La première partie de la thèse est consacrée au problème de l'inversion d'opérateurs dynamiques de convolution formulé en termes de symboles diffusifs. Après avoir introduit un cadre algébrique adapté, on établit plusieurs résultats garantissant la résolubilité concrète du problème de l'inversion opératorielle, en fait mal posé au sens de Hadamard, mais régularisable. La continuité de l'opération d'inversion est en particulier obtenue pour un mode de convergence convenablement affaibli. Diverses méthodes d'inversion numérique sont ensuite proposées et testées sur quelques exemples. Dans la seconde partie, divers problèmes dynamiques sont abordés de façon originale au moyen des outils développés dans la première partie. Plus particulièrement, plusieurs techniques d'identification de modèles de Volterra basées sur la paramétrisation de l'opérateur dynamique via son symbole diffusif, sont proposées et étudiées sur la base d'exemples numériques non triviaux.

Ce travail s'inscrit dans une thématique de recherche sur l'étude des opérateurs pseudo-différentiels sous représentations diffusives ; l'intégration fractionnaire est un exemple devenu classique d'opérateurs diffusifs.<br />Le première partie consiste en la mise en place des représentations diffusives à temps discret. Certains filtres non-relationnels, notamment les différences frationnaires, sont une agrégation continue de dynamiques purement amorties. Les représentations diffusives s'appliquent à toutes les discrétisations de l'intégration fractionnaire y compris celles pour lesquelles la fonction de transfert n'est pas connue analytiquement. Les filtres diffusifs peuvent être réalisés par un système de dimension infinie. Cette structure est un cadre adapté à l'approximation par un filtre relationnel, à l'analyse asymptotique aux temps longs et à l'élaboration d'un critère de dissipativité.<br />La deuxième partie consiste à appliquer ces outils pour l'étude des couplages formés de filtres diffusifs et de filtres rationnels positifs. L'application d'un critère de Nyquist prouve la stabilité énergétique. Ces couplages sont en fait la somme d'une partie entière et d'une partie diffusive, ce résultat de décomposition montre que certains couplages sont stables EBSB (entrée-bornée, sortie-bornée). La dissipativité de la réalisation diffusive ainsi que le lemme de Kalman-Yacubovich-Popov montrent notamment la stabilité interne de ces couplages ; une démonstration originale du caractère asymptotique de la stabilité interne est ainsi proposée. Les approches utilisées pour prouver ces stabiblités permettent une analyse asymptotique aux temps longs.

Les études menées permettent d’étendre la méthodologie de commande H∞ aux modèles décrits par des équations différentielles faisant intervenir des ordres de dérivation non entiers. Deux approches sont proposées. La première consiste à réécrire le modèle non entier comme un modèle entier incertain afin de pouvoir utiliser les méthodes de commande H∞ développées pour les modèles entiers. La seconde approche consiste à développer des conditions LMI spécifiques aux modèles non entiers à partir de leur pseudo représentation d’état. Ces deux approches sont appliquées à l’isolation vibratoire d’un pont. / The general theme of the work enables to extend H∞ control methodology to fractional order models. Two approaches are proposed. The first one consists in rewriting the fractional order model as an uncertain integer order model in order to use existing H∞ control methods for integer order models. The second approach consists in developing specific LMI conditions for fractional order models based on their pseudo state space representation. These two approaches are applied to the vibratory isolation of a bridge.