A l’articulation de la théorie des nombres et de la didactique des mathématiques, notre recherche vise à étudier la question de la transposition du travail du mathématicien, via l’analyse de processus de recherche de chercheurs, élèves et étudiants sur la recherche d’un même problème non résolu : la conjecture d’Erdös-Straus. Les analyses mathématiques et épistémologiques nous ont permis d’identifier différents aspects du travail du mathématicien et les éléments moteurs dans l’avancée de ses recherches. Cela nous a conduit à développer la notion de « geste » de la recherche pour décrire, analyser et mettre en perspective les processus de recherche des trois publics. Ces analyses ont mis en évidence les potentialités du problème pour créer une situation de recherche de problèmes en classe, plaçant les élèves dans une position proche de celle du mathématicien. Les analyses didactiques se sont appuyées sur la construction d’une telle situation puis sur sa mise à l’épreuve dans un contexte de laboratoire avec des élèves de terminale scientifique. Nous avons analysé finement les processus de recherche des élèves à l’aide des outils méthodologiques développés dans les analyses mathématiques et épistémologiques. Les analyses ont mis en évidence la richesse des procédures mises en oeuvre, un travail effectif dela dialectique entre les connaissances mathématiques et les heuristiques mobilisées, et selonles groupes, une mise en oeuvre de démarches de type expérimental, l’approfondissement de connaissances mathématiques notionnelles et une acquisition d’heuristiques expertes de recherche de problème non résolu. Elles montrent également la pertinence de la notion de «geste » de la recherche pour étudier la question de la transposition du travail des chercheurs. / Our thesis deals with the transposition of mathematician’s reserach activity in mathematical classroom, in the domain of number theory. Our research focuses on the study of a research process for researchers, pupils and students involved in the research of an unsolved problem: the Erdös-Straus conjecture. Our mathematical and epistemological analyses allow us to identify different aspects of the mathematician’s work and the elements for progress in his research. The notion of “gesture” is developed to describe, analyze and contextualize different research processes. This analysis reveals the potentiality of this problem to create a research situation in classroom, where pupils are in a position similar to the mathematician’s one. Didactical analyses are based on the construction of such a situation and its experimentation in laboratory. We study the research process of the students with the methodological tools developed in mathematical and epistemological analyses. This analysis shows several potentiality of this situation: a wealth of procedures implemented, effective work on the dialectical aspects of the mathematical research activity and implementation of experimental approach. The notion of “gesture” is relevant to consider the question of the transposition of mathematician’s work.

Pendant les dernières décennies, le travail d'une partie toujours croissante de chercheurs qui s'occupent de robotique s'est focalisé sur un groupe spécifique de robots qui fait partie de la famille des manipulateurs parallèles: les robots à câbles. Malgré les nombreuses études que l'on a consacrées à ce sujet, ces robots présentent encore aujourd'hui plusieurs problématiques complètement ou partiellement irrésolues. En particulier l'étude de leur cinématique, qui se révèle déjà complexe pour les manipulateurs parallèles traditionnels, est rendu encore plus compliqué par la nature non linéaire des câbles qui peuvent seulement exercer des efforts de traction. Le travail présenté dans cette thèse concentre donc son attention sur l'étude de la cinématique des robots à câbles et sur la mise au point de techniques numériques capables d'aborder une partie des problématiques liées à cela. La plupart du travail se concentre sur l'élaboration d'un algorithme pour la résolution du problème géométrique direct pour n'importe quel manipulateur à câbles qui se fonde sur l'analyse par intervalles. Cette technique d'analyse permet non seulement de résoudre rapidement le problème mais également de garantir les résultats obtenus en cas d'erreurs d'élimination et d'arrondi et de prendre en considération les incertitudes éventuellement présentes dans le modèle du problème. Le code développé a été testé grâce à un petit prototype de manipulateur à câbles dont la réalisation, qui a eu lieu pendant le parcours de doctorat, est décrite à l'intérieur du mémoire en accord avec la phase de conception du projet et de simulation. / In the past two decades the work of a growing portion of researchers in robotics focused on a particular group of machines, belonging to the family of parallel manipulators: the cable robots. Although these robots share several theoretical elements with the better known parallel robots, they still present completely (or partly) unsolved issues. In particular, the study of their kinematic, already a difficult subject for conventional parallel manipulators, is further complicated by the non-linear nature of cables, which can transmit forces only when they are taut. The work presented in this thesis therefore focuses on the study of the kinematics of these robots and on the development of numerical techniques able to address some of the problems related to it. Most of the work is focused on the development of an interval-analysis-based procedure for the solution of the direct geometric problem (DGP) of a generic cable manipulator. This technique, as well as allowing for a rapid solution of the problem, also guarantees the results obtained against rounding and elimination errors and can take into account any uncertainties in the model of the problem. The developed code has been tested with the help of a small manipulator whose realization is described in this dissertation together with its design and simulation phases.

Nous nous intéressons au contrôle non destructif par ultrasons des matériaux industriels. En pratique, les signaux réceptionnés par le transducteur ultrasonore sont analysés pour détecter les discontinuités de la pièce inspectée. L'analyse est néanmoins rendue difficile par l'acquisition numérique, les effets de la propagation ultrasonore et la superposition des échos lorsque les discontinuités sont proches. La déconvolution parcimonieuse est une méthode inverse qui permet d'aborder ce problème afin de localiser précisément les discontinuités. Ce procédé favorise les signaux parcimonieux, c'est à dire ne contenant qu'un faible nombre de discontinuités. Dans la littérature, la déconvolution est généralement abordée sous l'hypothèse d'un modèle invariant en fonction de la distance de propagation, modalité qui n'est pas appropriée ici car l'onde se déforme au cours de son parcours et en fonction des discontinuités rencontrées. Cette thèse développe un modèle et des méthodes associées qui visent à annuler les dégradations dues à l'instrumentation et à la propagation ultrasonore, tout en résolvant des problèmes de superposition d'échos. Le premier axe consiste à modéliser la formation du signal ultrasonore en y intégrant les phénomènes propres aux ultrasons. Cette partie permet de construire un modèle linéaire mais non invariant, prenant en compte l'atténuation et la dispersion. L'étape de modélisation est validée par des acquisitions avec des matériaux atténuants. La deuxième partie de cette thèse concerne le développement de méthodes de déconvolution efficaces pour ce problème, reposant sur la minimisation d'un critère des moindres carrés pénalisé par la pseudo-norme L0. Nous avons développé des algorithmes d'optimisation spécifiques, prenant en compte, d'une part, un modèle de trains d'impulsions sur-échantillonné par rapport aux données, et d'autre part le caractère oscillant des formes d'onde ultrasonores. En utilisant des données synthétiques et expérimentales, ces algorithmes associés à un modèle direct adapté aboutissent à de meilleurs résultats comparés aux approches classiques pour un coût de calcul maîtrisé. Ces algorithmes sont finalement appliqués à des cas concrets de contrôle non destructif où ils démontrent leur efficacité. / This thesis deals with the ultrasonic non destructive testing of industrial parts. During real experiments, the signals received by the acoustic transducer are analyzed to detect the discontinuities of the part under test. This analysis can be a difficult task due to digital acquisition, propagation effects and echo overlapping if discontinuities are close. Sparse deconvolution is an inverse method that aims to estimate the precise positions of the discontinuities. The underlying hypothesis of this method is a sparse distribution of the solution, which means there are a few number of discontinuities. In the literature, deconvolution is addressed by a linear time-invariant model as a function of propagation distance, which in reality does not hold.The purpose of this thesis is therefore to develop a model and associated methods in order to cancel the effects of acquisition, propagation and echo overlapping. The first part is focused on the direct model development. In particular, we build a linear time-variant model that takes into account dispersive attenuation. This model is validated with experimental data acquired from attenuative materials. The second part of this work concerns the development of efficient sparse deconvolution algorithms, addressing the minimization of a least squares criterion penalized by a L0 pseudo-norm. Specific algorithms are developed for up-sampled deconvolution, and more robust exploration strategies are built for data containing oscillating waveforms. By using synthetic and experimental data, we show that the developed methods lead to better results compared to standard approaches for a competitive computation time. The proposed methods are then applied to real non destructive testing problems where they confirm their efficiency.

Le travail de cette thèse a porté sur le développement de techniques numériques pour l'homogénéisation d'équations dont les coefficients présentent des hétérogénéités aléatoires à petite échelle. Les difficultés liées à la résolution de telles équations aux dérivées partielles peuvent être résolues grâce à la théorie de l'homogénéisation stochastique. On substitue alors la résolution d'une équation dont les coefficients sont aléatoires et oscillants à l'échelle la plus fine du problème par la résolution d'une équation à coefficients constants. Cependant, une difficulté subsiste : le calcul de ces coefficients dits homogénéisés sont définis par une moyenne ergodique, que l'on ne peut atteindre en pratique. Seuls des approximations aléatoires de ces quantités déterministes sont calculables, et l'erreur commise lors de l'approximation est importante. Ces questions sont développées en détail dans le Chapitre 1 qui tient lieu d'introduction. L'objet du Chapitre 2 de cette thèse est de réduire l'erreur de cette approximation dans un cas nonlinéaire, en réduisant la variance de l'estimateur par la méthode des variables antithétiques. Dans le Chapitre 3, on montre comment obtenir une meilleure réduction de variance par la méthode des vari- ables de contrôle. Cette approche repose sur un modèle approché, disponible dans le cas étudié. Elle est plus invasive et moins générique, on l'étudie dans un cas linéaire. Dans le Chapitre 4, à nouveau dans un cas linéaire, on introduit une méthode de sélection pour réduire l'erreur commise. Enfin, le Chapitre 5 porte sur l'analyse d'un problème in- verse, où l'on recherche des paramètres à l'échelle la plus fine, ne connaissant que quelques quantités macroscopiques, par exemple les coefficients homogénéisés du modèle / In this thesis, we design numerical techniques to address the homogenization of equations the coefficients of which exhibit small scale random heterogeneities. Solving such elliptic partial differential equations is prohibitively expensive. One may use stochastic homogenization theory to reduce the complexity of this task. We then substitute the random, fine scale oscillating coefficients of the equation with constant homogenized coefficients. These coefficients are defined through an ergodic average inaccessible to practical computation. Only random approximations thereof are available. The error committed in this approximation is significant. These issues are detailed in the introductory Chapter 1. In Chapter 2, we show how to reduce the error in this approximation, in a nonlinear case, by using an antithetic variable estimator that has a smaller variance than the standard Monte Carlo estimator. In Chapter 3, in a linear case, we show how to obtain an even better variance reduction with the control variate method. Such a method is based on a surrogate model. In Chapter 4, we use a selection method to reduce the global error. Chapter 5 is devoted to the analysis of an inverse problem, wherein we seek parameters at the fine scale whilst only being provided with a handful of macroscopic quantities, among which the homogenized coefficients

Malgré la hiérarchie mémoire utilisée dans les ordinateurs modernes, il convient toujours d'optimiser l'utilisation des registres du processeur et des mémoires locales gérées de manières logicielles (mémoires locales) présentes dans beaucoup de systèmes embarqués, de processeurs graphiques (GPUs) et de multiprocesseurs. Lors de la compilation, d'un code source vers un langage machine, deux optimisations de la mémoire revêtent une importance capitale : l'allocation de registres et l'allocation de mémoires locales. Dans ce manuscrit de thèse nous nous intéressons à des approches découplées, qui traitent séparément les problèmes d'allocation et d'assignation, permettant d'améliorer les allocations de registres et de mémoires locales. Dans la première partie de la thèse, nous nous penchons sur le problème de l'allocation de registres. Tout d'abord, nous proposons dans le contexte des compilateurs-juste-à-temps, une allocation de registres fractionnées (split register allocation). Avec cette approche l'allocation de registres est effectuée en deux étapes: une faite durant la phase de compilation statique et l'autre pendant la phase de compilation dynamique. Ce qui permet de réduire le temps d'exécution des programmes avec un impact négligeable sur le temps de compilation. Ensuite Nous introduisons une allocation de registres incrémentale qui permet de résoudre d'une manière quasi-optimale le problème d'allocation. Cette méthode est pseudo-polynomiale alors que le problème d'allocation est NP-complet même à l'intérieur d'un « basic block ». Dans la deuxième partie de la thèse nous nous intéressons au problème de l'allocation de mémoires locales. Au vu des dernières avancées dans le domaine de l'allocation de registres, nous étudions dans quelle mesure le problème d'allocation pourrait être séparé de celui de l'assignation dans le contexte des mémoires locales. Dans un premier temps nous validons expérimentalement que les problèmes d'allocation et d'assignation peuvent être résolus séparément. Ensuite, nous procédons à une étude plus théorique d'une approche découplée de l'allocation de mémoires locales. Cela permet d'introduire de nouveaux résultats sur le « submarine-building problem », une variante du « ship-building problem », que nous avons défini. L'un de ces résultats met en évidence pour la première fois une différence de complexité (P vs. NP-complet) entre les graphes d'intervalles et les graphes d'intervalles unitaires. Dans la troisième partie de la thèse nous proposons une nouvelle heuristique, appelée « clustering allocator » fondée sur la construction de sous-graphes stables d'un graphe d'interférence, permettant de découpler aussi bien le problème d'allocation pour les registres que pour les mémoires locales. Cette nouvelle heuristique se veut le pont qui permettra de réconcilier les problèmes d'allocations de registres et de mémoires locales. / Despite the benefit of the memory hierarchy, it is still essential, in order to reduce accesses to higher levels of memory, to have an efficient usage of registers and local memories (also called scratchpad memories) present in most embedded processors, graphical processors (GPUs) and network processors. During the compilation, from a source language to an executable code, there are two optimizations that are of utmost importance: the register allocation and the local memory allocation. In this thesis's report we are interested in decoupled approaches, solving separately the allocation and assignment problems, that helps to improve the quality of the register and local memory allocations. In the first part of this thesis we are interested in two aspects of the register allocation problem: the improvements of the just-in-time (JIT) register allocation and the spill minimization problem. We introduce the split register allocation which leverages the decoupled approach to improve register allocation in the context of JIT compilation. We experimentally validate the effectiveness of split register allocation and its portability with respect to register count variations, relying on annotations whose impact on the bytecode size is negligible. We introduce a new decoupled approach, called iterated-optimal allocation, which focus on the spill minimization problem. The iterated-optimal allocation algorithm achieves results close to optimal while offering pseudo-polynomial guarantees for SSA programs and fast allocations on general programs. In the second part of this thesis, we study how a decoupled local memory allocation can be proposed in light of recent progresses in register allocation. We first validate our intuition for decoupled approach to local memory allocation. Then, we study the local memory allocation in a more theoretical way setting the junction between local memory allocation for linearized programs and weighted interval graph coloring. We design and analyze a new variant of the ship-building problem called the submarine-building problem. We show that this problem is NP-complete on interval graphs, while it is solvable in linear time for proper interval graphs, equivalent to unit interval graphs. The submarine-building problem is the first problem that is known to be NP-complete on interval graphs, while it is solvable in linear time for unit interval graphs. In the third part of this thesis, we propose a heuristic-based solution, the clustering allocator, which decouples the local memory allocation problem and aims to minimize the allocation cost. The clustering allocator while devised for local memory allocation, it appears to be a very good solution to the register allocation problem. After many years of separation, this new algorithm seems to be a bridge to reconcile the local memory allocation and the register allocation problems.

Dans ce travail, on s'intéresse à l'analyse mathématique et au contrôle optimal pour des problèmes de diffusion relevant de certains domaines comme l'écologie ou l'environnement et comportant des termes de pollution inconnus en général. De plus, on souhaite agir sur le système en un seul point du domaine considéré pour des raisons de coût. La modélisation de ces problèmes se traduit généralement par un système de type parabolique avec donnée manquante (initiale ou aux limites) représentant la pollution, et où l'on introduit une fonction de contrôle de ce système. La méthode suivie pour résoudre ces problèmes est celle du contrôle à moindres regrets développée par J.-L. Lions et bien adaptée aux problèmes à données manquantes.Plus précisément, on est concerné par des problèmes de type parabolique qui décrivent la diffusion d'un fluide (eau) contaminé dans un domaine (une lagune ou un estuaire) par une pollution ayant son origine sur une partie du bord. De plus, on considère que la fonction source (le contrôle) est localisée en un point, c'est ce qu'on appelle le contrôle ponctuel. On cherche alors le (ou les) contrôle(s) qui peuvent améliorer la situation au lieu de la laisser à l'abandon (sans contrôle).Les solutions ne sont pas des fonctions régulières et ne peuvent être considérées qu'au sens faible. Deux méthodes sont utilisées: la première est la méthode de transposition de Lions-Magenes, détaillée au chapitre 3 de la thèse, et la deuxième méthode consiste à régulariser la masse de Dirac (le support du contrôle est un point) présentée au chapitre4. Pour les deux méthodes, on montre l'existence d'une solution faible et on établit un système d'optimalité singulier (SOS) du contrôle ponctuel à moindres regrets.Un dernier chapitre est consacré aux schémas numériques associés au problème de contrôle ponctuel à moindres regrets, où l'on obtient des estimations d'erreur par la méthode des éléments finis. / In this thesis, we are interested in mathematical analysis and optimal control of diffusion problems where there are pollution terms. In addition, we want to act on the system in a single point of the domain for cost reasons. The systems being studied are parabolic with missing (initial or boundary) data representing pollution, where we introduce a control function. The method of low-regret control of J.-L. Lions, used here for the first time to the pointwise control, seems to be well suited. We then look for the control which can improve the situation instead of doing nothing (no control).Solutions are not regular functions and can only be considered in the weak sense. Two methods are used here: the first one is the method of transposition of Lions-Magenes, detailed in Chapter 3 of the thesis, and the second method consists in regularizing the Dirac mass, presented in chapter 4. Each one of the two methods offers a new point of view. In particular, the functional spaces where the existence of a solution is obtained are different. For both methods, however, a singular optimality system is established for the low-regret pointwise control.A final chapter is devoted to the numerical schemes associated to the low-regret pointwise optimal control, where we obtain error estimates using finite elements method (FEM).

Cette thèse étudie le problème du routage des locomotives qui se pose à la Compagnie des chemins de fer nationaux du Canada (CN) - le plus grand chemin de fer au Canada en termes de revenus et de taille physique de son réseau ferroviaire. Le problème vise à déterminer la séquence des activités de chaque locomotive sur un horizon de planification donné. Dans ce contexte, il faut prendre des décisions liées à l'affectation de locomotives aux trains planifiés en tenant compte des besoins d'entretien des locomotives. D’autres décisions traitant l'envoi de locomotives aux gares par mouvements à vide, les déplacements légers (sans tirer des wagons) et la location de locomotives tierces doivent également être prises en compte. Sur la base d'une formulation de programmation en nombres entiers et d'un réseau espace-temps présentés dans la littérature, nous introduisons une approche par horizon roulant pour trouver des solutions sous-optimales de ce problème dans un temps de calcul acceptable. Une formulation mathématique et un réseau espace-temps issus de la littérature sont adaptés à notre problème. Nous introduisons un nouveau type d'arcs pour le réseau et de nouvelles contraintes pour le modèle pour faire face aux problèmes qui se posent lors de la division de l'horizon de planification en plus petits morceaux. Les expériences numériques sur des instances réelles montrent les avantages et les inconvénients de notre algorithme par rapport à une approche exacte. / This thesis addresses the locomotive routing problem arising at the Canadian National Railway Company (CN) - the largest railway in Canada in terms of both revenue and the physical size of its rail network. The problem aims to determine the sequence of activities for each locomotive over the planning horizon. Besides assigning locomotives to scheduled trains and considering scheduled locomotive maintenance requirements, the problem also includes other decisions, such as sending locomotives to stations by deadheading, light traveling, and leasing of third-party locomotives. Based on an Integer Programming formulation and a Time-Expanded Network presented in the literature, we introduce a Rolling Horizon Approach (RHA) as a method to find near-optimal solutions of this problem in acceptable computing time. We adapt a mathematical formulation and a space-time network from the literature. We introduce a new type of arcs for the network and new constraints for the model to cope with issues arising when dividing the planning horizon into smaller ones. Computational experiments on real-life instances show the pros and cons of our algorithm when compared to an exact solution approach.

La première préoccupation de cette thèse est le problème de deux fluides ou un fluide à deux phases, c’est-à-dire que nous nous sommes intéressés à la simulation d’écoulements impliquant deux ou plusieurs fluides visqueux incompressibles immiscibles de propriétés mécaniques et rhéologiques différentes. Dans ce contexte, nous avons considéré que l’interface mobile entre les deux fluides est représentée par la ligne de niveau zéro d’une fonction ligne de niveau et régie par l’équation d’advection, où le champ advectant est la solution des équations de Navier-Stokes. La plupart des méthodes de capture d’interface utilisent une grille cartésienne fixe au cours de la simulation. Contrairement à ces approches, la nôtre est fortement basée sur l’adaptation de maillage, notamment au voisinage de l’interface. Cette adaptation de maillage permet une représentation précise de l’interface, à l’aide de ses propriétés géométriques, avec un nombre de degrés de liberté minimal.La résolution d'un problème à deux fluides est résumée par les étapes suivantes:- Résoudre les équations de Navier-Stokes par la méthode de Lagrange-Galerkin d’ordre 1;- Traitement géométrique la tension de surface se basant sur la discrétisation explicite de l'interface dans le domaine de calcul;- Résoudre l'équation d’advection par la méthode des caractéristiques;- Les techniques de l'adaptation de maillage.On propose ici un schéma entre l’advection de l’interface, la résolution des équations de Navier-Stokes et l’adaptation de maillage. Certains résultats des exemples classiques pour les deux problèmes de monofluide et bifluide comme la cavité entrainée, la rémontée d’une bulle, la coalescence de deux bulles et les instabilités Rayleigh-Taylor sont étudiés en deux et trois dimensions.La deuxième partie de cette thèse est liée à l'optimisation des formes en mécanique des fluides. Nous construisons un schéma numérique en utilisant la méthode des lignes de niveau et l’adaptation de maillage dans le contexte des systèmes de Stokes. Le calcul de la sensibilité de la fonction objective est liée à la méthode de variation des limites d’Hadamard et les dérivées des formes sont calculées par la méthode de Céa. Un exemple numérique avec la fonction objective de la dissipation d'énergie est présenté pour évaluer l'efficacité et la fiabilité du schéma proposé. / The first concern of this thesis is the problem of two fluids flow or two-phase flow, i.e weare interested in the simulation of the evolution of an interface (or a free surface) between twoimmiscible viscous fluids or two phases of a fluid. We propose a general scheme for solving two fluids flow or two-phase flow which takes advantage of the flexibility of the level set method for capturing evolution of the interfaces, including topological changes. Unlike similar approaches that solve the flow problem and the transport equation related to the evolution of the interface on Cartesian grids, our approach relies on an adaptive unstructured mesh to carry out these computations and enjoys an exact and accurate description of the interface. The explicit representation of the manifold separating the two fluids will be extracted to compute approximately the surface tension as well as some algebraic quantities like the normal vector and the curvature at the interface.In a nutshell, the resolution of a two-fluid problem is summarized by the steps involves thefollowing ingredients:– solving incompressible Navier-Stokes equations by the first order Lagrange-Galerkin method;– geometrical treatment to evaluate the surface tension basing on the explicit discretisation of the interface;– solving the level set advection by method of characteristics; – the techniques of mesh adaptation.It is obvious that no numerical method is completely exact in solving the PDE problemat hand, hence, we need a discretized computational domain. However, the accuracy of numericalsolutions or the mass loss/gain can generally be improved with mesh refinement. The question thatarises is related to where and how to refine the mesh. At each time, our mesh adaptation producesthe adapted mesh based on the geometric properties of the interface and the physical properties ofthe fluid, simply speaking, only one adapted mesh at each time step to assume both the resolutionof Navier-Stokes and the advection equations. It answers to the need for an accurate representationof the interface and an accurate approximation of the velocity of fluids with a minimal number ofelements, then decreasing the amount of computational time. Some results of the classical examples for both problems of monofluid and bifluid flows as : lid-driven cavity, rising bubble, coalescence of two bubbles, and Rayleigh-Taylor instability are investigated in two and three dimensions.The second part of this thesis is related to shape optimization in fluid mechanics. We construct a numerical scheme using level set method and mesh adaptation in the context of Stokes systems. The computation of the sensitivity of objective function is related to the Hadamard’s boundary variation method and the shape derivatives is computed by Céa’s formal method. A numerical example with theobjective function of energy dissipation is presented to assess the efficiency and the reliability of theproposed scheme.

Dans cette thèse nous étudions une classe d’équations de Hamilton-Jacobi-Bellman provenant de la théorie du contrôle optimal des équations différentielles ordinaires. Nous nous intéressons principalement à l’analyse de la sensibilité de la fonction valeur des problèmes de contrôle optimal associés à de telles équations de H-J-B. Dans la littérature, les relations de sensibilité fournissent une “mesure” de la robustesse des stratégies optimales par rapport aux variations de la variable d’état. Ces résultats sont des outils très importants pour le contrôle appliqué, parce qu’ils permettent d’étudier les effets que des approximations des données du système peuvent avoir sur les politiques optimales. Cette thèse est dédiée également à l’étude des problèmes de Mayer et de temps minimal. Nous supposons que la dynamique du problème soit une inclusion différentielle, afin de permettre aux données d’être non régulières et d’embrasser un ensemble plus grand d’applications. Néanmoins, cette tâche rend notre analyse plus difficile. La première contribution de cette étude est une extension de quelques résultats classiques de la théorie de la sensibilité au domaine des problèmes non paramétrées. Ces relations prennent la forme d’inclusions d’état adjoint, figurant dans le principe du maximum de Pontryagin, dans certains gradients généralisés de la fonction valeur évalués le long des trajectoires optimales. En deuxième lieu, nous développons des nouvelles relations de sensibilité impliquant des approximations du deuxième ordre de la fonction valeur. Cette analyse mène à de nouvelles applications concernant la propagation, tant ponctuel que local, de la régularité de la fonction valeur le long des trajectoires optimales. Nous proposons également des applications aux conditions d’optimalité. / This dissertation investigates a class of Hamilton-Jacobi-Bellman equations arising in optimal control of O.D.E.. We mainly focus on the sensitivity analysis of the optimal value function associated with the underlying control problems. In the literature, sensitivity relations provide a measure of the robustness of optimal control strategies with respect to variations of the state variable. This is a central tool in applied control, since it allows to study the effects that approximations of the inputs of the system may produce on the optimal policies. In this thesis, we deal whit problems in the Mayer or in the minimum time form. We assume that the dynamic is described by a differential inclusion, in order to allow data to be nonsmooth and to embrace a large area of concrete applications. Nevertheless, this task makes our analysis more challenging. Our main contribution is twofold. We first extend some classical results on sensitivity analysis to the field of nonparameterized problems. These relations take the form of inclusions of the co-state, featuring in the Pontryagin maximum principle, into suitable gradients of the value function evaluated along optimal trajectories. Furthermore, we develop new second-order sensitivity relations involving suitable second order approximations of the optimal value function. Besides being of intrinsic interest, this analysis leads to new consequences regarding the propagation of both pointwise and local regularity of the optimal value functions along optimal trajectories. As applications, we also provide refined necessary optimality conditions for some class of differential inclusions.

Le premier objectif de cette thèse est de bien comprendre les propriétés de la dynamique du problème circulaire restreint des trois corps et de les utiliser pour calculer des missions pour satellites pourvus de moteurs à faible poussée. Une propriété fondamentale est l'existence de variétés invariantes associées à des orbites périodiques autour des points de \bsc{Lagrange}. En suivant l'idée de l'\emph{Interplanetary Transport Network}, la connaissance et le calcul des variétés invariantes, comme courants gravitationnels, sont cruciaux pour le \emph{design} de missions spatiales. Une grande partie de ce travail de thèse est consacrée au développement de méthodes numériques pour calculer le transfert entre variétés invariantes de façon optimale. Le coût que l'on cherche alors à minimiser est la norme $L^{1}$ du contrôle car elle est équivalente à minimiser la consommation des moteurs. On considère aussi la norme $L^{2}$ du contrôle car elle est, numériquement, plus facile à minimiser. Les méthodes numériques que nous utilisons sont des méthodes indirectes rendues plus robustes par des méthodes de continuation sur le coût, sur la poussée, et sur l'état final. La mise en œuvre de ces méthodes repose sur l'application du Principe du Maximum de Pontryagin. Les algorithmes développés dans ce travail permettent de calculer des missions réelles telles que des missions entre des voisinages des points de \bsc{Lagrange}. L'idée principale est d'initialiser un tir multiple avec une trajectoire admissible composée de parties contrôlées (des transferts locaux) et de parties non-contrôlées suivant la dynamique libre (les variétés invariantes). Les méthodes mises au point ici, sont efficaces et rapides puisqu'il suffit de quelques minutes pour obtenir la trajectoire optimale complète. Enfin, on développe une méthode hybride, avec à la fois des méthodes directes et indirectes, qui permettent d'ajuster la positions des points de raccord sur les variétés invariantes pour les missions à grandes variations d'énergie. Le gradient de la fonction valeur est donné par les valeurs des états adjoints aux points de raccord et donc ne nécessite pas de calculs supplémentaire. Ainsi, l'implémentation de algorithme du gradient est aisée. / The first objective of this work is to understand the dynamical properties of the circular restricted three body problem in order to use them to design low consumption missions for spacecrafts with a low thrust engine. A fundamental property is the existence of invariant manifolds associated with periodic orbits around Lagrange points. Following the Interplanetary Transport Network concept, invariant manifolds are very useful to design spacecraft missions because they are gravitational currents. A large part of this work is devoted to designing a numerical method that performs an optimal transfer between invariant manifolds. The cost we want to minimize is the $L^{1}$-norm of the control which is equivalent to minimizing the consumption of the engines. We also consider the $L^{2}$-norm of the control which is easier to minimize numerically. The numerical methods are indirect ones coupled with different continuations on the thrust, on the cost, and on the final state, to provide robustness. These methods are based on the application of the Pontryagin Maximum Principal. The algorithms developed in this work allow for the design of real life missions such as missions between the realms of libration points. The basic idea is to initialize a multiple shooting method with an admissible trajectory that contains controlled parts (local transfers) and uncontrolled parts following the natural dynamics (invariant manifolds). The methods developed here are efficient and fast (less than a few minutes to obtain the whole optimal trajectory). Finally, we develop a hybrid method, with both direct and indirect methods, to adjust the position of the matching points on the invariant manifolds for missions with large energy gaps. The gradient of the value function is given by the values of the costates at the matching points and does not require any additional computation. Hence, the implementation of the gradient descent is easy.