In this work we present a proof that the Hilbert s Tenth Problem is unsolvable. This problem is to give a computing algorithm which will tell of a given polynomial Diophantine equation with integer coefficients whether or not it has a solution in integers. We start developing some topics of basic number theory, that will be useful at some time. In this part we prove only main results. After that, we study Diophantine equation as well as Diophantine functions. Then, we prove a serie of lemas that will be useful to proof that the exponential function is Diophantine. From there, we define the concept of recursive function and prove that a function is Diophantine if and only if it is recursive. Finally we prove the Universality Theorem. We use this last theorem to proof that the Hilbert s Problem is unsolvable. / Neste trabalho apresentamos uma demonstração da insolubilidade do Décimo Problema de Hilbert, que investiga a existência de um método para determinar se dada uma equação Diofantina qualquer podemos determinar se esta tem ou não uma solução. Começamos desenvolvendo alguns tópicos de teoria de números, que serão úteis em vários momentos, nesta parte demonstramos apenas os resultados principais. Em um segundo momento, passamos ao estudo das equações Diofantinas bem como das funções Diofantinas, que permeiam nossos resultados. Em seguida, demonstramos uma série de lemas que servem de base para mostrarmos que a função exponencial é Diofantina. A partir daı, passamos a definição do importante conceito de função recursiva e então demonstramos que uma função ser recursiva é equivalente a ser Diofantina. Finalmente, demonstramos o Teorema da Universalidade que servirá de base para a demonstração o da insolubilidade do Décimo Problema de Hilbert. / Mestre em Matemática

[pt] Estudamos as noções básicas da Teoria das Matrizes Aleatórias e em particular discutimos o Emsemble Unitário Gaussiano. A continuação descrevemos o gaz de Dyson em equilíbrio e fora do equilíbrio que permite interpretar a informação estatística dos autovalores das matrizes aleatórias. Além desso mostramos descrições alternativas dessa informação estatística. Em seguida discutimos aspectos diferentes dos polinômios ortogonais. Uma dessas caracterizações é dada pelos problemas de Riemann-Hilbert. As técnicas dos problemas de Riemann-Hilbert são uma ferramenta eficaz e potente na Teoria das Matrizes Aleatórias a qual discutimos com mais cuidado. Finalmente usamos o método de máxima gradiente na análise assintótico dos polinômios ortogonais. / [en] We review the basic notions of the Random Matrix Theory and in particular the Gaussian Unitary Ensemble. In what follows we describe the Dyson gas in equilibrium and nonequilibrium that allows one to interpret the statistical information of the eigenvalues of random matrices. Furthermore we show alternative descriptions of this statistical information. In the following we discuss different aspects of orthogonal polynomials. One of these caracterizations is given by a Riemann Hilbert problem. Riemann Hilbert problem techniques are an efficient and powerfull tool for Random Matrix Theory which we discuss in more detail. In the final part we use the steepest descent method in the asymptotic analysis of orthogonal polynomials.

Indiana University-Purdue University Indianapolis (IUPUI) / In this work we use and develop Riemann-Hilbert techniques to study the asymptotic behavior of structured determinants. In chapter one we will review the main underlying definitions and ideas which will be extensively used throughout the thesis. Chapter two is devoted to the asymptotic analysis of Hankel determinants with Laguerre-type and Jacobi-type potentials with Fisher-Hartwig singularities. In chapter three we will propose a Riemann-Hilbert problem for Toeplitz+Hankel determinants. We will then analyze this Riemann-Hilbert problem for a certain family of Toeplitz and Hankel symbols. In Chapter four we will study the asymptotics of a certain bordered-Toeplitz determinant which is related to the next-to-diagonal correlations of the anisotropic Ising model. The analysis is based upon relating the bordered-Toeplitz determinant to the solution of the Riemann-Hilbert problem associated to pure Toeplitz determinants. Finally in chapter ve we will study the emptiness formation probability in the XXZ-spin 1/2 Heisenberg chain, or equivalently, the asymptotic analysis of the associated Fredholm determinant.

Cette thèse s'intéresse à la classification géométrique, locale et globale, des équations aux q-différences. Dans un premier temps nous réalisons une étude globale de certains systèmes dérivés des équations de q-Painlevé et introduits par Murata, en proposant une correspondance de Riemann-Hilbert-Birkhoff entre de tels systèmes et leurs matrices de connexion. Dans un second temps nous nous intéressons à la classification locale, en construisant un fibré vectoriel équivariant sur l'espace des classes formelles à deux pentes dont la fibre au dessus d'une classe formelle est l'espace de ses classes analytiques isoformelles. Ceci fait, voyant que l'action du groupe des automorphismes du gradué s'impose naturellement dans l'étude de ce fibré, nous nous intéressons à l'espace des classes analytiques, soit des classes analytiques isoformelles modulo cette action, dont nous proposons dans un cas restreint une première approche de classification via l'utilisation de variétés toriques. Dans un troisième temps nous construisons, via des transformations de q-Borel et de q-Laplace, des q-Stokes, soit des solutions méromorphes de systèmes, dans le cadre des systèmes à deux pentes dont une non entière et une nulle. / This thesis falls within the context of global and local geometric classification of q-difference equations. In a first part we study the global behaviour of some systems derived from q-Painlevé equations and introduced by Murata. We do so by constructing a Riemann-Hilbert-Birkhoff correspondence between such systems and their connexion matrices. In a second part we work on local classification by providing a construction of an equivariant vector bundle over the space of all formal classes with two slopes, the fibre over a formal class being the space of its isoformal analytic classes. As the action of the group of automorphisms of the graded module arises naturally when we study this bundle, we take an interest in the study of the space of analytic classes, which is the space of isoformal analytic classes modulo this action. We propose a first approach of such a classification by using toric varieties. In a third part we construct q-Stokes, i.e. meromorphic solutions of systems, in the context of systems with one non-integral slope and one equal to zero, this by using q-Borel and q-Laplace transforms.

L'équation de Weinstein á coefficients complexes est une équation régissant les Potentiels á Symétrie Axiale (PSA) qui s'écrit $L_m[u]=\Delta u+\left(m/x\right)\d_x u =0$, oú $m\in\C$. Cette équation intervient notamment pour la modélisation du bord du plasma dans un Tokamak pour $m=-1$, ou encore elle est, lorsque $m=1$, appelée équation de Ernst linéarisée (équation permettant de donner explicitement des solutions aux équations d'Einstein). Ici, on généralise des résultats connus pour $m\in \R$ au cas $m\in\C$ (on donne des expressions explicites de solutions fondamentales aux opérateurs de Weinstein et leurs estimations au voisinage des singularités, puis on démontre une formule de Green pour les PSA dans le demi-plan droit $\H^+$ pour Re $m< 1$). On prouve un nouveau théoréme de décomposition des PSA dans des domaines annulaires quelconques pour $m\in\C$ et dans une géométrie annulaire particuliére faisant intervenir les coordonnées bipolaires, on prouve toujours pour $m\in\C$ qu'une famille de solutions des PSA en termes de fonctions de Legendre Associées de premiére et seconde espéce forme une famille compléte (par une méthode de quasi-séparabilité des variables et par une analyse de Fourier) permettant d'exprimer les PSA sous forme de série et lorsque $m\in \R$, on montre que cette famille est même une base de Riesz dans certains anneaux á bord circulaire non concentrique. Dans une deuxiéme partie, par une méthode qui est due á A. S. Fokas, on donne, sous forme intégrale explicite, des formules des PSA dans un domaine circulaire du demi-plan droit $\H^+$, dans le cas oú le paramétre $m$ est un entier relatif. Ces représentations sont obtenues par la résolution d'un probléme de Riemann-Hilbert sur le plan complexe ou sur une surface de Riemann á deux feuillets selon la parité du coefficient $m$. Ces formules font intervenir de façon explicites les données Dirichlet et Neumann des PSA. On montre aussi que cette méthode s'applique á tous les domaines simlement connexe de $\H^+$ á bord régulier. Dans la derniére partie, on étudie une classe de fonctions qui englobe les PSA, ce sont les fonctions pseudo-holomorphes, {\it i. e.} les solutions de l'équation $\bar\d w=\alpha\overline{w}$. avec $\alpha\in L^r$, $2\leq r<\infty$. Un résultat qui semble être le tout premier de son genre a été obtenu, c'est une extension de la régularité du principe de similarité (décomposition des fonction pseudo-holomorphe sous la forme $e^s F$ sous certaines hypothéses de régularités et oú $F$ est une fonction holomorphe) et une réciproque de ce principe qui conduit á un paramétrage analytique de cette classe de fonctions dans le cas critique $r=2$. Puis en utilisant la connexion entre les fonctions pseudo-holomorphes et les solutions de l'équation de Beltrami conjuguée, on résoud un probléme de Dirichlet á données $L^p$ pondérées sur des domaines lisses pour des équations du type conductivité á coefficient dont le log appartient á l'espace de Sobolev $W^{1,2}$.

<div><div>In this work we use and develop Riemann-Hilbert techniques to study the asymptotic behavior of structured determinants. In chapter one we will review the main underlying</div><div>definitions and ideas which will be extensively used throughout the thesis. Chapter two is devoted to the asymptotic analysis of Hankel determinants with Laguerre-type and Jacobi-type potentials with Fisher-Hartwig singularities. In chapter three we will propose a Riemann-Hilbert problem for Toeplitz+Hankel determinants. We will then analyze this Riemann-Hilbert problem for a certain family of Toeplitz and Hankel symbols. In Chapter four we will study the asymptotics of a certain bordered-Toeplitz determinant which is related to the next-to-diagonal correlations of the anisotropic Ising model. The analysis is based upon relating the bordered-Toeplitz determinant to the solution of the Riemann-Hilbert problem associated to pure Toeplitz determinants. Finally in chapter ve we will study the emptiness formation probability in the XXZ-spin 1/2 Heisenberg chain, or equivalently, the asymptotic analysis of the associated Fredholm determinant.</div></div>

In the present work, we introduce a never before studied soliton equation called the intermediate mixed Manakov (IMM) equation. Through a pole ansatz, we prove that the equation has N-soliton solutions with pole parameters governed by the hyperbolic Calogero-Moser system. We also show that there are spatially periodic N-soliton solutions with poles obeying elliptic Calogero-Moser dynamics. A Lax pair is given in the form of a Riemann-Hilbert problem on a cylinder. A similar Lax pair is shown to imply a novel spin generalization of the intermediate nonlinear Schrödinger equation. Some conservation laws for the IMM are proven. We demonstrate that the IMM can be written as a Hamiltonian system, with one of these conserved quantities as the Hamiltonian. Finally, a physical interpretation is given by showing that the IMM can be rewritten to describe a system of two nonlocally coupled fluids, with nonlinear self-interactions. / Vi presenterar en aldrig tidigare studerad solitonekvation som vi döper till ‘the intermediate mixed Manakov equation’ (ungefär ‘den mellanliggande kopplade Manakovekvationen’. Kortform: IMM). Genom en polansats bevisar vi att ekvationen har N-solitonlösningar där polparametrarna utgör ett hyperboliskt Calogero-Mosersystem. Vi visar också att det finns rumsligt periodiska N-solitonlösningar vars poler följer elliptisk Calogero-Moserdynamik. Ett Laxpar ges i form av ett Riemann-Hilbertproblem på en cylinder. Vi demonstrerar att ett liknande Laxpar leder till en ny spinngeneralisering av den s.k. INLS-ekvationen. Några bevarandelagar för IMM bevisas. Vi visar att IMM-ekvationen kan skrivas som ett Hamiltonskt system, där Hamiltonianen är en av våra tidigare bevarade storheter. Till sist ger vi en fysikalisk tolkning av vår ekvation genom att demonstrera hur den beskriver ett system av ickelokalt interagerande vätskor, med ickelinjära självinteraktioner.