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Projeto de um robô cartesiano com acionamento pneumático

Oliveira, Marcelo Frasson de January 2007 (has links)
A grande maioria dos robôs industriais disponíveis no mercado é de alto desempenho, principalmente com relação à precisão de posicionamento. Este aspecto é um dos fatores que mais influencia no seu preço final, levando em consideração toda a complexa cadeia de elementos que fazem com que o robô opere corretamente, desde os motores e componentes mecânicos, passando pela arquitetura e sistemas de controle até o sistema de programação. Tendo isto em vista, este trabalho visa projetar um robô industrial com preço mais acessível, adequado para o uso em processos industriais que não necessitem altos níveis de precisão. Para a redução de custos de fabricação e de componentes do robô, este trabalho viabiliza o uso de atuadores pneumáticos lineares como fonte motriz, pois os mesmos são relativamente baratos, leves, não poluentes, de fácil montagem e operação, além de apresentarem uma boa relação peso/potência. Para tanto, foi implementado uma estratégia de controle por modos deslizantes com objetivo de superar as dificuldades impostas pelo comportamento não-linear dos componentes pneumáticos. Com relação à redução de custos de programação e operação do robô, desenvolveu-se um ambiente de programação off-line, através de softwares de auxilio à manufatura e de engenharia usualmente encontrados em ambientes industriais. A estratégia fundamental neste trabalho, foi o desenvolvimento de uma metodologia de projeto própria, concebida especificamente para a aplicação em projetos de robôs industriais, com os atributos de facilidade de execução e modularidade das fases envolvidas. A qual, no presente trabalho, apresenta o desenvolvimento de um robô cartesiano com três graus de liberdade acionado por atuadores pneumáticos lineares. / The great majority of industrial robots available in the market have high performance, especially relative to position accuracy. This aspect is one of the factors that most influence its final price, taking into account all complicated web elements that makes the robot operates in the correct form, since the actuators and the constructive part, passing by the architecture and control systems until the system of programming. According to these, the present work aims to project an industrial robot with more accessible costs, adequate to use in industrial process that not require high level of accuracy. For the reduction of manufacture and components costs of the robot, this work make viable to use of pneumatic actuators like a motive source, because are relatively cheap, light, not pollutants, easy assembly and operation, besides presenting a good relation weight/power. For such purpose, the strategy of control was implemented by sliding mode control for the objective to surpass the difficulties imposed by the non-linear behavior of the pneumatic components. About the reduction of programming and operation costs of the robot, an off-line programming environment was developed through manufacturing aided software and a software of engineering both usually found in industrial environments. The basic strategy in this work, was the development of an own methodology of project, conceived specifically for the application in projects of industrial robots, with the attributes of easiness of execution and modularization of the wrapped phases. That methodology, in the present work, presents the development of a Cartesian robot with three degrees of freedom actuated by pneumatic servo drive.
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A exploração de modelos e os níveis de abstração nas construções criativas com robótica educacional

Lopes, Daniel de Queiroz January 2008 (has links)
Resumo não disponível
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Estudo e controle de robôs bracejadores subatuados

Oliveira, Vinicius Menezes de January 2008 (has links)
À medida que se apresentam grandes avanços tecnológicos nas áreas de instrumentação, controle e acionamento, se torna cada vez mais difundida a utilização de sistemas robóticos para a execução dos mais variados tipos de tarefas, como na exploração de petróleo ou mesmo no transporte de cargas. Desse modo, diversas são as situações em que se torna necessário o uso de sistemas subatuados, despertando o interesse da comunidade científica, quer seja pela variadas situações em que se pode utilizar esse tipo de robô ou mesmo pelo desafio que se apresenta o desenvolvimento de estratégias de controle de tais sistemas. Nesta tese propõe-se um modelo de robô bracejador, juntamente com o desenvolvimento dos modelos matemáticos que descrevem o comportamento cinemático e dinâmico desse robô e a respectiva análise desses modelos. Além disso, o presente trabalho tem por objetivo apresentar uma estrutura de controle em malha fechada que seja capaz de fazer com que o robô se desloque ao longo de uma linha horizontal. Diferentes estratégias de controle já foram apresentadas para o controle de robôs bracejadores, mas, em sua maioria, possuem limitações quanto ao tipo de bracejamento que o robô pode executar, além de não considerarem nenhuma restrição no sistema. Dessa maneira, emprega-se a estratégia de controle preditivo, com horizonte de predição deslizante, a qual permite que, para o cálculo da lei de controle, sejam consideradas restrições às variáveis de estado e de entrada durante a solução do problema de otimização. A partir da definição do objetivo e da abordagem de controle a ser utilizada, várias simulações são realizadas com o intuito de validar a aplicação do controlador preditivo para o controle do robô bracejador, sendo o robô capaz de executar diferentes tipos de bracejamento (tanto bracejamento único quanto bracejamento contínuo, do tipo underswing e over hand) ao longo da linha de sustentação. São desenvolvidas duas versões para o controlador proposto, uma baseada em modelo não-linear da dinâmica para ser utilizado no horizonte de predição e outra considerando uma versão linearizada para o modelo da dinâmica. Os resultados obtidos pelas diferentes simulações mostram que a solução proposta para o problema de movimentar o robô bracejador atingiu seus objetivos de modo bastante eficiente, possiblitando, inclusive, a realização de simulações que atendessem a requisitos de tempo real. / As we are observing, the fast technological development in the fields of instrumentation, control and actuation are increasing the employment of robotic systems for the execution of a large variety of tasks, for example, oil exploration or load transportation. In this way, there are many situations where it is necessary to use underactuated systems, which are getting attention of the scientific community due to the different applications of underactuated robots or even due to the challenge to design control strategies for such systems. In this thesis we propose a brachiation robot model, with the derivation of mathematical models for its kinematics and dynamics and analyse such models. Moreover, the aim of this work is to propose a closed loop control architecture that will drive the robot to move along the horizontal line. Many different control schemes have already been proposed in the literature to control brachiation robots, however, most of such schemes are limited concerning the way the robot executes the brachiation movement. Moreover those control strategies are not able to deal with constraints on the state and/or control variables. Thus, we present in this thesis a control scheme based on the predictive control strategy, with receding horizon, which can take into account such constraints during the solution of the optimization problem for the control input computation. After defining the task to be executed and the control strategy to be used, we have simulated different situations of the robot aiming the validation the employment of the predictive control approach for the brachiation robot. The robot is able to execute different types of brachiation (only one cicle or continuously motion, with under-swing and over hand motion) along the supporting line. We have developed two versions to the proposed controller, the first one considering a nonlinear dynamic model during the prediction horizong and the second considering a linearized dynamic model for prediction. The results from the different simulation show that the solution presented in this work for the brachiation robot motion was successful, making the robot able to move from one position to a forwarded position in the line. Furthermore, simulations have indicated the overall system can be executed under real time requirements.
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Robótica educacional como cenário investigativo nas aulas de matemática

Maliuk, Karina Disconsi January 2009 (has links)
Neste estudo apresento minha experiência com robótica nas aulas de Matemática da EMEF José Mariano Beck, desenvolvida durante os anos de 2007 e 2008. Ofereço um panorama da robótica na sociedade atual e caracterizo os termos robô, robótica e robótica educacional utilizados nesta pesquisa. Considero o estudo da robótica pedagógica e as implicações da utilização deste recurso, principalmente na mudança de concepção do papel do professor e do aluno nas aulas de matemática. Situo este trabalho na abordagem teórico-prática proposta por Ole Skovsmose, cujos cenários para investigação são pensados em paralelo com a sala de aula tradicional. O estudo se encerra com algumas relações entre a robótica e conceitos matemáticos explorados através de atividades práticas, além do relato de algumas repercussões desta experiência desenvolvida com a robótica nas minhas aulas de matemática. Também são pensadas algumas possibilidades futuras e o leitor deste trabalho é convidado a experimentar a robótica como um possível recurso didático e a construir seu próprio roteiro de experiências. / In this study, I present my experience with robotics in mathematics lessons at EMEF Jose Mariano Beck, developed during the years of 2007 and 2008. I offer a panorama of robotics in the current society and characterize the terms robot, robotics and educational robotics used in this research. I consider the study of pedagogical robotics and the implications of the use of this resource, mainly in the change of the conception of teacher's and students' roles in mathematics lessons. I situate this work in the Ole Skovsmose's theoretical-practical proposal, whose scenes for inquiry are thought in parallel with the traditional classroom. The study ends up with some relations between robotics and mathematical concepts, explored through practical activities, along with the report of some repercussions of this experience developed with robotics in mathematics lessons. Also some future possibilities are thought and the reader of this work is invited to try robotics as a possible didactical resource and to construct his own script of experiences.
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Arquitetura aberta para controle de robôs manipuladores

Santini, Diego Caberlon January 2009 (has links)
Este documento trata da especificação de uma arquitetura aberta para controle de robôs manipuladores. A arquitetura é implementada utilizando o framework do projeto OROCOS, ambiente que já foi utilizado com sucesso em alguns sistemas de controle de robôs. Esta arquitetura é especificada para um robô manipulador genérico de N juntas, definindo componentes que abstraem o hardware dos robôs. A arquitetura é implementada com três tipos de controladores diferentes: PID independente por junta, controlador de torque calculado e controlador com feedforward. A sua validação é feita através da sua implementação em um robô real. Para isso é utilizada uma placa de acionamento, utilizando o barramento CAN devido ao seu determinismo e a sua taxa de comunicação. Também é necessário a utilização do modelo dinâmico do robô para as estratégias de controle de torque calculado e com feedforward. A obtenção de tal modelo é feita neste trabalho de forma analítica, e a seguir os parâmetros são identificados usando o sistema proposto. / This work deals with the specification of an open architecture for control of manipulator robots. The architecture is implemented by using the OROCOS framework. The architecture is specified for a generic manipulator robot with N joints, through definition of components which abstract the hardware of the robot. Three different controllers are implemented: an independent PID for each joint, a computed torque controller and a controller with feedforward. The validation is made through the implementation on the Janus robot. For this purpose, an actuator card is defined. This card uses the CAN bus due its determinism and bus rate. The dynamic model of Janus, used in computed torque and feedforward controllers, is obtained in an analytical way. After that, the parameters of this model are identified using the least squares method.
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Desenvolvimento de um robô pneumático de 5 graus de liberdade com controlador não linear com compensação de atrito

Sarmanho Junior, Carlos Arthur Carvalho January 2014 (has links)
Esta tese de doutorado trata do desenvolvimento de um robô cilíndrico com cinco graus de liberdade acionado pneumaticamente. Devido às dificuldades de controle ocasionadas pelas altas não-linearidades intrínsecas à tecnologia pneumática, relacionadas principalmente à compressibilidade do ar e ao atrito, existem poucos robôs com esse tipo de acionamento. Seu estudo justifica-se, porém, pela aplicabilidade de sistemas pneumáticos em ambientes classificados ou que necessitem de tecnologia limpa, além de possibilidades de aplicação, devido à sua alta resiliência, em atividades que exijam proximidade ou contato com seres humanos ou outros robôs. Além disso, a possibilidade de obtenção de sistemas pneumáticos a custos reduzidos pode viabilizar sua aplicação para realização de operações de manipulação de objetos de pequeno porte em ambiente fabril, principalmente em situações de insalubridade ou em casos de necessidade de realização de tarefas repetitivas. O estudo contempla a proposição e aplicação de uma técnica de controle não linear baseada na conhecida lei do Torque Calculado, largamente aplicada ao controle de robôs manipuladores, diferenciando-se da sua estrutura tradicional pelo acréscimo de um esquema para compensação explícita do atrito aplicado aos cinco subsistemas de atuação. É demonstrado através dos resultados de simulações e de experimentos realizados em um protótipo projetado e construído no âmbito do presente trabalho, que, devido às características construtivas dos atuadores, a compensação explícita do atrito é de grande importância para a obtenção de resultados adequados na tarefa de seguimento de trajetória. Os resultados da aplicação do controlador proposto, operando em regime de seguimento de uma trajetória contínua, indicam que a estratégia de controle do Torque Calculado, em conjunto com o esquema de compensação do atrito, leva o sistema a uma redução dos erros de seguimento de trajetória em posição. / This thesis presents the development of a cylindrical robot with five degrees of freedom pneumatically actuated. Because of the difficulties in control tasks caused by intrinsic high nonlinear behavior of this technology, mainly related to the air compressibility and friction, exist only few robots with this actuation technology. This study is justified by the applicability of pneumatic systems in classified rooms or environments that need clean technology that due to resilience allows the applications that require, close proximity or contact with humans or other robots. Moreover, the possibility of obtaining pneumatic systems at reduced costs can make possible its application for accomplishment of manipulation of small objects in industrial environment, especially in situations of unhealthy work or in cases that need to perform repetitive operations. This study include the proposition and application of a nonlinear control technique based of widely known law of Torque Calculated, extensively applied on control of the manipulator robots, differentiating itself from its traditional structure by the addition of an explicit scheme for friction compensation, applied to the five actuators of the robot. It is demonstrated by results of simulations and experiments on the robot prototype designed and built, as part of this work, which, due to the constructive characteristics of the actuators, the explicit compensation of friction is very important to achieve appropriate results in a task of trajectory tracking. The results of application of the proposed controller, operating under continuous trajectory tracking indicate that the control strategy of Torque Calculated together with the friction compensation scheme leads the system to a reduction of the position tracking errors.
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Desenvolvimento da base e controle do grau de liberdade rotacional de um robô cilíndrico com acionamento pneumático

Rijo, Marcos Giovane de Quevedo January 2013 (has links)
Este trabalho aborda o desenvolvimento da estrutura da base e do sistema de acionamento, transmissão e controle do 1º grau de liberdade de um robô cilíndrico de 5 graus de liberdade acionado pneumaticamente. A base é construída com alumínio estruturado de elevada rigidez, o que confere a sua estrutura mecânica baixas deformações em situações de operação do robô. Além de constituir a estrutura de apoio do manipulador, a base serve de repositório para diversos componentes de sensoriamento e comando dos diversos graus de liberdade do robô e ainda apresenta elementos estruturais que são utilizados como acumuladores de ar comprimido que servem para atenuar as flutuações de pressão nos atuadores pneumáticos. O 1º grau de liberdade do robô, de acordo com a concepção de um robô cilíndrico, é relativo ao giro do conjunto de elos do manipulador em torno do eixo vertical. O seu movimento é comandado por um atuador pneumático linear acoplado a um eixo rotativo por uma correia sincronizadora. O controlador proposto é baseado na técnica de realimentação de estados com alocação de polos e compensa a variação do momento de inércia do manipulador devida ao movimento do robô. Este esquema é baseado em um modelo matemático parametrizado que provê continuamente o valor de massa equivalente acoplada ao primeiro grau de atuador de liberdade. Assim, a cada ciclo de controle, os ganhos do controlador são recalculados a partir do valor atual da massa equivalente, visando a compensar sua variação. São apresentados resultados experimentais e discussões sobre o cálculo da massa equivalente e desempenho do controlador no seguimento de trajetória. / This work deals with the design of the base frame, drive, transmission and control systems used in the first degree of freedom of a pneumatically actuated cylindrical robot with five degrees of freedom. The base is constructed with high stiffness aluminum parts, which achieve low mechanical deformation in operational working conditions. Furthermore, the base structure in used as sensor and pneumatic components compartment and comprises aluminum structural elements that are used as accumulators compressed air used for reducing the pressure fluctuations on the pneumatic actuators operation. The first degree of freedom, according to the usual design of a cylindrical robot, is relative to the rotation of the manipulator arm around its vertical axis. This degree of freedom is controlled by a linear pneumatic actuator coupled to a rotary axis mechanism by an industrial synchronous belt. The proposed controller is based on the state feedback technique with pole location and compensates the variation of the moment of inertia of the manipulator due to the motion of the robot. This scheme is based on a parameterized mathematical model that continuously provides the equivalent mass value coupled to the first degree of freedom actuator. So, in each control cycle, the controller gains are recalculated on the basis of the equivalent mass, compensating its variation. Results of experiments and discussions about the equivalent mass calculation and controller performance are presented.
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Segmented DP-SLAM

Maffei, Renan de Queiroz January 2013 (has links)
Localização e Mapeamento Simultâneos (SLAM) é uma das tarefas mais difíceis em robótica móvel, uma vez que existe uma dependência mútua entre a estimativa da localização do robô e a construção do mapa de ambiente. As estratégias de SLAM mais bem sucedidas focam na construção de um mapa métrico probabilístico empregando técnicas de filtragem Bayesiana. Embora tais métodos permitam a construção de soluções localmente consistentes e coerentes, o SLAM continua sendo um problema crítico em operações em ambientes grandes. Para contornar esta limitação, muitas estratégias dividem o ambiente em pequenas regiões, e formulam o problema de SLAM como uma combinação de múltiplos submapas métricos precisos associados em um mapa topológico. Este trabalho propõe um método de SLAM baseado nos algoritmos DP-SLAM (Distributed Particle SLAM) e SegSlam (Segmented SLAM). SegSLAM é um algoritmo que cria múltiplos submapas para cada região do ambiente, e posteriormente constrói o mapa global selecionando combinações de submapas. Por sua vez, DP-SLAM é um algoritmo de filtro de particulas Rao-Blackwellized que utiliza uma representação distribuída eficiente dos mapas das partículas, juntamente com a árvore de ascendência das partículas. A característica distribuída destas estruturas é favorável para a combinação de diferentes segmentos de mapa localmente precisos, o que aumenta a diversidade de soluções. O algoritmo proposto nesta dissertação, chamado SDP-SLAM, segmenta e combina diferentes hipóteses de trajetórias do robô, a fim de reconstruir o mapa do ambiente. Nossas principais contribuições são o desenvolvimento de novas estratégias para o casamento de submapas e para a estimativa de boas combinações de submapas. O SDP-SLAM foi avaliado através de experimentos realizados por um robô móvel operando em ambientes reais e simulados. / Simultaneous Localization and Mapping (SLAM) is one of the most difficult tasks in mobile robotics, since there is a mutual dependency between the estimation of the robot pose and the construction of the environment map. Most successful strategies in SLAM focus in building a probabilistic metric map employing Bayesian filtering techniques. While these methods allow the construction of consistent and coherent local solutions, the SLAM remains a critical problem in operations within large environments. To circumvent this limitation, many strategies divide the environment in small regions, and formulate the SLAM problem as a combination of multiple precise metric submaps associated in a topological map. This work proposes a SLAM method based on the Distributed Particle SLAM (DPSLAM) and the Segmented SLAM (SegSLAM) algorithms. SegSLAM is an algorithm that generates multiple submaps for every region of the environment, and then build the global map by selecting combinations of submaps. DP-SLAM is a Rao-Blackwellized particle filter algorithm that uses an efficient distributed representation of the particles maps associated with an ancestry tree of the particles. The distributed characteristic of these structures favors the combination of locally accurate map segments, that can increase the diversity of global level solutions. The algorithm proposed in this dissertation, called SDP-SLAM, segments and combines different hypotheses of robot trajectories to reconstruct the environment map. Our main contributions are the development of novel strategies for the matching of submaps and for the estimation of good submaps combinations. SDP-SLAM was evaluated through experiments performed by a mobile robot operating in real and simulated environments.
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Planejamento otimizado de trajetória para um robô cilíndrico acionado pneumaticamente

Missiaggia, Leonardo January 2014 (has links)
Este trabalho consiste na elaboração de uma estratégia para a geração de trajetórias otimizadas para um robô cilíndrico de cinco graus de liberdade acionado pneumaticamente. Como resultado da aplicação do método desenvolvido obtêm-se as trajetórias no espaço das juntas que resultam no movimento adequado do efetuador do robô, de acordo com algum critério de otimização. Para a obtenção das trajetórias das juntas do robô a partir de uma dada trajetória desejada para o efetuador, resolveu-se o problema de cinemática inversa por meio de uma abordagem algébrica. Para a geração de trajetórias entre os pontos no espaço de trabalho do robô propõe-se a utilização de um algoritmo de aproximação de pontos através de splines compostas por polinômios de sétimo grau. Essa escolha garante a continuidade da função de posição, bem como de suas três primeiras derivadas, sendo essa uma condição necessária para a implantação de importantes leis e estratégias de controle (como, por exemplo, a estratégia em cascata, utilizada com sucesso no controle de sistemas servopneumáticos). O método proposto para a geração de splines possibilita, através do ajuste de parâmetros em função da exigência de cada aplicação, a obtenção de curvas no espaço das juntas com valores otimizados de jerk, aceleração ou velocidade. Para aplicação na geração de trajetórias para o robô, a interpolação dos pontos é realizada no espaço dos atuadores a fim de fornecer ao controlador as curvas de referência para posição, velocidade, aceleração e jerk. Para a demonstração da aplicação do método no seguimento de trajetórias, são utilizadas como referência curvas tridimensionais cujos valores numéricos são comparados com os resultados fornecidos a partir da metodologia proposta. Assim, uma vez calculadas as trajetórias em cada uma das juntas através da cinemática inversa, utiliza-se as transformações homogêneas da cinemática direta do robô, obtidas a partir do método de Denavit-Hartenberg, para obter a trajetória do efetuador e verificar a funcionalidade do modelo resultante. / This work consists of developing a strategy to generate optimized trajectories for a cylindrical robot with five degrees of freedom which is actuated pneumatically. As a result of the application of the developed method, trajectories in joint space are obtained and result in the proper motion of the robot’s end-effector according to a given optimizing criteria. In order to obtain the trajectories of the robot’s joints from a given desired trajectory for the end-effector, the problem of inverse kinematics was solved by an algebraic approach. To generate trajectories between points in the robot’s workspace it was proposed the use of an algorithm for approximation of points through splines composed by seventh degrees polynomials. This choice ensures the continuity of the position function as well as its first three derivatives. It is a necessary condition for the implementation of important laws and control strategies (for example, the cascade strategy which is successfully used in servo-pneumatic control systems). The proposed method to generate splines allows, through the adjustment of parameters taking into account the requirements of each application, the obtainment of curves in the joint space with optimized values of jerk, acceleration and speed. In order to apply the method in the generation of trajectories for the robot, the interpolation of the points is performed in the space of the actuators with the purpose of providing the controller reference curves for position, speed, acceleration and jerk. To demonstrate the application of the method in trajectory tracking, three-dimensional curves are used and their numerical values are compared with the results provided by the proposed methodology. Therefore, once the calculated trajectory in each joint through inverse kinematics is obtained, homogeneous transformations of the direct kinematics of the robot, obtained by Denavit-Hartenberg’s method, are employed to find out the trajectory of the end-effector and verify the functionality of the resulting model.
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Aquisição e otimização de mapas de navegação usando redes neurais

Trevisan, Marcelo January 2001 (has links)
A capacidade de encontrar e aprender as melhores trajetórias que levam a um determinado objetivo proposto num ambiente e uma característica comum a maioria dos organismos que se movimentam. Dentre outras, essa e uma das capacidades que têm sido bastante estudadas nas ultimas décadas. Uma consequência direta deste estudo e a sua aplicação em sistemas artificiais capazes de se movimentar de maneira inteligente nos mais variados tipos de ambientes. Neste trabalho, realizamos uma abordagem múltipla do problema, onde procuramos estabelecer nexos entre modelos fisiológicos, baseados no conhecimento biológico disponível, e modelos de âmbito mais prático, como aqueles existentes na área da ciência da computação, mais especificamente da robótica. Os modelos estudados foram o aprendizado biológico baseado em células de posição e o método das funções potencias para planejamento de trajetórias. O objetivo nosso era unificar as duas idéias num formalismo de redes neurais. O processo de aprendizado de trajetórias pode ser simplificado e equacionado em um modelo matemático que pode ser utilizado no projeto de sistemas de navegação autônomos. Analisando o modelo de Blum e Abbott para navegação com células de posição, mostramos que o problema pode ser formulado como uma problema de aprendizado não-supervisionado onde a estatística de movimentação no meio passa ser o ingrediente principal. Demonstramos também que a probabilidade de ocupação de um determinado ponto no ambiente pode ser visto como um potencial que tem a propriedade de não apresentar mínimos locais, o que o torna equivalente ao potencial usado em técnicas de robótica como a das funções potencias. Formas de otimização do aprendizado no contexto deste modelo foram investigadas. No âmbito do armazenamento de múltiplos mapas de navegação, mostramos que e possível projetar uma rede neural capaz de armazenar e recuperar mapas navegacionais para diferentes ambientes usando o fato que um mapa de navegação pode ser descrito como o gradiente de uma função harmônica. A grande vantagem desta abordagem e que, apesar do baixo número de sinapses, o desempenho da rede e muito bom. Finalmente, estudamos a forma de um potencial que minimiza o tempo necessário para alcançar um objetivo proposto no ambiente. Para isso propomos o problema de navegação de um robô como sendo uma partícula difundindo em uma superfície potencial com um único ponto de mínimo. O nível de erro deste sistema pode ser modelado como uma temperatura. Os resultados mostram que superfície potencial tem uma estrutura ramificada.

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