El objeto del estudio son las subvariedades propiamente inmersas en variedades ambientes que tienen al menos un polo. Tanto la variedad ambiente (a través de sus curvaturas seccionales) como la subvariedad (a través de su curvatura media radial) tienen sus geometrías controladas. Este estudio se lleva a cabo utilizando la distancia extrínseca y el análisis del Laplaciano y del Hessiano. Con todo ello se establecen resultados en dos campos del Análisis Geométrico: 1. La descripción en términos geométricos de la parabolicidad o hiperbolicidad de la subvariedad cuando la variedad ambiente es de Cartan-Hadamard. Se incluye también resultados sobre las superficies en el Espacio Euclídeo. 2. La generalización de la desigualdad de Chern-Osserman (establecida en principio para superficies minimales en el Espacio Euclídeo o en el Espacio Hiperbólico y posteriormente para no minimales en el Espacio Euclídeo) para superficies no necesariamente minimales en una variedad de Cartan-Hadamard.

Cette thèse est constituée de trois parties. Dans la première partie, on s’intéresse au problème de trace au bord d’une solution positive de l’équation (E1) - Δu + g(∇u) = 0 dans un domaine borné Ω. Si g(r) ≥ rq avec q > 1, on prouve que toute solution positive de (E1)admet une trace au bord considérée comme une mesure de Borel régulière. Si g(r) = rq avec1 < q < qc = N+1/N , on montre l’existence d’une solution positive dont la trace au bord est une mesure de Borel régulière. Si g(r) = rq avec qc ≤ q < 2, on établit une condition nécessaire de résolution en terme de capacité de Bessel C2-q/q ,q’ . On étudie aussi des ensembles éliminables au bord pour des solutions modérées et sigma-modérées. La deuxième partie est consacrée à étudier la limite, lorsque k → ∞, de solutions d’équation ∂tu - Δu + f(u) = 0 dans ℝN × (0,∞) avec donnée initiale kδ0. On prouve qu’il existe essentiellement trois types de comportement possible et démontre un résultat général d’existence de trace initiale et quelques résultats d’unicité et de non-unicité de solutions dont la donnée initiale n’est pas bornée. Dans la troisième partie, on considère l’équation ∂tu - Δu + f(u) = 0 dans ℝN × (0,∞) où p > 1. Si p > 2N/N+1, on fournit une condition suffisante portant sur f pour l’existence et l’unicité des solutions fondamentales et on étudie la limite lorsque k → ∞. On donne aussi de nouveaux résultats de non-unicité de solutions avec donnée initiale non bornée. Si p ≥ 2, on prouve que toute solution positive admet une trace initiale dans la classe des mesures de Borel régulières positives. Finalement on applique les résultats ci-dessus au cas f(u) = uα lnβ(u + 1) avec α,β > 0. / This thesis is divided into three parts. In the first part, we study the boundary trace of positive solutions of the equation (E1) - Δu + g(∇u) = 0 in a bounded domain . When g(r) ≥ rq with q > 1, we prove that any positive function of (E1) admits a boundary trace which is an outer regular Borel measure. When g(r) ≥ rq with 1 < q < qc = N+1/N, we prove the existence of a positive solution with a general outer regular Borel measure as boundary trace.When g(r) ≥ rq with qc ≤ q < 2, we establish a necessary condition for solvability in term of the Bessel capacity C2-q/q ,q’ . We also study boundary removable sets for moderate and sigma-moderate solutions. The second part is devoted to investigate the limit, when k → ∞, of the solutions of ∂tu - Δu + f(u) = 0 in ℝN × (0,∞) with initial data kδ0. We prove that there exist essentially three types of possible behaviour and provide a new and more general construction of the initial trace and some uniqueness and non-uniqueness results for solutions with unbounded initial data. In the third part, we consider the equation ∂tu - Δu + f(u) = 0 in ℝN × (0,∞) where p > 1. If p > 2N/N+1we provide a sufficient condition on f for existence and uniqueness of the fundamental solutions and we study their limit when k → ∞. We also give new results dealing with non uniqueness for the initial value problem with unbounded initial data. If p ≥ 2, we prove that any positive solution admits an initial trace in the class of positive Borel measures. Finally we apply the above results to the case f(u) = uα lnβ(u + 1) with α,β > 0.

[pt] Esta tese tem o intuito do estudo da existência, não existência e estimativas a priori de soluções não negativas de alguns tipos de problemas elípticos degenerados coercivos e não coercivos com um termo adicional dependendo do gradiente. Dentre outras coisas, obtemos condições integrais generalizadas tipo Keller-Osserman para a existência e não existência de soluções. Também mostramos que condições adicionais e diferentes são necessárias quando p é maior ou igual à 2 ou p é menor ou igual à 2, devido ao caráter degenerado do operador. As estimativas a priori são obtidas para super-soluções e soluções de EDPs elípticas superlineares o sistemas de tais tipos de equações em forma divergente com diferentes operadores e não linearidades. Além do mais, obtemos extensões até a fronteira de algumas desigualdades de Harnack fracas e lemas quantitativos de Hopf para operadores elípticos como o p-Laplaciano. / [en] This thesis concerns the study of existence, nonexistence and a priori estimates of nonnegative solutions of some types of degenerate coercive and non coercive elliptic problems involving an additional term which depends on the gradient. Among other things, we obtain generalized integral conditions of Keller-Osserman type for the existence and nonexistence of solutions. Also, we show that different conditions are needed when p is higher or equal to 2 or p is less than or equal to 2, due to the degeneracy of the operator. The uniform a priori estimates are obtained for supersolutions and solutions of superlinear elliptic PDE or systems of such PDE in divergence form that can contain different operators and nonlinearities. We also give full boundary extensions to some half Harnack inequalities and quantitative Hopf lemmas, for degenerate elliptic operators like the p-Laplacian.

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Cette thèse est constituée de trois parties. Dans la première partie, on s'intéresse au problème de trace au bord d'une solution positive de l'équation de Hamilton-Jacobi (E1) $-\Delta u+g(|\nabla u|)=0$ dans un domaine borné $\Omega$ de ${\mathbb R}^N$, satisfaisant (E2) $u = \mu$ sur $\partial \Omega$. Si $g(r) \geq r^q$ avec $q > 1$, on prouve que toute solution positive de (E1) admet une trace au bord considérée comme une mesure de Borel régulière, pas nécessairement localement bornée. Si $g(r) = r^q$ avec $1 < q < q_c = \frac{N+1}{N}$ , on montre l'existence d'une solution positive dont la trace au bord est une mesure de Borel régulière $\nu \not \equiv \infty$ et on caractérise les singularités frontières isolées de solutions positives. Si $g(r) = r^q$ avec $q_c \leq q < 2$, on établit une condition nécessaire de résolution en terme de capacité de Bessel $C_{\frac{2-q}{q},q'} . On étudie aussi des ensembles éliminables au bord pour des solutions modérées. La deuxième partie est consacrée à étudier la limite, lorsque $k \to \infty$, de solutions d'équation $\partial_t u - \Delta u + f(u) =0$ dans ${\mathbb R}^N \times (0;\infty)$ avec donnée initiale $k\delta_0$ où $0$ est la masse de Dirac concentrée à l'origine et f est une fonction positive, continue, croissante et satisfaisant $f(0) = f^{-1}(0) = 0$. On prouve, sous certaines hypothèses portant sur f, qu'il existe essentiellement trois types de comportement possible en fonction des valeurs finies ou infinies des intégrales $\int_1^\infty f^{-1}(s)ds$ et $\int_1^\infty F^{-1/2}(s)ds$, où $F(s)=\int_0^s f(r)dr$. Grâce à ces résultats, on donne une nouvelle construction de la trace initiale et quelques résultats d'unicité et de non-unicité de solutions dont la donnée initiale n'est pas bornée. Dans la troisième partie, on élargit le cadre de nos investigations et généralise les résultats obtenus dans la deuxième partie au cas où l'opérateur est non-linéaire. En particulier, on s'intéresse à des propriétés qualitatives de solutions positives de l'équation $ \partial_t u-\Delta_p u+f(u)=0$ où $p > 1, \Delta_p u = div(\abs{\nabla u}^{p-2}\nabla u)$ et $f$ est une fonction continue, croissante, positive et satisfaisant $f(0) = 0 = f^{-1}(0)$. Si $p > \frac{2N}{N+1}$, on fournit une condition suffisante portant sur f pour l'existence et l'unicité des solutions fondamentales de données initiales $k\delta_0$ et on étudie la limite, lorsque $k \to \infty$, qui dépend du fait que $f^{-1}$ et $F^{-1/p}$ soient intégrables à l'infini ou pas, où $F(s) =\int_0^s f(r)dr. On donne aussi de nouveaux résultats de non-unicité de solutions avec donnée initiale non bornée. Si $p \geq 2$, on prouve que toute solution positive admet une trace initiale dans la classe de mesures de Borel régulières positives. Finalement on applique les résultats ci-dessus au cas modèle $f(u)=u^\alpha \ln^\beta(u+1)$ avec $\alpha>0$ et $\beta>0$.