Durante o Renascimento ocorre uma retomada do pensamento racional em que o conhecimento clássico é revisitado e reorganizado pelo homem. Há uma contestação à razão pitagórica nos intervalos musicais. Vincenzo Galilei se opõe à maneira que Pitágoras relacionou os intervalos musicais através de razões de números naturais. Dá-se então, uma revolução sobre as idéias científicas que influenciaram a música. Vincenzo Galilei rompe com a visão pitagórica e passa a testar experimentalmente relações musicais supostamente corretas e começa a reescrever a teoria musical a partir de fundamentos experimentais. Seu filho Galileu, por sua vez, coloca a física dentro de um enfoque experimental e prático. Com este novo enfoque a concepção pitagórica da música se vê ameaçada. As relações entre a física, a matemática e a música se intensificam e o estudo da música nesta época tem um caráter particularmente interessante sob o ponto de vista interdisciplinar. Através de um enfoque histórico-epistemológico, busca-se estudar a importância da interdisciplinaridade no ensino de maneira geral, em especial da matemática, física e música, e de propor algumas oficinas interdisciplinares em que essas três disciplinas, possam de algum modo estar presentes. O aprendizado focado em mais de uma disciplina através de uma atividade interdisciplinar nem sempre é fácil e pode representar um obstáculo epistemológico, uma vez que saímos de nossa zona de conforto. Tais oficinas, portanto, têm também por objetivo instigar o aluno e convidá-lo a ter um enfoque reflexivo e crítico, assim como perceber o desafio que é enxergar e estudar fenômenos através de enfoques diferentes. Espera-se, dessa maneira, enriquecer o potencial de aprendizado através de uma complementação do ensino tradicionalmente feito através de disciplinas separadas, pela inclusão da interdisciplinaridade, quando possível. / During the Renaissance there is a resumption of the rational thought in which classical knowledge is revisited and rearranged by man. There is a contestation that challenges the Pythagorean intervals. Vincenzo Galilei opposed the way that Pythagoras listed the musical intervals by ratios of natural numbers. It was then established a revolution of scientific ideas that influenced music. Vincenzo Galilei breaks the Pythagorean view and starts to test experimentally musical relationships that were supposedly correct and begins to write a new music theory based on experimental foundations. His son Galileo, in turn, puts physics within a practical an experimental approach. Due to this new approach, the Pythagorean concept of music is threatened. The relationships between physics, mathematics and music are intensified and the study of music at this time has a particularly interesting character from an interdisciplinary point of view. Through a historical and epistemological approach, this work studies the importance of interdisciplinary education in general, especially in mathematics, physics and music, and aims at suggesting some interdisciplinary workshops such that these three disciplines can somehow be present. Learning involving more than one subject through an interdisciplinary activity is not always easy and may represent an epistemological obstacle since we go out of our comfort zone. These workshops therefore also aim at instigating the students as well as inviting them to take a reflective and critical approach, and realize how challenging is to see and study phenomena through different points of view. It is hoped in this way to enrich the learning potential through a complementation of the education process, traditionally done by separate subjects, by the inclusion of interdisciplinary activities whenever possible.

This study concerns a teaching design with the purpose to facilitate the students’ objectification of the Pythagorean Theorem. Twelve 14-year old students (N=12) participated in the study before the theorem was introduced to them at school. The design incorporated ideas from the ‘embodied mind’ framework, history and realistic mathematics, linking ‘embodied verticality’ with ‘perpendicularity’. The qualitative analyses suggested that the participants were led to the conquest of the ‘first level of objectification’ (through numbers) of the Pythagorean Theorem, showing also evidence of appropriate ‘fore-conceptions’ of the ‘second level of objectification’ (through proof) of the theorem. The triangle the sides of which are associated with the Basic Triple (3,4,5) served as a primary instrument for the students’ objectification, mainly, by facilitating their ‘generic abstraction’ of the Pythagorean Triples.

Inaug.-diss.-Université de Liége. / "Table des auteurs cités": p. [269]-282.

A presente tese explora, como solução para o controvertido quadro geral da moderna história da crítica sobre Pitágoras e seu movimento, a definição do pitagorismo como categoria historiográfica. Superando tanto o dilema entre ceticismo e confiança nas fontes, como a pretensão de alcançar uma única chave hermenêutica que permita resolver a questão pitagórica, procura percorrer a história da tradição em busca de uma imagem suficientemente plural a ponto de possibilitar a compreensão do pitagorismo em sua irredutível articulação de bíos e theoría e não apesar dela. A configuração da comunidade e de seu bíos é percebida como elemento central de identificação do pitagorismo. A análise das duas teorias que mais decididamente contribuíram para a definição do pitagorismo ao longo da história, a transmigração da alma imortal e a doutrina dos números, procura definir as condições de possibilidade de atribuí-las ao pitagorismo mais antigo e as formas pelas quais ambas teriam contribuído, ao longo da história, para a definição do pitagorismo como categoria historiográfica. As fontes pré-socráticas, a platonização do pitagorismo, o testemunho aristotélico sobre os assim chamados pitagóricos, a literatura pseudoepigráfica helenística e o pitagorismo de época imperial são entendidos como momentos de um percurso histórico que resulta em uma imagem poliédrica de um dos maiores fenômenos intelectuais da história ocidental. / This thesis explores the definition of Pythagoreanism as historiographical category, seen as solution for the controversial general framework of modern history of criticism about Pythagoras and his movement. Overcoming both the dilemma between skepticism and faith in the sources and the claim to achieve a single hermeneutical key to solve the Pythagorean question, in it searches are made throughout the history of tradition looking for an image sufficiently plural in order to understand Pythagoreanism in accordance with its irreducible articulation of bíos and theoría, not despite it. The setting of the community and its bíos is understood as central element for Pythagorean identification. An analysis of the two theories that more decisively contributed to the definition of Pythagoreanism throughout history, the transmigration of the immortal soul and the doctrine of numbers, attempts to define the conditions of possibility to assign them to the earlier Pythagoreanism and the ways in which these have contributed throughout history to the definition of Pythagoreanism as historiographical category. Presocratic sources, the platonization of Pythagoreanism, Aristotle\'s testimony about the \"so-called\" Pythagoreans, the hellenistic Pseudoepigrapha and Pythagoreanism in imperial age are understood as moments of an historical route resulting in a polyhedral image of one of the greatest intellectual phenomena in Western history.

O ensino de Matemática durante anos sofreu e ainda sofre com a abstração a que foi submetida a Matemática escolar, ocasionando muitas vezes o distanciamento da disciplina por parte dos estudantes. Em busca de novas abordagens para o trabalho com conteúdos matemáticos, a Música surge como um elemento facilitador neste processo, por meio de um trabalho interdisciplinar, podendo ser explorada sob diferentes aspectos, sejam eles rítmicos ou melódicos. Pensando sobre as relações matemáticas presentes na construção melódica da música ocidental, o estudo dos conceitos de razão e proporção se torna peça fundamental para a compreensão das mudanças ocorridas durante a história da música e a diferenciação de alguns termos matemáticos, como razão, proporção, quociente, fração e números decimais. Com a promulgação da Lei Federal nº 11.769/08 que determina a obrigatoriedade do ensino de música nas escolas brasileiras de educação básica, a discussão sobre as relações músico-matemáticas intensificam-se e abrem caminho para uma abordagem interdisciplinar relacionando a Educação Matemática e a Educação Musical, trabalhando conteúdos de ambas as áreas, porém sob o olhar do professor de Matemática. Para a construção do conhecimento seguindo esta abordagem, o presente trabalho propõe uma prática interdisciplinar por meio de oficinas, intensificando e explorando o processo de investigação e pesquisa, além de promover a autonomia e o senso crítico dos alunos. / The teaching of mathematics for years have suffered and still suffers from the abstraction that was submitted to school mathematics, often causing the detachment of discipline on the part of students. In search of new approaches to work with mathematical content, music emerges as a facilitator in this process, using an interdisciplinary work, which can be exploited in different ways, whether rhythmic or melodic. Thinking about the mathematical relationships present in the melodic construction of Western music, the study of the concepts of ratio and proportion becomes central to understanding the changes that occurred during the music history and contrast of some mathematical terms such as ratio, proportion, quotient, fraction and decimal numbers. With the enactment of Federal Law No. 11.769/08 that determines the requirement for teaching music in Brazilian schools of basic education, the discussion of the musical-mathematical relationships intensify and open a way for an interdisciplinary approach linking Mathematics Education and Music Education , working in both content areas, but under the professor of mathematics views. For the construction of knowledge by following this approach, this paper proposes an interdisciplinary practice using workshops, exploring and enhancing the process of investigation and research, and promote the autonomy and critical thinking of students.

O ensino de Matemática durante anos sofreu e ainda sofre com a abstração a que foi submetida a Matemática escolar, ocasionando muitas vezes o distanciamento da disciplina por parte dos estudantes. Em busca de novas abordagens para o trabalho com conteúdos matemáticos, a Música surge como um elemento facilitador neste processo, por meio de um trabalho interdisciplinar, podendo ser explorada sob diferentes aspectos, sejam eles rítmicos ou melódicos. Pensando sobre as relações matemáticas presentes na construção melódica da música ocidental, o estudo dos conceitos de razão e proporção se torna peça fundamental para a compreensão das mudanças ocorridas durante a história da música e a diferenciação de alguns termos matemáticos, como razão, proporção, quociente, fração e números decimais. Com a promulgação da Lei Federal nº 11.769/08 que determina a obrigatoriedade do ensino de música nas escolas brasileiras de educação básica, a discussão sobre as relações músico-matemáticas intensificam-se e abrem caminho para uma abordagem interdisciplinar relacionando a Educação Matemática e a Educação Musical, trabalhando conteúdos de ambas as áreas, porém sob o olhar do professor de Matemática. Para a construção do conhecimento seguindo esta abordagem, o presente trabalho propõe uma prática interdisciplinar por meio de oficinas, intensificando e explorando o processo de investigação e pesquisa, além de promover a autonomia e o senso crítico dos alunos. / The teaching of mathematics for years have suffered and still suffers from the abstraction that was submitted to school mathematics, often causing the detachment of discipline on the part of students. In search of new approaches to work with mathematical content, music emerges as a facilitator in this process, using an interdisciplinary work, which can be exploited in different ways, whether rhythmic or melodic. Thinking about the mathematical relationships present in the melodic construction of Western music, the study of the concepts of ratio and proportion becomes central to understanding the changes that occurred during the music history and contrast of some mathematical terms such as ratio, proportion, quotient, fraction and decimal numbers. With the enactment of Federal Law No. 11.769/08 that determines the requirement for teaching music in Brazilian schools of basic education, the discussion of the musical-mathematical relationships intensify and open a way for an interdisciplinary approach linking Mathematics Education and Music Education , working in both content areas, but under the professor of mathematics views. For the construction of knowledge by following this approach, this paper proposes an interdisciplinary practice using workshops, exploring and enhancing the process of investigation and research, and promote the autonomy and critical thinking of students.

Practice of mathematical proof increase the understanding of mathematics anddevelop creativity skills, problem solving, communication, logical thinking andreasoning which are all important tools not only within the subject of mathematicsbut also important tools for the society in which we are living. The aim of this projectwas to investigate whether it is accurate that proof and proving has a subordinate rolein mathematic education in the upper secondary school in Sweden. This was done byconstructing of a digital survey that was sent to approximately 100 practicingmathematics teachers in a normal size city located in the middle of Sweden. Theresults of the survey show that the teachers consider themselves comfortable withtheir own skills in teaching proof. Paradoxically, the results also show that there is alack of teaching of proof and proving in the upper secondary school, although the newcurriculum puts more focus on proof and proving. / Matematiska bevis ger eleven en ökad förståelse för matematiken och utvecklarförmågor som kreativitet, problemlösning, kommunikation, logiskt tänkande ochresonemang, vilka alla är viktiga även utanför matematiken och för det samhälle vilever i. Syftet med detta arbete var att undersöka om det stämmer att bevis ochbevisföring har en underordnad roll i matematikundervisningen i den svenskagymnasieskolan vilket gjordes med hjälp av en enkät som skickades digitalt till cirka100 gymnasiematematiklärare i en medelstor stad i Mellansverige. Det visade sig attlärarna själva anser sig tillräckligt kunniga för att undervisa i bevis men det förefallerinte som att undervisningen är tillräcklig trots att dagens läroplaner sätter bevis istörre fokus än tidigare.

The aim of this diploma work is to analyse problems solving of the second round of the 55th year of the Mathematical Olympiad in South Bohemian region and to serve as a study material for further Mathematical Olympiads or as a collection of problems for talented students.

Submitted by Marlene Santos (marlene.bc.ufg@gmail.com) on 2016-06-02T18:51:04Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Manoel Bernardes de Jesus- 2016.pdf: 8498646 bytes, checksum: df9ec5bab5a7bc205f3b14b7ac2d5b70 (MD5) license_rdf: 19874 bytes, checksum: 38cb62ef53e6f513db2fb7e337df6485 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2016-06-03T12:08:15Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Manoel Bernardes de Jesus- 2016.pdf: 8498646 bytes, checksum: df9ec5bab5a7bc205f3b14b7ac2d5b70 (MD5) license_rdf: 19874 bytes, checksum: 38cb62ef53e6f513db2fb7e337df6485 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-03T12:08:15Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Manoel Bernardes de Jesus- 2016.pdf: 8498646 bytes, checksum: df9ec5bab5a7bc205f3b14b7ac2d5b70 (MD5) license_rdf: 19874 bytes, checksum: 38cb62ef53e6f513db2fb7e337df6485 (MD5) Previous issue date: 2016-03-31 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The aim of this paper is to present a study about Triangles, to study their concepts and their properties, the relations between their forms, mesures and areas, relation of Triangle with the Trigonometric and the Geometrics Builds. Besides to present Pythagoras’ Theorem with many proof relates to Triangles. / O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo sobre Triângulos, seus conceitos e suas propriedades, as relações entre suas formas, medidas e áreas. Além da relação do Triângulo com a Trigonometria e as Construções Geométricas. Apresentamos o Teorema de Pitágoras com várias demonstrações relacionadas aos Triângulos.

A presente tese explora, como solução para o controvertido quadro geral da moderna história da crítica sobre Pitágoras e seu movimento, a definição do pitagorismo como categoria historiográfica. Superando tanto o dilema entre ceticismo e confiança nas fontes, como a pretensão de alcançar uma única chave hermenêutica que permita resolver a questão pitagórica, procura percorrer a história da tradição em busca de uma imagem suficientemente plural a ponto de possibilitar a compreensão do pitagorismo em sua irredutível articulação de bíos e theoría e não apesar dela. A configuração da comunidade e de seu bíos é percebida como elemento central de identificação do pitagorismo. A análise das duas teorias que mais decididamente contribuíram para a definição do pitagorismo ao longo da história, a transmigração da alma imortal e a doutrina dos números, procura definir as condições de possibilidade de atribuí-las ao pitagorismo mais antigo e as formas pelas quais ambas teriam contribuído, ao longo da história, para a definição do pitagorismo como categoria historiográfica. As fontes pré-socráticas, a platonização do pitagorismo, o testemunho aristotélico sobre os assim chamados pitagóricos, a literatura pseudoepigráfica helenística e o pitagorismo de época imperial são entendidos como momentos de um percurso histórico que resulta em uma imagem poliédrica de um dos maiores fenômenos intelectuais da história ocidental. / This thesis explores the definition of Pythagoreanism as historiographical category, seen as solution for the controversial general framework of modern history of criticism about Pythagoras and his movement. Overcoming both the dilemma between skepticism and faith in the sources and the claim to achieve a single hermeneutical key to solve the Pythagorean question, in it searches are made throughout the history of tradition looking for an image sufficiently plural in order to understand Pythagoreanism in accordance with its irreducible articulation of bíos and theoría, not despite it. The setting of the community and its bíos is understood as central element for Pythagorean identification. An analysis of the two theories that more decisively contributed to the definition of Pythagoreanism throughout history, the transmigration of the immortal soul and the doctrine of numbers, attempts to define the conditions of possibility to assign them to the earlier Pythagoreanism and the ways in which these have contributed throughout history to the definition of Pythagoreanism as historiographical category. Presocratic sources, the platonization of Pythagoreanism, Aristotle\'s testimony about the \"so-called\" Pythagoreans, the hellenistic Pseudoepigrapha and Pythagoreanism in imperial age are understood as moments of an historical route resulting in a polyhedral image of one of the greatest intellectual phenomena in Western history.