On s'intéresse dans ce travail au théorème de Grothendieck-Riemann-Roch. Grothendieck et son école en ont démontré une forme très générale dans les années 60 tout en conjecturant l'existence d'une forme encore plus générale. Nous posons une conjecture intermédiaire entre les résultats connus et les conjectures les plus générales de Grothendieck, puis nous la démontrons dans deux cas particuliers. Plus précisément on conjecture que le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch est vrai pour un morphisme propre localement d'intersection complète entre deux schémas divisoriels d'égale caractéristique. On démontre des cas particuliers de cette conjecture, dans le cas de la caractéristique positive d'une part, dans le cas où les schémas sont supposés réguliers et tels que le polynôme $T^k-1$ y ait $k$ racines distinctes d'autre part. Le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch étant équivalent au théorème d'Adams-Riemann-Roch modulo torsion, on démontre des résultats de type Adams-Riemann-Roch pour en déduire des résultats de type Grothendieck-Riemann-Roch.

Neste trabalho, introduzimos a função zeta de Riemann \'ZETA\'(s), para s \'PERTENCE\' C \\ e apresentamos muito do que é conhecido como justificativa para a hipótese de Riemann. A importância de \'ZETA\' (s) para a teoria analítica dos números é enfatizada e fornecemos uma prova conhecida do Teorema dos Números Primos. No final, discutimos a importância de \'ZETA\'(s) para alguns modelos físicos de interesse e concluimos descrevendo como a hipótese de Riemann pode ser acessada estudando estes sistemas / In this work, we introduce the Riemann zeta function \'ZETA\'(s), s \'IT BELONGS\' C \\ and present much of what is known to support the Riemann hypothesis. The importance of \'ZETA\'(s) to the Analytic number theory is emphasized and a proof for the Prime Number Theorem is reviewed. In the end, we report on the importance of \'ZETA\'(s) to some relevant physical models and conclude by describing how the Riemann Hypothesis can be accessed by studying these systems

Neste trabalho, introduzimos a função zeta de Riemann \'ZETA\'(s), para s \'PERTENCE\' C \\ e apresentamos muito do que é conhecido como justificativa para a hipótese de Riemann. A importância de \'ZETA\' (s) para a teoria analítica dos números é enfatizada e fornecemos uma prova conhecida do Teorema dos Números Primos. No final, discutimos a importância de \'ZETA\'(s) para alguns modelos físicos de interesse e concluimos descrevendo como a hipótese de Riemann pode ser acessada estudando estes sistemas / In this work, we introduce the Riemann zeta function \'ZETA\'(s), s \'IT BELONGS\' C \\ and present much of what is known to support the Riemann hypothesis. The importance of \'ZETA\'(s) to the Analytic number theory is emphasized and a proof for the Prime Number Theorem is reviewed. In the end, we report on the importance of \'ZETA\'(s) to some relevant physical models and conclude by describing how the Riemann Hypothesis can be accessed by studying these systems

Begalinio indekso kraštinio Rymano uždavinio įvairūs atvejai pateikti knygoje [1], kuria remsimės šiame darbe. Bakalauro darbe apibendrinimas šioje knygoje išnagrinėtas laipsninės eilės begalinio indekso kraštinis Rymano uždavinys, kai srities D kontūras yra Liapunovo kontūras. / Infinite index of extremity of the Riemann different situations in the book [1], which we base this work. Bachelor's summary of this book dealt with the infinite type power series index Marginal Riemann problem, where the field is Liapunovo D contour shape.

Monopoles are solutions of an SU(2) gauge theory in R3 satisfying a lower bound for energy and certain asymptotic conditions, which translate as topological properties encoded in their charge. Using methods from integrable systems, monopoles can be described in algebraic-geometric terms via their spectral curve, i.e. an algebraic curve, given as a polynomial P in two complex variables, satisfying certain constraints. In this thesis we focus on the Ercolani-Sinha formulation, where the coefficients of P have to satisfy the Ercolani-Sinha constraints, given as relations amongst periods. In this thesis a particular class of such monopoles is studied, namely charge 3 monopoles with a symmetry by C3, the cyclic group of order 3. This class of cyclic 3-monopoles is described by the genus 4 spectral curve X , subject to the Ercolani-Sinha constraints: the aim of the present work is to establish the existence of such monopoles, which translates into solving the Ercolani-Sinha constraints for X . Exploiting the symmetry of the system,we manage to recast the problem entirely in terms of a genus 2 hyperelliptic curve X, the (unbranched) quotient of X by C3 . A crucial step to this aim involves finding a basis forH1( X; Z), with particular symmetry properties according to a theorem of Fay. This gives a simple formfor the period matrix of X ; moreover, results by Fay and Accola are used to reduce the Ercolani-Sinha constraints to hyperelliptic ones on X. We solve these constraints onX numerically, by iteration using the tetrahedral monopole solution as starting point in the moduli space. We use the Arithmetic-GeometricMean method to find the periods onX: this method iswell understood for a genus 2 curve with real branchpoints; in this work we propose an extension to the situation where the branchpoints appear in complex conjugate pairs, which is the case for X. We are hence able to establish the existence of a curve of solutions corresponding to cyclic 3-monopoles.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

The problem with which this paper is concerned is that of defining the Riemann-Complete Integral and comparing it with the Riemann and the Lebesgue Integrals.

Provided in this thesis is the definition of Riemann Stieltjes Integration and properties of this integral. The Riemann Stieltjes Integral is compared with the Riemann Integral. Also, applications and limitations of the Riemann Stieltjes Integral are given.

Cette thèse est consacrée à l’étude de la répartition des coefficients de fonctions L automorphes de GL(m) avec m = 2. D’une part, nous avons traité le premier changement de signes de ces coefficients, i.e. des problèmes de type Linnik, et obtenu des majorations du type polynômial. D’autre part, nous avons étudié les sommes longues et courtes des coefficients de fonctions L de GL(m) sur les nombres premiers pour tester leur décompensation, respectivement. / In the thesis we have studied the distribution of the coefficients of automorphic L-functions for GL(m) with m = 2. On the one hand, we have treated the first sign change of these coefficients, i.e. the Linnik-type problems, and obtained the polynomial-type estimates. On the other hand, we studied the long and short summations of coefficients of L-functions for GL(m) on the prime numbers to test their decompensation, respectively.

Resumen Este trabajo se describe una parte importante de los descubrimientos obtenidos durante el siglo XX, es una introducción a la teoría de variedades complejas y sus deformaciones. Intuitivamente la deformación de una variedad compleja compacta M, compuesta de un número finito de cartas coordenadas, viene dada por el desplazamiento de estas cartas. Definimos M= {Mt : t ∈ B} y ̟ :M→ B de manera que el desplazamiento del cual hablo se llevará a cabo a través de la aplicación KSt que va del espacio tangente de una variedad compleja B, denominado espacio base de una familia diferenciable de variedades complejas compactas (M,B,̟), al primer grupo de cohomología de Mt, es decir KSt : Tt(B) → H1(Mt,_t), donde _ es el haz de gérmenes de campos vectoriales holomorfos sobre Mt, a ésta aplicación se le llama La Aplicación Infinitesimal Kodaira-Spencer, que nos permitirá medir las variaciones de primer orden de la estructura compleja. En consecuencia, dada (M,B,̟) una familia analítica compleja de variedades complejas compactas, se tiene que las deformaciones infinitesimales _ = dMt/dt de Mt = ̟−1(t) son ciertos elementos de H1(Mt,_t). Por otro lado, dada una variedad compleja compacta M, si (M,B,̟) con 0 ⊂ B ⊂ C es una familia analítica compleja tal que M = ̟−1(_ 0). ¿Podemos decir que dMt/dt _ t ∈ H1(M,_) es una deformación infinitesimal de M? Pues no está claro que cada θ deba surgir de ésta manera. Resulta que si θ surgiese así, entonces tiene que cumplir con ciertas condiciones adicionales. Si existen clases de cohomología θ que no cumplan las condiciones dicionales, entonces θ no son deformaciones infinitesimales de M, si no, son llamados Obstrucciones a la deformación de M. Esta teoría de la obstrucción, garantiza la existencia de una familia analítica compleja para cualquier H1(M,_). Finalmente, hablaremos sobre el Número de Moduli, m(M), que viene a ser el número de parámetros efectivos de la familia analítica compleja (M,B,̟) con M = ̟−1(0), que contiene todas las deformaciones suficientemente pequeñas para M y nos da a conocer cuántas de éstas estructuras o deformaciones son iguales y diferentes. / Tesis