Orientador: Eliana Xavier Linhares de Andrade / Banca: Sérgio Antonio Tozoni / Banca: Dimitar Kolev Dimitrov / Resumo: O principal objetivo deste trabalho é estudar um problema de eletrostática geral que envolve ambos, um campo externo e restrições sobre cargas livres. Foram fornecidas condições necessárias e suficientes para o mínimo da energia em termos de soluções polinomiais de uma equação diferencial de Lamé modificada. Além disso, foram dadas novas demonstrações, mais simples, de resultados clássicos de Stieltjes e Szego. Finalmente, foi obtida uma interpretação eletrostática para os zeros dos polinômios comumente chamados de Hermite-Laurent. / Abstract: A general electrostatic problem which involves both an external field and restrictions on the free charges is studied. Necessary and sufficient conditions for the minimum of the energy are furnished in terms of polynomial solutions of a modified Lamé differential equation. New simplified proofs of classical results of Sitieltjes and Szego are given. An electrostatic interpretation of the so-called Hermite-Laurent polynomials is obtained. / Mestre

Orientador: Dimitar Kolev Dimitrov / Coorientador: Cleonice Fátima Braccialli / Banca: Roberto Andreani / Banca: Luis Gustavo Nonato / Banca: Eliana Xavier Linhares de Andrade / Banca: German Jesus Lozada Cruz / Resumo: Neste trabalho, estudamos propriedades dos zeros de polinômi os ortogonais do tipo Sobolev . Provam os resultados sobre entrelaçamento, monotonicidade e assintótica. Fornecemos, também , condições s necessárias e/ou suficientes para os zeros dos polinômios {Sn}n≥0, gerados pela fórmula Sn(x) = Pn(x) + an−1Pn−1(x), ou Sn(x) −bn−1Sn−1(x) = Pn(x), on d e {Pn}n≥0 é um a sequência de polinômios ortogonais, ser em todos reais / Abstract: We study various properti s of the zeros of Sobolev typ e orthogonal polynomials. Results on interacing, monotonicity and asymptotic are proved . We also provide general necessary and/or sufficient con ditions in order to the zeros of the polynomials {Sn}n≥0, generated by the formulae Sn(x) = Pn(x) + an−1Pn−1(x), or Sn(x) −bn−1Sn−1(x) = Pn(x), where {Pn}n≥0 is a sequence of orthogon al polynomials, are all real / Doutor

Orientador: Cleonice Fátima Bracciali / Banca: Walter dos Santos Motta Junior / Banca: Eliana Xavier Linhares de Andrade / Resumo: O objetivo deste trabalho é estudar uma aplicação de polinômios conhecidos, como polinômios para-ortogonais, na solução do problema de análise de freqüência. Para isto, estudamos os polinômios de Szegö que são ortogonais no cýrculo unitário e que dão origem aos polinômios para-ortogonais. Estudamos casos especiais de polinômios para-ortogonais que, através de uma transformação do cýrculo unitário no intervalo [-1, 1], estão associados a certos polinômios ortogonais. Apresentamos também uma abordagem do problema de análise de freqüência utilizando esses polinômios ortogonais em [-1, 1]. / Abstract: The purpose of this work is to study an application of some polynomials, known as para-orthogonal polynomials, in the solution of the frequency analysis problem. We study the Szeguo polynomials that are orthogonal polynomials on the unit circle and give origin to the para-orthogonal polynomials. We investigate some special cases of para-orthogonal polynomials that are associate with certain orthogonal polynomials on [-1, 1] through a transformation from the unit circle to the real interval [-1, 1]. We also present an approach of the frequency analysis problem using these orthogonal polynomials on [-1, 1]. / Mestre

Orientador: Dimitar Kolev Dimitrov / Banca: Valdir Antonio Menegatto / Banca: Alagocone Sri Ranga / Resumo: Neste trabalho estudamos o Teorema de Sturm para zeros de soluções de equações diferenciais lineares de segunda ordem e suas extensões. Estes resultados clássicos são aplicados para análise de monotonicidade e convexidade de zeros de polinômios ortogonais clássicos. / Abstract: We study Sturm's theorem on zeros of solution of linear second-order differential equations as well as its extension. These classical results are applied to analyze monotonicity and convexity of zeros of classical orthogonal polynomials. / Mestre

Orientador: Eliana Xavier Linhares de Andrade / Banca: Fernando Akira Kurokawa / Banca: Cleonice Fátima Bracciali / Resumo: O objetivo deste trabalho é fazer um estudo das propriedades de duas sequências de polinômios, {Pϕ0 n }∞ n=0 e {Pϕ1 n }∞ n=0, ortogonais com relação, respectivamente, às medidas dϕ0 e dϕ1, relacionadas entre si, e das propriedades de duas sequências de polinômios L-ortogonais, {Bψ0 n }∞ n=0 e {Bψ1 n }∞ n=0, quando as medidas associadas, dψ0 e dψ1, est˜ao tamb'em relacionadas. Para os polinômios ortogonais, foram considerados dois casos: polinômios ortogonais associados a medidas simétricas relacionadas por dϕ1(x) = c 1 + qx2 dϕ0(x) e polinˆomios ortogonais associados a medidas relacionadas por (x − q) dϕ1(x) = c dϕ0(x). Como exemplo, os resultados foram aplicados no estudo de polinˆomios ortogonais de Sobolev associados a medidas simétricas como os de Gegenbauer e Hermite, e medidas não simétricas como as de Jacobi e Laguerre. Para os polinômios L-ortogonais, considerou-se o estudo de duas sequências de polinômios associados a medidas positivas fortes dψ0 e dψ1 relacionadas por (z − κ) dψ1(z) = c dψ0(z). Como consequência dessas propriedades, algoritmos para gerar qualquer um dos pares de coeficientes das relações de recorrência, {αψ0 n , βψ0 n } ou {αψ1 n , βψ1 n }, dado o outro, foram dados. / Abstract: The main purpose of this work is to study some properties of two sequences of polynomials, {Pϕ0 n }∞ n=0 and {Pϕ1 n }∞ n=0, orthogonal, respectively, with respect to the related measures dϕ0 and dϕ1, and properties of two sequences of L-orthogonal polynomials, {Bψ0 n }∞ n=0 and {Bψ1 n }∞ n=0, when the associated measures, dψ0 and dψ1, are also related. For the orthogonal polynomials, we considered two cases: orthogonal polynomials associated with symmetric measures related to each other by dϕ1(x) = c 1 + qx2 dϕ0(x) and orthogonal polynomials associated with measures related by (x − q) dϕ1(x) = c dϕ0(x). As examples, the results are applied to obtain informations regarding Sobolev orthogonal polynomials associated with symmetric measures as Gegenbauer and Hermite measures, and non-symmetrical measures such as Jacobi and Laguerre measures. For the L-orthogonal polynomials, we considered the study of two sequences of polynomials associated with strong positive measures dψ0 and dψ1 and related to each other by (z −κ) dψ1(z) = c dψ0(z). As a consequence of these properties, algorithms to generate any pair of coefficients of the recurrence relations, {αψ0 n , βψ0 n } or {αψ1 n , βψ1 n }, given the other, were given. / Mestre

Orientador: Cleonice Fátima Bracciali / Banca: Messias Meneguette Júnior / Banca: Maurílio Boaventura / Resumo: O objetivo principal deste trabalho é estudar o problema de análise de freqüência, utilizando polinômios ortogonais no intervalo [0,1]. Para isto, vimos os polinômios ortogonais no círculo unitário, conhecidos como polinômios de Szego, suas relações com as frações contínuas de Perron-Carathéodory e polinômios para-ortogonais. Estudamos, também, relacões entre polinômios para-ortogonais e polinômios ortogonais no intervalo [-1,1], e como são utilizados em análise de freqüência. / Abstract: The main purpose of this work is to study the frequency analysis problem using ortho- gonal polynomials on the interval [0,1]. For that, we study the orthogonal polynomials in the unit circle, known as Szeg}o polynomials, relations with the continued fractions of Perron- Carathéodory and para-orthogonal polynomials. We also study the relations between the para-orthogonal polynomials and orthogonal polynomials on the interval [-1,1], and how they are used in the frequency analysis problem. / Mestre

Orientador: Dimitar Kolev Dimitrov / Banca: Carlos Tomei / Banca: José  Alberto Cuminato / Resumo: Neste trabalho estudaremos a relação existente entre polinômios ortogonais e matrizes aleatórias. Exibiremos uma caracterização de polinômios ortogonais via problemas de Riemann-Hilbert, a qual tem se mostrado uma ferramenta única para obtenção de assintóticas de polinômios ortogonais. Posteriormente, estudaremos a teoria básica dos ensembles unitários de matrizes aleatórias. Por fim, mostraremos como a teoria de assintóticas de polinômios ortogonais pode ser usada na análise assintótica de estatísticas de matrizes aleatórias, nos levando a resultados de universalidade para os ensembles unitários / Abstract: We will exhibit a characterization of orthogonal p olynomials via Riemann-Hilbert problems, which has been shown a powerful to ol for studying asymptotics of orthogonal polynomials. Posteriorly we will review the basic theory of unitary ensembles of random matrices. At the end, we will show how asymptotics of orthogonal polynomials can be used to study asymptotics of several statistics in random matrix theory, obtaining universality results for the unitary ensembles / Mestre

Orientador: Eliana Xavier Linhares de Andrade / Banca: Ana Paula Peron / Banca: Alagacone Sri Ranga / Resumo: Sejam Sn(x); n ¸ 0; os polinômios de Sobolev, ortogonais com relação ao produto interno hf; giS = ZR f(x)g(x)dÃ0(x) + ¸ ZR f0(x)g0(x)dÃ1(x); ¸ > 0; onde fdÃ0; dÃ1g forma um par coerente de medidas relacionadas às medidas de Jacobi ou de Laguerre. Denotemos por PÃ0 n (x) e PÃ1 n (x); n ¸ 0; os polinômios ortogonais com respeito a dÃ0 e dÃ1; respectivamente. Neste trabalho, estudamos o comportamento assintótico, quando n ! 1; das razões entre os polinômios de Sobolev, Sn(x); e os polinômios ortogonais PÃ0 n (x) e PÃ1 n (x); além do comportamento limite da razão entre esses dois últimos polinômios. Propriedades assintóticas para os coeficientes da relação de recorrência satisfeita pelos polinômios de Sobolev também foram estudadas. / Abstract: Let Sn(x); n ¸ 0; be the Sobolev polynomials, orthogonal with respect to the inner product hf; giS = ZR f(x)g(x)dÃ0(x) + ¸ ZR f0(x)g0(x)dÃ1(x); ¸ > 0; where fdÃ0; dÃ1g forms a coherent pair of measures related to the Jacobi measure or Laguerre measure. Let PÃ0 n (x) and PÃ1 n (x); n ¸ 0; denote the orthogonal polynomials with respect to dÃ0 and dÃ1; respectively. In this work we study the asymptotic behaviour, as n ! 1; of the ratio between the Sobolev polynomials, Sn(x); and the ortogonal polynomials PÃ0 n (x) and PÃ1 n (x); as well as the limit behaviour of the ratio between the last two polynomials. Furthermore, we also give asymptotic results for the coefficients of the recurrence relation satisfied by the Sobolev polynomials. / Mestre

Orientador: Gilberto Pechoto de Melo / Banca: Cleudmar Amaral de Araújo / Banca: Vicente Lopes Júnior / Resumo: Nas técnicas de identificação de parâmetros, procuram-se determinar os valores desconhecidos pela manipulação dos sinais de entrada e saída do sistema. O tratamento e análise de sinais são relativamente recentes na engenharia, sendo que seu desenvolvimento deu-se juntamente com o dos sensores e condicionadores de sinais e mais recentemente, com os sistemas automáticos de aquisição de dados. Vários métodos têm sido propostos para resolver problemas de identificação, embora nenhum deles possa ser considerado como sendo universalmente adequado a todas as situações. Conhecendo-se os parâmetros dos sistemas, pode-se acompanhar através de monitoramento e técnicas de identificação, a evolução de possíveis falhas devido à variação destes parâmetros. Os processos de identificação, a partir de funções ortogonais, começam com a construção de uma matriz operacional, o que permite, através de integrações a conversão de um conjunto de equações diferenciais em um conjunto de equações algébricas e consequentemente a obtenção dos parâmetros desconhecidos. Neste trabalho, apresentam-se as técnicas de Identificação de Parâmetros utilizando as funções ortogonais de Fourier e polinomiais de Legendre e Chebyshev. / Abstract: In the parameter identification techniques, it is important to determine the unknown values in the manipulation of input and output signal of the system. The treatment and analysis of signals are relatively recent in the engineering, and its development took place with the sensors and the signal conditioning and recently, with the automatic data acquisition systems. Various methods have been proposed to solve identification problems, although any of them can be regarded universally adequate to all the situations. If the parameters of the systems, is known it can be accompanied, through monitoring and identification techniques, the evolution of possible fault due to the variation of the parameters. The identification process, from these types of functions, start with the construction of an operational matrix for the integration of orthogonal bases vectors, which allow the conversion of a differential equation set to a algebraic equation set, obtaining the unknown parameters. In this work, the parameter identification techniques used, the orthogonal functions of Fourier and polynomial of Legendre and Chebyshev, is presented. / Mestre

Orientador: Alagacone Sri Ranga / Banca: Sandra Augusta Santos / Banca: Cleonice Fátima Bracciali / Resumo: Dentre as diversas fórmulas de quadratura interpolatórias estão aquelas que utilizam em sua construção as propriedades dos polinômios ortogonais Pn, ou ainda dos polinômios similares Bn. Consideramos, aqui, fþormulas de quadratura envolvendo polinôomios em x da forma .n(x, .) = Pn-1(.)Pn(x) - Pn(.)Pn-1(x), e da forma Gn(x, u) = Bn-1(u)Bn(x) - Bn(u)Bn-1(x). Abordamos ainda certas fþormulas de quadratura que visam aproximar a integral de um produto de duas funções k e f sendo k Lebesgue integrþavel e f Riemann integrþavel. O principal objetivo deste trabalho þe analisar propriedades das fþormulas de quadratura utilizando-se .n e obter propriedades anþalogas para o caso onde utiliza-se Gn, bem como estudar o erro e as propriedades de convergência das fórmulas envolvendo k e f. Propriedades dos pesos das fórmulas de quadratura nos diversos casos são analisadas, a convergência das fórmulas associadas a k e f são estudadas mediante determinadas escolhas de pontos. / Abstract: Among the many well known quadrature formulas one finds those interesting interpolatory quadrature formulas that take advantage of the properties of orthogonal polynomials Pn or similar polynomials Bn. Here, we consider the interpolatory quadrature rules based on the zeros of the polynomials øn(x, î) = Pn.1(î)Pn(x).Pn(î)Pn.1(x), and Gn(x, u) = Bn.1(u)Bn(x) . Bn(u)Bn.1(x) where î and u are arbitrary parameters. One of the objective of this dissertation is to study some of the known properties of quadrature rules based on øn(x, î) and consider the analogous properties of the quadrature rules based on Gn(x, u).We also look at the convergence properties of those quadrature rules that serve to approximate integrals of the product of functions k and f, where k is a Lebesgue integrable function and f needs to be a Riemann integrable function. / Mestre