Cette thèse est consacrée à l'étude de décompositions trajectorielles de processus de Lévy spectralement positifs et des relations de dualité pour des processus de ramification, motivée par l'utilisation de ces derniers comme modèles probabilistes d'une dynamique épidémiologique. Nous modélisons l'arbre de transmission d'une maladie comme un arbre de ramification, où les individus évoluent indépendamment les uns des autres, ont des durées de vie i.i.d. (périodes d'infectiosité) et donnent naissance (infections secondaires) à un taux constant durant leur vie. Le processus d'incidence dans ce modèle est un processus de Crump-Mode-Jagers (CMJ) et le but principal des deux premiers chapitres est d'en caractériser la loi conjointement avec l'arbre de transmission partiellement observé, inferé à partir des données de séquences. Dans le Chapitre I, nous obtenons une description en termes de fonctions génératrices de la loi du nombre d'individus infectieux, conditionnellement à l'arbre de transmission reliant les individus actuellement infectés. Une version plus élégante de cette caractérisation est donnée dans le Chapitre II, en passant par un résultat général d'invariance par retournement du temps pour une classe de processus de ramification. Finallement, dans le Chapitre III nous nous intéressons à la loi d'un processus de ramification (sous)critique vu depuis son temps d'extinction. Nous obtenons un résultat de dualité qui implique en particulier l'invariance par retournement du temps depuis leur temps d'extinction des processus CMJ (sous)critiques et de l'excursion hors de 0 de la diffusion de Feller critique (le processus de largeur de l'arbre aléatoire de continuum). / This dissertation is devoted to the study of some pathwise decompositions of spectrally positive Lévy processes, and duality relationships for certain (possibly non-Markovian) branching processes, driven by the use of the latter as probabilistic models of epidemiological dynamics. More precisely, we model the transmission tree of a disease as a splitting tree, i.e. individuals evolve independently from one another, have i.i.d. lifetimes (periods of infectiousness) that are not necessarily exponential, and give birth (secondary infections) at a constant rate during their lifetime. The incidence of the disease under this model is a Crump-Mode-Jagers process (CMJ); the overarching goal of the two first chapters is to characterize the law of this incidence process through time, jointly with the partially observed (inferred from sequence data) transmission tree. In Chapter I we obtain a description, in terms of probability generating functions, of the conditional likelihood of the number of infectious individuals at multiple times, given the transmission network linking individuals that are currently infected. In the second chapter, a more elegant version of this characterization is given, passing by a general result of invariance under time reversal for a class of branching processes. Finally, in Chapter III we are interested in the law of the (sub)critical branching process seen from its extinction time. We obtain a duality result that implies in particular the invariance under time reversal from their extinction time of the (sub)critical CMJ processes and the excursion away from 0 of the critical Feller diffusion (the width process of the continuum random tree).

L'objectif de cette thèse est de développer la théorie du contrôle stochastique et ses applications en dynamique des populations. D'un point de vue théorique, nous présentons l'étude de problèmes de contrôle stochastique à horizon fini sur des processus de diffusion, de branchement non linéaire et de branchement-diffusion. Dans chacun des cas, nous raisonnons par la méthode de la programmation dynamique en veillant à démontrer soigneusement un argument de conditionnement analogue à la propriété de Markov forte pour les processus contrôlés. Le principe de la programmation dynamique nous permet alors de prouver que la fonction valeur est solution (régulière ou de viscosité) de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman correspondante. Dans le cas régulier, nous identifions également un contrôle optimal markovien par un théorème de vérification. Du point de vue des applications, nous nous intéressons à la modélisation mathématique du cancer et de ses stratégies thérapeutiques. Plus précisément, nous construisons un modèle hybride de croissance de tumeur qui rend compte du rôle fondamental de l'acidité dans l'évolution de la maladie. Les cibles de la thérapie apparaissent explicitement comme paramètres du modèle afin de pouvoir l'utiliser comme support d'évaluation de stratégies thérapeutiques.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Cette thèse étudie le Q-processus de certains processus de branchement (superprocessus inhomogènes) ou de recombinaison (processus de Lambda-Fleming-Viot) via une approche généalogique. Dans le premier cas, le Q-processus est défini comme le processus conditionné à la non-extinction, dans le second cas comme le processus conditionné à la non-absorption. Des constructions trajectorielles des Q-processus sont proposées dans les deux cas. Une nouvelle relation entre superprocessus homogènes et processus de Lambda-Fleming-Viot est établie. Enfin, une étude du Q-processus est menée dans le cadre général des processus régénératifs / This work is concerned with the definition and study of the Q-process of some branching processes (inhomogeneous superprocesses) or recombination processes (Lambda-Fleming-Viot process). In the first case, the Q-process is defined as the process conditioned on non-extinction, whereas in the second case, it is defined as the process conditioned on non-absorbtion. A pathwise construction of the Q-process is given in both cases. A link between a class of homogeneous superprocesses and Lambda-Fleming-Viot processes is provided. Last, a study of the Q-process in the more general framework of regenerative processes is performed

Cette thèse est consacrée à l'étude du comportement asymptotique de grands graphes et arbres aléatoires. Le premier modèle étudié est un modèle de graphe aléatoire inhomogène introduit par Bo Söderberg. Un chapitre de ce manuscrit est consacré à l'étude asymptotique de la taille des composantes connexes à proximité de la fenêtre critique, en le reliant à la longueur des excursions d'un mouvement brownien avec dérive parabolique, étendant les résultats obtenus par Aldous. Le chapitre suivant est consacré à un processus de graphes aléatoires proposé par Itai Benjamini, défini ainsi : les arêtes sont ajoutées indépendamment, à taux fixe. Lorsqu'un sommet atteint le degré k, toutes les arêtes adjacentes à ce sommet sont immédiatement supprimées. Ce processus n'est pas croissant, ce qui empêche d'utiliser directement certaines approches usuelles. L'utilisation de limites locales permet de montrer la présence (resp. l'absence) d'une composante géante à certaines étapes dans le cas k>=5 (resp. k<=3). Dans le cas k=4, ces résultats permettent de caractériser la présence d'une composante géante en fonction du caractère surcritique ou non d'un processus de branchement associé. Dans le dernier chapitre est étudiée la hauteur d'un arbre de Lyndon associé à un mot de Lyndon choisi uniformément parmi les mots de Lyndon de longueur n, prouvant que cette hauteur est approximativement c ln n, avec c=5,092... la solution d'un problème d'optimisation. Afin d'obtenir ce résultat, nous couplons d'abord l'arbre de Lyndon à un arbre de Yule, que nous étudions ensuite à l'aide de techniques provenant des théories des marches branchantes et des grandes déviations. / This thesis is dedicated to the study of the asymptotic behavior of some large random graphs and trees. First is studied a random graph model introduced by Bo Söderberg in 2002. One chapter of this manuscript is devoted to the study of the asymptotic behavior of the size of the connected components near the critical window, linking it to the lengths of excursion of a Brownian motion with parabolic drift. The next chapter talks about a random graph process suggested by Itai Benjamini, defined as follows: edges are independently added at a fixe rate. Whenever a vertex reaches degree k, all adjacent edges are removed. This process is non-increasing, preventing the use of some commonly used methods. By using local limits, in the spirit of the PWIT, we were able to prove the presence (resp. absence) of a giant component at some stages of the process when k>=5 (resp. k<=3). In the case k=4, these results allows to link the presence (resp. absence) of a giant component to the supercriticality (resp. criticality or subcriticality) of an associated branching process. In the last chapter, the height of random Lyndon tree is studied, and is proven to be approximately c ln n, in which c=5.092... the solution of an optimization problem. To obtain this result, we couple the Lyndon tree with a Yule tree, then studied with the help of branching walks and large deviations

Les travaux de recherche portent sur la modélisation mathématique de la croissance des plantes et le développement de méthodes mathématiques adaptées à l'étude des modèles. In fine, les objectifs sont d'une part la prévision quantitative et qualitative de la production végétale, et d'autre part l'optimisation et le contrôle optimal des cultures. L'étape préalable est la compréhension et l'analyse des interactions génotype x environnement.<br />Nous proposons une voie mathématique d'exploration de ces interactions basée sur l'écriture du système dynamique de croissance des plantes. Le modèle de base sur lequel repose notre étude est le modèle individu-centré GreenLab, combinant la description de la structure et du fonctionnement de la plante, à l'échelle de l'individu ou du peuplement. L'architecture de la plante est le résultat complexe de cette interaction génotype x environnement. Nous montrons comment il est possible de mettre en œuvre des méthodes d'analyse de cette architecture pour expliquer le passage du génotype au phénotype. Mathématiquement, il s'agit :<br />– de décrire la mise en place dynamique des structures de la plante,<br />– de dériver de cette structure les équations fonctionnelles de la croissance et le système<br />de rétroaction entre croissance et processus de développement,<br />– de mettre au point les méthodes d'estimation paramétrique à partir des données expérimentales<br />sur l'architecture.<br />Une fois le modèle d'interaction génotype x environnement déterminé, nous illustrons la mise en œuvre de méthodes d'optimisation et de contrôle optimal à la résolution de problèmes applicatifs.

Nous cherchons à construire une génétique des populations branchantes, basée notamment sur les processus de branchement à espace d'états continu, dits CB-processus. <br /><br />Nous modifions d'abord les arbres branchants afin d'en obtenir des versions stationnaires, de deux façons : en introduisant des interactions de type compétitif entre les individus, de manière à réguler la taille de la population ("processus de branchement logistique"); en appliquant divers conditionnements, au sens des h-processus de Doob : conditionnement du processus de Lévy associé à rester dans un intervalle, conditionnement à la non-extinction des CB-processus (Q-processus), mais aussi des CB-processus avec interactions, sous leur forme diffusion.<br /><br />Nous étudions la probabilité de fixation d'un mutant, question qui conditionne l'évolution de la diversité. En utilisant la théorie des diffusions, nous proposons un cadre unifié permettant de comparer deux modèles classiques et le modèle de branchement logistique. Puis nous munissons les individus d'un trait quantitatif soumis à des mutations, et nous suivons, par une approche micro--macro, l'évolution du trait résident ("diffusion canonique de la dynamique adaptative").<br /> <br /><br />Nous étudions la généalogie associée aux CB-processus avec immigration, dont un cas particulier est le Q-processus cité plus haut. Nous construisons des arbres branchants (dont la largeur n'est pas markovienne), dits \emph{arbres de ramification}, sur lesquels se voient directement les deux types de généalogies associées aux CB-processus, qui ont été découvertes par J.-F. Le Gall et ses collaborateurs. Nous donnons également une démonstration de la représentation de Lamperti des CB-processus comme processus de Lévy changés de temps.<br /><br />Nous décrivons de façon rétrospective la structure généalogique des CB-processus, puis celle des arbres de ramification, comme le fait une des approches phares de la génétique des populations moderne, dite théorie de la coalescence. <br /><br />Des collaborations dans divers domaines de la biologie des populations sont également exposées : génétique des populations classique, écologie des invasions, biologie de la conservation.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

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