Hacemos una breve introducción al origen y a algunos resultados, métodos y problemas abiertos conectados a la Hipótesis de Riemann

Apresentamos uma prova elementar dos teoremas de De Rham e de Hodge. Como aplicação, provamos que a dimensão do espaço das formas diferenciais de 1ª espécie, numa superfície de Riemann compacta, éo genus da superfície. / An elementary proof of thc theorems of De Rham and Hodge is presented. As an application, we also prove that the dimension of the space of the first kind differential fonns, on a compact Riemann surface, is the genus of the surface.

O intuito deste trabalho é fazer uma análise sobre o processo de integração de funções. Existem muitas generalizações do conceito de integração abordado inicialmente por meio da integral de Riemann, como por exemplo, a integral de Riemann-Stieltjes, Lebesgue, Henstock-Kurzweil entre outras. Abordaremos especialmente a integral de Riemann-Stieltjes, e mostraremos a limitação da integral de Riemann no estudo de convergência de funções, indicando a necessidade de se generalizar o processo de integração. Faremos uma aplicação da integral de Riemann-Stieltjes no estudo de variáveis aleatórias e apresentamos uma proposta de abordagem, para a sala de aula, sobre o deslocamento e distância percorrida por um objeto em movimento retilíneo uniforme associado a área. / The aim of this work is analizing the process of integration of functions. There are many generalizations of the integration concept originally addressed by Riemann integral such as the Riemann-Stieltjes integral, Lebesgue integral, Henstock-Kurzweil integral, among others. We will be specially concerned with the integral of Riemann-Stieltjes and we will show the limitations of Riemann integral about convergence of functions, leading to the need to generalize the integration process. We will apply Riemann-Stieltjes integral for the study of random variables and present an approach to the classroom, on the displacement and distance traveled by an object in uniform rectilinear motion associated to concept of area.

The principal purpose of this paper is to develop the properties of Riemann-Stieljes Integrals. Consequently, a knowledge of the terminology and theory of point sets and functions of real variables shall be assumed.

Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias con mención en Matemáticas / El espacio de moduli Mg es el espacio de clases de equivalencias conformales de superficies de Riemann de un género fijo g ≥ 1. El espacio Mg tiene una estratificación equisimétrica en que cada estrato consiste de las superficies de Riemann con un grupo de automorfismos que actúa de una manera topológica determinada. Usando grupos Fuchsianos y un algoritmo programado en SAGE, describiremos la estratificación equisimétrica para el espacio de moduli de superficies de Riemann de género 4, (recuperando así resultados de [3]) y la geometría de los estratos en M9 correspondientes a la acción de Z8 con signatura (0;8,8,4,4,4).

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A closed Riemann surface which can be realized as a 3-sheeted covering of the Riemann sphere is called trigonal, and such a covering is called a trigonal morphism. Accola showed that the trigonal morphism is unique for Riemann surfaces of genus g ≥ 5. This thesis characterizes the cyclic trigonal Riemann surfaces of genus 4 with non-unique trigonal morphism using the automorphism groups of the surfaces. The thesis shows that Accola’s bound is sharp with the existence of a uniparametric family of cyclic trigonal Riemann surfaces of genus 4 having several trigonal morphisms. The structure of the moduli space of trigonal Riemann surfaces of genus 4 is also characterized. Finally, by using the same technique as in the case of cyclic trigonal Riemann surfaces of genus 4, we are able to deal with p-gonal Riemann surfaces and show that Accola’s bound is sharp for p-gonal Riemann surfaces. Furthermore, we study families of p-gonal Riemann surfaces of genus (p − 1)2 with two p-gonal morphisms, and describe the structure of their moduli space.

A presente pesquisa tem por objetivos identificar as contribuições: 1) da Teoria de Registros de Representação Semiótica, aliada à Teoria das Situações Didáticas, para a conceitualização da Integral de Riemann para funções de uma variável real (chamada de Integral Definida, ao longo do texto); 2) da utilização dos Mapas Conceituais para acompanhar o desenvolvimento da conceitualização da Integral Definida. É uma pesquisa qualitativa, de natureza exploratória, que tem a Engenharia Didática como metodologia de pesquisa. Os pressupostos teóricos estão alicerçados às Teorias das Situações Didáticas e à Teoria de Registro de Representação Semiótica. Os Mapas Conceituais foram usados como instrumento didático de acompanhamento. Após pesquisa bibliográfica, foi elaborada e aplicada uma sequência didática por meio de minicurso, em um grupo de treze alunos de 1º a 3º períodos dos cursos de Engenharia Civil, de Engenharia Ambiental, Engenharia de Produção e Licenciatura em Química. Na sequência didática, aplicada no período de 06 a 15 de agosto de 2012, foi solicitada, em cinco momentos, a elaboração e/ou alteração de um Mapa Conceitual, no software Cmap Tools, envolvendo os conteúdos das atividades. Os softwares Geogebra e wxMaxima foram usados como recursos didáticos na resolução das atividades propostas. Foi observado que a discussão em grupo e a exploração computacional trazem importantes contribuições para a aprendizagem dos conceitos. Além disso, pode-se inferir que a análise dos Mapas Conceituais elaborados pelos alunos, permite, ao professor, conhecer os aspectos que devem ser reforçados para que a compreensão do conteúdo integral definida seja amplificada, identificar possíveis obstáculos didáticos e confrontar conceitos-chave de docentes e discentes. Observou-se, ainda, que, as atividades planejadas a fim de proporcionar autonomia e ação pelo aluno, baseadas nos diferentes registros de representação semiótica, tornam-se mais propícias à atribuição de significação ao conteúdo ensinado. / The purposes of the present research are to identify the contributions of: 1) the theory of Semiotic Representation Registers, allied to theory of Didactic Situations, to the construction of the concept of Riemann‘s Integral for functions of a real variable (named as Definite Integral along the text); 2) the use of Concept Maps in order to notice the development of conceptualization of Definite Integral. It is a qualitative research, of exploratory nature, which has adopted the Didactical Engineering as research methodology. The theoretical support is based on Theories of Didactic Situations and Theory of Semiotic Representation Registers. For monitoring, the Concept Maps were used as didactic instruments. After literature review, it was developed and applied a didactic sequence, through a mini course for thirteen students of 1st to 3rd grade levels of Civil Engineering, Environmental Engineering, Production Engineering and License in Chemistry. During the didactic sequence applied from 6th to 15th of August of 2012, on five occasions, it was required the production and/or alteration of a Concept Map, in the software Cmap Tools, involving the contents of the activities. The softwares Geogebra and wxMaxima were used as didactic resources for solving the respective activities. It was observed that group discussion and computational exploration can bring about important contributions for the concepts learning. Furthermore, the analysis of the Concept Maps produced by students, allows the teacher to recognize features that should be strengthened to improve the understanding of Definite Integral content. It also allows to identify possible didactic difficulties, and to confront key-concepts of teachers and students. It was noticed that, activities planned in order to provide autonomy and attitude in the students, based on different registers of semiotic representation, are more likely to provide meanings to the taught contents.

A presente pesquisa tem por objetivos identificar as contribuições: 1) da Teoria de Registros de Representação Semiótica, aliada à Teoria das Situações Didáticas, para a conceitualização da Integral de Riemann para funções de uma variável real (chamada de Integral Definida, ao longo do texto); 2) da utilização dos Mapas Conceituais para acompanhar o desenvolvimento da conceitualização da Integral Definida. É uma pesquisa qualitativa, de natureza exploratória, que tem a Engenharia Didática como metodologia de pesquisa. Os pressupostos teóricos estão alicerçados às Teorias das Situações Didáticas e à Teoria de Registro de Representação Semiótica. Os Mapas Conceituais foram usados como instrumento didático de acompanhamento. Após pesquisa bibliográfica, foi elaborada e aplicada uma sequência didática por meio de minicurso, em um grupo de treze alunos de 1º a 3º períodos dos cursos de Engenharia Civil, de Engenharia Ambiental, Engenharia de Produção e Licenciatura em Química. Na sequência didática, aplicada no período de 06 a 15 de agosto de 2012, foi solicitada, em cinco momentos, a elaboração e/ou alteração de um Mapa Conceitual, no software Cmap Tools, envolvendo os conteúdos das atividades. Os softwares Geogebra e wxMaxima foram usados como recursos didáticos na resolução das atividades propostas. Foi observado que a discussão em grupo e a exploração computacional trazem importantes contribuições para a aprendizagem dos conceitos. Além disso, pode-se inferir que a análise dos Mapas Conceituais elaborados pelos alunos, permite, ao professor, conhecer os aspectos que devem ser reforçados para que a compreensão do conteúdo integral definida seja amplificada, identificar possíveis obstáculos didáticos e confrontar conceitos-chave de docentes e discentes. Observou-se, ainda, que, as atividades planejadas a fim de proporcionar autonomia e ação pelo aluno, baseadas nos diferentes registros de representação semiótica, tornam-se mais propícias à atribuição de significação ao conteúdo ensinado. / The purposes of the present research are to identify the contributions of: 1) the theory of Semiotic Representation Registers, allied to theory of Didactic Situations, to the construction of the concept of Riemann‘s Integral for functions of a real variable (named as Definite Integral along the text); 2) the use of Concept Maps in order to notice the development of conceptualization of Definite Integral. It is a qualitative research, of exploratory nature, which has adopted the Didactical Engineering as research methodology. The theoretical support is based on Theories of Didactic Situations and Theory of Semiotic Representation Registers. For monitoring, the Concept Maps were used as didactic instruments. After literature review, it was developed and applied a didactic sequence, through a mini course for thirteen students of 1st to 3rd grade levels of Civil Engineering, Environmental Engineering, Production Engineering and License in Chemistry. During the didactic sequence applied from 6th to 15th of August of 2012, on five occasions, it was required the production and/or alteration of a Concept Map, in the software Cmap Tools, involving the contents of the activities. The softwares Geogebra and wxMaxima were used as didactic resources for solving the respective activities. It was observed that group discussion and computational exploration can bring about important contributions for the concepts learning. Furthermore, the analysis of the Concept Maps produced by students, allows the teacher to recognize features that should be strengthened to improve the understanding of Definite Integral content. It also allows to identify possible didactic difficulties, and to confront key-concepts of teachers and students. It was noticed that, activities planned in order to provide autonomy and attitude in the students, based on different registers of semiotic representation, are more likely to provide meanings to the taught contents.