Dans ma thèse j'etude les variétés abéliennes ordinaires définies avec multiplication réelle maximale. Je définis des polynômes modulaires dans ce situation et je donne un algorithme pour calculer sur les nombres complexes et pour les surfaces sur des corps finis. Je donne aussi un théorème de structure pour les graphs des isogénies dans ce contexte. Je donne une généralisation de Schoof-Elkies-Atkin aux courbes de genre 2 avec multiplication réelle maximale fixe en utilisant les polynômes modulaires. / My thesis looks at ordinary abelian varieties defined with maximal real multiplication. I define modular polynomials in this setting and give an algorithm to compute them over the complex numbers, and for surfaces over finite fields. I also give a structure theorem for isogeny graphs in this setting. I give a generalisation of Schoof-Elkies-Atkin to genus 2 curves with fixed maximal real multiplication using the modular polynomials.

Trois thèmes ont été poursuivis dans la thèse : -On introduit les fonctions symétriques non commutatives dans le cadre des extensions de Ore. On généralise les résultats obtenus par Gelfand, Retakh et Wilson. Notre méthode est en outre plus naturelle et évite l’utilisation des quasi déterminants. -On montre que les factorisations des polynômes de Wedderburn sont en bijection avec des drapeaux complets d’espaces vectoriels provenant de noyaux d’applications polynomiales en des transformations pseudo-linéaires. D’autres résultats, motivés par la théorie des codes, concernent la factorisation dans des anneaux de Ore construits sur des corps finis. On y montre, en particulier, comment se ramener au cas d’un anneau de polynômes classique. -On caractérise l’existence de P.P.C.M. à gauche de polynômes linéaires dans des extensions de Ore sur des anneaux quelconques. Dans ce cadre, une étude détaillée des transformations pseudo-linéaires s’est révélée, une fois encore, un outil indispensable. / Three themes have been pursued in the thesis : We introduce the noncommutative symmetric functions in the frame of Ore extensions. We generalize the results obtained by Gelfand, Retakh and Wilson. Moreover our method is more natural and avoid the use of quasideterminants. We show that the factorizations of Wedderburn polynomials are in bijection with complete flags of vector spaces coming from kernels of polynomial maps in pseudo-linear transformations. Other results, motivated by coding theory, concern the factorizations in Ore extension over finite fields. In particular, we show how to translate factorisations in these rings into factorisations in the usual polynomial rings. We characterize the existence of L.L.C.M of linear polynomials in Ore extensions over general rings. In this frame, a detailed study of pseudo-linear transformations was necessary.

Dans l'esprit du théorème de Cassels, Ellison et Pfister qui démontre que le polynôme de Motzkin est une somme de 4 carrés et pas de 3 carrés de fractions dans R(X,Y), on construit des familles de polynômes de ce type de la forme Y^4+A(X)Y^2+B(X). La méthode est une extension de celle de Cassels, Ellison et Pfister : 2-descentes sur des courbes elliptiques.

Cette thèse est consacrée au problème de combinatoire algébrique appelée conjecture n!. <br /><br />Plus explicitement, on étudie la structure de certains espaces notés M_mu et indexés par les partitions mu de l'entier n. Chaque espace M_mu est le cône de dérivation d'un polynôme Delta_mu, généralisant en deux alphabets le déterminant de Vandermonde. Le coeur de ce travail, motivé par l'interprétation de certains polynômes de Macdonald en termes de multiplicité des représentations irréductibles du S_n-module M_mu, est la conjecture n!, énoncée en 1991 par A. Garsia et M. Haiman et récemment prouvée par ce dernier. <br /><br />On s'intéresse ici tout d'abord à l'explicitation de bases monomiales des espaces M_mu. Cette approche est très liée à l'étude de l'idéal annulateur de Delta_mu et nous conduit à introduire certains opérateurs de dérivation, dits opérateurs de sauts. On obtient une base monomiale explicite et une description de l'idéal annulateur pour les partitions en équerres, et pour le sous-espace en un alphabet M_mu(X) avec une partition mu quelconque. <br /><br />Les opérateurs de sauts se révèlent cruciaux pour l'introduction et l'étude de généralisations de la conjecture n!. Dans le cas des partitions trouées (approche récursive de la conjecture n!), l'obtention d'une base explicite du sous-espace en un alphabet permet de traiter une spécialisation de la fondamentale récurrence à quatre termes. Dans le cas des diagrammes à plusieurs trous, l'introduction de sommes de cônes de dérivation permet d'énoncer une conjecture généralisant la conjecture n!, supportée par l'obtention d'une borne supérieure et la structure du sous-espace en un alphabet.

Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines questions de convergence et de récurrence multiples en théorie ergodique. Nous distinguons les systèmes munis d'une transformation et ceux munis de plusieurs transformations qui commutent. Dans les premiers, le mécanisme de facteurs caractéristiques et les nilsystèmes jouent un rôle important dans l'étude de convergence et de récurrence multiples. À l'aide de ces outils, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiquesmultiples pondérées de Host et Kra pour le cas linéaire au cas polynômial. En conséquence, nous montrons que pour toute fonction $f$ mesurable bornée sur un système ergodique, la suite $(f(T^n x))$ est universellement bonne pour presque tout $x$. Quand il y a plusieurs transformations qui commutent, à l'aide de la machinerie des systèmes magiques introduite récemment par Host et développée dans cette thèse, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiques multiples sur les cubes de Host et Kra avec une transformation à plusieurs transformations qui commutent. Nous obtenons aussi un résultat de récurrence multiple quantitatif pour deux transformations qui commutent, similaire en faveur du cas d'une transformation établi par Bergelson, Host et Kra

Ce travail porte sur la construction d'un modèle réduit en hydraulique fluviale avec une méthode de décomposition en polynôme du chaos. Ce modèle réduit remplace le modèle direct afin de réduire le coût de calcul lié aux méthodes ensemblistes en quantification d'incertitudes et assimilation de données. Le contexte de l'étude est la prévision des crues et la gestion de la ressource en eau. Ce manuscrit est composé de cinq parties, chacune divisée en chapitres. La première partie présente un état de l'art des travaux en quantification des incertitudes et en assimilation de données dans le domaine de l'hydraulique ainsi que les objectifs de la thèse. On présente le cadre de la prévision des crues, ses enjeux et les outils dont on dispose pour prévoir la dynamique des rivières. On présente notamment la future mission SWOT qui a pour but de mesurer les hauteurs d'eau dans les rivières avec un couverture globale à haute résolution. On précise notamment l'apport de ces mesures et leur complémentarité avec les mesures in-situ. La deuxième partie présente les équations de Saint-Venant, qui décrivent les écoulements dans les rivières, ainsi qu'une discrétisation numérique de ces équations, telle qu'implémentée dans le logiciel Mascaret-1D. Le dernier chapitre de cette partie propose des simplifications des équations de Saint-Venant. La troisième partie de ce manuscrit présente les méthodes de quantification et de réduction des incertitudes. On présente notamment le contexte probabiliste de la quantification d'incertitudes et d'analyse de sensibilité. On propose ensuite de réduire la dimension d'un problème stochastique quand on traite de champs aléatoires. Les méthodes de décomposition en polynômes du chaos sont ensuite présentées. Cette partie dédiée à la méthodologie s'achève par un chapitre consacré à l'assimilation de données ensemblistes et à l'utilisation des modèles réduits dans ce cadre. La quatrième partie de ce manuscrit est dédiée aux résultats. On commence par identifier les sources d'incertitudes en hydraulique que l'on s'attache à quantifier et réduire par la suite. Un article en cours de révision détaille la validation d'un modèle réduit pour les équations de Saint-Venant en régime stationnaire lorsque l'incertitude est majoritairement portée par les coefficients de frottement et le débit à l'amont. On montre que les moments statistiques, la densité de probabilité et la matrice de covariances spatiales pour la hauteur d'eau sont efficacement et précisément estimés à l'aide du modèle réduit dont la construction ne nécessite que quelques dizaines d'intégrations du modèle direct. On met à profit l'utilisation du modèle réduit pour réduire le coût de calcul du filtre de Kalman d'Ensemble dans le cadre d'un exercice d'assimilation de données synthétiques de type SWOT. On s'intéresse précisément à la représentation spatiale de la donnée telle que vue par SWOT: couverture globale du réseau, moyennage spatial entre les pixels observés. On montre notamment qu'à budget de calcul donné les résultats de l'analyse d'assimilation de données qui repose sur l'utilisation du modèle réduit sont meilleurs que ceux obtenus avec le filtre classique. On s'intéresse enfin à la construction du modèle réduit en régime instationnaire. On suppose ici que l'incertitude est liée aux coefficients de frottement. Il s'agit à présent de juger de la nécessité du recalcul des coefficients polynomiaux au fil du temps et des cycles d'assimilation de données. Pour ce travail seul des données in-situ ont été considérées. On suppose dans un deuxième temps que l'incertitude est portée par le débit en amont du réseau, qui est un vecteur temporel. On procède à une décomposition de type Karhunen-Loève pour réduire la taille de l'espace incertain aux trois premiers modes. Nous sommes ainsi en mesure de mener à bien un exercice d'assimilation de données. Pour finir, les conclusions et les perspectives de ce travail sont présentées en cinquième partie.

Le domaine de cette thèse est dans la topologie quantique et son sujet est axé sur l'interaction en- tre la topologie de basse dimension et la théorie des représentations. Ma recherche concerne as- pects différents des invariants quantiques pour les entrelacs et les $3$-variétés, visant a créer des ponts entre les façons algébriques et topologiques de les définir. D'une part, une description al- gébrique et combinatoire pour un concept mathématique, crée l'opportunité de développer des outils de calcul. D'un autre côté, les descriptions topologiques et géométriques ouvrent des per- spectives vers des constructions qui mènent a une compréhension plus profonde et a des théories plus subtiles.Les polynômes de Jones coloriés sont des invariants quantiques d'entrelacs contruits en partant de la théorie des représentations de $U_q(sl(2))$. Le premier invariant de cette séquence est le polynôme de Jones original, qui peut-être caractérisé aussi par la théorie de l'écheveau. Bigelow et Lawrence ont décrit un modèle homologique pour le polynôme de Jones. Ils ont utilisé la représentation de Lawrence, qui est une représentation de groupe de tresses sur l'homologie des revêtements d'espaces de configurations dans le disque pointé, et la nature de l'écheveau de l'in- variant pour la preuve. Contrairement a ce cas, les autres polynômes de Jones coloriés ne peu- vent pas être définis facilement par la théorie de l'écheveau.Dans la premiere partie de cette thèse, nous donnons un modèle topologique pour les polynômes de Jones coloriés. Nous utilisons leur définition comme invariants quantiques et construisons des correspondants topologiques pas à pas. Nous observons d'abord que l'invariant peut être codé par des espaces dits de plus haut poids, puis utiliser un résultat de Kohno, qui identifie ces espaces avec des représentations de Lawrence. Nous prouvons que les polynômes de Jones coloriés peu- vent être obtenus comme une forme d'intersection géométrique gradués entre des classes d'ho- mologie dans certaines couvertures des espaces de configuration de points dans le disque pointé.Les deuxième et troisième parties sont orientées vers les applications de la théorie de la représen- tation des super groupes quantiques aux invariants quantiques. La deuxième partie est une col- laboration avec N. Geer, ou nous construisons des invariants quantiques pour $3$-variétés a par- tir des représentations de $U_q(sl(2|1))$. Turaev-Viro ont défini une méthode de type somme d'état qui donne des invariants de $3$-variétés a partir de $ U_q(sl (2)) $. Pour les super groupes quantiques, cela entraîne l'annulation des invariants. Plus tard, Geer-Pa- tureau-Turaev ont défini une méthode modifiée qui commence par une catégorie avec de bonnes propriétés et conduit à des invariants non-nulls. Notre stratégie consiste a construire une caté- gorie qui peut-être utilisée dans cette méthode modifiée. La troisième partie concerne l'étude des algèbre centralisatrices pour les représentations de $ U_q (sl (2 | 1)) $. Wagner et Marin conjec- turaient les dimensions d'une suite d'algèbres centralisatrices correspondant à la représentation simple standard de $U_q(sl(2|1))$. Nous prouvons cette conjecture en utilisant des techniques combinatoires. / The domain of this thesis is within quantum topology and its subject is focused towards the interaction between low dimensional topology and representation theory. My research con- cerns different aspects of quantum invariants for links and $3$-manifolds, aiming to create bridges between algebraic and topological ways of defining them. On one hand, an algebraic and combinatorial description for a mathematical concept, creates the opportunity to develop computational tools. On the other hand, topological and geometrical descriptions open per- spectives towards constructions that lead to a deeper understanding and more subtle theories.The coloured Jones polynomials are quantum link invariants constructed from the representa- tion theory of $U_q(sl(2))$. The first invariant of this sequence is the original Jones polyno- mial, which can be characterised also by skein theory. Bigelow and Lawrence described a homological model for the Jones polynomial. They used the Lawrence representation, which is a braid group representation on the homology of coverings of configuration spaces in the punctured disk, and the skein nature of the invariant for the proof. In contrast to this case, the other coloured Jones polynomials cannot be defined in an easy manner by skein theory.In the first part of this thesis, we give a topological model for the coloured Jones polynomi- als. We use their definition as quantum invariants and construct step by step topological cor- respondents. We first observe that the invariant can be encoded through so-called highest weight spaces and then use a result by Kohno, which identifies these spaces with Lawrence representations. We prove that the coloured Jones polynomials can be obtained as graded geometric intersection pairings between homology classes in certain coverings of the config- uration spaces of points in the punctured disk.The second and third parts are oriented towards applications of representation theory of super quantum groups to quantum invariants.The second part is a collaboration with N. Geer, where we construct quantum invariants for$3$-manifolds from representations of $U_q(sl(2|1))$. Turaev-Viro defined a state-sum type method that gives $3$-manifold invariants from $U_q(sl(2))$. For super quantum groups, this leads to vanishing invariants. Later on, Geer-Patureau-Turaev defined a modified method which starts with a category with good properties and leads to non-vanishing invariants. Our strategy is to construct a category that fits into the input of this modified method.The third part concerns the study of centralizer algebras for representations of $U_q(sl(2|1))$. Wagner and Marin conjectured the dimensions of a sequence of centralizer algebras corre- sponding to the simple standard $U_q(sl(2|1))$-representation. We prove this conjecture us- ing combinatorial techniques.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdorales, 2014-2015 / La théorie des superpolynômes symétriques ([DLM03, DLM06]) est généralisée avec l’introduction d’une nouvelle base de superfonctions qui dépend de deux paramètres q et t. Cette nouvelle base, que l’on appelle les polynômes de Macdonald dans le superespace (ou simplement, les superpolynômes de Macdonald), généralise toutes les autres bases de superfonctions connues. Celles-ci sont retrouvées via différentes spécialisations (ou limites) de q et t. On démontre que les superpolynômes de Macdonald sont uniquement déterminés par les deux propriétés suivantes. Premièrement, ils se décomposent de façon triangulaire dans la base des superfonctions monomiales (par rapport à l’ordre de dominance entre les superpartitions). Deuxièmement, ils sont orthogonaux par rapport à un produit scalaire donné dans la base des superfonctions sommes de puissances et qui dépend de q, t. L’étape clef pour démontrer ce résultat est la connexion avec la théorie des polynômes non symétriques de Macdonald. En fait, il est montré que les superpolynômes de Macdonald sont également donnés par un processus de symétrisation particulier des polynômes non symétriques de Macdonald. Cette connexion peut être alors exploitée pour obtenir une famille d’opérateurs qui est diagonale dans la base des superpolynômes de Macdonald ainsi qu’une seconde relation d’orthogonalité donnée par l’évaluation d’un terme constant. Ces deux éléments, i.e. famille d’opérateurs et orthogonalité (analytique), permettent de relier les superpolynômes de Macdonald à un problème de mécanique quantique supersymétrique généralisant le modèle Ruijsenaars-Schneider (RS). L’hamiltonien de ce modèle est défini par l’anticommutateur d’une supercharge qui est le générateur de la transformation supersymétrique. La structure algébrique sous-jacente à ce modèle est l’algèbre de Poincaré supersymétrique (i.e. une algèbre de Lie graduée). Tous les états propres de l’hamiltonien sont donnés par le produit de la fonction d’onde de l’état du vide par les superpolynômes de Macdonald. L’intégrabilité du modèle est également démontrée. / The theory of symmetric superpolynomials ([DLM03, DLM06]) is further extended with the introduction of a family of superpolynomials that depends upon two parameters, denoted by q and t. This new basis, that can be called Macdonald polynomials in superspace (or simply stated, Macdonald superpolynomials), generalizes all the previously discovered bases of superpolynomials. These are obtained by the evaluation (or by a limiting process) of the parameters q and t. It is proved that the Macdonald superpolynomials are uniquely defined by the two following properties. First, they decompose triangularly in the monomial basis (with respect to a certain ordering between superpartitions). Second, they are orthogonal with respect to a given scalar product evaluated in the power sum basis and which depends on q and t. The crucial step to prove this result is the connection between Macdonald superpolynomials and the theory of non-symmetric Macdonald polynomials. More precisely, it is showed that the Macdonald superpolynomials can be expressed by a certain symmetrizer acting on the non-symmetric analogue. Using this connection, a family of eigen-operators is obtained, which is diagonalized by the Macdonald superpolynomals basis. In addition, another orthogonality relation that involves a constant term evaluation (referred to as the analytic orthogonality) is obtained. These two elements, i.e. the eigen-operators and the orthogonality (analytic), link the Macdonald superpolynomials to a supersymmetric quantum mechanic model that generalizes the Ruijsenaars-Schneider (RS) model. The Hamiltonian of this model is naturally written as an anticommutator of a supercharge which is the generator of supersymmetric transformation. The underlying algebra of this model is the super Poincaré algebra (i.e. a graded Lie algebra). All the quantum states of the Hamiltonian are given as a product of the ground state function times Macdonald superpolynomials. Finally, the integrability of the supersymmetric RS model is demonstrated.

La théorie des noeuds est une branche de la topologie algébrique. On peut imaginer un noeud comme étant une corde nouée dont les extrémités sont collées ensemble et un entrelacs comme étant une collection de noeuds. On peut déformer un entrelacs (sans utiliser de ciseau) de plusieurs façons. Par exemple, on peut l'étirer, passer une section sous une autre, etc. Deux entrelacs sont dits équivalents si l'on peut déformer l'un d'eux de manière à ce qu'il soit identique à l'autre. Le problème fondamental de la théorie des noeuds est de distinguer des entrelacs non équivalents. Pour ce faire, on utilise des invariants. Les principaux invariants qui sont étudiés dans ce mémoire sont le déterminant et la signature d'un entrelacs, le polynôme d'Alexander, le polynôme de Conway, le polynôme crochet normalisé de Kauffman ainsi que le polynôme de Jones.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2009-2010 / L'objectif principal de ce travail est, d'une part, d'étudier l'image numérique d'un opérateur borné sur un espace de Hilbert H et, d'autre part, d'établir que, pour toute matrice carrée A et pour tout polynôme p : C C, on a ||p(A)||< 11,08 sup \p(z)\. z€W(A) On prouve aussi que cette inégalité est valide pour n'importe quel opérateur borné A sur H et n'importe quelle fonction p continue sur W(A) et holomorphe en son intérieur. Comme application, on montre que chaque opérateur borné T est semblable à un opérateur ayant une 9l4y (T)-dilatation normale.