As equações diferenciais impulsivas (EDIs) modelam fenômenos que são contínuos por partes, isto é, que evoluem continuamente mas em certos momentos sofrem mudanças abruptas (impulsos) consideradas instantâneas quando comparadas à duração total do processo. Surgem nas mais diversas áreas das ciências, como na modelagem de concentração de medicamentos no corpo humano e no impacto de propaganda nas vendas de uma empresa. O problema direto associado a uma EDI com instantes de impulsos pré-fixados consiste em, fornecidos a equação diferencial, a condição inicial, os momentos de impulso e os saltos, determinar a solução do problema. Por outro lado, as incógnitas dos problemas inversos associados são os saltos e/ou os momentos de impulso. Em geral, os problemas inversos não podem ser resolvidos diretamente por meio de técnicas convencionais. A abordagem funcional é uma alternativa baseada na minimização de um funcional de erro que confronta dados do fenômeno real e do modelo matemático. O mínimo global deste funcional corresponde à solução do problema inverso. O objetivo principal desta dissertação é investigar os problemas inversos de identificação dos parâmetros saltos e momentos de impulso. Buscamos descrever uma técnica que permita tratar de problemas inversos associados às EDIs de forma bem geral, que não utilize informações específicas da aplicação além das medidas no tempo inicial e final do processo. Para isso, desenvolvemos um programa computacional composto por uma função para solução numérica do problema direto usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem, função esta que é chamada diversas vezes para cada resolução do problema direto com diferentes valores para as incógnitas; e pelo método de otimização Simulated Annealing que altera sistematicamente os valores das incógnitas. Os resultados mostram que resolver os problemas inversos que surgem das EDIs não é uma tarefa simples, que a técnica estudada é promissora e que pode ser aperfeiçoada / Impulsive differential equations (IDEs) model piecewise continuous phenomena, that is, that evolve continuously but at certain moments suffer abrupt changes (impulses) considered instantaneous when compared to the total duration of the process. They arise in several areas of science, such as the modeling of drug concentration in the human body and the impact of advertising on a companys sales. The direct problem associated with an IDE with impulses at fixed times consists of determining the solution to the problem, provided the differential equation, the initial condition, the moments of impulse and the jumps. On the other hand, the unknowns of the associated inverse problems are the jumps and/or the moments of impulse. In general, the inverse problems cannot be solved directly by conventional techniques. The functional approach is an alternative based on the minimization of an error functional that confronts data of the real phenomenon and the mathematical model. The global minimum of this functional corresponds to the solution of the inverse problem. The main objective of this dissertation is to investigate the inverse problems of jumps and moments of impulse parameters identification. We have attempted to describe a technique that allows treating of the inverse problems associated with IDEs in a general way, which does not use particular information of the application besides the measurements in the initial and final time of the process. For this, we developed a computer program composed by a function to solve the direct problem numerically using the fourth-order Runge-Kutta method, which is called several times for each resolution of the direct problem with different values for the unknowns; and by the Simulated Annealing optimization method which changes the values of the unknowns systematically. The results show that solving the inverse problems that arise from IDEs is not a simple task and that the technique studied is promising and can be improved

Tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Esta tesis estudia la detección y reconstrucción del término espacial de una fuente de variables separables en problemas de onda acústica y elástica. Para esto, estudiamos el método time-reversal mirror, el cual explota una invariancia intrínseca de la física a nivel microscópico que se observa también a nivel macroscópico en las ecuaciones de ondas. Esto significa que es posible recuperar la condición inicial de una ecuación de ondas homogénea revirtiendo la onda a través del tiempo. Para localizar y reconstruir el término espacial de la fuente, desarrollamos un método llamado source time reversal. La aplicación subyacente aquí es la detección de fuentes sísmicas en la minería. Es sabido que la actividad minera induce temblores dentro de las minas [50]. Esto se vuelve bastante peligroso si no se toman las precauciones adecuadas. Conocer sobre el origen de las actividades sísmicas puede ser utilizado para reducir el peligro de derrumbes y mejorar la seguridad dentro de las minas. Este trabajo se divide en tres capítulos; cada uno de ellos constituye un documento autocontenido para ser presentado como artículo. El primer capítulo aborda el problema de reconstrucción de fuente para ondas acústicas. Para esto introducimos el método source time reversal, la cual reconstruye el término espacial de una fuente de la forma f(x)g(t), donde f(x) entrega la forma y g(t) representa la distribución en tiempo de la fuente. Además, presentamos una estimación del error de la reconstrucción para el caso cuando f es una función de cuadrado integrable. Aquí, proponemos un método de regularización para implementar la reconstrucción de la fuente numéricamente. Adicionalmente, analizamos las principales características y limitaciones del método propuesto cuando se aplica a ondas acústicas. El capítulo dos estudia el problema de reconstrucción de fuente para ondas elásticas. Extendemos el método source time reversal para problemas elásticos. Además, introducimos un nuevo método de regularización para implementar la reconstrucción del término espacial de la fuente numéricamente para grandes volúmenes de datos. El nuevo método de regularización elimina las altas frecuencias presentes en la señal procesada, lo que permite utilizar mallas numéricas más gruesas y reduce el costo computacional. Finalmente, este capítulo presenta diversos experimentos numéricos para probar que el método es válido en el caso elástico. El último capítulo analiza un problema de reconstrucción de fuente diferente. Aquí consideramos una fuente compuesta por una suma finita de funciones de variable separable, donde cada término temporal de la fuente es una función delta de Dirac actuando a un tiempo diferente. Basado en una propiedad de tiempo reverso, la fuente puede ser localizada observando el desplazamiento y la velocidad de desplazamiento en el problema reverso [31]. Nosotros extendemos esta idea a sistemas de ondas elásticas. Adicionalmente, proponemos un algoritmo para la implementación numérica. / CONICYT, CMM - Conicyt PIA AFB170001 y el proyecto GEAGAM

Esta tese apresenta o problema que relaciona o coeficiente de viscosidade quântico e a função energia potencial para o sistema He-He. Primeiramente, com o propósito de se verificar uma recente função energia potencial resolveu-se o problema direto obtendo o coeficiente de viscosidade de 1 a 100 K, faixa em que os efeitos quânticos são importantes. Os valores calculados foram encontrados dentro da incerteza experimental atestando assim a função energia potencial para a descrição da propriedade. Em seguida, com o objetivo principal de se obter a função energia potencial a partir do coeficiente de viscosidade, abordou-se em primeiro lugar um problema inverso intermediário, o da obtenção da função energia potencial a partir de valores de deslocamento de fase. O deslocamento de fase é encontrado como um valor limite para distâncias em que a função energia potencial é desprezível, pela equação de Calogero. A equação de Calogero é uma equação diferencial de Ricatti a qual depende da função energia potencial de modo não linear. Nesse sentido, para aplicar a Aproximação da Análise de Sensibilidade Funcional, um novo método para obter a sensibilidade do deslocamento de fase em relação a função energia potencial foi desenvolvido a partir da equação de Calogero, possibilitando abordar o problema. Finalmente, com a nova metodologia desenvolvida a função energia potencial pôde ser obtida a partir de dados de coeficiente de viscosidade dentro do tratamento quântico. O procedimento envolveu uma etapa linear, o da obtenção da seção de choque pelas integrais de colisão, e uma não linear, o da obtenção da função energia potencial a partir da seção de choque. Os problemas por serem mal-colocados foram resolvidos com a técnica de regularização, Regularização de Tikhonov, a qual demonstrou-se como uma técnica eficaz para estabilizar o problema. A função de energia potencial recuperada descreve o coeficiente de viscosidade com um erro médio de 1,6422 %, erro menor que o erro experimental (5 %). / This thesis presents the problem of relating the quantum viscosity coefficient and potential energy function for the He-He system. First, in order to check a recent potential energy potential, the direct problem has been solved getting the viscosity coefficient from 1 to 100 K, range in which the quantum effects become important. The calculated values were found within the experimental uncertainty thus attesting the quality of the potential energy function for the description of the property. Then, with the main objective to get the potential energy function from the viscosity coefficient, first an intermediate inverse problem has been addressed, obtaining the potential energy function from the phase shift. Phase shift is found as a threshold value for distances at which the potential energy function is negligible, from Calogero equation. Calogero equation is a Ricatti differential equation which depends on the potential energy function in a nonlinear way. Accordingly, to apply the Functional Sensitivity Analysis Approach, a new method for get the sensitivity of the phase shift relative to potential energy function has been developed from equation Calogero’s. Finally, with the new methodology developed the potential energy function might be obtained from viscosity coefficient data within the quantum treatment. The procedure involved a linear step, to obtain the cross section through collision integrals, and a nonlinear step, obtaining the potential energy function from cross section. The problems are ill-posed and were solved with the regularization technique, Tikhonov regularization, which has been shown as an effective technique to stabilize the problem. The potential energy function recovered describes the viscosity coefficient with an average error of 1.6422 % that is less than the experimental error (5 %). / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES

Apresentamos neste trabalho um método desenvolvido com o objetivo de analisar os dados do detector de ondas gravitacinais Mario Schenberg, considerando este como uma rede de seis detectores tipo barra, cada qual acoplado a um transdutor. Baseando-se neste novo ponto de vista , calculamos a função de transferência de um modelo que prevê um único transdutor acoplado à suoperfície esférica. Desta forma, comparando o espectro dos dados de cada transdutor e comparando com a função de transferência cauculada neste trabalho, pudemos estimar qual a massa efetiva da barra equivalente sentida por cada um dos transdutores. Com base na mesma idéia, construímos um filtro de correlação (Matched Filter) , que nos permitiu identificar um determinado sinal gravitacional nos dados de saída de cada um dos transdutores de forma independente. Além disso construímos um código computacional para determinar a direção da onda gravitacional incidente, utilizando um método proposto para uma rede de 5 detectores tipo barra. Os resultados obtidos mostram que a precisão na determinação da direção da onda esta intimamente ligada com a relação sinal-ruído dos dados. Concluímos que este é um método promissor, pois nos permite analisar os dados e obter candidatos a onda gravitacional com um único transdutor, foto importante devido ao foto de se colocar todos os seis tansdutores em funcionamento simultâneo. E, caso tenhamos cinco transdutores em funcionamento, com o auxílio do filtro de correlação, podemos resolver o problema inverso.

Propulsores de baixo empuxo possuem a proteção térmica da superfície interna da parede provida pela redução da carga térmica dos gases quentes por meio de um filme líquido de combustível injetado, paralelo e junto à parede. A carga térmica transferida para a parede pode ser determinada conhecendo o coeficiente de transferência de calor por convecção na camada limite. Ambos, o perfil de temperatura do filme de combustível e o perfil do coeficiente de transferência de calor, são difíceis de serem quantificados e possuem grandes incertezas na determinação por meio teórico ou experimental. Determinar o comportamento de ambos os perfis térmicos é muito importante para o projeto e para a escolha do melhor material a ser usado na parede do propulsor. Este trabalho apresenta a técnica do problema inverso usada na determinação dos perfis do filme de combustível e do coeficiente de transferência de calor para a parede de um propulsor de 200N de empuxo, onde através de um perfil de temperatura da superfície externa da parede do propulsor como dado de entrada, os perfis térmicos desejados podem ser determinados. Um algoritmo híbrido composto por GEO4 (Otimização Extrema Generalizada), baseado na técnica da evolução natural somado a um EE (Estratégias Evolutivas) que incluem a auto-adaptação como principal característica, será usado como um algoritmo de otimização associado a um programa de simulação térmica. Casos simulados para a condição de regime permanente e transiente serão estudados usando o Inconel 600 e o Nióbio como materiais de parede. Os resultados obtidos mostram que a técnica do problema inverso apresenta-se como uma boa ferramenta para a solução do problema proposto. Além disso, possibilita o estudo das temperaturas da parede em várias condições de transientes térmicos para simular em que condições a temperatura limite da parede é alcançada, contribuindo para a segurança nos projetos de propulsores.

O presente trabalho tem por objetivo apresentar e utilizar a técnica de inversão dinâmica ao modelo não-linear de uma aeronave. As equações do movimento são deduzidas e apresentadas brevemente. O modelo não linear da aeronave F-16 é desenvolvido e simulado. O conceito de inversão dinâmica é apresentado e considerações sobre suas aplicações são feitas. Selecionam-se algumas dinâmicas desejadas e aplica-se a técnica de inversão dinâmica ao modelo da aeronave, a fim de verificar o comportamento do sistema. Considerações sobre robustez e qualidade de vôo são realizadas.

Técnicas de reconstrução térmica inversa são muito usadas em diferentes aplicações tais como a determinação de propriedades térmicas de novos materiais, controle da produção de calor, temperatura em processos de manufatura, etc. Apesar da ampla aplicabilidade, o problema inverso é intrinsecamente mal condicionado e tem sido tema de trabalhos de vários pesquisadores. A solução de um problema térmico inverso tridimensional é significantemente complexa, e, assim requer uma formulação que não contenha condições experimentais não realistas tais como confinamento bidimensional e estabilidade do campo térmico com relação a mudanças em parâmetros internos. Uma das abordagens adotada é baseada na formulação variacional sobre a forma do erro quadrático para reconstrução da distribuição de condução de calor interna e coeficiente de condução de calor parietal para um problema tridimensional. Dentro desta estrutura, a natureza mal condicionada do problema se manifesta na superfície de otimização por produzir topologias problemáticas tais como, vários mínimos locais, pontos de sela, vales e platôs ao redor da solução etc. Para viabilizar a abordagem escolhida, um modelo numérico foi escrito baseado na discretização por diferenças finitas da equação diferencial governante e condições de contorno. O erro funcional foi definido pela comparação entre medidas experimentais e numéricas de temperatura. O objetivo foi realizar simulações numéricas a fim de mapear a superfície de otimização correspondente e identificar a estrutura problemática associada ou patologia, chegando assim à reconstrução do coeficiente de convecção h. / Inverse thermal reconstruction techniques are widely used in different applications such as the determination of thermal properties of new materials, control of heat generation, temperature in manufacturing processes, etc. Despite the broad range of applicability, an inverse problem is intrinsically ill conditioned and has been the subject of the work of several researchers. The solution of an inverse 3-dimesional thermal problem is significantly complex, and, thus, requires a formulation that do not contain unrealistic experimental conditions such as 2-dimensional confinement and steadiness of the thermal field with respect to changes in internal parameters. One of the most adopted is the variational formulation based on quadratic error forms for the reconstruction of the internal heat conduction distribution and convection coefficient for a 3-dimensional problem. Within this framework, the ill conditioned nature of the problem manifests itself on the optimization surface by producing problematic topologies such as contour and multiple local minima, saddle points, plateaux around the solution pit and so on. To be able to apply th method a numerical model was written based on a finite difference discretization of the governing differential equation and boundary conditions. An error functional was defined by comparing experimental and numerical measurement temperatures. Numerical simulations aiming at mapping the corresponding optimization surfaces andatidentifing the associated problematic structures or pathologies, resulting in the reconstruction of convection coefficient.

Este trabalho investigou o uso de tomografia por impedância elétrica (TIE) na discriminação de fases em sistemas bifásicos água-ar. A TIE é uma técnica não-intrusiva em que são estimados parâmetros de condutividade elétrica de um sistema de interesse a partir de correntes elétricas impostas e potenciais elétricos medidos na fronteira desse meio. Esta técnica se traduz em um problema desafiador, por ser inverso, não-linear e mal-posto. Adicionalmente, na aplicação em análise, a dinâmica do sistema é rápida a ponto de influir nas estimativas procuradas. Foi sistematizada uma abordagem para integrar informações de medições a de outras fontes, como um regularizador generalizado de Tikhonov (filtro gaussiano), parametrização de estado e modelos de evolução, construindo um modelo adaptativo de estimação. Tal combinação de métodos é inédita na literatura. Parametrização do estado (vetor de condutividades do sistema de interesse, após discretização espacial) em condutividade logarítmica foi implementada para assegurar a obtenção de valores condizentes com a física, i.e., as estimativas em condutividade são mantidas estritamente positivas, com benefícios adicionais de aumento da região de convergência monotônica e melhoria na uniformidade da taxa de convergência das estimativas. O estudo de um sistema numérico evidenciou que a parametrização do estado permitiu o aumento do fator de sub-relaxação no método de Gauss-Newton, de 4~ para 15~, o que torna o algoritmo mais rápido. Dois modelos de evolução para escoamentos foram propostos e, comparativamente com o modelo de passeio aleatório, proporcionaram convergência mais rápida, melhor distinção das fases e melhoria do grau de observabilidade do problema de TIE. Esses modelos descrevem uma velocidade representativa para o escoamento, avaliada experimentalmente em 0; 47 m_s. Ensaios experimentais estáticos sugerem que os métodos aplicados diferenciam a presença das fases em um duto. No caso em que a dinâmica é relevante (passagem de bolhas ao longo do duto), o algoritmo desenvolvido permite o devido acompanhamento de não homogeneidades. Portanto, os resultados dessa pesquisa têm o potencial de apoiar a estimação de vazões bifásicas em trabalhos futuros, uma vez que a avaliação da fração de ocupação das fases é um passo crucial para o desenvolvimento de um medidor real de vazão multifásica. / This work investigated the use of electrical impedance tomography (EIT) in phase discrimination in two-phase air-water systems. EIT is a non-intrusive technique in which electric currents are imposed and electric potentials are measured at the boundary of a system. This method is mathematically challenging, as it is non-linear, inverse, and ill-posed. Also, for the application at hand, the system dynamics is fast enough to influence the sought estimates. A systematic approach was created to combine information from measurements and other sources, including a generalized Tikhonov regularization term (Gaussian filter), state parametrization and evolution models. This adaptive estimation approach is a contribution to the literature. State parametrization (vector of conductivities of the system of interest after spatial discretization) in logarithmic conductivity was implemented to ensure that the estimates remain in physical bounds, i.e., only positive values are achieved. Additional benefits are the increase of the region that leads to monotone convergence and a more uniform convergence rate of the estimates. The comparative analysis of a numerical system showed that state parametrization allowed an increase for the under-relaxation factor in the Gauss-Newton method, from 4% to 15%, increasing the algorithm\'s speed. Two evolution models for flows were proposed and, when compared to the random walk model, provided faster convergence, better phase distinction and an improved degree of observability for the EIT problem. These models describe a representative velocity for the flow, estimated experimentally as 0:47 m/s. Experimental tests of static setups suggest that the applied methods are able to differentiate the phases in a duct. In the case where the dynamics is relevant (flow of bubbles along the duct), the algorithm developed allows for monitoring inhomogeneities. Therefore, the results of this thesis are able to support the estimation of two-phase flow rates in future work, given that evaluating void fraction is a crucial step for an online multiphase flow rate meter.

El objetivo principal de esta memoria es estudiar algunos problemas inversos en ecuaciones en derivadas parciales mediante el uso de desigualdades de Carleman. Estas últimas son una herramienta muy útil para obtener estabilidad para el problema inverso en torno a una solución regular.

En esta tesis se abordan dos problemas diferentes de interacción del tipo fluido-estructura en el caso tridimensional: en el primero de ellos realizamos un estudio teórico de un problema de interacción entre una estructura deformable y un fluido Newtoniano incompresible (Capítulo 2), y en el segundo, consideramos un problema inverso geométrico asociado a un cuerpo rígido inmerso en un fluido (Capítulo 3). Para el primer problema probamos un resultado de existencia y unicidad de soluciones fuertes considerando para la estructura elástica una aproximación finito-dimensional de la ecuación de la elasticidad lineal. En el segundo problema, demostramos un resultado de existencia y unicidad del correspondiente sistema fluido-estructura y probamos un resultado de identificabilidad: la forma de un cuerpo convexo y su posición inicial son identificadas, vía la medición, en algún tiempo positivo, del tensor de Cauchy del fluido sobre un subconjunto abierto de la frontera exterior. También un resultado de estabilidad es estudiado para este problema.