Orientador: Armando Caputi / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, 2013

Orientador: Samuel da Silva / Resumo: Os métodos envolvendo simetria têm grande importância para o estudo das equações diferenciais decorrentes de áreas como a matemática, física, engenharia entre muitas outras. A existência de simetrias em equações diferenciais pode gerar transformações em variáveis dependentes e independentes que podem facilitar a integração. Em especial, Sophus Lie desenvolveu no século XIX uma forma de extração de simetrias que podem ser usadas efetivamente para revelar as integrais primeiras, ou seja, as constantes de movimento, que muitas vezes podem estar escondidas. Estes invariantes podem em algumas situações ser identificados pelo teorema de Noether ou a partir de manipulações das próprias equações com transformações de Lie. Assim, nesta tese foi proposto utilizar as simetrias de Lie para aplicação em problemas da dinâmica de sistemas mecânicos. As simetrias de Lie são aplicadas em dois problemas clássicos, primeiro em um pêndulo oscilando em um aro rotativo e em seguida em um pião simétrico com movimento de precessão estacionária com um ponto fixo. No primeiro problema foi realizada uma redução de ordem para solução por quadraturas da equação de movimento. Já no segundo foram mostradas as relações entre os invariantes e as leis de conservação extraídas das simetrias de Lie. Uma outra análise foi realizada através da teoria de referencial móvel, mostrando a possibilidade de outras aplicações das simetrias de Lie. Uma das aplicações desta teoria, também é a redução de ordem das equações ... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: The methods involving symmetry are of great importance for the study of the di erential equations arising from areas such as mathematics, physics, engineering among many others. The existence of symmetries in di erential equations can generate transformations in dependent and independent variables that may be easier to integrate. In particular, Sophus Lie developed in the nineteenth century a form of extraction of symmetries that can be used e ectively to reveal the rst integrals, that is, the motion constants, which can often be hidden. These invariants can in some situations be identi ed by the Noether theorem or from manipulations of the equations themselves with Lie transformations. Thus, in this thesis it was proposed to use the Lie symmetries for application in problems of the dynamics of mechanical systems. The Lie symmetries are applied in two classic problems, rst in a bead on a rotating wire hoop and then in a symmetric top with stationary precession with a xed point. In the rst problem, a reduction of order of the equation of motion was performed by quadratures. In the second one, the relations between the invariants and the conservation laws extracted from the Lie symmetries were shown. Another analysis was performed through the theory of moving frames, showing the possibility of other applications of Lie symmetries. One of the applications of this theory is also the order reduction of the resulting di erential equations. Thus, moving frames were calculated for th... (Complete abstract click electronic access below) / Doutor

Submitted by Rosivalda Pereira (mrs.pereira@ufma.br) on 2017-08-23T18:04:55Z No. of bitstreams: 1 EduardoCarvalho.pdf: 588274 bytes, checksum: c6f59c7f025b5de8d00feac1696b6979 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-23T18:04:55Z (GMT). No. of bitstreams: 1 EduardoCarvalho.pdf: 588274 bytes, checksum: c6f59c7f025b5de8d00feac1696b6979 (MD5) Previous issue date: 2011-07-08 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / The CPT-even abelian gauge sector of the Standard Model Extension is represented by the Maxwell term supplemented by KF )µνρσ FµνFρσ, where the Lorentz-violating background tensor, (KF )µνρσ, possesses the symmetries of the Riemann tensorand a double null trace. In the present work, it is examined the planar version of this theory, obtained by means of a dimensional reduction procedure to (1 + 2) dimensions. The resulting planar electrodynamics is composed of a gauge sector containing six Lorentz-violating coe¢ cients, a scalar …eld endowed with a noncanonical kinetic term, and a coupling term that links the scalar and gauge sectors. The parity of the components of the Lorentz violating tensors is analyzed, following the de…nition of the parity operator in (1 +2) dimensions. The equations of motion of the theory are also found, where the electromagnetic …eld appears coupled to scalar …eld. This coupling however appears only as a second order e¤ect on the violation coe¢ cients and thus it is neglected. The energy-momentum tensor of the theory is calculated, revealing contributions of scalar, gauge and coupling sectors. From this tensor it is found a positive energy density de…ned for small violation parameters. The wave equations for the …elds E and B and the potential A0 and A are written and solved in the steady state by the method of Green. It is observed that the Lorentz-violating parameters do not alter the asymptotic behavior of the …elds but induce an angular dependence not observed in the Maxwell planar theory. It is also observed that electrical charges generate static magnetic …eld, as well as stationary currents generate electric …eld, a property already present in the original theory in (1 +3) dimensions. The dispersion relation also is determined, revealing that the six parameters related to the pure electromagnetic sector do not yield birefringence at …rst order. In this model, the birefringence may appear only as a second order efect associated with the coupling tensor linking the gauge and scalar sectors. / O setor de gauge abeliano CPT-Par do Modelo Padrão Estendido é representado pelo termo de Maxwell suplementado por (KF )µνρσ FµνFρσ, onde o tensor de campo de fundo violador de Lorentz, (KF )µνρσ, possui as simetrias do tensor de Riemann e um duplo traço nulo. No presente trabalho é examinada a versão planar dessa teoria, obtida por meio do procedimento de redução dimensional para (1+2) dimensões. A eletrodinâmica planar resultante é composta de um setor de gauge contendo seis coe…ficientes de violação de Lorentz, um campo escalar regido por um termo cinético não canônico, e um termo de acoplamento que interliga os dois setores. A paridades das componentes dos tensores violadores de Lorentz é analisada. Também são encontradas as equações de movimento da teoria, onde o campo eletromagnético aparece acoplado ao campo escalar. Este acoplamento, no entanto, aparece apenas como um efeito de segunda ordem nas equações de movimento e por isso é descartado. O tensor de energia-momento da teoria é calculado, apresentando contribuições tanto dos setores escalar e de gauge quanto do de acoplamento. A partir deste tensor é encontrada uma densidade de energia positiva de…nida apenas para pequenas parâmetros de violação. As equações de onda para, os campos E e B e potenciais A0 e A, são escritas e resolvidas no regime estacionário, via o método de Green. Observa-se que os parâmetros de violação de Lorentz não alteram o comportamento assimptótico dos campos, mas induzem uma dependência angular não observada na teoria planar de Maxwell. É também observado que cargas estáticas geram campo magnético, assim como correntes estacionárias geram campo elétrico, uma propriedade já presente na teoria original em (1+3) dimensões. A relação de dispersão também é determinada, revelando que os seis parâmetros relacionados ao setor eletromagnético puro não produzem birrefringência. Neste modelo, a birrefringência pode aparecer apenas como um efeito de segunda ordem associado ao tensor de acoplamento que liga os campos escalar e de gauge.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Cristina Ulian Bilac.pdf: 1743791 bytes, checksum: df2ae71e0072ce67a554d8f9a709997c (MD5) Previous issue date: 2008-10-10 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This study is fitted in the Technology of Information and Mathematics Education s line of researching according to the teaching board and the geometric learning, in particular about the Plane Geometry Transformations, and has as a goal to present didactic sequences in which the activities that involve a axial symmetry and the symmetry of rotation promote to the students a development improving in the geometric notions during the process teach-learning of the geometric transformations. For this, we formulated as a research question: in what way the resources of the Cabri-Géomètre software tools promote the learning of the geometric transformations, specially the axial symmetry and the rotation symmetry. For this, it was elaborated an experiment of teaching composed by two stages: the presentation of the software and the exploration of the symmetries using the software Cabri-Géomètre, applied to twenty-three students -Elementary School- 8th grade of a privative school in Santo André city. The stage two was divided into four modulus: Idea of symmetry, reflection, rotation, reflection and rotation. We adopted as a methodology of researching the Design Experiment, aiming the improvement for the didactic sequence elaboration. For the elaboration and analyze of this didactic sequence we supported this research in the Piaget and Garcia Theory (1983) about the development of the geometric notions. The research has as instrument of data collection the recording of the activities resolution in each modulo developed by the students. By the interactions of the students in these activities, the results promote the cogitative interpretations in the different levels of knowledge in the geometric notions: intrafigural, interfigural e transfigural, helped by the resources and tools of the software of dynamical geometric Cabri-Géomètre / Este estudo insere-se na linha de pesquisa Tecnologias da Informação e Educação Matemática, no quadro do ensino e da aprendizagem de Geometria, em particular no que se refere às Transformações Geométricas Planas, e tem como objetivo apresentar uma seqüência didática em que as atividades envolvendo a simetria axial e a simetria de rotação favoreça ao aluno uma evolução no desenvolvimento das noções geométricas durante o processo de ensino-aprendizagem das transformações geométricas. Para isso, formulou-se como questão de pesquisa: em que medida os recursos e ferramentas do software Cabri-Géomètre favorecem a aprendizagem das transformações geométricas, em especial a simetria axial e a simetria de rotação. Para esse fim, foi elaborado um experimento de ensino composto por duas etapas: apresentação do software e exploração das simetrias utilizando o software Cabri- Géomètre, aplicadas a vinte e três alunos de 8° ano do Ensino Fundamental de uma escola particular na cidade de Santo André. A etapa dois subdividiu-se em quatro módulos: idéia de simetria, reflexão, rotação, reflexão e rotação. Adotouse como metodologia de pesquisa o Design Experiment, visando ao aprimoramento para a elaboração da seqüência didática. Para a elaboração e análise dessa seqüência didática apoiou-se na teoria de Piaget e Garcia (1983) sobre o desenvolvimento das noções geométricas. A pesquisa possui como instrumento de coleta de dados a gravação da resolução das atividades em cada um dos módulos desenvolvidos pelos alunos. Por meio das interações dos alunos nestas atividades, os resultados favorecem interpretações cognitivas nos diferentes níveis de conhecimentos das noções geométricas: intrafigural, interfigural e transfigural, auxiliadas pelos recursos e ferramentas do software de geometria dinâmica Cabri-Géomètre

Submitted by FERNANDO ENRIQUE SERNA ALGARÍN null (ferse1129@gmail.com) on 2018-01-10T21:52:53Z No. of bitstreams: 1 tese.pdf: 948147 bytes, checksum: 94d535ccc424f5f4201747cae4382d6a (MD5) / Approved for entry into archive by Hellen Sayuri Sato null (hellen@ift.unesp.br) on 2018-01-12T15:54:08Z (GMT) No. of bitstreams: 1 algarin_fcs_dr_ift.pdf: 948147 bytes, checksum: 94d535ccc424f5f4201747cae4382d6a (MD5) / Made available in DSpace on 2018-01-12T15:54:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 algarin_fcs_dr_ift.pdf: 948147 bytes, checksum: 94d535ccc424f5f4201747cae4382d6a (MD5) Previous issue date: 2017-10-02 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / Nesta tese empregamos um modelo de interação de contato que preserva simetrias para estudar estrututura hadrônica e matéria de quarks. A interação de contato é uma representação de kernels não perturbativos usados em equações de Dyson-Schwinger e Bethe-Salpeter da Cromodinâmica Quântica (QCD). A ideia básica do modelo está baseada num esquema de subtração que evita passos tradicionais no cálculo de de integrais divergentes que invariavelmente levam a violações de simetrias. Em temperatura zero, as equações de Dyson-Schwinger equation para os propagadores dos quarks u; d; s and c são resolvidas e amplitudes de estado ligado de Bethe-Salpeter, que respeitam a invariância sob translações espaço-temporais e as identidades de Ward-Takahashi associadas com simetrias globais da QCD, são obtidas para calcular as massas e as constantes de decaimento eletrofracas dos mésons pseudoscalares π; K, D e Ds e dos mésons vetorias ρ, K*, D* e Ds*. As predições do modelo estão em bom acordo com dados experimentais e da QCD na rede. Em adição, estendemos o modelo para temperaturas diferentes de zero; neste caso, o problema de violação de simetrias está restrito apenas às partes puramente divergentes porque os termos que dependem das distribuições térmicas são finitas e não requerem regularização. Finalmente, investigamos a dependência com a temperatura das contribuições das flutuações quânticas quark-π e quark-σ aos coeficientes de transporte de viscosidade de cisalhamento η e volumétrica ζ e as suas razões com a densidade de entropia s. As larguras térmicas originárias dessas fluctuações são calculadas com o formalismo de teoria de campos a temperatura finita de tempo real. Para esse cálculo, empregamos os resultados obtidos com as equações de Dyson-Schwinger e Bethe-Salpeter para a dependência com a temperatura das massas dos mésons e as contantes de acoplamento quark-méson. Os resultados para as razões η/s and ζ/s estão em bom acordo com resultados com a literatura obtidos com modelos e técnicas diferentes. Em particular, nossos resultados para η/s possuem um mínimo muito próximo ao limite inferior da conjectura AdS/CFT, η/s = 1/4π. / In thesis, a symmetry-preserving contact interaction model is used to study hadron structure and quark matter. The contact interaction is a representation of nonperturbative kernels used in Dyson-Schwinger and Bethe-Salpeter equations of Quantum Chromodynamics (QCD). The basic idea of the model is based on a subtraction scheme that avoids standard steps in the evaluation of divergent integrals that invariably lead to symmetry violation. At zero temperature, the Dyson-Schwinger equation is solved for the u; d; s and c quark propagators and the boundstate Bethe-Salpeter amplitudes respecting spacetime-translation invariance and the Ward-Green-Takahashi identities associated with global symmetries of QCD are obtained to calculate masses and electroweak decay constants of the pseudoscalar π; K, D and Ds and vector ρ, K*, D*, and Ds* mesons. The predictions of the model are in good agreement with available experimental and lattice QCD data. In addition, we extend the model to nonzero temperature; here, the problem of symmetry violation is associated only with the purely divergent parts because the effects due to the termal distributions are finite and do not need regularization. We compute the temperature dependence of the masses and decay constants of the pseudoscalar mesons considered here. Finally, we have investigated the temperature dependence of the contributions of quark-π and quark-σ quantum fluctuations to the transport coefficients of shear η and bulk ζ viscosities and their ratios to the entropy density s. The quark thermal widths originating those fluctuations are calculated with the formalism of real-time thermal field theory. For these calculations, we have used the results obtained via Dyson-Schwinger and Bethe-Salpeter equations for the temperature dependence of constituent quark and meson masses and quark-meson couplings. The results for the ratios η/s and ζ/s are in fair agreement with results of the literature obtained from different models and techniques. In particular, our result for η/s has a minimum very close to the conjectured AdS/CFT lower bound, η/s = 1/4π. / CNPq:140041/2014-1

Neste trabalho definimos três modelos de escadas de spin integráveis novos que correspondem a variações de um modelo de escada de spin baseado na simetria SU(4). Os modelos são exatamente solúveis através do método do ansatz de Bethe e as equações do ansatz de Bethe, os autovalores de energia e o gap de spin são derivados e propriedades físicas interessantes são discutidas. Inicialmente apresentamos um modelo de escada de spin integrável que possui um parâmetro livre além do acomplamento ao longo dos degraus. Determinamos a dependência do parâmetro anisotrópico na transição de fase entre uma região com gap e outra sem gap. Nós também mostramos que o modelo é um caso especial de uma Hamiltoniana mais geral que possui três parâmetros livres. A susceptibilidade magnética em função da temperatura é obtida numericamente e sua dependência no parâmetro anisotrópico é determinada explicitamente. Uma comparação entre o gap de spin obtido através da curva de susceptibilidade magnética e aquele obtido das equações do ansatz de Bethe é feita e uma boa concordância encontrada. A conexão com alguns compostos é apresentada e mostramos que os nossos resultados ajustam bem a curva da susceptibilidade magnética dos compostos KCuCI3, CU2(C5H12N2hC14e (C5H12NhCuBr4. A seguir nós propomos dois tipos diferentes de modelos integráveis com impurezas. Mostramos em ambos os casos que uma transição de fase entre uma região com gap e outra sem gap ocorre para um valor crítico do acoplamento ao longo dos degraus. Além disso, a dependência das impurezas na transição de fase é determinada explicitamente. Em um dos modelos o gap diminui com o aumento da intensidade da impureza A. E, fixando a intensidade de impureza A, é observada uma redução do gap com o aumento da concentração de impurezas. Este resultado está qualitativamente de acordo com resultados experimentais.

Neste trabalho definimos três modelos de escadas de spin integráveis novos que correspondem a variações de um modelo de escada de spin baseado na simetria SU(4). Os modelos são exatamente solúveis através do método do ansatz de Bethe e as equações do ansatz de Bethe, os autovalores de energia e o gap de spin são derivados e propriedades físicas interessantes são discutidas. Inicialmente apresentamos um modelo de escada de spin integrável que possui um parâmetro livre além do acomplamento ao longo dos degraus. Determinamos a dependência do parâmetro anisotrópico na transição de fase entre uma região com gap e outra sem gap. Nós também mostramos que o modelo é um caso especial de uma Hamiltoniana mais geral que possui três parâmetros livres. A susceptibilidade magnética em função da temperatura é obtida numericamente e sua dependência no parâmetro anisotrópico é determinada explicitamente. Uma comparação entre o gap de spin obtido através da curva de susceptibilidade magnética e aquele obtido das equações do ansatz de Bethe é feita e uma boa concordância encontrada. A conexão com alguns compostos é apresentada e mostramos que os nossos resultados ajustam bem a curva da susceptibilidade magnética dos compostos KCuCI3, CU2(C5H12N2hC14e (C5H12NhCuBr4. A seguir nós propomos dois tipos diferentes de modelos integráveis com impurezas. Mostramos em ambos os casos que uma transição de fase entre uma região com gap e outra sem gap ocorre para um valor crítico do acoplamento ao longo dos degraus. Além disso, a dependência das impurezas na transição de fase é determinada explicitamente. Em um dos modelos o gap diminui com o aumento da intensidade da impureza A. E, fixando a intensidade de impureza A, é observada uma redução do gap com o aumento da concentração de impurezas. Este resultado está qualitativamente de acordo com resultados experimentais.

Neste trabalho definimos três modelos de escadas de spin integráveis novos que correspondem a variações de um modelo de escada de spin baseado na simetria SU(4). Os modelos são exatamente solúveis através do método do ansatz de Bethe e as equações do ansatz de Bethe, os autovalores de energia e o gap de spin são derivados e propriedades físicas interessantes são discutidas. Inicialmente apresentamos um modelo de escada de spin integrável que possui um parâmetro livre além do acomplamento ao longo dos degraus. Determinamos a dependência do parâmetro anisotrópico na transição de fase entre uma região com gap e outra sem gap. Nós também mostramos que o modelo é um caso especial de uma Hamiltoniana mais geral que possui três parâmetros livres. A susceptibilidade magnética em função da temperatura é obtida numericamente e sua dependência no parâmetro anisotrópico é determinada explicitamente. Uma comparação entre o gap de spin obtido através da curva de susceptibilidade magnética e aquele obtido das equações do ansatz de Bethe é feita e uma boa concordância encontrada. A conexão com alguns compostos é apresentada e mostramos que os nossos resultados ajustam bem a curva da susceptibilidade magnética dos compostos KCuCI3, CU2(C5H12N2hC14e (C5H12NhCuBr4. A seguir nós propomos dois tipos diferentes de modelos integráveis com impurezas. Mostramos em ambos os casos que uma transição de fase entre uma região com gap e outra sem gap ocorre para um valor crítico do acoplamento ao longo dos degraus. Além disso, a dependência das impurezas na transição de fase é determinada explicitamente. Em um dos modelos o gap diminui com o aumento da intensidade da impureza A. E, fixando a intensidade de impureza A, é observada uma redução do gap com o aumento da concentração de impurezas. Este resultado está qualitativamente de acordo com resultados experimentais.

Submitted by Claudio Henrique Cerqueira Costa Basquerotto (cbasquerotto@ymail.com) on 2018-05-25T15:27:47Z No. of bitstreams: 1 Tese_Basquerotto.pdf: 7598699 bytes, checksum: 5f0c350de78925517e7db6045e9c3749 (MD5) / Approved for entry into archive by Cristina Alexandra de Godoy null (cristina@adm.feis.unesp.br) on 2018-05-25T17:35:47Z (GMT) No. of bitstreams: 1 basquerotto_chc_dr_ilha.pdf: 7598699 bytes, checksum: 5f0c350de78925517e7db6045e9c3749 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-05-25T17:35:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 basquerotto_chc_dr_ilha.pdf: 7598699 bytes, checksum: 5f0c350de78925517e7db6045e9c3749 (MD5) Previous issue date: 2018-04-20 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Os métodos envolvendo simetria têm grande importância para o estudo das equações diferenciais decorrentes de áreas como a matemática, física, engenharia entre muitas outras. A existência de simetrias em equações diferenciais pode gerar transformações em variáveis dependentes e independentes que podem facilitar a integração. Em especial, Sophus Lie desenvolveu no século XIX uma forma de extração de simetrias que podem ser usadas efetivamente para revelar as integrais primeiras, ou seja, as constantes de movimento, que muitas vezes podem estar escondidas. Estes invariantes podem em algumas situações ser identificados pelo teorema de Noether ou a partir de manipulações das próprias equações com transformações de Lie. Assim, nesta tese foi proposto utilizar as simetrias de Lie para aplicação em problemas da dinâmica de sistemas mecânicos. As simetrias de Lie são aplicadas em dois problemas clássicos, primeiro em um pêndulo oscilando em um aro rotativo e em seguida em um pião simétrico com movimento de precessão estacionária com um ponto fixo. No primeiro problema foi realizada uma redução de ordem para solução por quadraturas da equação de movimento. Já no segundo foram mostradas as relações entre os invariantes e as leis de conservação extraídas das simetrias de Lie. Uma outra análise foi realizada através da teoria de referencial móvel, mostrando a possibilidade de outras aplicações das simetrias de Lie. Uma das aplicações desta teoria, também é a redução de ordem das equações diferenciais resultantes. Com isso os referenciais móveis foram calculados para os problemas do pêndulo oscilando em um aro rotativo, pião simétrico e apresentando uma aplicação em um problema de vínculo não-holonomo. A partir disto foi possível reduzir a ordem das equações e obter a solução analítica das mesmas. Com isto, esta tese buscou mostrar a aplicação das simetrias de Lie em problemas de dinâmica de sistemas mecânicos através de uma linguagem acessível e que motive a outros engenheiros a se interessarem pelo tema. / The methods involving symmetry are of great importance for the study of the di erential equations arising from areas such as mathematics, physics, engineering among many others. The existence of symmetries in di erential equations can generate transformations in dependent and independent variables that may be easier to integrate. In particular, Sophus Lie developed in the nineteenth century a form of extraction of symmetries that can be used e ectively to reveal the rst integrals, that is, the motion constants, which can often be hidden. These invariants can in some situations be identi ed by the Noether theorem or from manipulations of the equations themselves with Lie transformations. Thus, in this thesis it was proposed to use the Lie symmetries for application in problems of the dynamics of mechanical systems. The Lie symmetries are applied in two classic problems, rst in a bead on a rotating wire hoop and then in a symmetric top with stationary precession with a xed point. In the rst problem, a reduction of order of the equation of motion was performed by quadratures. In the second one, the relations between the invariants and the conservation laws extracted from the Lie symmetries were shown. Another analysis was performed through the theory of moving frames, showing the possibility of other applications of Lie symmetries. One of the applications of this theory is also the order reduction of the resulting di erential equations. Thus, moving frames were calculated for the bead on a rotating wire hoop, symmetric top and showing an application in a nonholonomic problem. From this it was possible to reduce the order of the equations and to obtain the analytical solution of the same ones. So, this thesis sought to show the application of Lie symmetries in problems of dynamics of mechanical systems through an accessible language and that motivate other engineers to take an interest in the subject.

This paper aims to present an methodology of teaching of algebra associated to the geometry, based on the theory of symmetry groups D4 with emphasis on the Klein group, as perceive that the game structure "peg solitare"has the same principles governing the Klein theory associated with symmetry group D4; so we explored the teaching resources offered by this popular game to introduce basics of groups and the relationship between their algebraic and geometric aspects, making them accessible to high school students. / Este trabalho tem como objetivo apresentar uma metodologia de ensino da algebra associada a geometria, fundamentada na teoria de grupos de simetria D4 com ^enfase no grupo de Klein, pois percebe-se que a estrutura do jogo resta um tem os mesmosprinc pios que regem a teoria de Klein associado ao grupo de simetria D4; por isso, exploramos os recursos did aticos oferecidos por este jogo popular para apresentar no c~oes b asicas de grupos e a rela c~ao entre seus aspectos alg ebricos e geom etricos, tornando-os acess veis a alunos do ensino m edio.