The generalized inverse Gaussian distribution has become quite popular in financial engineering. The most popular random variate generator is due to Dagpunar (1989). It is an acceptance-rejection algorithm method based on the Ratio-of-uniforms method. However, it is not uniformly fast as it has a prohibitive large rejection constant when the distribution is close to the gamma distribution. Recently some papers have discussed universal methods that are suitable for this distribution. However, these methods require an expensive setup and are therefore not suitable for the varying parameter case which occurs in, e.g., Gibbs sampling. In this paper we analyze the performance of Dagpunar's algorithm and combine it with a new rejection method which ensures a uniformly fast generator. As its setup is rather short it is in particular suitable for the varying parameter case. (authors' abstract) / Series: Research Report Series / Department of Statistics and Mathematics

Diese Arbeit leistet Beiträge zu zwei Gebieten der mathematischen Programmierung: stochastische Optimierung und gemischt-ganzzahlige nichtlineare Optimierung (MINLP). Im ersten Teil erweitern wir quantitative Stetigkeitsresultate für zweistufige stochastische gemischt-ganzzahlige lineare Programme auf Situationen in denen Unsicherheit gleichzeitig in den Kosten und der rechten Seite auftritt, geben eine ausführliche Übersicht zu Dekompositionsverfahren für zwei- und mehrstufige stochastische lineare und gemischt-ganzzahlig lineare Programme, und diskutieren Erweiterungen und Kombinationen des Nested Benders Dekompositionsverfahrens und des Nested Column Generationsverfahrens für mehrstufige stochastische lineare Programme die es erlauben die Vorteile sogenannter rekombinierender Szenariobäume auszunutzen. Als eine Anwendung dieses Verfahrens betrachten wir die optimale Zeit- und Investitionsplanung für ein regionales Energiesystem unter Einbeziehung von Windenergie und Energiespeichern. Im zweiten Teil geben wir eine ausführliche Übersicht zum Stand der Technik bzgl. Algorithmen und Lösern für MINLPs und zeigen dass einige dieser Algorithmen innerhalb des constraint integer programming Softwaresystems SCIP angewendet werden können. Letzteres erlaubt uns die Verwendung schon existierender Technologien für gemischt-ganzzahlige linear Programme und constraint Programme für den linearen und diskreten Teil des Problems. Folglich konzentrieren wir uns hauptsächlich auf die Behandlung der konvexen und nichtkonvexen nichtlinearen Nebenbedingungen mittels Variablenschrankenpropagierung, äußerer Approximation und Reformulierung. In einer ausführlichen numerischen Studie untersuchen wir die Leistung unseres Ansatzes anhand von Anwendungen aus der Tagebauplanung und des Aufbaus eines Wasserverteilungssystems und mittels verschiedener Vergleichstests. Die Ergebnisse zeigen, dass SCIP ein konkurrenzfähiger Löser für MINLPs geworden ist. / This thesis contributes to two topics in mathematical programming: stochastic optimization and mixed-integer nonlinear programming (MINLP). In the first part, we extend quantitative continuity results for two-stage stochastic mixed-integer linear programs to include situations with simultaneous uncertainty in costs and right-hand side, give an extended review on decomposition algorithm for two- and multistage stochastic linear and mixed-integer linear programs, and discuss extensions and combinations of the Nested Benders Decomposition and Nested Column Generation methods for multistage stochastic linear programs to exploit the advantages of so-called recombining scenario trees. As an application of the latter, we consider the optimal scheduling and investment planning for a regional energy system including wind power and energy storages. In the second part, we give a comprehensive overview about the state-of-the-art in algorithms and solver technology for MINLPs and show that some of these algorithm can be applied within the constraint integer programming framework SCIP. The availability of the latter allows us to utilize the power of already existing mixed integer linear and constraint programming technologies to handle the linear and discrete parts of the problem. Thus, we focus mainly on the domain propagation, outer-approximation, and reformulation techniques to handle convex and nonconvex nonlinear constraints. In an extensive computational study, we investigate the performance of our approach on applications from open pit mine production scheduling and water distribution network design and on various benchmarks sets. The results show that SCIP has become a competitive solver for MINLPs.

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit dem Wasserstein Baryzentrumproblem diskreter Wahrscheinlichkeitsmaße sowie mit dem population Wasserstein Baryzentrumproblem gegeben von a Fréchet Mittelwerts von der rechnerischen und statistischen Seiten. Der statistische Fokus liegt auf der Schätzung der Stichprobengröße von Maßen zur Berechnung einer Annäherung des Fréchet Mittelwerts (Baryzentrum) der Wahrscheinlichkeitsmaße mit einer bestimmten Genauigkeit. Für empirische Risikominimierung (ERM) wird auch die Frage der Regularisierung untersucht zusammen mit dem Vorschlag einer neuen Regularisierung, die zu den besseren Komplexitätsgrenzen im Vergleich zur quadratischen Regularisierung beiträgt. Der Rechenfokus liegt auf der Entwicklung von dezentralen Algorithmen zurBerechnung von Wasserstein Baryzentrum: duale Algorithmen und Sattelpunktalgorithmen. Die Motivation für duale Optimierungsmethoden ist geschlossene Formen für die duale Formulierung von entropie-regulierten Wasserstein Distanz und ihren Derivaten, während, die primale Formulierung nur in einigen Fällen einen Ausdruck in geschlossener Form hat, z.B. für Gaußsches Maß. Außerdem kann das duale Orakel, das den Gradienten der dualen Darstellung für die entropie-regulierte Wasserstein Distanz zurückgibt, zu einem günstigeren Preis berechnet werden als das primale Orakel, das den Gradienten der (entropie-regulierten) Wasserstein Distanz zurückgibt. Die Anzahl der dualen Orakel rufe ist in diesem Fall ebenfalls weniger, nämlich die Quadratwurzel der Anzahl der primalen Orakelrufe. Im Gegensatz zum primalen Zielfunktion, hat das duale Zielfunktion Lipschitz-stetig Gradient aufgrund der starken Konvexität regulierter Wasserstein Distanz. Außerdem untersuchen wir die Sattelpunktformulierung des (nicht regulierten) Wasserstein Baryzentrum, die zum Bilinearsattelpunktproblem führt. Dieser Ansatz ermöglicht es uns auch, optimale Komplexitätsgrenzen zu erhalten, und kann einfach in einer dezentralen Weise präsentiert werden. / In this thesis, we consider the Wasserstein barycenter problem of discrete probability measures as well as the population Wasserstein barycenter problem given by a Fréchet mean from computational and statistical sides. The statistical focus is estimating the sample size of measures needed to calculate an approximation of a Fréchet mean (barycenter) of probability distributions with a given precision. For empirical risk minimization approaches, the question of the regularization is also studied along with proposing a new regularization which contributes to the better complexity bounds in comparison with the quadratic regularization. The computational focus is developing decentralized algorithms for calculating Wasserstein barycenters: dual algorithms and saddle point algorithms. The motivation for dual approaches is closed-forms for the dual formulation of entropy-regularized Wasserstein distances and their derivatives, whereas the primal formulation has a closed-form expression only in some cases, e.g., for Gaussian measures.Moreover, the dual oracle returning the gradient of the dual representation forentropy-regularized Wasserstein distance can be computed for a cheaper price in comparison with the primal oracle returning the gradient of the (entropy-regularized) Wasserstein distance. The number of dual oracle calls in this case will be also less, i.e., the square root of the number of primal oracle calls. Furthermore, in contrast to the primal objective, the dual objective has Lipschitz continuous gradient due to the strong convexity of regularized Wasserstein distances. Moreover, we study saddle-point formulation of the non-regularized Wasserstein barycenter problem which leads to the bilinear saddle-point problem. This approach also allows us to get optimal complexity bounds and it can be easily presented in a decentralized setup.