Submitted by ANDRES FELIPE VASQUEZ TOCORA (anfvasquezto@unal.edu.co) on 2018-10-02T21:56:33Z No. of bitstreams: 1 thesis.pdf: 3832471 bytes, checksum: 13b65d2c4a9d5e2b2c7414dd2cdfba50 (MD5) / Rejected by Hellen Sayuri Sato null (hellen@ift.unesp.br), reason: Solicitamos que realize correções na submissão seguindo as orientações abaixo - Favor inserir a ficha catalográfica no pdf , logo após a página de rosto - No PDF está faltando as palavras-chave logo após o resumo e abstract on 2018-10-03T14:34:04Z (GMT) / Submitted by ANDRES FELIPE VASQUEZ TOCORA (anfvasquezto@unal.edu.co) on 2018-10-03T16:52:45Z No. of bitstreams: 1 Thesis.pdf: 4205198 bytes, checksum: 499748f6d69605fda811e56805ac4e12 (MD5) / Approved for entry into archive by Hellen Sayuri Sato null (hellen@ift.unesp.br) on 2018-10-03T17:32:51Z (GMT) No. of bitstreams: 1 vasqueztocora_af_me_ift.pdf: 4205198 bytes, checksum: 499748f6d69605fda811e56805ac4e12 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-10-03T17:32:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 vasqueztocora_af_me_ift.pdf: 4205198 bytes, checksum: 499748f6d69605fda811e56805ac4e12 (MD5) Previous issue date: 2018-03-29 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / The main goal of this dissertation is to show the enhancement of the cross-section for the double Higgs production through pair annihilation by including effective interactions and through the non-perturbative Sommerfeld effect. Bounds to some Wilson coefficients were obtained from such enhancement, this in the scenarios of the future e+ e− -colliders (FCC-ee, ILC, CLIC). In order to achieve this, some computational tools were implemented: FeynRules, FeynArts, FormCalc, and LoopTools. It is also shown the enhancement of the double Higgs production in 2HDM and MSSM, discussing the general framework of these two models. In addition, it is studied the threshold behavior of the cross-section for the double Higgs production when a hidden sector couples to the Higgs boson, yielding resonances below the threshold energy due to non-perturbative effects. We study the Sommerfeld effect in the double Higgs production in the scenario of e+ e− -colliders. The enhancement is discussed as generated from a hidden sector coupled to the Higgs boson. Below and above threshold enhancements are presented. Such analysis is of importance in the ILC project, which will operate up to the threshold energy √s = 250 GeV. The results has been achieved by the use of computational tools like FeynArts, FormCalc, and LoopTools. / O objetivo principal dessa dissertação é, mostrar o aprimoramento da seção de choque para a produção em dobro dos bósons de Higgs, por meio de aniquilação de pares, incluindo interações efetivas e através do efeito não perturbativo de Sommerfeld. De tais aprimoramentos, os limites para alguns coeficientes de Wilson foram obtidos, isso nos cenários de futuros aceleradores de e+e- (FCC-ee, ILC, CLIC). Para atingir estes resultados, algumas ferramentas computacionais foram implementadas: FeynRules, FeynArts, FormCalc e LoopTools. Também, é mostrado o aprimoramento da produção em dobro de bósons de Higgs no “2HDM” e “MSSM”, discutindo o marco geral desses dois modelos. Além disso, foi estudado o comportamento, perto do limite de produção, da seção de choque da produção em dobro dos bósons de Higgs, quando um setor escondido é acoplado ao Higgs, produzindo ressonâncias abaixo da energia limite de produção, devido à efeitos não perturbativos.

Orientador: José Manoel Balthazar / Banca: Bento Rodrigues de Pontes Junior / Banca: Vicente Lopes Júnior / Resumo: Este trabalho consiste de três partes, na primeira fez - se o estudo da dinâmica de um oscilador com um grau de liberdade, em que uma massa é conectada a um elemento com memória de forma e um amortecedor, onde o sistema é excitado harmonicamente (sistema ideal). Uma solução analítica para o movimento estacionário do sistema é obtida através da análise de técnicas de perturbações, onde foi utilizado o método das múltiplas escalas. Por intermédio desta solução observa - se fenômenos não lineares através das curvas de resposta em freqüência. Além disso, obtém - se condições de estabilidade para o sistema e condições para a existência de bifurcação do tipo sela - nó. Na segunda parte apresenta - se o estudo do comportamento dinâmico não linear de um oscilador com memória de forma, excitado por uma fonte não ideal - um motor elétrico de corrente contínua, desbalanceado e com potência limitada. Toma - se, um problema cujo modelo matemático representa um sistema simplificado (com característica do motor no regime estacionário). Adota - se a formulação Lagrangeana para gerar as equações de movimento. Os resultados são obtidos através de integrações numéricas das equações de movimento sendo possíveis obter oscilações regulares e irregulares (caóticos), os quais dependem da escolha dos parâmetros do sistema. A solução analítica é obtida utilizando - se o método da média, onde é possível observar fenômenos intrínsecos a sistemas não ideais tais como dependência da freqüência de excitação com relação à amplitude de oscilação da coordenada de movimento do sistema (Efeito Sommerfeld). A terceira parte é dedicada à aplicação de uma técnica de controle linear ótimo para a supressão do movimento caótico tanto do sistema ideal quanto do sistema não ideal, via simulações numéricas. / Abstract: This work concerns of three parts, in the first we will make the study of the dynamical of a single - degree of freedom oscillator, which consist of a mass connected to a shape memory element and a dashpot, where the system harmonically excited (ideal source). An analytical solution for the system stationary oscillations is obtained by perturbations method, where was used the method of multiple scales. Due to this solution one can observe nonlinear phenomena trough of frequency - response curves. Besides, conditions for the system stability and the existence of saddle - node bifurcations are also obtained. In the second part show the computational and analytical study of the nonlinear dynamic behavior of the SMA oscillator, excited by a non ideal source - an unbalanced direct current electric motor of limited power. A problem whose mathematical model represents a simplified system (the characteristic of the motor in stationary state). It adopts the Lagrange formularization to deducing the equations of motion. Regular and irregular (chaotic) behaviors depend of the physical parameters and can be observed when a numerical integration is performed. The analytical solution is obtained using the averaging method, where due to this solution on can observe typical non-ideal phenomena like the amplitude motion dependency to the frequency of the excitation (Sommerfeld effect). The third part is dedicated to the application and performance of the linear feedback control for the suppressing of the chaotic motion of an ideal and non ideal system, theses systems are numerical studied. / Mestre

O principal objetivo do presente projeto é verificar a interação entre a estrutura da fundação de uma máquina - um ventilador industrial - com a fonte de excitação, no caso seu próprio motor, com o intuito de identificar possível ocorrência do chamado \"fenômeno do salto\", também conhecido como Efeito Sommerfeld. Tal fenômeno é decorrente do acoplamento dinâmico entre a fonte excitadora e a estrutura durante a passagem pelos diferentes estados de ressonância, à medida que o motor é acelerado, até chegar ao regime permanente, sendo possível observar-se o mesmo fenômeno também no momento da desaceleração. Conceitua-se, neste trabalho, o modelo fonte não-ideal de energia como aquele que decorre da efetiva interação do motor da máquina com a estrutura, diferentemente do modelo de fonte ideal, aqui compreendida como sendo isenta de qualquer tipo de interação com a estrutura. Em razão do modelo adotado, a estrutura em estudo apresenta poucos graus de liberdade, definem-se as equações do movimento, tanto para o sistema ideal, como para o não-ideal, por meio da formulação de Lagrange, e obtêm-se as soluções numéricas. Conclui-se que se as Normas usuais de projeto de fundações de máquinas são empregadas em casos reais da engenharia, os fenômenos não-ideais procurados não são observados. / The main objective of the present project is to verify the interaction between the foundation structure of a machine - an industrial fan - with the excitation source, its own motor, in this case to identify possible occurrence of the so called \"jump phenomenon\", also known as Sommerfeld Effect. Such phenomenon is derived from the dynamic coupling between the excitation source and the structure during the passage through the different resonance states as the motor is accelerated until it arrives to its steady-state. It is possible to observe the same phenomenon at the moment of the deceleration. It is considered, in this work, the non-ideal source of energy model as the one that derives from the effective interaction between the motor of the machine with the structure, differently of the ideal source model, herein understood as exempted of any kind of interaction with the structure. As a consequence of the adopted model of the structure under analysis presenting few degrees of freedom, the equations of motion are defined, both for ideal and for nonideal systems, through the formulation of Lagrange, and their numerical solutions are obtained. It is concluded that if usual design Codes for machine foundations are applied to real engineering cases, the searched for phenomena are not observed.

Estudos sobre o comportamento dinâmico de estruturas não lineares são até os dias de hoje motivo de extensas pesquisas em todo o mundo. Desde o início do desenvolvimento da teoria das oscilações não lineares buscou-se compreender os mecanismos básicos, como perturbações que provocassem respostas complexas nas estruturas flexíveis. Este trabalho apresenta um estudo teórico e experimental do comportamento dinâmico de uma semi-asa de um avião acoplada a uma turbina com a hélice desbalanceada, esse sistema é representado através de uma viga engastada excitada por uma fonte não ideal localizada na extremidade oposta ao engaste. Entende-se como sistema não ideal aquele que considera que a excitação é influenciada pela própria resposta do sistema. Para sistemas dinâmicos não ideais, deve-se adicionar uma equação que descreva como a fonte não ideal interage com o sistema. Considera-se na equação do sistema apenas o primeiro modo de vibrar. Os resultados de simulação numérica apresentados são obtidos utilizando o software Matlab® 8.0 e o parâmetro de controle a ser analisado é o torque do motor. Os resultados que mostram o comportamento dinâmico do sistema são o histórico no tempo, plano de fase, FFT e para identificar o comportamento caótico calculam-se os expoentes de Lyapunov. O gráfico que mostra a presença do efeito Sommerfeld (salto) no sistema também é apresentado. Na parte experimental, apresenta-se todo o procedimento experimental, assim como os resultados: Histórico no tempo, plano de fase reconstruído, FFT, expoentes de Lyapunov e as análises que ilustram a presença do efeito Sommerfeld no experimento. / Studies about the dynamic behaviour of nonlinear structures have been to this date subject of extensive research all around the world. Since the beginning of the development of the nonlinear oscillation theory one has tried to understand the basic mechanisms, like disruptions that would cause complex answers on flexible structures. This paper presents a theoretical and practical study of the dynamic behaviour of a semi-wing of an airplane installed on a turbine with unbalanced propellers; this system is represented through a cantilever beam excited by a non-ideal source located at the end opposite to the coupling. As a non-ideal system we mean the one that considers that the excitement is influenced by the system\'s response itself. For non-ideal dynamic systems, one must add an equation that describes how the non-ideal source interacts with the system. Only the first vibrating mode is considered in the system\'s equation. The numeric simulation results shown are obtained by using the Matlab® 8.0 software and the control parameter to be analyzed is the motor torque. The results that show the dynamic behaviour of the system are time history, phase plan, FFT and to identify the chaotic behaviour the Lyapunov\'s indexes are calculated. The graphic that shows the presence of the Sommerfeld effect (jump) in the system is also presented. In the experimental part, all the practical procedure is presented, as well as experimental results, like, for example: Time history, phase plan reconstruction, FFT, Lyapunov exponents and the analyses that illustrate the presence of the Sommerfeld effect on the experiment.

O principal objetivo do presente projeto é verificar a interação entre a estrutura da fundação de uma máquina - um ventilador industrial - com a fonte de excitação, no caso seu próprio motor, com o intuito de identificar possível ocorrência do chamado \"fenômeno do salto\", também conhecido como Efeito Sommerfeld. Tal fenômeno é decorrente do acoplamento dinâmico entre a fonte excitadora e a estrutura durante a passagem pelos diferentes estados de ressonância, à medida que o motor é acelerado, até chegar ao regime permanente, sendo possível observar-se o mesmo fenômeno também no momento da desaceleração. Conceitua-se, neste trabalho, o modelo fonte não-ideal de energia como aquele que decorre da efetiva interação do motor da máquina com a estrutura, diferentemente do modelo de fonte ideal, aqui compreendida como sendo isenta de qualquer tipo de interação com a estrutura. Em razão do modelo adotado, a estrutura em estudo apresenta poucos graus de liberdade, definem-se as equações do movimento, tanto para o sistema ideal, como para o não-ideal, por meio da formulação de Lagrange, e obtêm-se as soluções numéricas. Conclui-se que se as Normas usuais de projeto de fundações de máquinas são empregadas em casos reais da engenharia, os fenômenos não-ideais procurados não são observados. / The main objective of the present project is to verify the interaction between the foundation structure of a machine - an industrial fan - with the excitation source, its own motor, in this case to identify possible occurrence of the so called \"jump phenomenon\", also known as Sommerfeld Effect. Such phenomenon is derived from the dynamic coupling between the excitation source and the structure during the passage through the different resonance states as the motor is accelerated until it arrives to its steady-state. It is possible to observe the same phenomenon at the moment of the deceleration. It is considered, in this work, the non-ideal source of energy model as the one that derives from the effective interaction between the motor of the machine with the structure, differently of the ideal source model, herein understood as exempted of any kind of interaction with the structure. As a consequence of the adopted model of the structure under analysis presenting few degrees of freedom, the equations of motion are defined, both for ideal and for nonideal systems, through the formulation of Lagrange, and their numerical solutions are obtained. It is concluded that if usual design Codes for machine foundations are applied to real engineering cases, the searched for phenomena are not observed.

Orientador: Jose Manoel Balthazar, Helder Anibal Hermini / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecanica / Made available in DSpace on 2018-08-07T00:18:42Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Rafikova_Elvira_M.pdf: 3918519 bytes, checksum: 739b1ab8bbabb497b9c71ffc87975974 (MD5) Previous issue date: 2006 / Resumo: Esse trabalho investiga um sistema dinâmico não- ideal que pertence a uma classe especial dos sistemas dinâmicos. O objeto de estudo desse trabalho é um rotor que consiste de um disco preso a uma barra elástica e excitado por uma fonte de energia de potência limitada. O sistema se desloca transversalmente e verticalmente além de possuir uma coordenada de rotação. Um estudo numérico do problema é realizado para investigar a dinâmica não-linear do sistema. Simulações numéricas tais como: diagramas de espaço de fase, curvas de resposta em freqüência, diagramas de bifurcação e expoentes de Lyapunov mostram uma forte influência da fonte de energia na resposta do sistema e revelam oscilações regulares e irregulares. Além disso, o efeito Sommerfeld é observado, assim como o salto na resposta em freqüência quando o parâmetro de controle do motor é variado. Finalmente comprova-se que os regimes irregulares presentes no movimento do sistema tem uma natureza caótica / Abstract: This work investigates a non- ideal dynamic system that is a special group of dynamics systems. The object studied in this work is a rotor composed of an elastic shaft carrying a disc which is excited by a limited power supply. The system has tranversal and vertical displacement and a coordinate of rotation of the disco A numerical study is done here in order to investigate the non-linear dynamics of the system. Numerical simulations such as: space-state diagrams, frequency response diagrams, bifurcations diagrams and Lyapunov exponent show the strong influence of the energy source on system response, and reveal regular and irregular motions. Besides, Sommerfeld effect is observed, as well as the jump in system response, when a control parameter of the energy source is varied. Futhermore, it is shown that the irregular regimes that occur in the system's motion are of chaotic nature / Mestrado / Materiais e Processos de Fabricação / Mestre em Engenharia Mecânica

Estudos sobre o comportamento dinâmico de estruturas não lineares são até os dias de hoje motivo de extensas pesquisas em todo o mundo. Desde o início do desenvolvimento da teoria das oscilações não lineares buscou-se compreender os mecanismos básicos, como perturbações que provocassem respostas complexas nas estruturas flexíveis. Este trabalho apresenta um estudo teórico e experimental do comportamento dinâmico de uma semi-asa de um avião acoplada a uma turbina com a hélice desbalanceada, esse sistema é representado através de uma viga engastada excitada por uma fonte não ideal localizada na extremidade oposta ao engaste. Entende-se como sistema não ideal aquele que considera que a excitação é influenciada pela própria resposta do sistema. Para sistemas dinâmicos não ideais, deve-se adicionar uma equação que descreva como a fonte não ideal interage com o sistema. Considera-se na equação do sistema apenas o primeiro modo de vibrar. Os resultados de simulação numérica apresentados são obtidos utilizando o software Matlab® 8.0 e o parâmetro de controle a ser analisado é o torque do motor. Os resultados que mostram o comportamento dinâmico do sistema são o histórico no tempo, plano de fase, FFT e para identificar o comportamento caótico calculam-se os expoentes de Lyapunov. O gráfico que mostra a presença do efeito Sommerfeld (salto) no sistema também é apresentado. Na parte experimental, apresenta-se todo o procedimento experimental, assim como os resultados: Histórico no tempo, plano de fase reconstruído, FFT, expoentes de Lyapunov e as análises que ilustram a presença do efeito Sommerfeld no experimento. / Studies about the dynamic behaviour of nonlinear structures have been to this date subject of extensive research all around the world. Since the beginning of the development of the nonlinear oscillation theory one has tried to understand the basic mechanisms, like disruptions that would cause complex answers on flexible structures. This paper presents a theoretical and practical study of the dynamic behaviour of a semi-wing of an airplane installed on a turbine with unbalanced propellers; this system is represented through a cantilever beam excited by a non-ideal source located at the end opposite to the coupling. As a non-ideal system we mean the one that considers that the excitement is influenced by the system\'s response itself. For non-ideal dynamic systems, one must add an equation that describes how the non-ideal source interacts with the system. Only the first vibrating mode is considered in the system\'s equation. The numeric simulation results shown are obtained by using the Matlab® 8.0 software and the control parameter to be analyzed is the motor torque. The results that show the dynamic behaviour of the system are time history, phase plan, FFT and to identify the chaotic behaviour the Lyapunov\'s indexes are calculated. The graphic that shows the presence of the Sommerfeld effect (jump) in the system is also presented. In the experimental part, all the practical procedure is presented, as well as experimental results, like, for example: Time history, phase plan reconstruction, FFT, Lyapunov exponents and the analyses that illustrate the presence of the Sommerfeld effect on the experiment.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2005-07-25Bitstream added on 2014-06-13T20:35:11Z : No. of bitstreams: 1 cauz_lo_me_sjrp.pdf: 1991139 bytes, checksum: c18750cde05438df23eec43208d0eb54 (MD5) / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / Neste trabalho apresentamos um estudo da dinâmica de um sistema vibrante não ideal, composto por um motor e uma mola, conhecido como vibrador centrífugo. O objetivo deste estudo é mostrar a diferença de comportamento do sistema, quando consideramos molas duras (coeficiente de elasticidade cúbica positivo) ou molas suaves (coeficiente de elasticidade cúbica negativo). Para mola dura foi analisada a estabilidade dos pontos de equilíbrio, e mostrada por meio da teoria de variedade central e do teorema de Bezout a existência da bifurcação de Hopf. Para mola suave, þe mostrada a existência de uma órbita heteroclínica conectando dois pontos de sela. Usando o método clássico de Melnikov, é discutida a existência ou não do comportamento caótico para um determinado nível de energia e para certos valores do coeficiente de amortecimento. Toda a análise é acompanhada de simulações numéricas para a confirmação dos resultados. / In this work we present a study of the dynamics of a non-ideal vibrating system, composed by a motor and a spring, which is known as centrifugal vibrator. The purpose of this study is to show the difference of behavior of the system when we consider hard springs (positive coefficient of cubical elasticity) or soft springs (negative coefficient of cubical elasticity). For hard spring the stability of the fixed point was analyzed, and by means of the Central Manifolds Theory and the Bezout theorem the existence of the Hopf Bifurcation is shown. For soft spring, it is shown the existence of a heteroclinic orbit connecting two saddle points. Using the classical Melnikov method it is discussed the existence, or not, of the chaotic behavior for some energy level and certain values of the damping coefficient. All the analysis is followed by numerical simulations to confirm the results.

Made available in DSpace on 2016-04-01T17:54:53Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2007-12-11. Added 1 bitstream(s) on 2016-04-01T18:00:36Z : No. of bitstreams: 1 000545779.pdf: 2757359 bytes, checksum: 9bbcad089c80aaed637169a9fce58845 (MD5) / Este trabalho consiste de três partes, na primeira fez - se o estudo da dinâmica de um oscilador com um grau de liberdade, em que uma massa é conectada a um elemento com memória de forma e um amortecedor, onde o sistema é excitado harmonicamente (sistema ideal). Uma solução analítica para o movimento estacionário do sistema é obtida através da análise de técnicas de perturbações, onde foi utilizado o método das múltiplas escalas. Por intermédio desta solução observa - se fenômenos não lineares através das curvas de resposta em freqüência. Além disso, obtém - se condições de estabilidade para o sistema e condições para a existência de bifurcação do tipo sela - nó. Na segunda parte apresenta - se o estudo do comportamento dinâmico não linear de um oscilador com memória de forma, excitado por uma fonte não ideal - um motor elétrico de corrente contínua, desbalanceado e com potência limitada. Toma - se, um problema cujo modelo matemático representa um sistema simplificado (com característica do motor no regime estacionário). Adota - se a formulação Lagrangeana para gerar as equações de movimento. Os resultados são obtidos através de integrações numéricas das equações de movimento sendo possíveis obter oscilações regulares e irregulares (caóticos), os quais dependem da escolha dos parâmetros do sistema. A solução analítica é obtida utilizando - se o método da média, onde é possível observar fenômenos intrínsecos a sistemas não ideais tais como dependência da freqüência de excitação com relação à amplitude de oscilação da coordenada de movimento do sistema (Efeito Sommerfeld). A terceira parte é dedicada à aplicação de uma técnica de controle linear ótimo para a supressão do movimento caótico tanto do sistema ideal quanto do sistema não ideal, via simulações numéricas. / This work concerns of three parts, in the first we will make the study of the dynamical of a single - degree of freedom oscillator, which consist of a mass connected to a shape memory element and a dashpot, where the system harmonically excited (ideal source). An analytical solution for the system stationary oscillations is obtained by perturbations method, where was used the method of multiple scales. Due to this solution one can observe nonlinear phenomena trough of frequency - response curves. Besides, conditions for the system stability and the existence of saddle - node bifurcations are also obtained. In the second part show the computational and analytical study of the nonlinear dynamic behavior of the SMA oscillator, excited by a non ideal source - an unbalanced direct current electric motor of limited power. A problem whose mathematical model represents a simplified system (the characteristic of the motor in stationary state). It adopts the Lagrange formularization to deducing the equations of motion. Regular and irregular (chaotic) behaviors depend of the physical parameters and can be observed when a numerical integration is performed. The analytical solution is obtained using the averaging method, where due to this solution on can observe typical non-ideal phenomena like the amplitude motion dependency to the frequency of the excitation (Sommerfeld effect). The third part is dedicated to the application and performance of the linear feedback control for the suppressing of the chaotic motion of an ideal and non ideal system, theses systems are numerical studied.

Orientador: Masayoshi Tsuchida / Banca: Márcio José Horta Dantas / Banca: Manoel Ferreira Borges Neto / Resumo: Neste trabalho apresentamos um estudo da dinâmica de um sistema vibrante não ideal, composto por um motor e uma mola, conhecido como vibrador centrífugo. O objetivo deste estudo é mostrar a diferença de comportamento do sistema, quando consideramos molas duras (coeficiente de elasticidade cúbica positivo) ou molas suaves (coeficiente de elasticidade cúbica negativo). Para mola dura foi analisada a estabilidade dos pontos de equilíbrio, e mostrada por meio da teoria de variedade central e do teorema de Bezout a existência da bifurcação de Hopf. Para mola suave, þe mostrada a existência de uma órbita heteroclínica conectando dois pontos de sela. Usando o método clássico de Melnikov, é discutida a existência ou não do comportamento caótico para um determinado nível de energia e para certos valores do coeficiente de amortecimento. Toda a análise é acompanhada de simulações numéricas para a confirmação dos resultados. / Abstract: In this work we present a study of the dynamics of a non-ideal vibrating system, composed by a motor and a spring, which is known as centrifugal vibrator. The purpose of this study is to show the difference of behavior of the system when we consider hard springs (positive coefficient of cubical elasticity) or soft springs (negative coefficient of cubical elasticity). For hard spring the stability of the fixed point was analyzed, and by means of the Central Manifolds Theory and the Bezout theorem the existence of the Hopf Bifurcation is shown. For soft spring, it is shown the existence of a heteroclinic orbit connecting two saddle points. Using the classical Melnikov method it is discussed the existence, or not, of the chaotic behavior for some energy level and certain values of the damping coefficient. All the analysis is followed by numerical simulations to confirm the results. / Mestre