Šis darbas remiasi dviem straipsniais: Kahadawala Cooray, Malwane M. A. Amanda, „Modeling actuarial data with a composite lognormal – Pareto model“ (Scandinavian Actuarial Journal, 5, 321-334 psl.) ir McNeil Alexander J. „Estimating the tails of loss severity distributions using extreme value theory“ (ASTIN Bulletin, 27, 117-137 psl.). Pirmajame pristatomas sudėtinis lognormalusis – Pareto skirstinys. Antrajame nagrinėjamas apibendrintas Pareto skirstinys, tiriama, kaip jis aprašo dideles žalas. Šio magistro darbo tikslas yra sujungti lognormalųjį bei apibendrintą Pareto skirstinius. Pirmasis jų gerai aprašo mažas žalas su dideliais dažniais, antrasis – dideles, turinčias mažus dažnius. Darbe taip pat naudojamas kiek pakeistas Kahadawala Cooray ir Malwane M. A. Amanda straipsnyje pasiūlytas skirstinių sujungimo būdas. Šiame darbe ištirtos kai kurios sudėtinio lognormaliojo – apibendrinto Pareto skirstinio su keturiais laisvais parametrais savybės, pateiktas įverčių radimo metodas, bei, remiantis šiuo modeliu, išnagrinėtos trys duomenų imtys. Rezultatai rodo jog, dėl tam tikrų sujungimo savybių, modelis tinkamas aprašyti tiek didelėms, tiek mažoms žaloms, o, svarbiausia, mišrioms žaloms, tarp kurių pasitaiko tiek mažų, tiek labai didelių. Pastarojo tipo duomenys gana dažni draudimo praktikoje. / This work is based on two articles: Kahadawala Cooray, Malwane M. A. Amanda, „Modeling actuarial data with a composite lognormal – Pareto model“ (Scandinavian Actuarial Journal, 5, pages 321-334) and McNeil Alexander J. „Estimating the tails of loss severity distributions using extreme value theory“ (ASTIN Bulletin, 27, pages 117-137). The first article presents a two - parameter smooth continuous composite lognormal - Pareto model. The second one analyses generalised Pareto distribution and how does this distribution cover large loses. The purpose of this writing is to mix lognormal and generalised Pareto distributions in to one four parameter smooth continuous distribution. The lognormal distribution is used to model small data with higher frequencies, and the generalised Pareto distribution is used to model large data with low frequencies. In this work we also try to use a modified way of mixing these two distributions than Kahadawala Cooray and Malwane M. A. Amanda used in their work. Writing also includes an analysis of some properties of this model, method of parameter estimation and three data sets analysis based on this distribution. The results show that because of some properties of mixing these two distributions, a composite model is suitable for covering small loses as well as it is suitable for covering large loses. But most important result is that the composite lognormal - generalised Pareto distribution is fit to cover data sets, which include small loses and... [to full text]

Aprašytas padangų nusidėvėjimo modelis, atsižvelgiant į natūralųjį nusidėvėjimą ir padangų traumatinius gedimus. Išnagrinėtos patikimumo charakteristikos: patikimumo funkcija ir k-tojo gedimo tipo tikimybės intervale [0;t], gautos šių statistikų įverčių H. Dinges tipo transformacijos. Sudaryta programa su SAS paketu, kuri generuoja padangų gedimo momentus ir apskaičiuoja patikimumo funkcijos ir k-tojo gedimo tipo tikimybės intervale [0;t] įverčius. / The work represent a tire exploiting model including both tire degradation and tire failures. The estimator of reliability characteristics: reliability function and the probability of k traumatic failure type were analysed. Natural tire wear and traumatic failure time data were analysed with SAS software.

Tikrinamos statistinės hipotezės. Darbas susideda iš dviejų dalių: pirmoje dalyje tikrinamos dvi paprastos hipotezės, taikomas statistinis kriterijus, kuris turi tenkinti tokias sąlygas: 1 – pirmos rūšies klaidos tikimybė yra aprėžta, o 2 - antros rūšies klaidos tikimybę mes minimizuojame. Darbe gauta asimptotinė formulė šios antros rūšies klaidos tikimybės elgesio, kai duomenų skaičius n artėja į begalybę. Antroje dalyje tikrinamos trys paprastos hipotezės ir ištirta kaip elgiasi minimali klaidos tikimybė iš visų galimų, kitaip sakant optimalaus minimaksiško kriterijaus klaidos tikimybė, kai duomenų skaičius n neapibrėžtai didėja. Pirmoje dalyje nagrinėjama klaidos tikimybė asimtotiškai mažėja proporcingai Kulbako atstumui, o antroje dalyje atitinkama klaidos tikimybė atitinkamai mažėja proporcingai Čensovo atstumui. Taip pat savo darbo teorinėje dalyje aprašiau šių atstumų savybes. Pabaigoje, kaip pavyzdį paėmus polinominį skirstinį parodėme, kaip yra surandamos šių dviejų rezultatų asimptotinės formulės ir kaip atrodo atitinkamų šių hipotezių tikrinimo asimptotinis elgesys. / Statistical Hypothesis Testing. The work consists of two parts: in the first part two simple hypotheses were tested and a statistical criterion which should meet the following specifications was applied: 1 – the probability of type I error was defined and 2 - the probability of type II error was minimized. The asymptote formula of behaviour of the probability of type II error was obtained in the work when the n number of the data was approaching infinity. In the second part of the work three simple hypotheses were tested. It has been explored how the minimum error probability of all available errors, i.e., the error probability of the optimal minimax criterion, performed when the n number of the data was indefinitely increasing. The error probability analysed in the first part of the work was asymptotically decreasing in proportion to the Kulbak distance while the corresponding error probability analysed in the second part of the work was respectively decreasing in proportion to the Censov distance. Moreover, the properties of the distances mentioned above were described in the theoretical part of the work. The work concludes with choosing a polynomial distribution as an example which has demonstrated how the two asymptote formulas of the two results were obtained and how the asymptotic behaviour of testing of respective hypotheses looked like.

Darbo tikslas – sukonstruoti dvimatį skirstinį, kai duoti vienmačiai (marginalieji) skirstiniai, atlikti maksimumų asimptotinę analizę ir ištirti konvergavimo greitį. Dvimatis skirstinys konstruojamas dviem atvejais: kai vektorių komponentės yra priklausomos ir nepriklausomos. Detalesnė konvergavimo greičio analizė atlikta, kai komponentės yra priklausomos. Tyrimui buvo pasirinktas Pareto skirstinys. Pirmoje tiriamosios dalies ir rezultatų dalyje yra konstruojamas dvimatis skirstinys, skaičiuojamos jo pagrindinės charakteristikos, tiriama, ar prie visų parametrų reikšmių jos egzistuoja. Taip pat generuojami atsitiktiniai dydžiai, kurių skirstiniai yra sukonstruotosios skirstinio funkcijos marginalieji skirstiniai, ir eksperimentiškai bandoma pagrįsti gautus rezultatus. Antroje dalyje atliekama asimptotinė analizė. Apibrėžiami dvimačiai maksimumai, ieškomas ribinis skirstinys. Juos suradus, apibrėžiamas apytikslis konvergavimo greičio įvertis, atliekama jo bei paklaidų kompiuterinė analizė, ieškoma, kokioms sąlygoms esant jie yra mažiausi. Sukonstruoto dvimačio skirstinio skaitinių charakteristikų tyrimas atliekama programiniu paketu MathCAD. Kompiuterinė konvergavimo greičio įverčių analizė atliekama programinio paketo Matlab pagalba. Jo aplinkoje buvo sukurta programa vartotojui, kuri nubraižo konvergavimo greičio įvertį bei paklaidas. / The aim of this paper is to construct two-dimensional random variables, having one-dimensional ones, carry out the asymptotical analysis and study the speed of convergence. Two-dimensional distribution is constructed in two ways: when the components of random variables are independent and dependent. As in the last few years Pareto distribution is popular in financial models, it was chosen for the analyses. It was proved, that in both cases of independent and dependent components of the vector, the limit distribution is the same. This means that although the components of the vector are dependent, the maxima are asymptotically independent. Besides, the errors are smaller than the approximate estimate. Although, the approximate estimate in the case of independent components is smaller than in the case of dependent components, the errors are on the contrary: they are smaller when the components are dependent than when the components are independent.

Draudimo matematikoje modeliuojant žalas dažnai naudojami dviejų parametrų lognormalusis ir Pareto skirstiniai. Lognormalusis skirstinys taikomas mažoms žaloms su dideliu dažniu aprašyti, o Pareto – didelėms su mažu. Siekiant, kad skirstinys vienodai gerai aprašytu visų tipų žalas, sudaromas nupjauto lognormaliojo ir Pareto skirstinių mišinys su trimis laisvais parametrais. Šis darbas parašytas remiantis Kahadawala Cooray ir Malwane M. A. Ananda straipsniu "Modeling actuarial data with a composite lognormal – Pareto model" ("Scandinavian Actuarial Journal", 2005, 5, 321 - 334 psl.), kuriame nagrinėjamas sudėtinis lognormalusis – Pareto skirstinys. Darbe nagrinėjami lognormalusis ir Pareto skirstiniai, aptariama, kodėl jie turėtų būti naudojami kartu kaip mišinys, pateikiamas nupjauto lognormaliojo ir Pareto skirstinių mišinio tankio funkcijos išvedimas, grafiškai iliustruojamas jos kitimas, priklausomai nuo parametrų parinkimo. Praktinėje dalyje nagrinėjamos trys imtys: sudėtiniu lognormaliuoju – Pareto skirstiniu modeliuoti duomenys, vienos Lietuvos draudimo bendrovės draudimo nuo nelaimingų atsitikimų žalos ir Danijos gaisrų draudimo žalos. Didžiausio tikėtinumo metodu skaitiškai įvertinami mišinio parametrai kiekvienai imčiai, gauti rezultatai lyginami su sudėtinio lognormaliojo – Pareto, lognormaliojo, Pareto, Gama, Weibull skirstinių didžiausio tikėtinumo įverčiais. Palyginimui naudojami Kolmogorovo – Smirnovo, Andersono – Darlingo kriterijai ir chi kvadrato suderinamumo... [toliau žr. visą tekstą] / In insurance mathematics are often used the lognormal ant the Pareto distributions with two parameters to model loss data. The lognormal distribution is used to model small data with higher frequencies, while the Pareto distribution is used to model large data with low frequencies. In order to achieve both of these losses in one model, the truncated lognormal and the Pareto distributions mixture with three parameter is presented. This work is written with reference to Kahadawala Cooray ir Malwane M. A. Ananda article "Modeling actuarial data with a composite lognormal – Pareto model" ("Scandinavian Actuarial Journal", 2005, 5, 321 - 334 pages), where composite lognormal – Pareto model is researched. In this work the necessity of the lognormal and the Pareto distributions mixture is discussed, the derivation of the truncated lognormal and the Pareto distributions mixture model are presented and behaviour of density function in dependent of parameter variation is discussed by illustrating. For practical application three data sets are chosen: simulated from the composite lognormal – Pareto distribution, personal accident insurance loss of one Lithuania insurance company, Danish fire loss data. For the each of data sets the parameters are estimated using maximum likelihood function, resulted estimators are compared with maximum likelihood estimators of composite lognormal – Pareto, lognormal, Pareto, Gamma and Weibull distributions. In order to compare the models the following... [to full text]

Baigiamajame magistro darbe sprendžiamas klasikinis uždavinys, kai tikimybinis skirstinys aproksimuojamas Gauso skirstiniu, panaudojus kelis žinomus metodus. Darbe skirstiniai iš GZD tikimybinių skirstinių klasės aproksimuojami Gauso tikimybiniais skirstiniais. Pritaikytas D. Alfers ir H. Dinges metodas apie beta skirstinio aproksimavimą normaliuoju skirstiniu darbe nagrinėjamiems GZD. Užrašyti neaprėžtai dalių tikimybinių skirstinių formalūs charakteristinių funkcijų bei tankių asimptotiniai skleidiniai panaudojant Apelio daugianarius. Gautos formulės bus naudingos matematinės statistikos specialistams ir ekonomistams, nagrinėjantiems finansuose iškilusias problemas. / In this paper are solved classical problem, i.e. there are used normal approximations employed few well-known methods. In this paper normal approximations are developed for Br. Grigelionis GZD distributions. We are shown what normal approximations used for beta distributions are applied for GZD distributions. In this paper we are applying D. Alfers ir H. Dinges statements about beta distributions asymptotical treatments. It is written down formal characteristic function and density for infinite divisible distributions asymptotical expansion used Apelis polynomial. The results will help to mathematical statistics specialists and cea who are researching problems in finance theory.

Baigiamajame magistro darbe sprendžiamas klasikinis uždavinys, kai tikimybinis skirstinys aproksimuojamas Gauso skirstiniu, panaudojus kelis žinomus metodus. Darbe skirstiniai iš GZD tikimybinių skirstinių klasės aproksimuojami Gauso tikimybiniais skirstiniais. Pritaikytas D. Alfers ir H. Dinges metodas apie beta skirstinio aproksimavimą normaliuoju skirstiniu darbe nagrinėjamiems GZD. Užrašyti neaprėžtai dalių tikimybinių skirstinių formalūs charakteristinių funkcijų bei tankių asimptotiniai skleidiniai panaudojant Apelio daugianarius. Gautos formulės bus naudingos matematinės statistikos specialistams ir ekonomistams, nagrinėjantiems finansuose iškilusias problemas. / In this paper are solved classical problem, i.e. there are used normal approximations employed few well-known methods. In this paper normal approximations are developed for Br. Grigelionis GZD distributions. We are shown what normal approximations used for beta distributions are applied for GZD distributions. In this paper we are applying D. Alfers ir H. Dinges statements about beta distributions asymptotical treatments. It is written down formal characteristic function and density for infinite divisible distributions asymptotical expansion used Apelis polynomial. The results will help to mathematical statistics specialists and cea who are researching problems in finance theory.

The max-stable Paretian distribution is analyzed in this Master’s work.

Le but de l’étude: A l’aide d’ANOVA (l’analyse dispersive) nommer: les différents facteurs, qui déterminent le progrès mathématicien des élèves; les paires des facteurs, qui ont l’influence au progrès des élèves. En considération des résultats reçus, donner les conclusions et les recommandations pour améliorer les acquis des élèves. Les devoirs du travail : 1) Analyser les particularités et les possibilités de la méthode d’ANOVA. 2) Analyser la convenance d’ANOVA pour fixer les facteurs décisifs au progrès mathématicien des élèves. 3) Etablir et analyser les facteurs dont le niveau des connaissances mathématiques des élèves dépend. 4) En s’appuyant sur les résultats des recherches accomplies, donner les conclusions et les recommandations comme il faut perfectionner l’enseignement des mathématiques. L’objet des recherches – les élèves des 10ièmes classes des écoles des régions de Vilnius et Kaunas. Après les recherches accomplies, il faut travailler statiquement avec les données reçues, en utilisant le programme SPSS. Pour l’analyse statistique des données recueillies, les coefficients de la corrélation de Kendal et de Spearman, les critères de Kolmogorov¬–Smirnov et de Livyn, ont été calculés, la méthode d’ANOVA, les maintes fois comparaisons où les critères post hoc, ont été appliqués. Les méthodes des recherches : l’analyse de la littérature scientifique ; l’interrogatoire questionnaire ; l’analyse statistique des données. On montre dans le travail, que la méthode d’ANOVA... [to full text]

Šiame darbe aprašomi du pagreitintų bandymų modeliai – parametrinis ir neparametrinis. Pirmame skyrelyje aptartas parametrinio pagreitintų bandymų modelio atvejis. Antrame skyrelyje aptartas semiparametrinis pagreitintų bandymų modelio atvejis. Trečias skyrelis skirtas apkrovos pasikeitimo atsitiktiniais momentais atvejo modeliavimui esant neparametriniam pagreitintų bandymų modeliui. Šio skyrelio tikslas - neparametrinio patikimumo funkcijos įverčio, ir pagreitinimo konstantos įverčio apskaičiavimas iš pagreitintų bandymų duomenų. Ketvirtame skyrelyje pateiktas apkrovos pasikeitimo atsitiktiniais momentais atvejo modeliavimas esant parametriniam pagreitintų bandymų modeliui. Pagrindinė šio darbo užduotis - neparametriniais ir parametriniais metodais gautų patikimumo įvertinių charakteristikų ir savybių palyginimas, naudojant pagreitintu bandymų duomenis. / In this work are depicted two models of accelerated failure time - parametric and nonparametric. Leading destination of this work - the count of estimators of parametric and nonparametric funkction under accelerated failure time model.