Selecionamos para análise nesta dissertação os Choros nº4 (1926) e Choros nº7 (1924), obras de câmara compostas por Heitor Villa-Lobos (1887-1959) no período em que o compositor demonstrou grande interesse pela estética modernista que hoje chamamos \"pós-tonal\". Villa-Lobos mesclou em seus Choros - bem como em grande parte de sua obra - elementos do modernismo europeu com outros oriundos da cultura popular brasileira, neste caso em particular o choro urbano carioca das primeiras décadas do século XX. Em síntese, a linguagem utilizada por Villa-Lobos nos dois Choros se aproxima muito da técnica de composição \"em camadas\" recorrente em obras de Stravinsky como A Sagração da Primavera (1913), Petrushka (1911) e O pássaro de fogo (1910). Villa-Lobos utiliza a interação entre materiais harmônicos independentes (estruturas simples geradas individualmente e calcadas em escalas tradicionais não gerenciadas pela tonalidade herdada do classicismo). Em muitos momentos esses materiais escalares estão empilhados formando grandes conjuntos (supercoleções) com oito, nove, dez, onze classes de altura e até o conjunto cromático completo, relacionados por invariâncias entre essas estruturas. Em outras ocasiões esses complexos harmônicos aparecem justapostos, relacionados por transformação intervalar gradativa, operados em torno de classes de altura invariantes e movimentos discretos entre as remanescentes não comuns (prioritariamente por movimentos de tons e semitons), procedimento chamado pelos teóricos da vertente \"neo-Riemanniana\" (como Richard Cohn, Jack Douthett e Peter Steinbach, entre outros) como \"parcimônia\". Notamos também que Villa-Lobos com frequência relaciona essas camadas estratificadas por disposições intervalares simétricas, gerenciando os conjuntos de classes de altura que compõem as partes ou a totalidade harmônica em torno de eixos de simetrias invariantes (reflexão). Notamos ainda invariâncias frequentemente reiteradas em ostinato (simetria por translação), enquanto que variantes remanescentes surgem e desaparecem como segmentos de coleções em outras camadas ao longo do trecho conduzido pelo ostinato, completando a totalidade harmônica por justaposição. A partir desse diagnóstico preliminar, elegemos nesta pesquisa duas correntes analíticas distintas e concomitantes: a simetria intervalar (reflexão e translação) a partir de estudos sobre Teoria dos Conjuntos desenvolvidos essencialmente nos textos de Joseph Straus e João Pedro Oliveira; e a transformação intervalar atuando como regente na relação entre coleções dispostas em rede e na construção de grandes complexos harmônicos (supercoleções), aproximando nossa pesquisa de estudos neo-Riemannianos sobre redes de coleções e parcimônia, em especial os trabalhos desenvolvidos por Dmitri Tymoczko, Richard Cohn, Jack Douthett e Peter Steinbach. / Selected for analysis in this dissertation the Choros No.4 (1926) and Choros No.7 (1924), chamber works for the period of the 1920s, at which time the composer has shown great interest in a tilted to a high content of post- tonal modernist aesthetic harmonic complexity concatenated surface exposure of arguments coming from the Brazilian popular culture, in this particular case referencing the urban carioca choro from the first decades of the twentieth century. In summary, the language used by Villa-Lobos in the two Choros is closely to the composition technique in \'layers\' applied in works such as Stravinsky\'s Rite of Spring (1913), Petrushka (1911) and The Firebird (1910). Villa-Lobos uses the interaction between independent harmonic materials (simple structures generated individually with traditional scales not managed by the tonality inherited of classicism). In many instances these scales are stacked forming large sets (supersets) with eight, nine, ten, eleven pitch-classes or the complete chromatic; structures related by invariances. At other times these harmonic complexes appear juxtaposed, related by gradual intervallic transformations, operated around invariants pitch-class sets and discrete movements between remaining pitch-classes not common (primarily by movements of tones and semitones), a procedure called by the theorists of the \'neo-Riemannian\' (as Richard Cohn, Jack Douthett & Peter Steinbach and others) as \'parsimony\'. We also noticed that Villa-Lobos often relates these stratified layers by symmetrical intervallic arrangements, managing pitch-class sets that make up the parts or whole harmonic around axes of symmetry invariants (reflection). We also noted invariances often repeated on ostinato (translational symmetry), while remnants variants arise and disappear as segments of scales into different layers along the stretch led by ostinato, completing the entirety harmonious by juxtaposition. From this preliminary diagnosis, we choose in this research two distinct and concurrent analytical currents: the intervallic symmetry (invertional and translational) from studies on Pitch-Class Set Theory developed mainly in the writings of Joseph Straus and João Pedro Oliveira; and the intervallic transformation working as conductor in the relationship between scales arranged in network and in building of large harmonics sets (supersets), approaching our research to neo-Riemannian studies about scale networks and parsimony, in particular the texts by Dmitri Tymoczko, Richard Cohn, Jack Douthett & Peter Steinbach.

A teoria quântica de campos pode ser vista como um conjunto de métodos e idéias que além de sua importância no estudo das partículas elementares, tem sido amplamente usada em outras áreas. Em especial, ela constitui uma ferramenta indispensável no estudo moderno de transições de fases e fenômenos críticos. A origem dessa constante relação entre a teoria de campos e a matéria condensada deve-se ao fato que, apesar de suas diferenças superficiais, ambas tratam de problemas envolvendo um grande número de graus de liberdade. Assim, não é surpreendente que as mesmas técnicas possam ser úteis nos dois campos. Este trabalho trata de problemas nessas duas áreas e está essencialmente divido em duas partes. A primeira parte é dedicada ao estudo de teorias de campos com uma anisotropia entre o espaço e o tempo, o que implica uma quebra da simetria de Lorentz. Uma das motivações para considerar esse tipo de teoria vem justamente do estudo de transições de fase em sistemas da matéria condensada. Análises do grupo de renormalização com ênfase na possibilidade de restauração da simetria de Lorentz e também uma discussão sobre identidades de Ward são realizadas. Na segunda parte, a atenção é voltada para a mecânica estatística mas com uma abordagem típica da teoria de campos, em especial, voltada para o estudo de transições de fase clássicas e quânticas a partir da versão quantizada do modelo esférico e de sua extensão supersimétrica. / Quantum field theory can be seen as a set of methods and ideas that, besides its importance in the study of the elementary particles, has been widely used in other areas. In particular, it constitutes an indispensable framework in the modern approach to phase transitions and critical phenomena. The origin of this constant relationship between field theory and condensed matter is due to the fact that despite their superficial differences, both deal with problems involving a large number of degrees of freedom. Thus, it is not surprising that the same techniques may be useful in both fields. This work addresses problems in these two areas and it is essentially divided in two parts. The first part is devoted to the study of field theories with an anisotropy between space and time, which implies a breaking of the Lorentz symmetry. One of the moti- vations for considering this kind of theory is precisely the study of phase transitions in condensed matter systems. Renormalization group analysis with emphasis on the possi- bility of restoration of the Lorentz symmetry and also a discussion about Ward identities are performed. In the second part, the attention is centered on statistical mechanics but with an approach typical of field theory, in particular, focused to the study of classical and quantum phase transitions from the quantized version of the spherical model and its supersymmetric extension.

Este trabalho tem como objetivos analisar as semelhanças das respostas dos países da Zona do Euro aos choques na política monetária e no câmbio (identificados através de restrições de sinais nas funções impulso-resposta) e investigar a simetria das flutuações na taxa de crescimento do nível de atividade na região através da análise da importância relativa da resposta do crescimento do PIB destes países aos choques comum e específico identificados pelo modelo FAVAR utilizado, que foi estimado através de um método Bayesiano desenvolvido para incorporar prioris de Litterman (1986). A importância do choque comum (relativamente ao específico) nos diversos países, fornece uma medida do grau de integração dos diversos membros da Zona do Euro. O trabalho contribui para a análise do grau de integração dos países da Zona do Euro ao utilizar uma metodologia que permite o uso de um amplo conjunto de variáveis e ao identificar o grau de simetria das flutuações na taxa de crescimento do nível de atividade dos membros da região através da identificação dos choques comuns e específicos. Foram utilizados dados trimestrais de 1999.I a 2013.I para os 17 países da região. Os resultados encontrados apontam para a existência de uma maior integração entre as grandes economias da Zona do Euro ( com exceção da França) e uma integração menor para as menores economias (com exceção da Finlândia). / This dissertation aims at analyzing the similarities of the responses of countries in the Eurozone to shocks in the monetary policy and exchange rate policy (identified through restrictions on the signs in the impulse-response functions) and to investigate the symmetry of fluctuations in the rate of growth of the level of activity in the region by analyzing the relative importance of the response of GDP growth in these countries to common and specific shocks identified by the FAVAR model used in the paper, which was estimated using a Bayesian method developed to incorporate priors of Litterman (1986). The importance of the common shocks (in the particular) in many countries provides a measure of the degree of integration of several members of the Eurozone. The dissertation contributes to the analysis of the degree of integration of the countries of the Eurozone by using a methodology that allows the use of a big set of variables and to identify the degree of symmetry of the fluctuations in the growth rate of the activity level of members region through the identification of common and specific shocks. Using quarterly data from 1999.I to 2013.I for 17 countries in the region, the results show the existence of greater integration among the major economies of the Eurozone (except France) and lesser integration among the small economies (with the exception of Finland).

Orientador: Armando Caputi / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, 2013

O presente trabalho consiste no estudo do papel da simetrial quiral no potencial nucleon-nucleon devido à troca de dois píons. Para o calculo do potencial foi levada em consideração a troca de dois píons não-correlacionados, envolvendo contribuicões com até um loop. A simetria quiral é introduzida no potencial através da sua realização não-linear, utilizando-se a Lagrangiana fenomenológica quiral de Weinberg. Os diagramas de Feynman construidos com os vértices dessa Lagragiana são ordenadas segundo potencias crescentes do momento, e calculados covariantemente. Os diagramas divergentes são regularizados covariantemente. Partindo do formalismo da equação de Bethe-Salpeter, relacionamos, em uma primeira etapa, as amplitudes de transição covariantes com o potencial, através do princípio da unitariedade elástica. O potencial, covariante e relativístico, e obtido no espaço dos momentos e é não-local e dependente da energia. Em uma segunda etapa, efetuamos a redução não-relativística do potencial e sua transformada de Fourier, obtendo um potencial local e independente da energia, que pode ser usado na equação de Schrödinger. O potencial obtido possui contribuições central, spin-orbita, tensorial e spin-spin. A parte dependente de isospin e semelhante à do potencial de Lemon e Partovi, sendo que as maiores modificações aparecem na parte isoescalar, principalmente no canal central, onde um substancial aumento de atração na região de 1.2 a 2.0 fm é observada. A fim de compararmos nosso potencial com a literatura, fixamos o valor de A como sendo 50 GeV, fazendo com que os efeitos do parâmetro de corte fiquem restritos à região r 0.5 fm. Os resultados obtidos foram comparados com o potencial fenomenológico de Argonne e revelaram razoável compatibilidade na maioria dos canais. Entretanto, existem discrepâncias importantes, possivelmente devidas a efeitos não estudados neste trabalho, tais como os devidos às ressonâncias A e p. / This work is devoted to the study of the role of chiral symmetry in the two pion exchange nucleon-nucleon potential. We consider only non-correlated two pion exchanges due to one loop contributions. Chiral symmetry is implemented in the potential through its non-linear realization, given by Weinberg\'s phenomenological Lagrangian. Feynman diagrams derived from this Lagrangian are arranged according to increasing powers of the momentum, and calculated covariantly. Divergent diagrams are regularizated covariantly. Starting from the Bethe-Salpeter equation, we relate the covariant transition amplitudes with the potential, using the elastic unitarity principle. The potential in momentum space is covariant, relativistic, non-local and energy dependent. Next, we perform its nonrelativistic reduction and Fourier transform, obtaining a potential which is local, energy independent and that can be used in the Schrödinger equation. This potential has central, spin-orbit, tensor and spin-spin components. The isospin dependent part is similar to that of the Lomon and Partovi potential, but important differences appear in the isoscalar part, especially in the central channel, where a substantial increase of attraction in the 1.2 to 2.0 fm region is observed. In order to compare our potential with the literature, we fixed the cutoff parameter at A = 50 GeV, restricting its effects to the r 0.5 fm region. Our results are compared with Argonne phenomenological potential, and a reasonable compatibility in most of the channels is found. However, there are also important discrepancies which may be due to effects not considered in this work, such as those due to A and the p ressonances.

In recent years, there has been increasing interest in studying time-delayed coupled networks of oscillators since these occur in many real life applications. In many cases symmetry, patterns can emerge in these networks; as a consequence, a part of the system might repeat itself, and properties of this symmetric subsystem represent the whole dynamics. In this thesis, an analysis of a second order N-node time-delay fully connected network is made. This study is carried out using symmetry groups. The existence of multiple eigenvalues forced by symmetry is shown, as well as the possibility of uncoupling the linearization at equilibria, into irreducible representations due to the symmetry. The existence of steady-state and Hopf bifurcations in each irreducible representation is also proved. Three different models are used to analyze the network dynamics, namely, the full-phase, the phase, and the phase-difference model. A finite set of frequencies ω is also determined, which might correspond to Hopf bifurcations in each case for critical values of the delay. Although we restrict our attention to second order nodes, the results could be extended to higher order networks provided the time-delay in the connections between nodes remains equal. / Nos últimos anos, tem havido um crescente interesse em estudar redes de osciladores acopladas com retardo de tempo uma vez que estes ocorrem em muitas aplicações da vida real. Em muitos casos, simetria e padrões podem surgir nessas redes; em consequência, uma parte do sistema pode repetir-se, e as propriedades deste subsistema simétrico representam a dinâmica da rede toda. Nesta tese é feita uma análise de uma rede de N nós de segunda ordem totalmente conectada com atraso de tempo. Este estudo é realizado utilizando grupos de simetria. É mostrada a existência de múltiplos valores próprios forçados por simetria, bem como a possibilidade de desacoplamento da linearização no equilíbrio, em representações irredutíveis. É também provada a existência de bifurcações de estado estacionário e Hopf em cada representação irredutível. São usados três modelos diferentes para analisar a dinâmica da rede: o modelo de fase completa, o modelo de fase, e o modelo de diferença de fase. É também determinado um conjunto finito de frequências ω, que pode corresponder a bifurcações de Hopf em cada caso, para valores críticos do atraso. Apesar de restringir a nossa atenção para nós de segunda ordem, os resultados podem ser estendido para redes de ordem superior, desde que o tempo de atraso nas conexões entre nós permanece igual.

Submitted by Cássia Santos (cassia.bcufg@gmail.com) on 2014-10-14T12:59:09Z No. of bitstreams: 2 Dissertacao - Olavo Cesar Lyra Porto - Ciencias da Saude.pdf: 4368065 bytes, checksum: a20fe24dfaac1aa5700048dbfddaf49d (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Jaqueline Silva (jtas29@gmail.com) on 2014-10-17T21:35:10Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertacao - Olavo Cesar Lyra Porto - Ciencias da Saude.pdf: 4368065 bytes, checksum: a20fe24dfaac1aa5700048dbfddaf49d (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-10-17T21:35:10Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertacao - Olavo Cesar Lyra Porto - Ciencias da Saude.pdf: 4368065 bytes, checksum: a20fe24dfaac1aa5700048dbfddaf49d (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2012-11-01 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / Objective: To evaluate dentoskeletal symmetry in cone beam computed tomography (CBCT) scans of Brazilian individuals with Angle class I malocclusion. Materials and methods: Forty seven patients (22 girls) aged 11 to 16 years (14 years) seen in a private radiology service (CIRO, Goiânia, GO, Brazil). All the CBCT images were acquired from January 2009 to December 2010. Cephalometric measurements were made by multiplanar reconstructions (axial, coronal and sagittal) using Vista Dent3DPro 2.0 (Dentsply GAC, New York, USA). The minimum, maximum, mean and standard deviation values were described in tables, and the Student t test was used to define statistical significance (p<0.05). Results: Data were homogeneous, and the differences between right and left sides were not significant. Conclusion: The cephalometric measures of Brazilian individuals with Angle class I malocclusion can be used to define facial symmetry and three-dimensional standard references, which might be useful for orthodontic and surgical planning. / Objetivo: verificar a simetria facial e dentoesquelética por meio de fotografia frontal e tomografia computadorizada de feixe cônico, respectivamente, em indivíduos brasileiros portadores de má oclusão Classe I de Angle. Material e Método: a amostra do estudo foi selecionada de um banco de imagens de 47 pacientes (22 mulheres e 25 homens) com idade entre 11 e 16 anos em um serviço privado de radiologia. Todas as imagens foram obtidas de pacientes com indicação de tratamento ortodôntico no período de janeiro de 2009 a dezembro de 2010. Medidas cefalométricas foram obtidas por meio de reconstruções multiplanares (axial, coronal e sagital) com auxilio do programa Vista Dent3DPro 2.0. O valor mínimo, o máximo, a média e o desvio-padrão das medidas foram determinados e a diferença estatística entre as medidas do lado esquerdo e direito foi analisada por meio do teste-t e Mann-Whitney. Foram considerados significativos valores de p < 0,05. Resultados: As medidas cefalométricas mostraram dados homogêneos. O lado direito e esquerdo exibiram variações nas análises cefalométricas tridimensionais. 61,70% dos pacientes foram considerados simétricos na avaliação fotográfica frontal. Conclusão: Indivíduos brasileiros com classe I de Angle apresentaram simetria facial na maioria dos pacientes, com variações entre o lado direito e esquerdo.

Selecionamos para análise nesta dissertação os Choros nº4 (1926) e Choros nº7 (1924), obras de câmara compostas por Heitor Villa-Lobos (1887-1959) no período em que o compositor demonstrou grande interesse pela estética modernista que hoje chamamos \"pós-tonal\". Villa-Lobos mesclou em seus Choros - bem como em grande parte de sua obra - elementos do modernismo europeu com outros oriundos da cultura popular brasileira, neste caso em particular o choro urbano carioca das primeiras décadas do século XX. Em síntese, a linguagem utilizada por Villa-Lobos nos dois Choros se aproxima muito da técnica de composição \"em camadas\" recorrente em obras de Stravinsky como A Sagração da Primavera (1913), Petrushka (1911) e O pássaro de fogo (1910). Villa-Lobos utiliza a interação entre materiais harmônicos independentes (estruturas simples geradas individualmente e calcadas em escalas tradicionais não gerenciadas pela tonalidade herdada do classicismo). Em muitos momentos esses materiais escalares estão empilhados formando grandes conjuntos (supercoleções) com oito, nove, dez, onze classes de altura e até o conjunto cromático completo, relacionados por invariâncias entre essas estruturas. Em outras ocasiões esses complexos harmônicos aparecem justapostos, relacionados por transformação intervalar gradativa, operados em torno de classes de altura invariantes e movimentos discretos entre as remanescentes não comuns (prioritariamente por movimentos de tons e semitons), procedimento chamado pelos teóricos da vertente \"neo-Riemanniana\" (como Richard Cohn, Jack Douthett e Peter Steinbach, entre outros) como \"parcimônia\". Notamos também que Villa-Lobos com frequência relaciona essas camadas estratificadas por disposições intervalares simétricas, gerenciando os conjuntos de classes de altura que compõem as partes ou a totalidade harmônica em torno de eixos de simetrias invariantes (reflexão). Notamos ainda invariâncias frequentemente reiteradas em ostinato (simetria por translação), enquanto que variantes remanescentes surgem e desaparecem como segmentos de coleções em outras camadas ao longo do trecho conduzido pelo ostinato, completando a totalidade harmônica por justaposição. A partir desse diagnóstico preliminar, elegemos nesta pesquisa duas correntes analíticas distintas e concomitantes: a simetria intervalar (reflexão e translação) a partir de estudos sobre Teoria dos Conjuntos desenvolvidos essencialmente nos textos de Joseph Straus e João Pedro Oliveira; e a transformação intervalar atuando como regente na relação entre coleções dispostas em rede e na construção de grandes complexos harmônicos (supercoleções), aproximando nossa pesquisa de estudos neo-Riemannianos sobre redes de coleções e parcimônia, em especial os trabalhos desenvolvidos por Dmitri Tymoczko, Richard Cohn, Jack Douthett e Peter Steinbach. / Selected for analysis in this dissertation the Choros No.4 (1926) and Choros No.7 (1924), chamber works for the period of the 1920s, at which time the composer has shown great interest in a tilted to a high content of post- tonal modernist aesthetic harmonic complexity concatenated surface exposure of arguments coming from the Brazilian popular culture, in this particular case referencing the urban carioca choro from the first decades of the twentieth century. In summary, the language used by Villa-Lobos in the two Choros is closely to the composition technique in \'layers\' applied in works such as Stravinsky\'s Rite of Spring (1913), Petrushka (1911) and The Firebird (1910). Villa-Lobos uses the interaction between independent harmonic materials (simple structures generated individually with traditional scales not managed by the tonality inherited of classicism). In many instances these scales are stacked forming large sets (supersets) with eight, nine, ten, eleven pitch-classes or the complete chromatic; structures related by invariances. At other times these harmonic complexes appear juxtaposed, related by gradual intervallic transformations, operated around invariants pitch-class sets and discrete movements between remaining pitch-classes not common (primarily by movements of tones and semitones), a procedure called by the theorists of the \'neo-Riemannian\' (as Richard Cohn, Jack Douthett & Peter Steinbach and others) as \'parsimony\'. We also noticed that Villa-Lobos often relates these stratified layers by symmetrical intervallic arrangements, managing pitch-class sets that make up the parts or whole harmonic around axes of symmetry invariants (reflection). We also noted invariances often repeated on ostinato (translational symmetry), while remnants variants arise and disappear as segments of scales into different layers along the stretch led by ostinato, completing the entirety harmonious by juxtaposition. From this preliminary diagnosis, we choose in this research two distinct and concurrent analytical currents: the intervallic symmetry (invertional and translational) from studies on Pitch-Class Set Theory developed mainly in the writings of Joseph Straus and João Pedro Oliveira; and the intervallic transformation working as conductor in the relationship between scales arranged in network and in building of large harmonics sets (supersets), approaching our research to neo-Riemannian studies about scale networks and parsimony, in particular the texts by Dmitri Tymoczko, Richard Cohn, Jack Douthett & Peter Steinbach.

Este trabalho tem por objetivo analisar os processos composicionais do Kyrie, segundo movimento do Réquiem (1963-65), de György Ligeti. Segundo seu compositor, essa peça é uma \"estranha fuga\" e, como tal, receberá durante nosso trabalho a terminologia correspondente a essa declaração. No primeiro capítulo, investigaremos a microestrutura da obra e perceberemos aí o caráter direcional das alturas do Sujeito 1, Kyrie eleison, (Cohn, 1998; Douthett & Steinbach, 1998; Lewin; 1982) e as simetrias que descrevem o Sujeito 2, Christe eleison (Weyl, 1997; McManus, 2005). No segundo capítulo, discutiremos o conceito de ilusão sonora (Caznok, 2008; Vitale, 2013; Menezes, 2004), sua recorrência na obra de Ligeti e na compreensão da superfície audível do Kyrie. No terceiro e último capítulo, retomaremos alguns aspectos da história do termo \"fuga\" (Mann, 1987) na busca de reflexos dessa história na escrita de Ligeti. Durante todo o nosso texto, lembraremos de outras obras artísticas que, em diálogo com o Kyrie, nos ajudarão a exemplificar, contrapor ou ratificar procedimentos composicionais da obra de Ligeti. Nossa investigação tende a situar a obra desse compositor na questão da Tradição e Ruptura, problematizada pela modernidade (Arendt, 2013; Compagnon, 2010), a partir de uma abordagem prática: a da análise musical. / This work aims to analyze the compositional process of Kyrie, the second movement of Réquiem (1963-95), by György Ligeti. According to Ligeti, this piece is a \"strange fugue\" and, as such, we will use a terminology corresponding to that statement. In the first chapter, we will investigate the microstructure of the piece and we will find the pitches\' directionality of the Subject 1, Kyrie eleison, (Cohn, 1998; Douthett & Steinbach, 1998; Lewin; 1982) and the symmetries that characterizes the Subject 2, Christe eleison (Weyl, 1997; McManus, 2005). In the second chapter, we will discuss the concept of sound illusion (Caznok, 2008; Vitale, 2013; Menezes, 2004), its recurrence in Ligeti\'s repertoire and its relevance to the understanding of the audible surface of Kyrie. In the third chapter, we will remember some aspects of the history of the word \"fugue\" (Mann, 1987), looking for reflections of this history in the Kyrie. During our argumentation, we will bring out another works of art, which will be related to the Kyrie, helping us to illustrate, oppose or endorse the compositional procedures of Ligeti\'s work. Our research tends to situate the Kyrie in the context of Tradition and Rupture, considered by modernity (Arendt, 2013; Compagnon 2012), from a practical approach, the analytical research

Esta dissertação pretende verificar a utilização das relações musicais simétricas nos Estudos no 1, no 10, no 11, e no 12 de Heitor Villa-Lobos que se apresentam em diversas camadas de sua composição, como na elaboração melódica, na estruturação harmônica, na execução técnica e na disposição formal. Partindo da noção matemática e geométrica de simetria descrevemos como suas operações podem ser observadas em várias estruturas musicais para determinar uma gama de ferramentas que, somadas às técnicas das recentes teorias de análise musical, foram utilizadas para analisar os quatro Estudos. Desta maneira, pudemos determinar quais os tipos de relações de simetria são mais relevantes em cada um dos Estudos e quais são comuns a mais de um ou a todos eles. Concluímos com base em inúmeros resultados coletados destas análises que as relações de simetria e suas diversas operações desempenham um papel fundamental na composição destes quatro Estudos / This dissertation intends to investigate the use of musical symmetric relations at Heitor Villa- Lobos Etude no. 1, no. 10, no. 11, and no. 12 featured in several layers of its composition such as the melodic elaboration, the harmonic structure, the technical approach and the formal disposition of the sessions. From the mathematical and geometrical notion, we could show how the symmetry operations can be observed in several musical structures and so determine a range of tools that, together with the techniques of the recent theories of music analysis, were used to analyze these four Etudes. Thus, we could determine which types of symmetry relations are more relevant in each Etude and which is common to more than one or all of them. We conclude on the basis of numerous results collected from these analyses that the relations of symmetry and its various operations play an important role in the composition of these four Etudes