Der erste Teil der Arbeit beschreibt eine Methode, Auszahlungen zu bewerten, die einem auf dem Finanzmarkt nicht absicherbaren Risiken ausgesetzt sind. Im zweiten Teil berechnen wir den maximalen Nutzen und optimale Handelsstrategien auf unvollständigen Märkten mit Hilfe von stochastischen Rückwärtsgleichungen. Wir betrachten Händler, deren Einkommen einer externen Risikoquelle ausgesetzt sind. Diese vervollständigen den Markt, indem sie entweder einen Bond schaffen oder gegenseitig Verträge schliessen. Eine andere Moeglichkeit ist eine Anleihe, die von einer Versicherung herausgegeben wird. Die Risikoquellen, die wir in Betracht ziehen, können Versicherungs-, Wetter-oder Klimarisiko sein. Aktienpreise sind exogen gegeben. Wir berechnen Preise für die zusätzlichen Anlagen so dass Angebot und Nachfrage dafür gleich sind. Wir haben partielle Markträumung. Die Präferenzen der Händler sind durch erwarteten Nutzen gegeben. In Kapitel 2 bis Kapitel 4 haben die Händler exponentielle Nutzenfunktionen. Um den Gleichgewichtspreis zu finden, wenden wir stochastische Rückwärtsgleichungen an. In Kapitel 5 beschreiben wir ein Einperiodenmodell mit Nutzenfunktionen, die die Inada-Bedingungen erfüllen. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit dem robusten Nutzenmaximierungsproblem auf einem unvollständigen Finanzmarkt. Entweder das Wahrscheinlichkeitsmass oder die Koeffizienten des Aktienmarktes sind ungewiss. Die Lösung der Rückwärtsgleichung beschreibt die nutzenmaximierende Handelsstrategie und das Wahrscheinlichkeitsmass, das in der Auswertung des robusten Nutzens benutzt wird. Für die exponentielle Nutzenfunktion berechnen wir Nutzenindifferenzpreise. Ausserdem wenden wir diese Techniken auf die Maximierung des erwarteten Nutzens bezüglich eines festen Wahrscheinlichkeitsmasses an. Dafür betrachten wir abgeschlossene, im allgemeinen nicht konvexe zulässige Mengen für die Handelsstrategien. / The first part of the thesis proposes a method to find prices and hedging strategies for risky claims exposed to a risk factor that is not hedgeable on a financial market. In the second part we calculate the maximal utility and optimal trading strategies on incomplete markets using Backward Stochastic Differential Equations. We consider agents with incomes exposed to a non-hedgeable external source of risk by creating either a bond or by signing contracts. The sources of risk we think of may be insurance, weather or climate risk. Stock prices are seen as exogenuosly given. We calculate prices for the additional securities such that supply is equal to demand, the market clears partially. The preferences of the agents are described by expected utility. In Chapter 2 through Chapter 4 the agents use exponential utility functions, the model is placed in a Brownian filtration. In order to find the equilibrium price, we use Backward Stochastic Differential Equations. Chapter 5 provides a one--period model where the agents use utility functions satisfying the Inada condition. The second part of this thesis considers the robust utility maximization problem on an incomplete financial market. Either the probability measure or drift and volatility of the stock price process are uncertain. We apply a martingale argument and solve a saddle point problem. The solution of a Backward Stochastic Differential Equation describes the maximizing trading strategy as well as the probability measure that is used in the robust utility. We consider the exponential, the power and the logarithmic utility functions. For the exponential utility function we calculate utility indifference prices of not perfectly hedgeable claims. Finally, we maximize the expected utility with respect to a single probability measure. We apply a martingale argument and solve maximization problems. This allows us to consider closed, in general non--convex constraints on the values of trading strategies.

Diese Dissertation analysiert BSDEs und PDEs mit singulären Endbedingungen, welche in Problemen der optimalen Portfolioliquidierung auftreten. In den vergangenen Jahren haben Portfolioliquidierungsprobleme in der Literatur zur Finanzmathematik große Aufmerksamkeit erhalten. Ihre wichtigste Eigenschaft ist die singuläre Endbedingung der durch die Liquidierungsbedingung induzierten Wertfunktion, welche eine singuläre Endbedingung der zugehörigen BSDE oder PDE impliziert. Diese Arbeit besteht aus drei Kapiteln. Das erste Kapitel analysiert ein Portfolioliquidierungsproblem für mehrere Wertpapiere mit sofortigem und anhaltendem Preiseinfluss und stochastischer Resilienz. Wir zeigen, dass die Wertfunktion durch eine mehrdimensionale BSRDE mit singulärer Endbedingung beschrieben werden kann. Wir weisen die Existenz einer Lösung dieser BSRDE nach und zeigen, dass diese durch eine Folge von Lösungen von BSRDEs mit endlicher und wachsender Endbedingung approximiert werden kann. Eine neue a priori-Abschätzung für die approximierenden BSRDEs wird für den Nachweis hergeleitet. Das zweite Kapitel betrachtet ein Portfolioliquidierungsproblem mit unbeschränkten Kostenkoeffizienten. Wir weisen die Existenz einer eindeutigen nichtnegativen Viskositätslösung der HJB-Gleichung nach. Das Existenzresultat basiert auf einem neuartigen Vergleichsprinzip für semi-stetige Viskositätssub-/-superlösungen für singuläre PDEs. Stetigkeit der Viskositätslösung ist hinreichend für das Verifikationsargument. Im dritten Kapitel untersuchen wir ein optimales Liquidierungsproblem unter Mehrdeutigkeit der Parameter des Preiseinflusses. In diesem Fall kann die Wertfunktion durch die Lösung einer semilinearen PDE mit superlinearem Gradienten beschrieben werden. Zuerst zeigen wir die Existenz einer Viskositätslösung indem wir unser Vergleichsprinzip für singuläre PDEs erweitern. Sodann weisen wir die Regularität mit einer asymptotischen Entwicklung der Lösung am Endzeitpunkt nach. / This dissertation analyzes BSDEs and PDEs with singular terminal condition arising in models of optimal portfolio liquidation. Portfolio liquidation problems have received considerable attention in the financial mathematics literature in recent years. Their main characteristic is the singular terminal condition of the value function induced by the liquidation constraint, which translates into a singular terminal state constraint on the associated BSDE or PDE. The dissertation consists of three chapters. The first chapter analyzes a multi-asset portfolio liquidation problem with instantaneous and persistent price impact and stochastic resilience. We show that the value function can be described by a multi-dimensional BSRDE with a singular terminal condition. We prove the existence of a solution to this BSRDE and show that it can be approximated by a sequence of the solutions to BSRDEs with finite increasing terminal condition. A novel a priori estimate for the approximating BSRDEs is established for the verification argument. The second chapter considers a portfolio liquidation problem with unbounded cost coefficients. We establish the existence of a unique nonnegative continuous viscosity solution to the HJB equation. The existence result is based on a novel comparison principle for semi-continuous viscosity sub-/supersolutions for singular PDEs. Continuity of the viscosity solution is enough to carry out the verification argument. The third chapter studies an optimal liquidation problem under ambiguity with respect to price impact parameters. In this case the value function can be characterized by the solution to a semilinear PDE with superlinear gradient. We first prove the existence of a solution in the viscosity sense by extending our comparison principle for singular PDEs. Higher regularity is then established using an asymptotic expansion of the solution at the terminal time.

Wir befassen uns mit Gleichgewichtsproblemen, die bei dem Zusammentreffen von Märkten und Marktteilnehmern entstehen, zuerst in einem Modell mit konkurrierenden Märkten mit Feedback und asymmetrischer Information und dann mit strategisch interagierenden Händlern. Zudem untersuchen wir spezielle Richtungsableitung im Kontext des pfadweisen Malliavinkalküls. Im ersten Kapitel analysieren wir ein Prinzipal-Agenten-Problem mit einem monopolistischen Dealer, der mit einem Crossing-Netzwerk (CN) um den Handel mit Agenten mit privater Information konkurriert. Wir untersuchen die gewinnmaximierenden Angebote des Dealers für unterschiedliche Outside-Optionen und formulieren hinreichende Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit einer optimalen Lösung. In unserem Modell ist die Einführung des CN für die Agenten vorteilhaft und ein Gleichgewichtspreis existiert. Im zweiten Kapitel analysieren wir den Einfluss vergleichender Leistungsbewertung von Händlern auf die Preisfindung im Marktgleichgewicht. Ein Derivat soll einen markträumenden Preis bekommen unter Beachtung der strategisch handelnden Agenten. Das Risiko eines Händlers setzt sich aus dem eigenen Risikoprofil und dem Erfolg des Handelns relativ zum durchschnittlichen Handelserfolg aller zusammen und er wird durch eine BSDE gemessen. Wir bestimmen einen repräsentativen Agenten und zeigen so die Existenz und Eindeutigkeit eines Gleichgewichtspreises. Weiterhin können wir diesen charakterisieren und im Spezialfall von entropischen Risikomaßen konkret berechnen. In diesem Spezialfall führen wir auch eine Parameteranalyse durch. Das dritte Kapitel verknüpft klassischen und pfadweisen Malliavinkalkül. Wir definieren und analysieren pfadweise Richtungsableitungen mit Hilfe von Perturbationen mit Cameron-Martin-Funktionen, mit (Hölder-)stetigen Funktionen, mit unstetigen Funktionen und mit Maßen. Somit sind sowohl die klassische Malliavin-Ableitung als auch Dupires vertikale Ableitung als Spezialfälle enthalten. / We analyze equilibrium problems arising from interacting markets and market participants, first competing markets with feedback and asymmetric information, then strategically interacting traders; moreover we analyze a new notion of a pathwise directional derivative in the context of pathwise Malliavin calculus. The first chapter analyzes a principal-agent game in which a monopolistic profit-maximizing dealer competes with a crossing network (CN) for trading with privately informed agents. We analyze the structure of the dealer’s offered pricing schedules for different outside options. We give sufficient conditions for the existence and uniqueness of a solution to the dealer’s problem and show that in our setting the introduction of the CN is beneficial for the agents. Additionally, we discuss existence and uniqueness of an equilibrium price for the feedback between dealer and CN. In the second chapter we analyze the impact of performance concerns on a problem of equilibrium pricing. A derivative is priced such that the market clears, given strategically behaving agents. Their risk stems from a risky position in the future and the relative trading gains compared to all other agents. The risk measure of each agent is specified by a BSDE. In spite of the strategic interaction, we are able to apply a representative agent approach to obtain existence and uniqueness of the equilibrium market price of external risk. In the special case of entropic risk measures, we perform a parameter analysis. The third chapter provides a link between classical and pathwise Malliavin calculus. We define and analyze pathwise directional derivatives via perturbations with Cameron-Martin functions, (Hölder-)continuous functions, discontinuous functions and measures, thereby including both the traditional Malliavin derivative and the vertical derivative from Dupire’s work.