Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática e Computação Científica, Florianópolis, 2011 / Made available in DSpace on 2012-10-25T17:56:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 292889.pdf: 1790356 bytes, checksum: fad18a18ab9d3ab211d5d960c050b10f (MD5) / O problema inverso de espalhamento aqui considerado é determinar o formato de um objeto sound-soft plano a partir do conhecimento da amplitude de espalhamento para uma quantidade finita de ondas incidentes. Inicialmente, abordamos alguns pontos da teoria de existência e unicidade de solução. Por ser um problema mal posto, aplicamos o método de Tikhonov para a regularização. Discorremos sobre os métodos da curva-L, do ponto fixo, o princípio da discrepância e o princípio da discrepância generalizado para a determinação do parâmetro de regularização. E, em seguida, para a detecção do objeto, apresentamos os métodos LSM, fatoração de Kirsch, MKM-FP, SVD-tail, ISVD-tail e critério do produto máximo. O objetivo é fazer comparativos de forma gráfica da qualidade de imagem obtida

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática e Computação Científica, Florianópolis, 2011 / Made available in DSpace on 2012-10-25T22:52:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 291662.pdf: 1027652 bytes, checksum: 9e51b4ba7a328f2f1b06375a27637852 (MD5) / Essa dissertação se dedica ao estudo de dois algoritmos do tipo Newton inexatos, usados para a obtenção de soluções regularizadas de problemas inversos não lineares e mal postos. O estudo abrange as propriedades de convergência e estabilidade das soluções computadas pelos algoritmos iterativos em questão, além de estabelecer e analisar taxas de convergência mediante condições de fonte assumidas. Uma implementação numérica de identificação de parâmetro num problema elíptico é feita ao final do trabalho e dá o suporte necessário para a verificação dos resultados teóricos.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Florianópolis, 2011 / Made available in DSpace on 2012-10-26T03:32:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 293014.pdf: 4930352 bytes, checksum: 6fa557cc3e98f69b9aeaf4d2ab8e546b (MD5) / Problemas de determinaçao de formas são aqueles nos quais as condiçoes de contorno desejadas para o problema são conhecidas, mas a forma do domínio existente que proporciona a existência dessas condições não o é. Isso torna necessário o emprego de métodos numéricos que buscam obter a forma do domínio como parte da solução do problema. Aqui a equação governante do problema é apresentada e discretizada utilizando o Método dos Volumes Finitos baseados em Elementos (EbFVM). Após esse passo ela é então modificada de maneira a permitir que a forma do domínio seja parte ativa da solução do sistema linear. Este trabalho sugere algumas modificações com relação a outros encontrados na literatura de forma a melhorar a robustez do método. A modelagem das condições de contorno também requer tratamento especial, uma vez que informações extras sobre as variáveis de interesse já são conhecidas nas fronteiras. Também se mostra uma técnica de aplicação de condições de contorno de forma conservativa, algo que nem sempre é feito no EbFVM. Por fim, alguns resultados obtidos para geometrias simples via a aplicação da metodologia exposta são apresentados. / Shape design problems are those in which the desired output information on a given boundary conditions is known beforehand, but not the domain shape where this information is supposed to be applied. This requires that numerical methods be employed in order to return the domain shape as a solution of the linear system. The governing equation is presented and then discretized using the Element-based Finite Volume Method (EbFVM). It is then modified to allow the domain shape to be a part of the solution. Some modifications are suggested with regard to other works found on the literature in a way to improve the robustness of the method. Boundary condition modeling requires special treatment since extra information over the domain is known in advance. A method that permits the application of conservative boundary conditions is also shown. At last, results developed using the presented method are shown and discussed.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática e Computação Científica, Florianópolis, 2011 / Made available in DSpace on 2012-10-23T15:29:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 289274.pdf: 1269253 bytes, checksum: 502dbaeb243e877082999d36551b55bb (MD5) / Apresentamos três métodos de projeção para problemas discretos mal postos de grande porte que incorporam informação a priori da solução do problema. Os métodos são baseados em uma transformação do funcional de Tikhonov da forma geral (com uma seminorma como termo regularizante) para a forma padrão [26, 53]. Os dois primeiros métodos combinam o processo de bidiagonalização de Golub-Kahan [15] com a regularização de Tikhonov na forma geral, calculando soluções aproximadas em subespaços de Krylov. O parâmetro de regularização ? é escolhido pelo Método de Ponto Fixo (FP) de Bazán [3]. O terceiro método não depende da determinação do parâmetro ? sendo, portanto, uma alternativa para a Regularização de Tikhonov. São apresentadas algumas generalidades sobre problemas inversos e problemas discretos mal-postos. Também é feito um estudo sobre projeções oblíquas, conceito essencial na tranformação para a forma padrão. A performance dos métodos quando aplicados a problemas testes bem conhecidos e ao tratamento de imagens é ilustrada numericamente.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica / Made available in DSpace on 2012-10-22T09:02:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 231719.pdf: 935605 bytes, checksum: e1434fe378ec6daef9d8022890f952a1 (MD5) / Considera-se um problema de condução de calor em regime estacionário, caracterizado por um corpo constituído de um dado material e que apresenta em seu interior um conjunto de inclusões compostas por outro material, de modo que ambos os materiais, matriz e inclusão, possuem coeficientes de condutividade térmica diferentes. Caso este corpo seja submetido a um conjunto de excitações térmicas conhecidas, é possível medir a distribuição de temperatura desenvolvida sobre sua fronteira em cada experimento. A partir dessas distribuições de temperatura, pretende-se encontrar a posição, forma e topologia do conjunto de inclusões distribuídas no interior do corpo, caracterizando assim um Problema Inverso de Condutividade. Este trabalho tem como principal objetivo, aplicar o conceito de Derivada Topológica em problemas inversos de caracterização de propriedades em meios heterogêneos. Esta derivada para o problema inverso em questão é calculada via Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma tomando como função de desempenho o Critério de Kohn-Vogelius. A sensibilidade quanto à introdução de uma inclusão, obtida através da derivada topológica é então utilizada para propor um método iterativo de reconstrução que seja capaz de identificar inclusões no interior de um domínio.

Neste trabalho, o problema adjunto de transporte de partículas neutras unidimensional é pela primeira vez resolvido pelo Método de Ordenadas Discretas Analítico (ADO). A solução é derivada para problemas monoenergéticos em meios heterogêneos, considerando geometria plana infinita, com simetria azimutal, grau arbitrário de anisotropia e condições de contorno gerais. No caso especial de espalhamento isotrópico, é obtida pelo Método ADO uma solução em termos de autofunções explícitas, bem como um problema de autovalores na forma de perturbação de matriz diagonal. A solução ADO é verificada através de comparações com soluções presentes na literatura, mostrando exatidão superior. A solução é também testada através da abordagem do problema fonte-detector, a qual permite estabelecer uma análise comparativa dos resultados para a resposta de detectores posicionados no interior do domínio. Adicionalmente, a formulação é aplicada em um problema inverso de reconstrução de fontes isotrópicas de partículas, baseado na formulação fonte-detector, para problemas de transporte com geometria e materiais conhecidos. Finalmente, como o problema inverso é mal posto, é abordada a técnica de regularização de Tikhonov, uma modificação no processo de cálculo do problema inverso original, que torna o método de inversão menos sensível a ruídos nas medições. / In this study, the one-dimensional adjoint particle transport problem is solved for the rst time using the Analytical Discrete Ordinates Method (ADO). Monoenergetic problems in heterogeneous slabs with azimuthal symmetry, arbitrary degree of anisotropy and general boundary conditions are taken in consideration. In the particular case of isotropic scattering, the ADO provides a solution in terms of explicit eigenfunctions, as well as with an eigenvalue problem in the form of a rank-1 update of a diagonal matrix. The ADO solution for the adjoint equation is veri ed against solutions presented in the literature, showing to be more accurate. The solution is also tested through source-detector problem approach, which allows for a comparative analysis of the results to be established by computing the response of the detectors inside the domain. In addition, the ADO solution to the adjoint equation is applied in an inverse problem of isotropic source reconstruction, based on the source-detector problem, in domains with known geometry and materials. Finally, since the inverse problem is ill posed, the Tikhonov's regularization technique, a modi cation in the process of computing the inverse problem solution is applied in order to deal with noisy data.

Neste trabalho, apresenta-se um estudo preliminar sobre problemas inversos com aplicação na identificação de parâmetros em biorreatores e transferência radiativa. A identificação se baseia na busca de soluções aproximadas a partir do critério dos mínimos quadrados. Para tal, métodos determinísticos implícitos são analisados e posteriormente utilizados, destacando-se o método de Levenberg-Marquardt. No caso do biorreator anaeróbico, discute-se brevemente a teoria acerca dos processos internos e, a partir da implementação do modelo matemático de Antonelli, considerada a solução exata do problema direto, procede-se com a adição de diferentes níveis de ruídos gaussianos e análise de seus efeitos na reconstrução dos parâmetros do modelo. Iniciando a estimação sempre pelos parâmetros corretos, conhecidos a priori, pode-se perceber que é possível proceder com a estimação destes quando a magnitude do erro é da ordem de 1%. No caso de perturbações maiores nos dados de saída do modelo, contudo, embora não seja possível estimar os parâmetros, a simulação continua confiáveis. No que tange à transferência radiativa, usa-se a solução em forma fechada em relação à variável espacial da equação íntegro-diferencial linear de Boltzmann pelo método das Ordenadas Discretas Analíticas como solução exata do problema direto. Investiga-se a eficiência do método de Levenberg-Marquardt na estimação dos parâmetros de albedo e grau de anisotropia em problemas de transporte de radiação. É possível concluir que bons resultados são obtidos na identificação do parâmetro de albedo, mas que o grau de anisotropia é mais suscetível às perturbações. / In this report, a preliminary study on the application of inverse problems in parameter estimation problems in transport of radiation and anaerobic bioreactors is presented. This estimation is based on the search of approximate solution to the inverse problem by the least squares criterion. Implicit deterministic methods are analyzed and subsequently used, mainly the Levenberg-Marquardt method. The anaerobic bioreactor theory is discussed and the mathematical model of Antonelli is considered the exact solution of the direct problem. After, the e ects of the addition of di erent levels of Gaussian noise on the reconstruction of the model parameters is analysed. Starting the estimation always by the correct parameters, known a priori, it is possible to verify that the correct estimation can be achieved when the magnitude of the error is 1%. In the case of larger errors in the model output data, however, although it is not possible to correctly estimate the parameters, the simulation remains reliable. In the case of transport of neutral particles, the closed solution of the linear integral-di erential Boltzmann equation obtained by the Analytic Discrete Ordinates method is considered as the exact solution of the direct problem. The e ciency of Levenberg-Marquardt method for estimating the albedo and degree of anisotropy is then investigated. It is possible to conclude that good results are obtained for the reconstruction of albedo, even with larger orders of error, but the degree of anisotropy is more susceptible to the perturbations.

Neste trabalho, métodos numéricos iterativos foram usados na solução de sistemas esparsos de equações lineares. Em particular, foram utilizados métodos baseados em subespaços de Krylov como o GMRES e suas variações. Esses sistemas, de alta ordem e esparsos, são provenientes da aplicação do m etodo de Ordenadas Discretas Analítico (ADO) juntamente com formulações nodais para solução de problemas bidimensionais de transporte de partículas. Na abordagem ADO-nodal, a solução geral das equações integradas depende de constantes arbitrárias que devem ser determinadas a partir do sistema gerado principalmente pela aplicação de condições de contorno do problema. Especial relevância na geração de tais sistemas e o tipo de esquema de quadratura utilizado para representar as direções discretas das partículas. Pré-condicionadores foram aplicados aos sistemas, que então foram resolvidos através de métodos numéricos iterativos com o objetivo de verificar a influência dos esquemas de quadratura na estrutura e caracterização das matrizes do sistema. Os resultados obtidos nas diferentes simulações numéricas foram comparados em termos de tempo computacional e número de iterações para a convergência dos métodos e indicam que o uso de esquemas de quadratura não clássicos e efetivo, além de mostrar que a aplicação de métodos iterativos permite lidar com sistemas de ordens bastante superiores aos casos diretos. / In this work, numerical iterative methods were used to solve sparse systems of linear equations. Particularly, methods based on Krylov subspaces such as GMRES and its variations were used. These high order and sparse systems arise from the application of the Analytical Discrete Ordinates method (ADO) along with nodal formulations for solving bidimensional particles transport problems. In the ADO-nodal approach, the general solution of the integrated equations depends on arbitrary constants that must be determined via the linear system that is generated mainly from the use of the problem's boundary conditions. In the generation of such systems, special importance is given to the type of quadrature scheme utilized to represent the discrete directions of the particles. Preconditioners were applied to the systems and these were solved through numerical iterative methods, being the goal to verify the in uence that those quadrature schemes have over the structure and characterization of the systems themselves. The results obtained in numerical simulations were compared for values such as computational time and number of iterations until convergence and show that the use of iterative methods allows for handling systems with orders much higher than the direct case.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2015. / Made available in DSpace on 2016-04-19T04:08:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 337870.pdf: 930156 bytes, checksum: 2cb19054bb2a536a59ecbd3685ed1c3a (MD5) Previous issue date: 2015 / Na classe dos métodos de regularização iterativos, os métodos tipo Kaczmarz são uns dos métodos mais utilizados para resolver problemas na matemática aplicada. No entanto, na literatura a quantidade de resultados sobre convergência e as respectivas taxas de convergência não é abundante. Este trabalho trata da análise de convergência de algumas versões do método de Landweber-Kaczmarz, obtendo convergência e estabilidade do método modificado com um parâmetro de relaxamento, e taxas de convergência no método para operadores lineares em bloco nas versões simétrica e não simétrica. Finalmente, compara-se mediante experimentos numéricos o desempenho dos métodos estudados com o desempenho de métodos bem estabelecidos.<br> / Abstract : In the class of iterative regularization methods, Kaczmarz type methods are some of that are more often used to solve problems in applied mathematics. However, in the literature the amount of convergence results and their convergence rate is not abundant. This work deals with the analysis of convergence of some versions of the Landweber-Kaczmarz method, obtaining convergence and stability of the modified method with a relaxation parameter, and convergence rates for method for linear block operators in versions symmetrical and non-symmetrical. Finally, the performance of the methods is compared with the performance of well-established methods.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Programa de Pós-Graduação em Matemática e Computação Científica. / Made available in DSpace on 2013-07-15T23:21:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 212526.pdf: 307691 bytes, checksum: d13168bf63449b09f6bcba8a70b9aae7 (MD5) / Neste trabalho tratamos problemas de identificação de parâmetros em equações diferenciais parciais elípticas no caso em que conhecemos a sua respectiva solução. Este problema inverso \'e tipicamente mal posto no sentido de Hadamard (a solução não depende continuamente dos dados). Nesse sentido, alguma técnica de regularização deve ser usada para obter uma solução aproximada que seja ao mesmo tempo estável e convergente. Os métodos tipo Landweber que são usados como métodos de regularização exigem fortes hipóteses de regularidade sobre a equação diferencial, mais especificamente, sobre a derivada de Fréchet do operador $F$, que modela o problema inverso. Para contornar estas dificuldades, introduzimos um método iterativo do tipo Landweber que não envolve derivadas de $F$, mas converge sob hipóteses de Lipschitz continuidade e monotonia na equação diferencial parcial que representa o modelo direto. Apresentamos resultados de taxas de convergência para a regularização de Tikhonov e para o método sem derivadas sob uma fraca condição de fonte. O significado desta última é discutido para equações em que o parâmetro depende somente da variável de estado.