Šis magistro darbas yra skirtas stochastinių ekstremumų stabilumo uždavinių sprendimui. Šiame darbe yra atlikta N stabilumo analizė, kai N yra pasiskirstęs pagal geometrinį, Sibuya ir Harris dėsnius. Taip pat yra paskaičiuotas konvergavimo greitis maksimumams ir atlikta konvergavimo greičio kompiuterinė analizė. Gautais rezultatais mes patvirtinome jau žinomą faktą, kad geometrinis N maks stabilumas ir N min stabilumas yra vienas kitą sąlygojantys. Taip pat gavome ir įrodėme naujus rezultatus, jog Sibuya ir Harris N maks ir N min stabilumai nėra vienas kitą sąlygojantys. / This master’s work is dedicated to solution of the stochastic extremums stability problems. In this work the analysis of N stability is done then N is distributed by geometrical, Sibuya and Harris laws. The convergence rate for maximums was constructed and also computerized analysis of results was done. In accordance with the main results, we confirmed the known fact that geometrical N max stability and N min stability are influencing each other. Also we obtained and proved new results, that Sibuya and Harris N max stability and N min stability are not influencing each other.

In the dissertation there is investigated a class of Markov chains defined by iterations of a function possessing a property of asymptotical homogeneity. Two problems are solved: 1) there are established rather general conditions under which the chain has unique stationary distribution; 2) for the chains evolving in a real line there are established conditions under which the stationary distribution of the chain is heavy-tailed. / Disertacijoje tirta Markovo grandinių klasė, kurios iteracijos nusakomos atsitiktinėmis asimptotiškai homogeninėmis funkcijomis, ir išspręsti du uždaviniai: 1) surastos bendros sąlygos, kurios garantuoja vienintelio stacionaraus skirstinio egzistavimą; 2) vienmatėms grandinėms surastos sąlygos, kurioms esant stacionarus skirstinys turi "sunkias" uodegas.

Disertacijoje tirta Markovo grandinių klasė, kurios iteracijos nusakomos atsitiktinėmis asimptotiškai homogeninėmis funkcijomis, ir išspręsti du uždaviniai: 1) surastos bendros sąlygos, kurios garantuoja vienintelio stacionaraus skirstinio egzistavimą; 1) vienmatėms grandinėms surastos sąlygos, kurioms esant stacionarus skirstinys turi "sunkias" uodegas. / In the dissertation there is investigated a class of Markov chains defined by iterations of a function possessing a property of asymptotical homogeneity. Two problems are solved: 1) there are established rather general conditions under which the chain has unique stationary distribution; 2) for the chains evolving in a real line there are established conditions under which the stationary distribution of the chain is heavy-tailed.

Šiame darbe nagrinėta tam tikra asimptotiškai homogeninė Markovo grandinė ir rasta jos stacionaraus skirstinio uodegos asimptotika. Nagrinėta grandinė negali būti ištirta šiuo metu žinomais metodais, todėl darbas turi praktinę reikšmę. Spręstas uždavinys aktualus sunkių uodegų analizėje. / In this work we have investigated some asymptotically homogeneous Markov chain and found asymptotics of the stationary distribution tail. To our best knowledge, considered chain cannot be investigated by means of existing methods, hence obtained results have practical value. Solved problem is relevant in heavy tail analysis.

Darbe yra išbandytas naujai pasiūlytas atsitiktinių skaičių generavimo algoritmas, kuris sudarytas iš netiesinių rekurentinių sekų generavimo tolygiai pasiskirsčiusio intervale [0,1], bei išbandyta jo kokybė modeliuojant konkrečius tikimybinius pasiskirstymus. / The paper has tested the newly proposed random number generation algorithm, which consists of a linear recurrent sequence of generating uniformly distributed in the interval [0,1], and its quality is tested by modeling the specific probability distribution.

Gaussian distribution is the most applied in practice and because of that reason there is a great amount of studies done in this area. In this report we look at Gaussian distribution from a point of view of extreme value theory. More concretely, moments of maximum of normally distributed values are discussed. There are methods to calculate moments of extremes of independent identically distributed normal values, values with different variances and asymptotical results. In this work a case of dependant variables is analyzed and aim is to look for results in similar cases that is done for independent variables. Continuing Bachelor’s work formula for moment calculation of maximum of two dependent normal variables with all different parameters is presented. Also there is a proof of formula for calculation of odd order moments of three dependent variable maximum. This result is generalized for random variable vectors of any length. There is a theorem stated, according to which moments of length n vector maximum could be expressed by same order moments of shorter vectors. Unfortunately, because of requirements for numbers n and m, no recursion method could be applied. Using computer, maximum of various length random vectors with dependent components is simulated and average is analyzed. In experiments relation between mean values of dependent and independent variable maximums is observed. This relation is stated in a form of a formula and proved for vectors of any length. In this... [to full text]

Stabilieji skirstiniai yra plati tikimybinių skirstinių klasė. Atsitiktiniai dydžiai, pasiskirstę pagal stabiliuosius skirstinius, pasižymi savybe – jų suma taip pat yra stabili. Šie pasižymi sunkiomis uodegomis ir, kai kuriais atvejais, asimetriškumu. Taigi jie gerai aprašo duomenis. Pagrindinis šių skirstinių trūkumas yra tas, kad nežinomos tikslios pasiskirstymo ir tankio funkcijų išraiškos (išskyrus kelis atvejus: normalusis, Koši ir Levi skirstiniai). Darbo pradžioje pateikta stabiliųjų skirtinių apžvalga bei jų pritaikymas finansų rinkose. Aprašytos pagrindinės stabiliųjų skirstinių savybės, įverčių skaičiavimo algoritmai bei optimalaus portfelio sudarymas ir jo vertės pokyčio rizikos mato (VaR) skaičiavimas. Antroje darbo dalyje nagrinėjamas optimaliojo investicinio portfelio „normalioje“ ir „stabilioje“ rinkoje sudarymas. Rizikos matu laikomas sklaidos parametras (stabiliuoju atveju) arba standartinis nuokrypis, padalintas iš kvaratinės šaknies iš 2, (normaliuoju atveju). Palyginami portfeliai, sudaryti iš septyniolikos lietuviškų akcijų, gauti pagal skirtingas tikimybines prielaidas. Parodyta, kad optimalieji portfeliai skiriasi, kuomet duomenys yra pasiskirstę pagal stabilųjį ir normalųjį skirstinius. / Stable distributions are a rich class of probability distributions that allow skewness and heavy tails. The lack of closed formulas for densities and distribution functions for all distributions (except Gaussian, Cauchy and Levy distributions) is the major drawback. There is an overview of the stable distributions and their applications in finance markets at the beginning of this paper. There are described basic properties of stable distributions, estimation algorithms and optimal asset allocation and stable computation of Value at Risk in the first part of the work. We analyze an investment allocation problems in this work. We consider as the risk measure the estimate of scale parameter (in the stable case) or the expected value of absolute deviation divided by square root of 2 (in Gaussian case). We examine the optimal allocation between seventeen risky assets with normal or stable distributed returns and then we compare the allocation obtained under the Gaussian and stable distributional assumptions. We show that there are differences in the allocation when the data follow the stable non-Gaussian and the normal distribution.

Magistro baigiamajame darbe analizuojami matematinės statistikos tikimybiniai skirstiniai. Darbo tikslas – atlikti nepriklausomų beta atsitiktinių dydžių sandaugos pasiskirstymo analizę. Ši tematika aktuali sudėtingų sistemų patikimumo analizės teorijoje. Darbe aprašyta neaprėžtai dalių tikimybinių skirstinių teorija, kuri naudojama atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymui tirti, ir M-dalių tikimybių pasiskirstymo modelių teorija, naudojama nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos pasiskirstymo analizei atlikti. Baigiamajame darbe suformuluotos dvi teoremos, nusakančios, kuriais atvejais daugindami baigtinį skaičių nepriklausomų beta atsitiktinių dydžių su skirtingomis parametrų reikšmėmis gauname beta atsitiktinį dydį, kurio parametrai išreikšti per dauginamųjų parametrus. Šios teoremos įrodytos, kuomet dauginame du nepriklausomus beta atsitiktinius dydžius. Taip pat darbe suformuluota ir įrodyta teorema, nurodanti beta atsitiktinio dydžio logaritmo charakteringosios funkcijos analitinę išraišką. / The mathematical statistics probability distributions are analyzed in this master thesis. The main purpose is to carry out the analysis of independent beta random variables products distribution. This theme is relevant to the reliability analysis of complex systems theory. The theoretics of unlimited divisible probability distributions is described in this master thesis. Following theory is useful to investigate the sums of independent random variables. The theoretics of M-divisible probability distributions is also described in this master thesis. It is useful to investigate the product of independent random variables. Two theorems about the product of finite number of independent beta random variables are formulated in this master thesis. Following theorems tells us, that product is beta random variable again, and its parameters expressions are related with multiplicands parameters. Theorems are proved when we are multiplying two independent beta random variables. Another theorem that is about characteristic function of beta random variable logarithm is formulated and proved in this master thesis.

Disertacijoje nagrinėjami Markovo grandinės Monte-Karlo (MCMC) adaptavimo metodai, skirti efektyviems skaitiniams duomenų analizės sprendimų priėmimo su iš anksto nustatytu patikimumu algoritmams sudaryti. Suformuluoti ir išspręsti hierarchiniu būdu sudarytų daugiamačių skirstinių (asimetrinio t skirstinio, Puasono-Gauso modelio, stabiliojo simetrinio vektoriaus dėsnio) parametrų vertinimo uždaviniai. Adaptuotai MCMC procedūrai sukurti yra pritaikytas nuoseklaus Monte-Karlo imčių generavimo metodas, įvedant statistinį stabdymo kriterijų ir imties tūrio reguliavimą. Statistiniai uždaviniai išspręsti šiuo metodu leidžia atskleisti aktualias MCMC metodų skaitmeninimo problemų ypatybes. MCMC algoritmų efektyvumas tiriamas pasinaudojant disertacijoje sudarytu statistinio modeliavimo metodu. Atlikti eksperimentai su sportininkų duomenimis ir sveikatos industrijai priklausančių įmonių finansiniais duomenimis patvirtino, kad metodo skaitinės savybės atitinka teorinį modelį. Taip pat sukurti metodai ir algoritmai pritaikyti sociologinių duomenų analizės modeliui sudaryti. Atlikti tyrimai parodė, kad adaptuotas MCMC algoritmas leidžia gauti nagrinėjamų skirstinių parametrų įvertinius per mažesnį grandžių skaičių ir maždaug du kartus sumažinti skaičiavimų apimtį. Disertacijoje sukonstruoti algoritmai gali būti pritaikyti stochastinio pobūdžio sistemų tyrimui ir kitiems statistikos uždaviniams spręsti MCMC metodu. / Markov chain Monte Carlo adaptive methods by creating computationally effective algorithms for decision-making of data analysis with the given accuracy are analyzed in this dissertation. The tasks for estimation of parameters of the multivariate distributions which are constructed in hierarchical way (skew t distribution, Poisson-Gaussian model, stable symmetric vector law) are described and solved in this research. To create the adaptive MCMC procedure, the sequential generating method is applied for Monte Carlo samples, introducing rules for statistical termination and for sample size regulation of Markov chains. Statistical tasks, solved by this method, reveal characteristics of relevant computational problems including MCMC method. Effectiveness of the MCMC algorithms is analyzed by statistical modeling method, constructed in the dissertation. Tests made with sportsmen data and financial data of enterprises, belonging to health-care industry, confirmed that numerical properties of the method correspond to the theoretical model. The methods and algorithms created also are applied to construct the model for sociological data analysis. Tests of algorithms have shown that adaptive MCMC algorithm allows to obtain estimators of examined distribution parameters in lower number of chains, and reducing the volume of calculations approximately two times. The algorithms created in this dissertation can be used to test the systems of stochastic type and to solve other statistical... [to full text]

Markov chain Monte Carlo adaptive methods by creating computationally effective algorithms for decision-making of data analysis with the given accuracy are analyzed in this dissertation. The tasks for estimation of parameters of the multivariate distributions which are constructed in hierarchical way (skew t distribution, Poisson-Gaussian model, stable symmetric vector law) are described and solved in this research. To create the adaptive MCMC procedure, the sequential generating method is applied for Monte Carlo samples, introducing rules for statistical termination and for sample size regulation of Markov chains. Statistical tasks, solved by this method, reveal characteristics of relevant computational problems including MCMC method. Effectiveness of the MCMC algorithms is analyzed by statistical modeling method, constructed in the dissertation. Tests made with sportsmen data and financial data of enterprises, belonging to health-care industry, confirmed that numerical properties of the method correspond to the theoretical model. The methods and algorithms created also are applied to construct the model for sociological data analysis. Tests of algorithms have shown that adaptive MCMC algorithm allows to obtain estimators of examined distribution parameters in lower number of chains, and reducing the volume of calculations approximately two times. The algorithms created in this dissertation can be used to test the systems of stochastic type and to solve other statistical... [to full text] / Disertacijoje nagrinėjami Markovo grandinės Monte-Karlo (MCMC) adaptavimo metodai, skirti efektyviems skaitiniams duomenų analizės sprendimų priėmimo su iš anksto nustatytu patikimumu algoritmams sudaryti. Suformuluoti ir išspręsti hierarchiniu būdu sudarytų daugiamačių skirstinių (asimetrinio t skirstinio, Puasono-Gauso modelio, stabiliojo simetrinio vektoriaus dėsnio) parametrų vertinimo uždaviniai. Adaptuotai MCMC procedūrai sukurti yra pritaikytas nuoseklaus Monte-Karlo imčių generavimo metodas, įvedant statistinį stabdymo kriterijų ir imties tūrio reguliavimą. Statistiniai uždaviniai išspręsti šiuo metodu leidžia atskleisti aktualias MCMC metodų skaitmeninimo problemų ypatybes. MCMC algoritmų efektyvumas tiriamas pasinaudojant disertacijoje sudarytu statistinio modeliavimo metodu. Atlikti eksperimentai su sportininkų duomenimis ir sveikatos industrijai priklausančių įmonių finansiniais duomenimis patvirtino, kad metodo skaitinės savybės atitinka teorinį modelį. Taip pat sukurti metodai ir algoritmai pritaikyti sociologinių duomenų analizės modeliui sudaryti. Atlikti tyrimai parodė, kad adaptuotas MCMC algoritmas leidžia gauti nagrinėjamų skirstinių parametrų įvertinius per mažesnį grandžių skaičių ir maždaug du kartus sumažinti skaičiavimų apimtį. Disertacijoje sukonstruoti algoritmai gali būti pritaikyti stochastinio pobūdžio sistemų tyrimui ir kitiems statistikos uždaviniams spręsti MCMC metodu.