In der Archäologie besteht das Problem, dass es für die Beschreibung von Objekteigenschaften keine einheitliche Begriffsbasis gibt. Nicht nur bei der Klassifikation von Gefäßen, aber besonders dort kommt es dann zu Schwierigkeiten, denn neben der Subjektivität der Wortwahl existiert auch eine internationale Sprachbarriere. Somit werden Forderungen nach einer mathematisch-algorithmisch orientierten Merkmalsbeschreibung laut. Damit ginge langfristig nicht nur die Etablierung weltweit einheitlicher Typologien einher, sondern auch die Möglichkeit einer computergestützten automatischen Klassifikation. Die Diplomarbeit behandelt im ersten Teil die Segmentierung archäologischer Gefäße. Diese ist notwendig, um die Analyse sekundärer Gefäßmerkmale vollautomatisch und unabhängig vom Gefäßrumpf durchführen zu können. Weil sich dabei topologische, skelettbasierte und krümmungsbasierte Verfahren aus verschiedenen Gründen als ungeeignet herausstellten, wurde ein neuer Segmentierungsansatz über die Rotation einer adaptiven Profillinie entwickelt. Dieser leistet eine schnelle, robuste, vor allem aber genaue Trennung asymmetrischer Teile vom Gefäßrumpf. Im zweiten Teil werden die aus der Segmentierung gewonnenen Informationen über sekundäre und ggf. auch tertiäre Gefäßmerkmale zusammen mit den primären Attributen wie äußere Form und globale geometrische Maße in das Klassifikationssystem integriert. Aufgrund der im Klassifikationsprozess immanenten Hierarchie ist es zweckmäßiger, einen spezifischen mehrstufigen Ansatz gegenüber einstufigen oder globalen Shape-Matching-Ansätzen vorzuziehen. Darüber hinaus werden Vergleichsmetriken und ein Attributgraph vorgestellt sowie Vorschläge zur Segmentinterpretation gemacht.

Aquesta tesi proposa una estructura de dades per emmagatzemar imatges tridimensionals. L'estructura da dades té forma d'arbre i codifica les components connexes dels conjunts de nivell de la imatge. Aquesta estructura és la eina bàsica per moltes aplicacions proposades: operadors morfològics tridimensionals, visualització d'imatges mèdiques, anàlisi d'histogrames de color, seguiment d'objectes en vídeo i detecció de vores. Motivada pel problema de la completació de vores, la tesi conté un estudi de com l'eliminació de soroll mitjançant variació total anisòtropa es pot fer servir per calcular conjunts de Cheeger en mètriques anisòtropes. Aquests conjunts de Cheeger anisòtrops es poden utilitzar per trobar òptims globals d'alguns funcionals per completar vores. També estan relacionats amb certs invariants afins que s'utilitzen en reconeixement d'objectes, i en la tesi s'explicita aquesta relació. / This thesis proposes a tree data structure to encode the connected components of level sets of 3D images. This data structure is applied as a main tool in several proposed applications: 3D morphological operators, medical image visualization, analysis of color histograms, object tracking in videos and edge detection. Motivated by the problem of edge linking, the thesis contains also an study of anisotropic total variation denoising as a tool for computing anisotropic Cheeger sets. These anisotropic Cheeger sets can be used to find global optima of a class of edge linking functionals. They are also related to some affine invariant descriptors which are used in object recognition, and this relationship is laid out explicitly.

Nesta tese estudamos os sistemas integráveis definidos em superfícies compactas possuindo uma integral primeira que é uma função Morse-Bott a valores em R. Estes sistemas são aqui chamados de sistemas integráveis Morse-Bott. Classificamos as curvas fechadas e oitos associados a pontos de selas imersos em superfícies compactas. Essa classificação é aplicada ao estudo das folheações Morse-Bott em superfícies e nos permite definir um invariante topológico completo para a classificação topológica global destas folheações. Como uma aplicação desse estudo obtemos a classificação dos sistemas Morse-Bott assim como a classificação topológica das funções Morse-Bott em superfícies compactas e orientáveis. Demonstramos ainda um teorema da realização baseado em duas transformações e numa folheação geradora. Para o caso das funções Morse-Bott também obtivemos um teorema de realização. Finalmente, investigamos a generalização de alguns dos resultados anteriores para sistemas definidos em superfícies não orientáveis. / In this thesis we study integrable systems on compact surfaces with a first integral as a Morse-Bott function with target R. These systems are called here integrable Morse-Bott systems. Initially we present the classification of closed curves and eights associated to saddle points on compact surfaces. This classification is applied to the study of Morse- Bott foliations on surfaces allowing us to define a complete topological invariant for the global topological classification of these foliations. Then as an application of this study we obtain the classification of integrable Morse-Bott systems as well as the topological classification of Morse-Bott functions on compact and orientable surfaces. We also prove a realization theorem based on two transformation and a generating foliation (the foliation on the sphere with two centers). In the case of Morse-Bott functions we also obtain a realization theorem. Finally we investigate generalizations of previous results for systems defined on non-orientable surfaces.

In der Archäologie besteht das Problem, dass es für die Beschreibung von Objekteigenschaften keine einheitliche Begriffsbasis gibt. Nicht nur bei der Klassifikation von Gefäßen, aber besonders dort kommt es dann zu Schwierigkeiten, denn neben der Subjektivität der Wortwahl existiert auch eine internationale Sprachbarriere. Somit werden Forderungen nach einer mathematisch-algorithmisch orientierten Merkmalsbeschreibung laut. Damit ginge langfristig nicht nur die Etablierung weltweit einheitlicher Typologien einher, sondern auch die Möglichkeit einer computergestützten automatischen Klassifikation. Die Diplomarbeit behandelt im ersten Teil die Segmentierung archäologischer Gefäße. Diese ist notwendig, um die Analyse sekundärer Gefäßmerkmale vollautomatisch und unabhängig vom Gefäßrumpf durchführen zu können. Weil sich dabei topologische, skelettbasierte und krümmungsbasierte Verfahren aus verschiedenen Gründen als ungeeignet herausstellten, wurde ein neuer Segmentierungsansatz über die Rotation einer adaptiven Profillinie entwickelt. Dieser leistet eine schnelle, robuste, vor allem aber genaue Trennung asymmetrischer Teile vom Gefäßrumpf. Im zweiten Teil werden die aus der Segmentierung gewonnenen Informationen über sekundäre und ggf. auch tertiäre Gefäßmerkmale zusammen mit den primären Attributen wie äußere Form und globale geometrische Maße in das Klassifikationssystem integriert. Aufgrund der im Klassifikationsprozess immanenten Hierarchie ist es zweckmäßiger, einen spezifischen mehrstufigen Ansatz gegenüber einstufigen oder globalen Shape-Matching-Ansätzen vorzuziehen. Darüber hinaus werden Vergleichsmetriken und ein Attributgraph vorgestellt sowie Vorschläge zur Segmentinterpretation gemacht.

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Magnetic Resonance Imaging, Computed Tomography, and other image modalities are routinely used to visualize a particular structure in the patient's body. The classification of the image region corresponding to this structure is called segmentation. For applications in Neuroscience, it is important for the segmentation of a brain scan to represent the boundary of the brain as a folded surface with no holes. However the segmentation of the brain generally exhibits many erroneous holes. Consequently we have developed an algorithm for automatically correcting holes in segmented medical scans while preserving the accuracy of the segmentation. Upon concepts of Discrete Topology, we remove the holes based on the smallest modification to the image. First we detect each hole with a front propagation and a Reeb graph. Then we search for a number of loops around the hole on the isosurface of the image. Finally we correct the hole in the image using the loop that minimizes the modification to the image. At each step we limit the size of the data in memory. With these contributions our algorithm removes every hole in the image with high accuracy and low complexity even for images too large to fit into the main memory. To help doctors and scientists to obtain segmentations without holes, we have made our software publicly available at http://www.OpenTopology.org. / Les images par Résonance Magnétique, la Tomographie par Rayons X et les autres modalités d'imagerie médicale sont utilisées quotidiennement pour visualiser une structure particulière dans le corps du patient. La classification de la région de l'image qui correspond à cette structure s'appelle la segmentation. Pour des applications en Neuroscience, il est important que la segmentation d'une image du cerveau représente la surface extérieure du cerveau comme une surface pliée sans trous. Cependant la segmentation du cerveau présente généralement de nombreux trous. Par conséquent, nous avons développé un algorithme pour corriger automatiquement les trous dans les images médicales segmentées tout en préservant la précision de la segmentation. Sur des concepts de Topologie Discrète, nous enlevons les trous en fonction de la plus petite modification apportée à l'image. D'abord nous détectons chaque trou avec un certain nombre de boucles autour du trou sur l'isosurface de l'image. Finalement nous corrigeons le trou dans l'image en utilisant la boucle qui minimise la modification de l'image. A chaque étape, nous limitons la taille des données en mémoire. Grâce à ces contributions notre algorithme enlève tous les trous dans l'image avec une grande précision et une faible complexité même pour des images trop grandes pour tenir dans la mémoire de l'ordinateur. Pour aider les médecins et les chercheurs à obtenir des segmentations sans trous, nous avons rendu notre logiciel disponible publiquement à http://www.OpenTopology.org.

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