ix, 111 p. / This dissertation contains the results obtained from a study of two subjects in mathematical general relativity. The first part of this dissertation is about the existence of Killing symmetries in spacetimes containing a compact Cauchy horizon. We prove the existence of a nontrivial Killing symmetry in a large class of analytic cosmological spacetimes with a compact Cauchy horizon for any spacetime dimension. In doing so, we also remove the restrictive analyticity condition and obtain a generalization to the smooth case. The second part of the dissertation presents our results on the global stability problem for a class of cosmological models. We investigate the power law inflating cosmological models in the presence of electromagnetic fields. A stability result for such cosmological spacetimes is proved. This dissertation includes unpublished co-authored material. / Committee in charge: James Brau, Chair; James Isenberg, Advisor; Paul Csonka, Member; John Toner, Member; Peng Lu, Outside Member

Este trabalho de pesquisa tem por objetivo apresentar e investigar a viabilidade de um método numérico que contempla o paralelismo no tempo. Este método numérico está associado a problemas de condição inicial e de contorno para equações diferenciais parciais (evolutivas). Diferentemente do método proposto neste trabalho, a maioria dos métodos numéricos associados a equações diferencias parciais evolutivas e tradicionalmente encontrados, contemplam apenas o paralelismo no espaço. Daí, a motivação em realizar o presente trabalho de pesquisa, buscando não somente um método com paralelismo no tempo mas, sobretudo, um método viável do ponto de vista computacional. Para isso, a implementação do esquema numérico proposto está por conta de um algoritmo paralelo escrito na linguagem C e que utiliza a biblioteca MPI. A análise dos resultados obtidos com os testes de desempenho revelam um método numérico escalável e que exige pouco nível de comunicação entre processadores. / This research aims to present and investigate the feasibility of a numerical method that considers the parallelism in time. This numerical method is associated with problems of initial and boundary conditions for (evolutionary) partial differential equations. Unlike the method proposed in this work, most of the numerical methods associated with evolutionary partial diferential equations and traditionally found include only parallelism in space. Hence, the motivation for carrying out the present research work,seeking not only a method with parallelism in time but,above all, a viable method. The implementation of this proposed computational parallel algorithm was written with the language C and uses the MPI library. The results obtained from performance tests reveal a scalable and numerical method that requires little level of communication amount processors

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro / Neste trabalho, será considerado um problema de controle ótimo quadrático para a equação do calor em domínios retangulares com condição de fronteira do tipo Dirichlet é nos quais, a função de controle (dependente apenas no tempo) constitui um termo de fonte. Uma caracterização da solução ótima é obtida na forma de uma equação linear em um espaço de funções reais definidas no intervalo de tempo considerado. Em seguida, utiliza-se uma sequência de projeções em subespaços de dimensão finita para obter aproximações para o controle ótimo, o cada uma das quais pode ser gerada por um sistema linear de dimensão finita. A sequência de soluções aproximadas assim obtidas converge para a solução ótima do problema original. Finalmente, são apresentados resultados numéricos para domínios espaciais de dimensão 1. / In this work, a quadratic optimal control problem will be considered for the heat equation in rectangular domains with Dirichlet type boundary conditions in which the control function (depending only on time) constitutes a source term. A characterization of the solution is obtained in the form of a linear equation in a real function space defined in a considered time interval. Then, a sequence of projections in finite dimensional subspaces is used to obtain approximations for the optimal control, each of them can be generated by a finite dimension linear system. The sequence of approximate solutions obtained in this way converges to an optimal solution of the original problem. Finally, numerical results are presented for spatial domains of 1 dimension.

O objetivo central deste trabalho consiste em demonstrar a existência de gráficos mínimos C2,x com fronteira assintótica prescrita na variedade produto M R, onde M e completa, simplesmente conexa, com curvatura seccional KM satisfazendo KM ≤ -k2 < 0 e tal que, para algum p Є M, o subgrupo de isotropia de Iso(M) em p age de modo 2-pontos homogêneo nas esferas geodésicas centradas em p. / The main purpose of this work consists on proving the existence of minimal C2,x graphics with prescribed asymptotic boundary in the product manifold M R, where M is a complete, simply connected manifold with sectional curvature KM satisfying KM ≤ -k2 < 0 and such that, for some p 2 M, the isotropy subgroup of Iso(M) in p acts in a 2-points homogeneous way in the geodesic spheres centered in p.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-22T13:53:26Z No. of bitstreams: 1 RAWLILSON DE OLIVEIRA ARAÚJO - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2009..pdf: 634807 bytes, checksum: ac58493ea191b2c179670c3c138a40f4 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-22T13:53:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 RAWLILSON DE OLIVEIRA ARAÚJO - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2009..pdf: 634807 bytes, checksum: ac58493ea191b2c179670c3c138a40f4 (MD5) Previous issue date: 2009-02 / CNPq / O resumo foi escrito utilizando formulas e equações matemáticas e por este motivo não fora possível transcreve-lo aqui. Para a visualizar o resumo recomendamos o downloado do arquivo. / The abstract was written using mathematical formulas and equations and for this reason it was not possible to transcribe it here. To view the summary we recommend downloading the file.

Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 812465 bytes, checksum: d6832361602c73d37e87fb903d5f8d58 (MD5) Previous issue date: 2014-02-17 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this Work, We study a phase-ñeld model for the isothermal olidiñcation of a binary alloy due to Warren-Boettinger [23]. We obtain the existence Of Weak solution, and results Of regularity and uniqueness under the assurnptions that the nonlinearities are Lipschitz and limited. Finally, by Characterizing the nonlinear terms by the double-well potentiaL We obtain existence and uniqueness Of Weak solution for a modiñed Version of the model. Throughout this Work, We apply the FaedO-Galerkin rnethod. / Estudamos nesse trabalho um modelo de Campo de fase para a solidificação isotérmica de uma liga binária, devido a Warren-Boettinger [23]. Obtemos a existência de solução fraca, e resultados de regularidade e unicidade sob as hipóteses das não linearidades serem Lipschitz e limitadas. Por fim, Caracterizamos um dos termos não lineares pelo double-well potential e Obtemos a existência de solução fraca para esse modelo e sua unicidade. Utilizamos durante todo 0 trabalho 0 Método de Faedo-Galerkin.

Este trabalho de pesquisa tem por objetivo apresentar e investigar a viabilidade de um método numérico que contempla o paralelismo no tempo. Este método numérico está associado a problemas de condição inicial e de contorno para equações diferenciais parciais (evolutivas). Diferentemente do método proposto neste trabalho, a maioria dos métodos numéricos associados a equações diferencias parciais evolutivas e tradicionalmente encontrados, contemplam apenas o paralelismo no espaço. Daí, a motivação em realizar o presente trabalho de pesquisa, buscando não somente um método com paralelismo no tempo mas, sobretudo, um método viável do ponto de vista computacional. Para isso, a implementação do esquema numérico proposto está por conta de um algoritmo paralelo escrito na linguagem C e que utiliza a biblioteca MPI. A análise dos resultados obtidos com os testes de desempenho revelam um método numérico escalável e que exige pouco nível de comunicação entre processadores. / This research aims to present and investigate the feasibility of a numerical method that considers the parallelism in time. This numerical method is associated with problems of initial and boundary conditions for (evolutionary) partial differential equations. Unlike the method proposed in this work, most of the numerical methods associated with evolutionary partial diferential equations and traditionally found include only parallelism in space. Hence, the motivation for carrying out the present research work,seeking not only a method with parallelism in time but,above all, a viable method. The implementation of this proposed computational parallel algorithm was written with the language C and uses the MPI library. The results obtained from performance tests reveal a scalable and numerical method that requires little level of communication amount processors

Neste trabalho estudamos o problema de Dirichlet assintótico para a equação das superfícies mínimas em uma superfície de Cartan-Hadamard rotacionalmente simétrica e mostramos que o problema e unicamente solúvel para qualquer dado contínuo em seu bordo assintótico. / In this work we study the asymptotic Dirichlet problem for the minimal surface equation on rotationally symmetric Cartan-Hadamard surfaces. We prove that the problem is uniquely solvave for any continuous asymptotic boundary data.

Cette thèse est articulée autour de deux facettes de l’étude des équations auxdérivées partielles. Dans une première partie, on étudie la stabilité des solutionspériodiques pour des lois de conservation. On démontre d’abord la stabilité asymptotiquedans L1 des solutions périodiques de lois de conservation scalaires et inhomogènes.On montre ensuite un résultat de stabilité structurelle des roll-waves. Plusprécisément, on montre que les solutions périodiques d’un système hyperbolique sansviscosité sont limites des solutions du problème avec viscosité, quand le terme deviscosité tend vers 0. Dans une deuxième partie, on s’intéresse à un système d’équationsaux dérivées partielles issu de la biologie : le modèle de Patlak-Keller-Segelen dimension 2 ; il décrit les phénomènes de chimiotactisme. Pour ce modèle, onconstruit un schéma de type volume fini, ce qui permet d’approcher la solution touten gardant certaines propriétés du système : positivité, conservation de la masse,estimation d’énergie. / This thesis is organized around two aspects of the study of partial differentialequations. In a first part, we study the stability of periodic solutions for conservationlaws. First, we prove asymptotic L1-stability of periodic solutions of scalarinhomogeneous conservation laws. Then, we show a result on structural stability ofroll-waves. More precisely, we prove that periodic solutions of a hyperbolic systemwithout viscosity are the limits of the solutions of the problem with viscosity, as theviscous term tends to 0. In a second part, we study a system of partial differentialequations derived from biology: the model of Patlak-Keller-Segel in dimension 2, describingthe phenomena of chemotaxis. For this model, we construct a finite-volumescheme, which approaches the solution while keeping some properties of the system:positivity, conservation of mass, energy estimate.

La réponse immunitaire se produit en réaction à une infection, c’est-à-dire à l’introduction d’un pathogène dans l’organisme. Nous nous intéressons à une population de cellules spécifique de la réponse, les lymphocytes T CD8. Nous avons développé un modèle non linéaire structuré en âgedes dynamiques de cette réponse, à l’échelle cellulaire. Nous avons étudié l’existence et la stabilité des états d’équilibre, et obtenu des propriétés mettant en évidence, sous certaines conditions, des dynamiques à long terme correspondant à la situation biologiquement attendue. Nous avons ensuite réalisé une estimation systématique des valeurs de paramètres du modèle, afin de déterminer un ensemble de valeurs pour chaque paramètre qui permet de reproduire convenablement des données expérimentales. Cette démarche permet d’obtenir des informations sur l’influence des paramètres dans le modèle, et sur leurs variations selon la nature du pathogène.Enfin, nous nous sommes intéressés aux dynamiques de la réponse à l’échelle moléculaire, en écrivant un réseau des évènements de signalisation clès depuis l’activation de la cellule en présence d’un antigène, jusqu’à l’entrée en cycle ou l’apoptose de la cellule. Nous avons déterminé un sous modèle centré sur les choix entre survie et apoptose, que nous avons étudié mathématiquement et numériquement. Ce modèle a permis d’étudier les dynamiques de concentrations des protéines impliquées dans la signalisation intra-cellulaire de la réponse T CD8. / Immune response occurs when a pathogen enters the organism and launches an infection. Herewe focused on a specific cell population which takes part in the response : the CD8 T lymphocytes.We first developed an nonlinear age-structured model which accounts for the dynamics of theimmune response at a cell scale. We studied mathematically the existence and stability of steadystates. Hence, we got some properties which highlighted, under certain conditions, some long termdynamics corresponding to biologically expected situation.We then led a systematic estimation of parameter values in the model, in order to find a setof values for each parameter which enabled us to correctly reproduce experimental data. Thanksto this work, we got information of the influence of each parameter in the model and informationof their variations depending on the nature of the pathogen.Eventually, we considered dynamics of the immune response at a molecular scale. We createda network of signal key events, starting from cell activation due to an antigen encounter, to cellcycle entry or apoptosis of the cell. We thus elaborated a sub-model focused on the choice betweensurvival or apoptosis, that we mathematically and numerically studied. Thanks to this model, westudied concentration dynamics of the proteins involved in intracellular signaling in CD8 T cellresponse.