Dans un second temps, on étudiera l'existence de normalisations sectorielles (analytiques sur des secteurs), généralisant ainsi un théorème de Hukuhara-Kimura-Matuda. Enfin, on étudiera les recollements entre ces applications normalisantes dans les domaines d'intersections: c'est ce que l'on appellera les difféomorphismes de Stokes. Il s'agira là d'étudier des isotropies sectorielles de la forme normale. On verra que la donnée d'une forme normale formelle et d'un couple de difféomorphismes de Stokes fournira un système complet d'invariants analytiques. Enfin, dans une quatrième et dernière partie, nous calculerons certains de ces invariants pour la singularité irrégulière à l'infini de la première équation de Painlevé. / We consider germs of analytic singular vector fields in dimension three, called doubly-resonant saddle-nodes. These vector fields correspond to irregular two-dimensional systems with a pair of two opposite non-zero eigenvalues. This king of singularity appears for instance at infinity in Painlevé equations PI,...,PV, after a weighted compactifcation, for generic values of the parameters. Since Boutroux, the study of these singularities has generated many researches. Recently, several authors provided new informations, by studying for instance the associated non-linear and quasi-lineair Stokes phenomenas and by giving connection formulas. Quasi-linéaire Stokes coefficients are invariant under local analytic change of coordinates, but do not form a complete set of invariants for analytic classification. The goal of this work is to provide a complete analytic classification of doubly-resonant saddle-nodes. The idea for this is to adapt the works of Martinet and Ramis, generalized then by Stolovitch. In the first part, we give a formal classification, based on the existence on unique formal normal forms. In the second part, we prove the existence of sectorial nomalizing maps (analytic over sectors), generalizing a theorem by Hukuhara-Kimura-Matuda. In the third part, we study the Stokes diffeomorphisms, and more generaly the sectorials isotropies of the normal form. We obtain a complet set of analytic invariants. Finally, in the fourth part, we compute some of these invariants in the case of the first Painlevé equation.

With the advent of quantum computers, the security of number-theoretic cryptography has been compromised. Consequently, new cryptosystems have been suggested in the field of non-commutative group theory. In this thesis, we provide all the necessary background to understand and work with the Artin groups. We then show that Artin groups of finite type and Artin groups of large type possess an easily-computable normal form by explicitly writing the algorithms. This solution to the word problem makes these groups candidates to be cryptographic platforms. Finally, we present some combinatorial problems that can be used in group-based cryptography and we conjecture, through empirical evidence, that the conjugacy problem in Artin groups of large type is not a hard problem.

Le ZX-Calculus est un langage graphique puissant et intuitif, issu de la théorie des catégories, et qui permet de raisonner et calculer en quantique. Les évolutions quantiques sont vues dans ce formalisme comme des graphes ouverts, ou diagrammes, qui peuvent être transformés localement selon un ensemble d’axiomes qui préservent le résultat du calcul. Un aspect des plus importants du langage est sa complétude : Étant donnés deux diagrammes qui représentent la même évolution quantique, puis-je transformer l’un en l’autre en utilisant seulement les règles graphiques permises par le langage ? Si c’est le cas, cela veut dire que le langage graphique capture entièrement la mécanique quantique. Le langage est connu comme étant complet pour une sous-classe (ou fragment) particulière d’évolutions quantiques, appelée Clifford. Malheureusement, celle-ci n’est pas universelle : on ne peut pas représenter, ni même approcher, certaines évolutions. Dans cette thèse, nous proposons d’élargir l’ensemble d’axiomes pour obtenir la complétude pour des fragments plus grands du langage, qui en particulier sont approximativement universels, voire universels. Pour ce faire, dans un premier temps nous utilisons la complétude d’un autre langage graphique et transportons ce résultat au ZX-Calculus. Afin de simplifier cette fastidieuse étape, nous introduisons un langage intermédiaire, intéressant en lui-même car il capture un fragment particulier mais universel de la mécanique quantique : Toffoli-Hadamard. Nous définissons ensuite la notion de diagramme linéaire, qui permet d’obtenir une preuve uniforme pour certains ensembles d’équations. Nous définissons également la notion de décomposition d’un diagramme en valeurs singuliaires, ce qui nous permet de nous épargner un grand nombre de calculs. Dans un second temps, nous définissons une forme normale qui a le mérite d’exister pour une infinité de fragments du langage, ainsi que pour le langage lui-même, sans restriction. Grâce à cela, nous reprouvons les résultats de complétude précédents, mais cette fois sans utiliser de langage tiers, et nous en dérivons de nouveaux, pour d’autres fragments. Les états contrôlés, utilisés pour la définition de forme normale, s’avèrent en outre utiles pour réaliser des opérations non-triviales telles que la somme, le produit terme-à-terme, ou la concaténation. / The ZX-Calculus is a powerful and intuitive graphical language, based on category theory, that allows for quantum reasoning and computing. Quantum evolutions are seen in this formalism as open graphs, or diagrams, that can be transformed locally according to a set of axioms that preserve the result of the computation. One of the most important aspects of language is its completeness: Given two diagrams that represent the same quantum evolution, can I transform one into the other using only the graphical rules allowed by the language? If this is the case, it means that the graphical language captures quantum mechanics entirely. The language is known to be complete for a particular subclass (or fragment) of quantum evolutions, called Clifford. Unfortunately, this one is not universal: we cannot represent, or even approach, certain quantum evolutions. In this thesis, we propose to extend the set of axioms to obtain completeness for larger fragments of the language, which in particular are approximately universal, or even universal. To do this, we first use the completeness of another graphical language and transport this result to the ZX-Calculus. In order to simplify this tedious step, we introduce an intermediate language, interesting in itself as it captures a particular but universal fragment of quantum mechanics: Toffoli-Hadamard. We then define the notion of a linear diagram, which provides a uniform proof for some sets of equations. We also define the notion of singular value decomposition of a diagram, which allows us to avoid a large number of calculations. In a second step, we define a normal form that exists for an infinite number of fragments of the language, as well as for the language itself, without restriction. Thanks to this, we reprove the previous completeness results, but this time without using any third party language, and we derive new ones for other fragments. The controlled states, used for the definition of the normal form, are also useful for performing non-trivial operations such as sum, term-to-term product, or concatenation.

Dans cette thèse, nous prouvons des résultats de théorie spectrale, directe et inverse, dans la limite semi-classique, pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces. Pour les opérateurs pseudo-différentiels, les résultats en question sont déjà connus, et il est naturel de vouloir les étendre aux opérateurs de Toeplitz. Les conditions de Bohr-Sommerfeld usuelles, qui caractérisent les valeurs propres proches d'une valeur régulière du symbole principal, ont été obtenues il y a quelques années seulement pour les opérateurs de Toeplitz. Notre contribution consiste en l'extension de ces conditions près de valeurs critiques non dégénérées. Nous traitons le cas d'une valeur critique elliptique à l'aide d'une technique de forme normale ; l'opérateur modèle est la réalisation de l'oscillateur harmonique sur l'espace de Bargmann, dont le spectre est bien connu. Dans le cas d'une valeur critique hyperbolique, la forme normale ne suffit plus et nous complétons l'étude en faisant appel à des arguments dus à Colin de Verdière et Parisse, à qui l'on doit le résultat analogue dans le cas pseudo-différentiel. Enfin, nous établissons un résultat de théorie spectrale inverse pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces ; plus précisément, nous montrons que sous certaines hypothèses génériques, la connaissance du spectre à l'ordre deux dans la limite semi-classique permet de retrouver le symbole principal à symplectomorphisme près. Ce résultat s'appuie en grande partie sur l'écriture des règles de Bohr-Sommerfeld. / In this thesis, we prove some direct and inverse spectral results, in the semiclassical limit, for self-adjoint Toeplitz operators on surfaces. For pseudodifferential operators, these results are already known, and it is natural to expect their extension to the Toeplitz setting. The usual Bohr-Sommerfeld conditions, characterizing the eigenvalues close to a regular value of the principal symbol, have been obtained a few years ago for Toeplitz operators. Our contribution consists in extending these conditions near nondegenerate critical values. We handle the case of an elliptic value thanks to a normal form technique; the model operator is the realization of the harmonic oscillator in the Bargmann space, whose spectrum is well-known. In the case of a hyperbolic value, the normal form is no longer sufficient and we conclude by using additional arguments due to Colin de Verdière and Parisse, who derived the analogous result for pseudodifferential operators. Finally, we write an inverse spectral result for self-adjoint Toeplitz operators on surfaces; more precisely, we show that under some generic hypotheses, the knowledge of the spectrum up to order two in the semiclassical limit allows to recover the principal symbol up to symplectomorphism. This result essentially relies on Bohr-Sommerfeld rules.

Cette thèse est consacrée à l'étude des systèmes d'équations<br />différentielles non linéaires aux dérivées partielles. L'approche choisie est celle de l'algèbre différentielle. Étant donné un système d'équations différentielles, nous cherchons à obtenir des renseignements sur ses solutions. Pour ce faire, nous calculons une famille d'ensembles particuliers (appelés chaînes différentielles régulières) dont la réunion des solutions coïncide avec les solutions du système initial.<br /> <br />Les nouveaux résultats relèvent principalement du calcul formel. Le chapitre 2 clarifie le lien entre les chaînes régulières et les chaînes différentielles régulières. Deux nouveaux algorithmes (chapitres 4 et 5) viennent optimiser les algorithmes existants permettant de calculer ces chaînes différentielles régulières. Ces deux algorithmes intègrent des techniques purement algébriques qui permettent de mieux contrôler le grossissement des données et de supprimer des calculs inutiles. Des problèmes jusqu'à présent non résolus ont ainsi pu être traités. Un algorithme de calcul de forme normale d'un polynôme différentiel modulo une chaîne différentielle régulière est exposé dans le chapitre 2.<br /> <br />Les derniers résultats relèvent de l'analyse. Les solutions que nous considérons sont des séries formelles. Le chapitre 3 fournit des conditions suffisantes pour qu'une solution formelle soit analytique. Ce même chapitre présente un contre-exemple à une conjecture portant sur l'analycité des solutions formelles.