L'objectif des travaux présentés dans la thèse concerne la résolution par itérations de systèmes algébriques à grande échelle. Ces systèmes sont issus de la discrétisation par éléments finis de problèmes aux limites. Dans la majorité des cas en 3D, la phase de résolution s'avère l'étape la plus exigeante en terme de ressources informatiques. Ainsi, il est impératif de développer des méthodes itératives efficaces et robustes pour un large éventail de problèmes aux limites. Dans cette thèse, nous nous plaçons dans le cadre des méthodes itératives de Krylov à préconditionneur variable, c'est-à-dire autorisant une flexibilité au niveau du choix du préconditionnement en cours d'itération. Nous visons principalement des problèmes de type convection-diffusion, d'élasticité et de Navier-Stokes discrétisés par des éléments finis quadratiques. Afin de réduire les coûts inhérents aux éléments quadratiques, nous proposons une méthode de résolution multi-niveaux basée sur la hiérarchie naturelle entre les éléments finis linéaires et quadratiques d'où le nom de méthode hiérarchique. Elle possède plusieurs points en commun avec les méthodes multi-grilles mais a l'avantage de s'appliquer aux géométries complexes et aux maillages non-structures. L'utilisation de cette méthode comme préconditionneur à une méthode de Krylov à préconditionneur variable permet d'obtenir une méthode très efficace. L'autre partie de la thèse, concerne la résolution globale et itérative des systèmes de type point selle. Ces systèmes proviennent de la discrétisation des équations linéarisées du problème de Navier-Stokes. La résolution efficace de ces systèmes joue un rôle majeur dans le traitement numérique des équations de Navier-Stokes. Pour cela, nous avons mis en place un préconditionneur adroite de format triangulaire par bloc. Pour rendre ce préconditionneur efficace, nous avons fait appel à trois ingrédients : l'ajout du terme rV(div(u)) aux équations continues de Navier-Stokes, une résolution efficace en vitesse par la méthode hiérarchique et une bonne approximation du complément de Schur. Nos tests numériques montrent l'efficacité des méthodes présentées dans ce travail.

Dans cette thèse, nous développons et mettons en oeuvre une méthode numérique de discrétisation spatiale entièrement tridimensionnelle afin d'étudier la transition des écoulements visqueux et incompressibles dans un canal infiniment long, d'un état stable et bidimensionnel à un état tridimensionnel. Le principe de stabilité linéaire permet de déterminer l'apparition d'une telle bifurcation et la théorie des systèmes dynamiques montre que l'écoulement au voisinage de la solution stable bidimensionnelle considérée tend alors à suivre une direction privilégiée. Dans certains cas il en résulte un écoulement tridimensionnel et périodique qu'il n'est possible de décrire qu'en adoptant une approche entièrement tridimensionnelle. Nous avons adopté une approche combinant la robustesse de la méthode des éléments finis à la précision des méthodes de Fourier. La théorie de la méthode de discrétisation est expliquée, un code est validé en utilisant plusieurs bancs d'essai et la description qualitative du comportement local de l'écoulement après bifurcation est présentée.

Ce travail est consacré à l'étude du couplage des équations de Navier-Stokes et de la chaleur posées dans un domaine polygonal non convexe. Après avoir analysé le comportement singulier des solutions de ces équations près des coins du domaine considéré, nous présentons une formulation mixte duale de ces équations basée sur l'introduction de deux nouvelles inconnues : a qui est le tenseur gradient de la vitesse et le champ vectoriel ^ qui désigne le gradient de la température. Ensuite, en considérant une famille de maillage Th du domaine fi, nous analysons une méthode d'éléments finis mixte duale basée sur cette dernière formulation en utilisant l'élément fini de Raviart-Thomas de plus bas degré pour approximer les nouvelles inconnues cr et <^ sur chaque triangle K de la triangulation Th. Tandis que les variables n, p et T seront approximées par des polynômes de degré zéro sur chaque triangle K. En particulier, nous montrons que l'on peut retrouver l'ordre de convergence quasi-optimal si le maillage est raffiné suivant certaines règles qui sont essentiellement celles introduites par G. Raugel et basées sur le fait que les solutions sont régulières dans des espaces de Sobolev à poids. Nous discutons les aspects d'implémentation de la méthode d'éléments finis mixte duale raffinée pour ces équations en utilisant un algorithme de point fixe combiné à une formulation hybride de deux systèmes issus du découplage du problème discret : l'un correspondant aux équations de Navier-Stokes et l'autre à l'équation de la chaleur. Nos résultats numériques obtenus, en plus de confirmer l'ordre de convergence optimal pour un problème test posé dans un domaine polygonal non convexe, sont tout-à-fait comparables avec ceux existants dans la littérature pour la convection naturelle dans une cavité carrée.

Cet ouvrage traite des vibrations non linéaires pour un système discret à un degré de liberté. Deux types d'équations différentielles non linéaires sont étudiés. Il s'agit de l'équation de type polynomiale et l'équation à tronçons linéaires. L'équation différentielle polynomiale utilise les différentes puissances du déplacement et de la vitesse afin de représenter la raideur et l'amortissement. L'équation à tronçons linéaires est quant à elle définie par de multiples segments de droites. Deux types de problèmes sont considérés, soit le problème de la résolution de l'équation différentielle et le problème de l'identification de cette dernière à partir de mesures expérimentales. Pour les deux types d'équations différentielles à l'étude, des méthodes de résolution et d'identification sont développées. Les méthodes de résolution des deux équations différentielles sont issues de méthodes analytiques déjà existantes dans la documentation scientifique. Par contre, ces méthodes sont ici résolues de manière numérique, d'où l'appellation «méthodes semi-analytiques». L'identification de l'équation polynomiale se base sur la méthode des moindres carrés alors que la méthode d'identification de l'équation à tronçons linéaires est construite spécifiquement pour cette forme d'équation. Une étude expérimentale est conduite sur trois systèmes différents afin d'explorer la viabilité pratique des méthodes d'identification des paramètres. Ces trois systèmes utilisent le comportement non linéaire d'une mousse synthétique, des poutres à grande déformation et des poutres à grande déformation asymétriques.

Titre de l'écran-titre (visionné le 6 novembre 2023) / Le but est d'étudier l'athérosclérose comme une application de la mécanique des fluides qui porte sur l'écoulement sanguin dans une artère sténosée. Le sang et la forme de l'accumulation des graisses sur la paroi artérielle jouent un rôle fondamentale dans le comportement de l'écoulement. Pour se mettre dans le cadre mathématique, un survol sur la mécanique des fluides permet d'obtenir la formulation de Navier-Stokes que l'on résout numériquement à l'aide des schémas de projection. L'adaptation de maillage est un outil numérique performant pour un tel type de calcules. Les conditions aux limites en pression à l'entrée et à la sortie de l'artère sont plus recommandés pour ce type de problèmes, mais leurs insertion exige des espaces d'interpolation particuliers que l'on explore en parcourant la littérature correspondante.

Les gaz à effet de serre (GES) sont en partie responsables du changement climatique. L'humanité est donc confrontée à un choix : soit de réduire les émissions des gaz qui sont la cause du problème, ou bien de prendre de mesures pour permettre aux populations de surmonter les conséquences de ces changements. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur la première solution sous la prémisse selon laquelle une grande partie de l'effet de serre provient des activités humaines. Plus précisément, nous proposons quelques essais sur la modélisation des déterminants des investissements ayant pour objet la réduction des GES, en particulier des investissements dans l'amélioration de l'efficacité énergétique, et des investissements dans la substitution de ressources (fossiles) non-renouvelables par des ressources renouvelables. Tout d'abord nous essayons et expliquons la lente diffusion de certains investissements dans l'efficacité énergétique dans un cadre d'équilibre général. Ensuite, nous étudions les déterminants de la substitution des ressources non-renouvelables par des ressources renouvelables lorsque celles-ci sont des substituts parfaits. Enfin, nous tenons compte de la nécessité permanente de ressources sales, même si des technologies plus propres sont disponibles. Toutes ces questions sont basées sur des modèles qui ne peuvent être entièrement résolus analytiquement. Par conséquent, nous proposons dans cette thèse une méthodologie basée sur les propriétés des polynômes de Chebyshev pour calculer les solutions. / Greenhouse gases (GHG) are responsible for some climate change. Humanity faces a choice: either reducing the emissions of these gases or adapt to climate change. In this dissertation we focus on the first solution under the premise that a large part of the greenhouse effect comes from human activities. More precisely, we propose some essays on modeling the determinants of investing in reducing GHG through improving energy efficiency and substituting non-renewable resources (fossil fuels) by renewable resources. We first try and explain the slow diffusion of some energy efficient investments in a general equilibrium framework. We then study the determinants of switching from non-renewable resources to renewable resources when these are perfect substitutes. Finally, we account for the need of dirty resources even if cleaner technologies are available. All these issues are based on models that cannot be fully solved analytically, therefore we also propose in this dissertation a methodology based on the properties of Chebyshev polynomials to compute the solutions.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2009-2010 / Les modèles mathématiques servant à simuler le comportement de stations d'épurations représentent un outil puissant pour concevoir une nouvelle installation ou prédire le comportement d'une station d'épuration déjà existante. Cependant, ces modèles ne fournissent aucune information sur un système particulier sans un algorithme pour les résoudre. Il existe actuellement un grand nombre d'algorithmes d'intégration capables de calculer la solution d'un modèle avec précision. Cependant, les temps de calcul en jeux représentent toujours l'un des obstacles à une utilisation extensive des modèles. Deux approches permettent de réduire les temps de calcul, à savoir l'utilisation de matériel informatique plus puissant ou le développement de logiciels et algorithmes plus performants. L'objectif principal de ce mémoire est de proposer une troisième voie, soit la simplification automatique d'un modèle sur la base de ses valeurs propres. Le jacobien, une approximation locale du modèle, est utilisé comme base de l'étude des valeurs propres. Une méthode d'homotopie est ensuite utilisée pour maintenir le lien entre les valeurs propres et les variables d'état d'un jacobien simplifié à sa seule diagonale aux valeurs propres du jacobien entier. Puisque les valeurs propres représentent une approximation valable de la dynamique des variables d'état d'un modèle, il est possible de trier ces variables d'état sur la base de leurs valeurs propres associées. Les variables d'état présentant une dynamique très rapide par rapport à l'échelle de temps d'intérêt seront alors considérées comme étant toujours à l'équilibre, ce qui permet de négliger leur dynamique transitoire et donc d'accélérer la résolution du modèle. Cette simplification est réalisée à l'intérieur d'un algorithme d'intégration de type Diagonal Implicite de Runge-Kutta capable de résoudre des systèmes d'équations différentielles et algébriques. Ce mémoire s'attaque également à un cas particulier de la simulation, soit le calcul du régime permanent. Ce calcul peut être réalisé par des algorithmes performants ne recherchant que les valeurs des variables d'état mettant à zéro les équations différentielles. Ces algorithmes sont cependant peu fiables puisque toute solution mathématique est jugée valide, peu importe la réalité physique. La solution proposée est l'injection de connaissance sous forme de bornes aux valeurs que peuvent prendre les variables d'état. Des équations algébriques implicites sont construites automatiquement sur ces bornes pour forcer la convergence dans l'intervalle voulu.

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'impact des courbures sur les guides d'onde qui interviennent dans la confection des dispositifs optiques. Ces guides doivent être conçus pour minimiser la perte du signal causée par la courbure. Nous nous proposons, dans ce travail, de résoudre les équations de Maxwell vectorielles qui modélisent la propagation du champ électromagnétique, pour différents types de guide d'onde. Ainsi, nous développons une formulation en coordonnées curvilignes générales de ces équations basée sur l'approche modale. Pour discrétiser notre problème, nous utilisons une méthode numérique basée sur les éléments finis, ce qui requiert la troncature du domaine de calcul et la considération d'une frontière artificielle. Cette frontière fictive induit des réflexions numériques importantes dans le cas des guides courbés. Pour remédier à ce problème, des conditions de frontières absorbantes sont utilisées. Notre choix porte sur les PML (couches parfaitement adaptées) qui ont montré leur efficacité dans plusieurs cas de problèmes posés sur des domaines ouverts. Pour satisfaire l'exigence de précision requise pour la détermination des constantes de propagation de ces guides, des éléments finis mixtes d'ordre élevé ont été développés. Dans le cas des géométries rectangulaires, nous proposons une nouvelle famille d'éléments quadrangulaires d'ordre 1 et 2 pour discrétiser les équations écrites en coordonnées cylindriques. Pour les géométries circulaires, où une transformation en coordonnées toroïdales est considérée, nous utilisons une nouvelle famille d’éléments axisymétriques d'ordre 1 et 2. Des analyses comparatives montrent la robustesse des formulations et l'efficacité des éléments finis d'ordre élevé développés.

Cette étude s'intéresse à une méthode vortex lagrangienne 2-D permettant de simuler des écoulements incompressibles externes autour de multiples corps en mouvement arbitraire. L'implantation initiale de la méthode a été développée à 1' Université Catholique de Louvain puis des modifications ont été apportées en collaboration avec le Laboratoire de Mécanique des Fluides Numérique pour prendre en compte le mouvement et la présence simultanée de plusieurs corps. Cependant, ces modifications n'étaient pas validées et aucune méthode de calcul des forces et du moment sur les corps individuellement n'était disponible. Au sein de cette étude, plusieurs approches de calcul des forces et du moment sont présentées et détaillées, toutes ayant la particularité de ne pas nécessiter la connaissance du champ de pression de l'écoulement. La première approche utilise des surfaces de contrôle englobant chaque corps ainsi que la surface même des corps. La seconde est développée à partir d'une surface de contrôle à l'infini et ne peut fournir que les forces nettes totales sur l'ensemble des corps en présence. La troisième approche ne requiert que de l'information (vitesse et vorticité) à la surface des corps et elle est la seule pour l'instant qui permet de fournir également le moment de force. Toutes ces approches ainsi que les modifications effectuées pour prendre en compte le mouvement sont validées pour des écoulements à bas Reynolds autour de corps en translation et rotation combinés. Les cas d'un cylindre unique, de deux cylindres en tandem et d'une aile oscillante sont étudiés. Les comparaisons sont effectuées à l'aide de résultats produits par le code commercial eulérien de volumes finis Fluent 6.2. Les résultats mettent en évidence l'habilité de la méthode vortex à capturer précisément la dynamique des fluides, ainsi que l'efficacité de chacune des méthodes de calcul des forces et du moment. / This work is about a 2-D lagrangian vortex method allowing simulation of external incompressible flow around arbitrary moving bodies. The initial implementation of the method was developed at Université Catholique de Louvain and adapted for multiple moving bodies in collaboration with Laboratoire de Mécanique des Fluides Numérique. However, these modifications were not validated and no method of force and moment calculation on individual body was available. In this study, several approaches of force and moment calculation are presented and detailed, ail of which do not require information on the pressure field. The first approach uses control surfaces surrounding each body as well as the body surfaces themselves. The second one is developed from a control surface taken at infinity and can only provide total net forces on ail bodies taken together. The third one requires information (velocity and vorticity) only at body surfaces. The latter is the only approach considered up to now that can provide moment of force on the bodies. Ail three methods as well as ail the modifications that were implemented to adapt the solver to moving bodies are validated for low Reynolds number flows around bodies undergoing combined translation and angular motion. Cases of a single cylinder, two cylinders in tandem, and oscillating airfoil are studied. Comparisons are then made with results obtained with the eulerian finite volume commercial code Fluent 6.2. Results show the ability of the vortex method to correctly capture fluid dynamics, as well as the efficiency of each method for the force and moment calculations.

<p align="justify">Une approche multidimensionelle pour la résolution numérique des équations d'Euler et de Navier-Stokes sur maillages non-structurés est proposée. Dans une première partie, un exposé complet des schémas de distribution, dits de "fluctuation-splitting" ,est décrit, comprenant une étude comparative des schémas décentrés, positifs et de 2ème ordre, pour résoudre l'équation de convection à coefficients constants, ainsi qu'une étude théorique et numérique de la précision des schémas sur maillages réguliers et distordus. L'extension à des lois de conservation non-linéaires est aussi abordée, et une attention particulière est portée au problème de la linéarisation conservative. Dans une deuxième partie, diverses discrétisations des termes visqueux pour l'équation de convection-diffusion sont développées, avec pour but de déterminer l'approche qui offre le meilleur compromis entre précision et coût. L'extension de la méthode aux systèmes des lois de conservation, et en particulier à celui des équations d'Euler de la dynamique des gaz, représente le noyau principal de la thèse, et est abordée dans la troisième partie. Contrairement aux schémas de distribution classiques, qui reposent sur une extension formelle du cas scalaire, l'approche développée ici repose sur une décomposition du résidu par élément en équations scalaires, modélisant le transport de variables caracteristiques. La difficulté vient du fait que les équations d'Euler instationnaires ne se diagonalisent pas, et admettent une infinité de solutions élémentaires (ondes simples) se propageant dans toutes les directions d'espace. En régime stationnaire, en revanche, les équations se diagonalisent complètement dans le cas des écoulements supersoniques, et partiellement dans le cas des écoulements subsoniques. Ainsi, les équations sous forme conservative peuvent être remplacées par un système équivalent comprenant deux équations totalement découplées, exprimant l'invariance de l'entropie et de l'enthalpie totale le long des lignes de courant, et deux autres équations, modélisant les effets purement acoustiques. En régime supersonique, celles-ci se découplent aussi, et expriment la convection le long des lignes de Mach d'invariants de Riemann généralisés. La discrétisation de ces équations par des schémas scalaires décentrés permet de simuler des écoulements continus et discontinus avec une grande précision et sans oscillations. Finalement, dans une dernière partie, l'extension aux équations de Navier-Stokes est abordée, et la discrétisation des termes visqueux par une approche éléments finis est proposée. Les résultats numériques confirment la précision et la robustesse de la méthode.</p> / Doctorat en sciences appliquées / info:eu-repo/semantics/nonPublished