Orientador: Jõao Peres Vieira / Banca: Wladimir Seixas / Banca: Rita de Cássia Pavani Lamas / Resumo: O objetivo desta dissertação é sugerir duas formas de apresentação do estudo da equação geral de uma quádrica. Uma delas, quando seu público alvo é formado por alunos ingressantes (do primeiro ano de um curso da Área de Ciências Exatas e da Terra) e a outra quando seu público alvo tem noções de Álgebra Linear / Abstract: In this work we present two ways to study the general equation of a quadric. One of them when the public is formed by beginners students and the other one when the public is formed by students with notions of Linear Algebra / Mestre

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:24:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2010-06-18Bitstream added on 2014-06-13T18:47:47Z : No. of bitstreams: 1 correia_jm_me_rcla.pdf: 4924512 bytes, checksum: c773abdfa8e36c6a93d48c33494b327d (MD5) / Universidade Estadual Paulista (UNESP) / O objetivo desta dissertação é sugerir duas formas de apresentação do estudo da equação geral de uma quádrica. Uma delas, quando seu público alvo é formado por alunos ingressantes (do primeiro ano de um curso da Área de Ciências Exatas e da Terra) e a outra quando seu público alvo tem noções de Álgebra Linear / In this work we present two ways to study the general equation of a quadric. One of them when the public is formed by beginners students and the other one when the public is formed by students with notions of Linear Algebra

Orientador: Alice Kimie Miwa Libardi / Banca: Thiago de Melo / Banca: Tatiana Miguel Rodrigues / Resumo: O texto que segue aborda um estudo de cônicas e quádricas com o objetivo de auxiliar professores e estudantes a ter uma visão mais concreta e dinâmica destes elementos com o software de distribuição livre GeoGebra. Num primeiro momento temos como alvo observações sobre cônicas com dicas de como dirigir-se ao assunto usando as ferramentas que o GeoGebra traz para facilitar o entendimento dos significados dos parâmetros e coeficientes dessas equações quadráticas. Em seguida, estudamos algumas particularidades das quádricas, assunto que usualmente não é visto no ensino médio / Abstract: The following text is a study of conics and quadrics with a goal to give a concrete and dinamic approach of the subject with the assistance of the free software GeoGebra. At first moment we target some observations about conics, with tips of how to approach the subject with the tools that GeoGebra brings to make easier the understanding of the meanings of the parameters and coefficients of these quadratic equations. And then we study some particularities of the quadric surfaces, a subject that usually is not seen in the high school / Mestre

[pt] O contato com modelos geométricos tais como planos, esferas ou quádricas é uma importante ferramenta para entender a geometria diferencial de uma superfície. Nesta tese, estudamos o contato de superfícies com quádricas, e mais particularmente, com as quádricas de Moutard. Estendemos os resultados conhecidos para o caso de pontos parabólicos e curvas flecnodais em superfícies genéricas. Consideramos também o contato de hipersuperfícies com hiperquádricas de Moutard. / [en] The contact with generic models like planes, spheres or quadrics is an important tool to understand the differential geometry of a surface. In this thesis, we study the contact of surfaces with quadrics, more specifically, with Moutard quadrics. We extend the known results for the case of parabolic points and flecnodal curves in generic surfaces. We consider also the contact of hypersurfaces with Moutard hyperquadrics.

Orientador: Marco Antonio Piteri / Banca: Cristiane Nespoli Morelato França / Banca: Francisco Assis da Silva / Resumo: Este trabalho tem como propósito estudar cônicas e quádricas que podem ser representadas algebricamente por equações do segundo grau em duas e três variáveis, respectivamente. Em particular, a temática de cônicas foi objeto de estudo dos gregos bem antes do início da era cristã, muito embora sob uma perspectiva meramente geométrica. As cônicas e as superfícies de revolução obtidas a partir destas possuem inúmeras aplicações práticas em várias áreas do conhecimento humano, sendo, portanto, um conceito interdisciplinar. Vale salientar que os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN's), sugerem a investigação de temas e eixos transversais que possam ser discutidas em várias disciplinas ao longo da vida escolar do estudante. Atividades didáticas que exploram os elementos fundamentais associados a cada uma das cônicas foram propostas para serem desenvolvidas junto aos estudantes do ensino médio. No intuito de se diferenciar das formas tradicionais de ensino, procura-se fazer uso das denominadas novas tecnologias, em especial do software de matemática dinâmica Geogebra, que é capaz de trabalhar conteúdos de geometria, álgebra, cálculo e estatística e, em particular, simular construções geométricas baseadas em régua e compasso. Os inúmeros recursos de visualização em 2D e 3D, aliados a animação de objetos matemáticos, permite que os jovens estudantes possam ter níveis de abstração e enxergar relações entre objetos no espaço difíceis de serem obtidas por meios convencionais. Ademais,... / Abstract: The purpose of this work is to study conics and quadrics that can be represented algebraically by equations of the second degree in two and three variables, respectively. In particular, the concepts of conics was studied by the Greeks before the beginning of the Christian era, albeit from a purely geometric perspective. The conics and surfaces of revolution obtained from these have numerous practical applications in several areas of human knowledge, being, therefore, an interdisciplinary concept. It should be noted that the National Curricular Parameters (PCN's) suggest the investigation of themes and transversal axes that can be discussed in various disciplines throughout the student's school life. Didactic activities that explore the fundamental elements associated to each of the conics were proposed to be developed with high school students. In order to differentiate itself from the traditional forms of teaching, we try to make use of the so-called new technologies, especially Geogebra dynamic mathematics software, which is able to work with geometry, algebra, calculus and statistics content and, in particular, simulate geometric constructions based on ruler and compass. This software has numerous 2D and 3D visualization capabilities, coupled with the animation of mathematical objects, enable young students to have levels of abstraction and to see relationships between objects in space that are difficult to obtain by conventional means. In addition, this tool allows ... / Mestre

Orientador: Marcelo Messias / Banca: Paulo Ricardo da Silva / Banca: João Carlos da Rocha Medrado / Banca: Regilene Delazaridos Santos Oliveira / Banca: Fábio Scalco Dias / Resumo: Neste trabalho, consideramos aspectos algébricos e dinâmicos de alguns problemas envolvendo superfícies algébricas invariantes em sistemas diferenciais polinomiais definidos em R³. Determinamos o número máximo de planos invariantes que um sistema diferencial quadrático pode ter e estudamos a realização e integrabilidade de tais sistemas. Fornecemos a forma normal para sistemas diferenciais com quádricas invariantes e estudamos de forma mais detalhada a dinâmica e integrabilidade de sistemas diferenciais quadráticos com um paraboloide elíptico como superfície algébrica invariante. Por fim, estudamos as consequências dinâmicas ao se perturbar um sistema diferencial, cujo espaço de fase é folheado por superfícies algébricas invariantes. Para tal, consideramos o sistema diferencial quadrático conhecido como sistema Sprott A, que depende de um parâmetro real a e apresenta comportamento caótico mesmo sem ter pontos de equilíbrio, tendo, assim, um hidden attractor para valores adequados do parâmetro a. Provamos que, para a=0, o espaço de fase desse sistema é folheado por esferas concêntricas invariantes. Utilizando a Teoria do Averaging e o Teorema KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser), provamos que, para a>0 suficientemente pequeno, uma órbita periódica orbitalmente estável emerge de um equilíbrio do tipo zero-Hopf não isolado localizado na origem e que formam-se toros invariantes em torno desta órbita periódica. Concluímos que a ocorrência de tais fatos tem um papel importante na formação... / Abstract: In this work, we consider algebraic and dynamical aspects of some problems involving invariant algebraic surfaces in polynomial differential systems defined in R³. We determine the maximum number of invariant planes that a quadratic differential system can have and we study the realization and integrability of such systems. We provide the normal form for differential systems having an invariant quadric and we study in more detail the dynamics and integrability of quadratic differential systems having an elliptic paraboloid as invariant algebraic surface. Finally, we study the dynamic consequences of perturbing differential system whose phase space is foliated by invariant algebraic surfaces. For this we consider the quadratic differential system known as Sprott A system, which depends on one real parameter a and presents chaotic behavior even without having any equilibrium point, thus having a hidden attractor for suitable values of parameter a. We prove that, for a=0, the phase space of this system is foliated by invariant concentric spheres. By using the Averaging Theory and the KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) Theorem, we prove that, for a>0 sufficiently small, an orbitally stable periodic orbit emerges from a zero-Hopf nonisolated equilibrium point located at the origin and that invariant tori are formed around this periodic orbit. We conclude that the occurrence of these facts has an important role in the formation of the hidden attractor. / Doutor

Made available in DSpace on 2015-09-17T15:25:23Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2015-02-25. Added 1 bitstream(s) on 2015-09-17T15:48:55Z : No. of bitstreams: 1 000844046.pdf: 1060560 bytes, checksum: 58875f90fe46d8bb748fa070c454cdae (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O principal objetivo deste estudo é classificar as curvas cônicas e as superfícies quádricas que são representadas através de equações do tipo Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0, com A,B,C,D,E.F,G,H, I, J 2 R. Antes da classificação dessa curvas e superficies vamos apresentar alguns conceitos e resultados dentro da Álgebra Linear como os espaços vetoriais com produto interno, operadores adjuntos e as formas bilineares. Os conceitos e resultados apresentados servirão de suporte à classificação tanto das cônicas como das quádricas. Além da classificação das cônicas e das quádricas, vamos apresentar uma proposta de atividade com o software GEOGEBRA para que alunos do Ensino Médio entendam melhor o conceito das cônicas (elipse, hipérbole e parábola) / The main objective of this study is to classify the conics curves and the quadrics surfaces that are represented through equations Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 whit A,B,C,D,E.F,G,H, I, J 2 R. Before the classification of these curves and surfaces we will present some concepts and results of Linear Algebra such as the vector spaces with an inner product, adjoints operators and the bilinear forms. The concepts and results presented will be the supported for the classification of the conics as of the quadrics. Beyond the classification of the conics and the quadrics, we go to present a proposal of activity with software GEOGEBRA so that students of Ensino Médio better understand the concept of the conics (ellipse, hyperbola and parabola)

Orientador: Marcelo Reicher Soares / Banca: Valter Locci / Banca: Angela Pereira Rodrigues Moreira / Resumo: A partir de um estudo de cubagem de tora de eucalipto por semelhança de tronco de cone de base elíptica, efetuando os cálculos de volume por semelhança ao tronco de cone de base circular e comprovação de resultado por cálculo diferencial integral, realiza-se um estudo histórico sobre a área do círculo para se chegar à área da elipse pelo desenvolvimento apresentado por Arquimedes nesse assunto. Com apresentação do teorema da medida da área da elipse, demonstrado pela dupla redução ao absurdo e utilização do método da exaustão de Eudoxo. Na sequência, verificamos que esse desenvolvimento matemático foi inspirador para o desenvolvimento do cálculo diferencial integral e para Cavalieri enunciar dois famosos princípios, um para o cálculo de área e outro para o de volume, estes são usados nos próximos cálculos de área da elipse e volume de sólidos elípticos. Os princípios de Cavalieri são teoremas e apresentamos as demonstrações pelo cálculo diferencial integral, também usado como alternativa aos cálculos de volume dos sólidos elípticos / Abstract: From a study of eucalyptus log cube by the similarity of an elliptical cone trunk, performing the volume calculations by resemblance to the circular base cone trunk and verification of the result by integral differential calculus, a historical study is carried out on the area of the circle and to reach the area of the ellipse by the development presented by Archimedes on this subject. Presentation of the theorem of the measurement of the area of the ellipse, demonstrated by the double reduction to the absurd and use of the Eudoxo exhaustion method. It follows that this mathematical development was inspiring for the development of integral differential calculus and for Cavalieri to enunciate two famous principles, one for area calculation and another for volume, which are used in the next area calculations of the ellipse and volume of elliptical solids. The principles of Cavalieri are theorems and the demonstrations were presented by integral differential calculus, also used as an alternative to volume calculations of elliptical solids / Mestre

Orientador: Parham Salehyan / Banca: Flávia Souza Mahcado da Silva / Banca: Miguel Vinícius Santini Frasson / Resumo: O principal objetivo deste estudo é classificar as curvas cônicas e as superfícies quádricas que são representadas através de equações do tipo Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0, com A,B,C,D,E.F,G,H, I, J 2 R. Antes da classificação dessa curvas e superficies vamos apresentar alguns conceitos e resultados dentro da Álgebra Linear como os espaços vetoriais com produto interno, operadores adjuntos e as formas bilineares. Os conceitos e resultados apresentados servirão de suporte à classificação tanto das cônicas como das quádricas. Além da classificação das cônicas e das quádricas, vamos apresentar uma proposta de atividade com o software GEOGEBRA para que alunos do Ensino Médio entendam melhor o conceito das cônicas (elipse, hipérbole e parábola) / Abstract: The main objective of this study is to classify the conics curves and the quadrics surfaces that are represented through equations Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 whit A,B,C,D,E.F,G,H, I, J 2 R. Before the classification of these curves and surfaces we will present some concepts and results of Linear Algebra such as the vector spaces with an inner product, adjoints operators and the bilinear forms. The concepts and results presented will be the supported for the classification of the conics as of the quadrics. Beyond the classification of the conics and the quadrics, we go to present a proposal of activity with software GEOGEBRA so that students of Ensino Médio better understand the concept of the conics (ellipse, hyperbola and parabola) / Mestre

[pt] A Geometria Diferencial Discreta tem por objetivo desenvolver uma teoria discreta que respeite os aspectos fundamentais da teoria suave. Com isto em mente, são apresentados incialmente resultados da teoria suave da Geometria Afim que terão suas versões discretas tratadas a posteriori. O primeiro objetivo deste trabalho é construir uma estrutura afim discreta para as redes assintóticas definidas no espaço tridimensional, com métrica de Blaschke indefinida e parâmetros assintóticos. Com este intuito, são definidos um campo conormal, que satisfaz as equações de Lelieuvre e está associado a um parâmetro real, e um normal afim que define a forma cúbica da rede e torna a estrutura bem definida. Esta estrutura permite, por exemplo, o estudo das superfícies regradas, com ênfase nas esferas afins impróprias. Além disso, propõe-se uma definição para as singularidades no caso das esferas afins impróprias discretas a partir da construção centrocorda. Outro objetivo deste trabalho é propor uma definição para as superfícies afins discretas com curvatura afim média constante (CAMC), de forma que englobe as superfícies afins mínimas e as esferas afins. As superfícies afins mínimas discretas recebem uma caracterização geométrica bastante interessane e ligada diretamente às quádricas de Lie discretas. O trabalho se completa com o principal resultado, referente à versão discreta das superfícies de Cayley, esferas afins impróprias regradas caracterizadas a partir da conexão afim induzida: uma rede assintótica com CAMC é congruente equiafim à uma superfície de Cayley se, e somente se, a forma cúbica é não nula e a conexão afim induzida é paralela. / [en] Discrete Differential Geometry aims to develop a discrete theory which respects fundamental aspects of smooth theory. With this in mind, some results of smooth theory of Affine Geometry are firstly introduced since their discrete counterparts shall be treated a posteriori. The first goal of this work is construct a discrete affine structure for nets in a three-dimensional space with indefinite Blaschke metric and asymptotic parameters. For this purpose, one defines a conormal vector field, which satisfies Lelieuvre s equations and it is associated to a real parameter; and an affine normal vector field, which defines the cubic form of the net and makes the structure well defined. This structure allows to study, e.g., ruled surfaces with emphasis on improper affine spheres. Moreover, a definition for singularities is proposed in the case of discrete improper affine spheres from the center-chord construction. Another goal here is to propose a definition for an asymptotic net with constant affine mean curvature (CAMC), in a way that encompasses discrete affine minimal surfaces and discrete affine spheres. Discrete affine minimal surfaces receive a beautiful geometrical characterization directly linked to discrete Lie quadrics. This work is completed with the main result about a discrete version of Cayley surfaces, which are ruled improper affine spheres that can be characterized by the induced connection as: an asymptotic net with CAMC is equiaffinely congruent to a Cayley surface if and only if the cubic form does not vanish and the affine induced connection is parallel.