Sous l'effet du rayonnement solaire et/ou de la salinité, l'eau des océans, des rivières et des lacs peut être stratifiée à une certaine profondeur par un changement soudain de densité. La couche la plus légère s'étend au dessus de la couche la plus lourde. Les ondes solitaires apparaissant à l'interface entre ces deux couches influencent les bateaux naviguant dans cette région et peuvent même présenter un danger pour ces bateaux. Elles peuvent également endommager les infrastructures submergées telles que les plateformes pétrolières ainsi que les tunnels sous marins routiers et ferroviaires. Cette thèse propose deux systèmes d'équations susceptibles de modéliser ce type d'ondes, obtenus en utilisant deux méthodes différentes. La propagation et la collision entre deux ondes solitaires sont simulées numériquement. Le filtrage itératif permet d'étudier quantitativement le "run up" ainsi que le déphasage engendrés par ces collisions.

Au moyen d'une expérience d'excitation paramétrique d'onde de surface, nous mettons en évidence l'existence de nouveaux types d'ondes solitaires et stationnaires à la surface de l'eau. Ces ondes de grande amplitude sont très non-linéaires et l'étude théorique réalisée ne permet pas de rendre compte de la forme des vagues mais permet de comprendre l'origine du phénomène d'hystérésis observé qui est nécessaire à la compréhension des phénomènes observés. En effet, l'existence de ces ondes (dans notre configuration expérimentale) est conditionnée par la présence d'un domaine de bistabilité dans le plan amplitude d'excitation - amplitude des vagues au coeur duquel nous avons montré qu'il était possible d'avoir coexistence de deux solutions, une d'amplitude nulle et une d'amplitude non nulle. Ces expériences en géométrie Hele-Shaw ont aussi permis de mettre en évidence des ondes enveloppes qui ne sont encore décrit par aucun modèle existant. Il s'agit à notre connaissance de la première onde enveloppe stationnaire observé à la surface de l'eau. Nous mettons aussi en évidence des ondes de gravité de très grande amplitude, qui sont formées alternativement d'étoiles et de polygones. Nous montrons que la symétrie du motif (nombre de branche de l'étoile) est indépendante de la taille et de la forme du récipient vibré. Nous montrons qu'un mécanisme de couplage non-linéaire résonant à trois ondes peut expliquer cette géométrie, bien que cette possibilité fut rejetée pour des ondes purement gravitaire. / By means of the parametric excitation of water waves in a Hele-Shaw cell, we report the existence of two new types of highly localized, standing surface waves of large amplitude. They are respectively of odd and even symmetries. Both solitary waves oscillate subharmonically with the forcing frequency. They are highly nonlinear, and dier strongly from the other types of localized patterns. Moreover, to our knowledge, such a solitary waves of odd symmetry has never been reported hitherto. We report a new type of standing gravity waves of large amplitude, having alternatively the shape of a star and of a polygon. This wave is observed by means of a laboratory experiment by vibrating vertically a tank. The symmetry of the star (i.e. the number of branches) is independent of the container form and size, and can be changed according to the amplitude and frequency of the vibration. We show that this wave geometry results from nonlinear resonant couplings between three waves, although this possibility has been denied for pure gravity waves up to now.

Dans cette thèse on étudie la stabilité orbitale des ondes solitaires de deux types d’équations d’évolution non linéaires: l’équation de Degasperis-Procesi (DP), qui est une équation du type Camassa-Holm, et l’équation de Kawahara généralisée (gKW), qui correspond à une équation de Korteweg-de Vries généralisée (gKdV) supplémentée d’un terme d’ordre 5. Sur le modèle DP on apporte une amélioration significative de la preuve de la stabilité d’un peakon donnée par Lin et Liu. Puis, en utilisant la méthode de Martel-Merle-Tsai adaptée par El Dika-Molinet dans le cas de l’équation de Camassa-Holm, on montre que la somme de N peakons, de vitesses croissantes et suffisamment distants les uns des autres à l’instant initial, est orbitalement stable. Sur le modèle de Kawahara généralisé, on prouve l’existence de deux branches d’ondes solitaires : l’une construite en appliquant le théorème des fonctions implicites au voisinage d’une onde solitaire explicite de gKW découverte par Dey. al., l’autre construite en résolvant un problème de minimisation sur R, avec une contrainte qui force la famille à converger vers le soliton explicite de l’équation de Korteweg-de Vries généralisée (gKdV) lorsque le coefficient devant l’opérateur d’ordre 5 tend vers 0. Par remise à l’échelle, on obtient ainsi une branche constituée d’ondes solitaires voyageant à faibles vitesses. On prouve ensuite que les ondes solitaires constituant ces deux branches sont orbitalement stables en appliquant la méthode spectrale introduite par Benjamin et des arguments de continuité. / No summary available

L'objectif de ces travaux est d'étudier la dynamique de différents types de vagues extrêmes en eau peu profonde et plus particulièrement les tsunamis et les vagues scélérates. Pour modélisation et analyse, les simulations numériques sont réalisées à l'aide d'une méthode d'intégrales de frontières appelée BIEM (Boundary Integral Equation Method). Dans un premier temps nous considérons numériquement la dynamique des ondes solitaires, modèles simples pour les vagues de tsunamis dont la phase appelée "runup" sera l'objet d'un développement particulier. Afin de valider le modèle BIEM, nous confrontons les résultats numériques d'une onde solitaire déferlante avec une approche expérimentale. Une méthode de génération numérique de ces ondes est ensuite développée. Enfin une étude complète sur la collision frontale de deux ondes solitaires de Tanaka est effectuée. Un nouveau phénomène est alors découvert, puis exploré, la formation d'un jet résiduel en chute libre apparaissant à partir d'une valeur critique du paramètre de non linéarité a/h. Nous considérons ensuite numériquement la génération de vagues scélérates en eau peu profonde par focalisation d'énergie due à la nature dispersive des vagues. Ce travail s'attache à étudier entre autres l'influence du vent sur la dynamique de ces vagues. Le mécanisme d'abri proposé par Jeffreys est modifié par l'introduction d'un seuil de pente pour lequel un décollement aérien au-dessus des vagues apparaît. Ces vagues sont alors amplifiées et leur durée de vie est significativement augmentée."

Les travaux présentés dans ce mémoire concernent des équations aux dérivées partielles issues de la physique des plasmas ou de la mécanique des fluides. En amont, ils comportent une partie importante de modélisation : approximation de systèmes hyperboliques oscillants, dérivation de systèmes de types Zakharov, modèle Hele-Shaw, modèle de micelles géantes. En aval, ils abordent un certain nombre de problèmes théoriques : existence et unicité des solutions, stabilité/instabilité des ondes solitaires, controle optimal, estimations d'erreur et convergence de modèles. Ils explorent aussi des méthodes numériques de résolution qui ont toutes pour point commun d'utiliser des méthodes de volumes finis ou différences finies sur des grilles cartésiennes en utilisant éventuellement des méthodes de pénalisation.

La propagation d'ondes sonores dans des empilements granulaires présente des comportements originaux et mal-élucidés liés à l'aspect divisé de ces matériaux. Ceux-ci se comportent notamment comme des milieux désordonnés et non-linéaires. Notre étude est originale car nous employons des grains photoélastiques. Couplés à une caméra rapide, nous visualisons le champ de déformation associé à la propagation de l'onde sonore. Nous abordons d'abord le cas de l'empilement le plus simple : une chaîne unidimensionnelle de grains cylindriques en contact. Nous étudions la propagation d'impulsions sonores dans les deux cas où leurs amplitudes sont petites (régime linéaire) ou grandes (régime non-linéaire) devant la force de confinement statique appliquée à la chaîne. Dans le premier cas, nous observons l'effet des imperfections de surface des grains sur la vitesse des ondes. Nous constatons aussi que la dissipation est essentiellement due au frottement solide. Pour les grandes amplitudes, l'impulsion initiale se décompose en un train de pics d'amplitudes décroissantes, de largeurs comprises entre 3 et 4 grains et de vitesses supersoniques. La vitesse du pic principal, adimensionnée par la vitesse du son linéaire, ne dépend que du rapport entre l'amplitude de l'onde et la force statique. Ces observations sont interprétées en généralisant les résultats de Nesterenko. Nous présentons ensuite le cas des empilements bidimensionnels. Les ondes linéaires se propagent dans les chaînes de forces et leurs vitesses croient avec la force statique. Elles restent cependant toujours inférieures à celles mesurées à 1D. Cela suggère que la dynamique de l'onde le long d'une chaîne de force est influencée par les contacts latéraux à cette chaîne de force.

La première partie de la thèse concerne le calcul numérique des ondes de gravité en 3D. Le modèle résout les équations d'Euler incompressibles avec surface libre pour un écoulement potentiel. L'association de l'Algorithme des Multipôles Rapides avec la Méthode des Eléments aux Frontières permet d'améliorer significativement l'efficacité du modèle. Deux applications sont alors considérées : le déferlement d'une onde solitaire sur un fond tridimensionnel et la focalisation spatiale générée par un batteur à houle. Dans la seconde partie, une étude plus en amont est effectuée dans le contexte des ondes internes en deux dimensions. A l'aide d'un système de type Korteweg de Vries, des ondes solitaires généralisées sont discutées dans le cas où la vitesse approche la valeur critique correspondant à l'apparition des fronts. Ces solutions résultent de la résonance entre une onde solitaire large ayant une amplitude limite et une onde courte, qui se propagent à la même vitesse de phase.

Dans cette thèse nous présentons une description théorique et numérique détaillée des instabilités et des dynamiques observées dans des systèmes quasi-unidimensionnels de particules en interaction répulsive soumises à un bain thermique. Lorsque le confinement transverse décroît, ces systèmes présentent une transition structurelle les faisant passer d'une configuration en ligne à une configuration en zigzag, homogène ou inhomogène. Nous avons mis en évidence et expliqué le changement de caractère de cette bifurcation qui passe de sur-critique à sous-critique. La description quantitative de configurations d'équilibre stables, appelées " bulles ", a été réalisée, celles-ci correspondent à une coexistence de domaines en ligne et en zigzag.La dynamique des " bulles " a été ensuite étudiée à l'aide d'un modèle de particule effective diffusant dans un potentiel périodique induit par le caractère discret du système. Lorsque plusieurs " bulles " coexistent, elles interagissent et se réorganisent pour former une configuration stable à une seule " bulle " selon des mécanismes de coalescence ou de collapse. Nous avons montré que la topologie de la configuration peut induire des effets de frustration conduisant à une interaction attractive ou répulsive selon les cas.Enfin, nous avons montré que les fluctuations transverses des particules divergent à l'approche des seuils de transition et expliqué ces comportements par l'apparition de modes mous dans le spectre de vibration. Cette description en modes propres nous a permis par ailleurs de comprendre l'augmentation observée de la diffusion d'une chaîne de particules dans un potentiel périodique asymétrique par rapport à une chaîne libre. / In this thesis, we provide a detailed theoretical and numerical study of instabilities and dynamics in quasi-one-dimensional systems of repulsively interacting particles in a thermal bath.When the transverse confinement decreases, theses systems display a structural transition from a line to an homogeneous or inhomogeneous staggered row configuration. We have exhibited and explained the supercritical or subcritical character of the bifurcation according to the particles interaction and to the system geometry. The quantitative description of stable equilibrium configurations called "bubbles" has been done, their shapes consist in coexistence of line and zigzag phases.The "bubble" dynamics has been modelized by considering an effective particle that diffuses in a periodic potential induced by the discrete character of the system. When several "bubbles" coexist, they interact and evolve towards a single stable "bubble" through coalescence and collapse mechanisms. We have shown that the configuration topology has to be taken into account and exhibited frustration effects leading to either an attractive or repulsive interaction between "bubbles". Then we have shown the divergence of the mean squared transverse displacements of the particles near the transition thresholds and analytically explained these critical behaviors by the existence of a soft mode in the configuration vibrational spectrum. With this eigenmodes description, we have also interpreted a diffusion enhancement of a particle file moving on an asymmetrical periodic potential with respect to the free file diffusion.

Dans cette thèse nous étudions l'asymptotique de petits bruits pour des perturbations aléatoires d'équations de Schrödinger non linéaires. Les bruits sont Gaussiens, la plupart du temps blancs en temps et toujours colorés en espace, additifs ou multiplicatifs. Un évènement de grandes déviations est un évènement où le système diffère significativement du système déterministe. Lorsque le bruit tend vers zéro, la probabilité d'un tel évènement rare tend vers zéro sur une échelle logarithmique avec pour vitesse l'amplitude du bruit. Nous prouvons des principes de grandes d´eviations trajectoriels. Dans ce cas le facteur multiplicatif de la vitesse, le taux, est relié à un problème de contrôle optimal. Les résultats sont appliqués aux temps d'explosion. Nous étudions ensuite l'asymptotique de petits bruits des queues de la masse et de la position du signal dans une "limite bruit blanc". Les fluctuations de ces quantités sont les causes principales d'erreur de transmission par solitons dans les fibres optiques. Nous considérons également le problème des temps moyens et des points de sortie d'un voisinage de zéro pour des équations faiblement amorties. Enfin, nous présentons un principe de grandes déviations et un théorème de support pour des bruits Gaussiens fractionnaires additifs.

La marée interne contribue au maintien de la circulation méridienne de renversement. Il existe, à l'heure actuelle, une controverse sur la nature exacte des mécanismes pilotant cette circulation. Une meilleure quantification des apports énergétiques associés aux ondes internes permettrait d'apporter quelques clés de compréhension de ce mécanisme complexe. Dans cette thèse, différents régimes d'ondes internes topographiques inspirés par des congurations océaniques sont étudiés an d'évaluer quantitativement les transferts énergétiques associés. L'utilisation complémentaire des outils numériques et expérimentaux permet de détailler la dynamique de ces régimes de manière exhaustive. La première partie de la thèse porte sur la génération d'ondes internes linéaires par l'oscillation d'un mont Gaussien dans un fluide linéairement stratifié. L'approche choisie s'appuie sur un jeu d'expériences de laboratoire pour lesquelles la pente relative du rayon d'onde interne par rapport à la pente maximale du mont varie. Nous montrons qu'un maximum énergétique est atteint dans le régime critique pour lequel les pentes du rayon et du mont sont similaires. Dans la suite de la thèse, la dynamique d'ondes internes de forte amplitude se propageant dans des régions de fort gradient de densité, comme la pycnocline océanique, est étudiée. Nous utilisons dans un premier temps le modèle numérique Symphonie-NH pour décrire leur génération et leur dynamique, sur une configuration académique bidimensionnelle. Tout d'abord, la génération primaire d'ondes internes interfaciales est étudiée. On s'intéresse en particulier à des régimes fortement non-linéaires pour lesquelles des ondes solitaires sont observées. Elle sont induites par l'interaction directe entre la marée barotrope et la topographie et est observée dans des régimes de pycnocline de forte intensité dans l'océan, comme en mer de Sulu. La structure des ondes internes solitaires est étudiée avec des modèles analytiques simples comme l'équation KdV. En modifiant la forme du mont, un contrôle topographique important de la génération primaire d'ondes internes solitaires est observé. Un paramètre adimensionné est proposé pour décrire ce contrôle. Ensuite, la génération secondaire d'ondes internes solitaires induites par l'interaction de rayons d'ondes internes émis sur une topographie avec une pycnocline d'intensité modérée, comme dans le Golfe de Gascogne, est étudiée. Des simulations numériques directes sont effectuées pour décrire la dynamique des ondes internes solitaires, et leur atténuation par radiation d'énergie dans la couche inférieure. L'évolution de la structure des modes normaux en fonction de l'intensité de la pycnocline, et le rôle joué par la forme du mont sont détaillés. Des expériences sont menées pour étudier la génération primaire et la génération secondaire d'ondes internes solitaires dans le grand canal du CNRM-GAME. Une configuration expérimentale utilisant un mont sinusoïdal oscillant dans la couche inférieure, stratifée ou non, d'un fluide bicouche est adoptée. Cette configuration, inspirée des simulations numériques précédentes, permet d'explorer une gamme plus large de régimes d'ondes interfaciales. Des mesures de déplacement interfacial avec des sondes à ultrasons d'une part, et avec des mesures optiques d'autre part, permettent de discuter la dynamique, et la structure tridimensionnelle de ces ondes. La structure des ondes internes solitaires dans le cas de la génération primaire apparaît plus stable que pour la génération secondaire. Dans ce deuxième cas, des structures transverses régulières sont mesurées.