Cette thèse traite des fonctionnelles exponentielles du mouvement brownien et porte en particulier sur des calculs explicites de prix de bonds zéro-coupon associés au modèle de taux d'intérêt de Dothan. En utilisant des méthodes de noyaux de la chaleur et de résolution d'équations de Fokker-Planck, nous donnons des formules explicites de densités de probabilités ou de leurs transformées de Laplace. Les différentes formules intégrales obtenues complètent celles de l'article original "On the Term Structure of Interest Rates" (L. U. Dothan). La méthode utilisée est directe et implique notamment une nouvelle représentation intégrale pour le module au carré de la fonction Gamma. Nous étudions ensuite les applications à la physique et aux mathématiques financières des résultats obtenus pour les fonctionnelles périodiques et hyperboliques du mouvement brownien. Nous traitons aussi de calculs de sensibilités d'options par le calcul de Malliavin. Nous donnons des expressions explicites de l'indicateur delta pour des prix d'options asiatiques et des obligations reposant sur des taux courts traités dans la première partie de la thèse.

L'optimisation vise à trouver le meilleur compromis entre les différentes exigences contradictoires, telles que les performances, le coût et la durabilité. Toutefois, la conception des structures doit être placée dans un contexte incertain. Traditionnellement, les incertitudes sont considérées par l'application des coefficients partiels de sécurité. Cependant, l'utilisation de ces coefficients ne garantit pas une conception optimale pour le niveau de fiabilité souhaité. L'optimisation fiabiliste est développée pour établir le meilleur compromis entre la réduction des coûts et l'assurance de la fiabilité, par la considération des incertitudes. Dans ce mémoire, une nouvelle approche de l'optimisation fiabiliste est proposée afin de tenir compte de l'interaction des différents modes de défaillance et de l'évolution de la fiabilité en fonction de l'âge de la structure. La meilleure solution est recherché par la minimisation de la fonction du coût total contenant les coûts de maintenance.

Dans le cadre de la modélisation de structures comportant des paramètres incertains, nous nous intéressons aux caractéristiques spectrales des systèmes mécaniques. Alternatives aux méthodes de Monte-Carlo pour le traitement des problèmes de propagation d'incertitudes dans les modèles mécaniques structuraux, les méthodes d'éléments finis stochastiques (MEFS) connaissent un succès grandissant depuis une dizaine d'années, concrétisé par de nombreux travaux de recherche internationaux. Le présent travail s'inscrit dans le cadre de ces recherches. Dans cette optique, nous décrivons dans une première partie les caractéristiques spectrales, aussi bien les valeurs propres que les modes propres, des structures comportant des paramètres modélisés par des variables aléatoires ou par des champs aléatoires. Pour ce faire, nous utilisons la méthode spectrale des éléments finis stochastiques, que nous avons étendue au calcul des valeurs et vecteurs propres. Les propriétés du matériau sont modélisées par un développement de Karhunen-Loève, alors que les valeurs et les vecteurs propres sont développés sur la base du chaos polynomial. Une méthode de résolution adoptée est proposée pour le découplage du système d'équations. La méthode proposée, essentiellement valable pour les problèmes linéaires, présente l'intérêt de permettre la prise en compte, non seulement de variables aléatoires, mais également de champs stochastiques pour la modélisation probabiliste des paramètres incertains du modèle. Quatre applications à différents niveaux de complexité permettent de juger de ses possibilités. Nous étudions ensuite le couplage de la conception robuste et de la MEFSS, cette dernière représente un outil puissant pour l'optimisation de la performance dynamique des systèmes mécaniques, puisqu'elle permet d'obtenir, à moindre coût, la moyenne et l'écart-type de la réponse, afin d'évaluer la solution robuste. L'intérêt de l'outil présenté est illustré par deux exemples sur des structures en automobile.

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Le but de cette thèse est de présenter quelques contributions dans le cadre du contrôle des équations différentielles stochastiques en dimension finie où infinie :<br />(1) Contrôle stochastique non borné sous contraintes d'état.<br />Nous étudions une condition nécessaire sous laquelle les solutions d'une EDS régie par un processus de contrôle non-borné restent dans un voisinage arbitrairement petit d'un ensemble donné de contraintes.<br />(2) Contrôlabilité approchée pour des équations différentielles linéaires avec bruit contrôlé.<br />Dans cette deuxième partie, on s'intéresse à la propriété de contrôlabilité approchée pour une EDS linéaire. Nous proposons une généralisation de la condition de Kalman pour le cas général où le contrôle agit sur le bruit.<br />(3) Contrôlabilité approchée pour des équations différentielles linéaires en dimension infinie.<br />La troisième partie est dédiée à l'étude de la propriété de contrôlabilité approchée pour un système stochastique linéaire dans un espace de Hilbert réel et séparable. En particulier, nous montrons l'existence et unicité pour la solution de l'EDSR duale lorsque les opérateurs qui agissent sur Y et Z sont non-bornés. Dans le cas d'un générateur infinitésimal d'un semi-groupe exponentiellement stable, nous montrons que le test généralisé de Hautus donne une condition nécessaire pour la contrôlabilité approchée.<br />(4) Assurance, réassurance et paiement de dividendes.<br />Nous introduisons un modèle d'assurance qui permet la réassurance et le paiement des dividendes. Notre modèle prend en compte plusieurs contrats homogènes ainsi que la législation européenne en vigueur concernant les provisions des sociétés d'assurance.

L'objectif de cette thèse vise à améliorer la définition des vibrations (" mouvement sismique ") sur des sites " durs " (sédiments raides ou rochers) liés à des scénarios (séismes de magnitude entre 5 et 6.5, distances inférieures à 50 kilomètres) représentatifs du contexte métropolitain français. Afin de contraindre ces mouvements sismiques sur sites " durs ", une base de données accélérométriques a été construite, à partir des enregistrements accélérométriques japonais K-NET et KiK-net qui ont l'avantage d'être publiques, nombreux et de grande qualité. Un modèle de prédiction des mouvements sismiques (spectre de réponse en accélération) a été conçu à partir de cette nouvelle base. La comparaison entre modèles théoriques et observations montre la dépendance des vibrations sur sites rocheux à la fois aux caractéristiques de vitesse du site (paramètre classique décrivant la vitesse des ondes S dans les 30 derniers mètres) et aux mécanismes d'atténuation hautes fréquences (un phénomène très peu étudié jusque-là). Ces résultats confirment une corrélation entre ces deux mécanismes (les sites rocheux les plus mous atténuent plus le mouvement sismique à hautes fréquences) et nous proposons un modèle de prédiction du mouvement sismique prenant en compte l'ensemble des propriétés du site (atténuation et vitesse). Les méthodes nouvelles de dimensionnement dynamiques non linéaires (à la fois géotechniques et structurelles) ne se satisfont pas des spectres de réponse mais requièrent des traces temporelles. Dans le but de générer de telles traces temporelles, la méthode stochastique non stationnaire développée antérieurement par Pousse et al. 2006 a été revisitée. Cette méthode semi-empirique nécessite de définir au préalable les distributions des indicateurs clés du mouvement sismique. Nous avons ainsi développé des modèles de prédiction empiriques pour la durée de phase forte, l'intensité d'Arias et la fréquence centrale, paramètre décrivant la variation du contenu fréquentiel au cours du temps. Les nouveaux développements de la méthode stochastique permettent de reproduire des traces temporelles sur une large bande de fréquences (0.1-50 Hz), de reproduire la non stationnarité en temps et en fréquence et la variabilité naturelle des vibrations sismiques. Cette méthode présente l'avantage d'être simple, rapide d'exécution et de considérer les bases théoriques de la sismologie (source de Brune, une enveloppe temporelle réaliste, non stationnarité et variabilité du mouvement sismique). Dans les études de génie parasismique, un nombre réduit de traces temporelles est sélectionné, et nous analysons dans une dernière partie l'impact de cette sélection sur la conservation de la variabilité naturelle des mouvements sismiques.

Des travaux récents dans le domaine des mathématiques financières ont fait émerger l'importance de l'étude de la régularité et du comportement fin des queues de distribution pour certaines classes de diffusions à coefficients non globalement réguliers. Dans cette thèse, nous traitons des problèmes issus de ce contexte. Nous étudions d'abord l'existence, la régularité et l'asymptotique en espace de densités pour les solutions d'équations différentielles stochastiques en n'imposant que des conditions locales sur les coefficients de l'équation. Notre analyse se base sur les outils du calcul de Malliavin et sur des estimations pour les processus d'Ito confinés dans un tube autour d'une courbe déterministe. Nous obtenons des estimations significatives de la fonction de répartition et de la densité dans des classes de modèles comprenant des généralisations du CIR et du CEV et des modèles à volatilité locale-stochastique : dans ce deuxième cas, les estimations entraînent l'explosion des moments du sous-jacent et ont ainsi un impact sur le comportement asymptotique en strike de la volatilité implicite. La modélisation paramétrique de la surface de volatilité, à son tour, fait l'objet de la deuxième partie. Nous considérons le modèle SVI de J. Gatheral, en proposant une nouvelle stratégie de calibration quasi-explicite, dont nous illustrons les performances sur des données de marché. Ensuite, nous analysons la capacité du SVI à générer des approximations pour les smiles symétriques, en le généralisant à un modèle dépendant du temps. Nous en testons l'application à un modèle de Heston (sans et avec déplacement), en générant des approximations semi-fermées pour le smile de volatilité / Some recent works in the field of mathematical finance have brought new light on the importance of studying the regularity and the tail asymptotics of distributions for certain classes of diffusions with non-globally smooth coefficients. In this Ph.D. dissertation we deal with some issues in this framework. In a first part, we study the existence, smoothness and space asymptotics of densities for the solutions of stochastic differential equations assuming only local conditions on the coefficients of the equation. Our analysis is based on Malliavin calculus tools and on « tube estimates » for Ito processes, namely estimates for the probability that the trajectory of an Ito process remains close to a deterministic curve. We obtain significant estimates of densities and distribution functions in general classes of option pricing models, including generalisations of CIR and CEV processes and Local-Stochastic Volatility models. In the latter case, the estimates we derive have an impact on the moment explosion of the underlying price and, consequently, on the large-strike behaviour of the implied volatility. Parametric implied volatility modeling, in its turn, makes the object of the second part. In particular, we focus on J. Gatheral's SVI model, first proposing an effective quasi-explicit calibration procedure and displaying its performances on market data. Then, we analyse the capability of SVI to generate efficient approximations of symmetric smiles, building an explicit time-dependent parameterization. We provide and test the numerical application to the Heston model (without and with displacement), for which we generate semi-closed expressions of the smile

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

L'objectif de cette recherche est de construire un modèle réduit de petite dimension pour prévoir les réponses dynamiques dans une bande BF sur les parties rigides d'un véhicule automobile complet. Un tel modèle réduit "léger" est une aide à la phase de conception en "Avant Projet" de ces véhicules qui ont la particularité de présenter de nombreux modes élastiques locaux en BF dues à la présence de nombreuses parties flexibles et d'équipements. Pour la construction du modèle réduit, nous avons introduit une base non usuelle de l'espace admissible des déplacements globaux. La construction de cette base requiert la décomposition en sous-domaines du domaine de la structure qui peut présenter une très grande complexité géométrique et dont les modèles EF font intervenir de très nombreux types d'éléments finis. Cette décomposition en sous-domaines a été réalisée par la Fast Marching Method que nous avons due étendre pour pouvoir traiter la complexité des modèles EF des véhicules automobiles. Puis les équations matricielles du modèle EF sont projetées sur cette base. Afin de prendre en compte les incertitudes sur les paramètres du modèle, les incertitudes de modèle induites par les erreurs de modélisation et enfin les incertitudes liées à la non prise en compte des contributions locales dans le modèle réduit des déplacements globaux, un unique modèle probabiliste non paramétrique de ces trois sources d'incertitude a été implémenté sur le modèle réduit construit avec les vecteurs propres globaux. Les paramètres de dispersion de ce modèle probabiliste ont été identifiés en utilisant le principe du maximum de vraisemblance et des réponses obtenues à l'aide d'un modèle stochastique de référence qui inclut des informations expérimentales résultant de travaux précédents. Le modèle réduit stochastique, pour la prévision des déplacements globaux sur les parties rigides dans la bande BF qui a été développé, a été validé sur un modèle de structure automobile "nue" puis a été appliqué avec succès sur un modèle complet de véhicule automobile / The objective of this research is to construct a reduced-order model to predict the dynamical response, in the LF band, of the stiff parts of a complete automotive vehicle in order to facilitate the draft design. The vehicles under consideration have many elastic modes in LF due to the presence of many flexible parts and equipments. To build such a model, we introduced a non-usual basis of the admissible space of global displacements. The construction of this basis requires the decomposition of the domain of the structure. This subdomain decomposition is performed by using the Fast Marching Method that we have extended to take into account the high complexity of the mesh of an automotive vehicle. Then the matrix equations of the FE model are projected on this basis. To take into account the system parameters uncertainties, the model uncertainties induced by the modeling errors and finally, the uncertainties related to the neglecting of local contributions in the reduced-order model, a nonparametric probabilistic model of the three sources of uncertainties has been implemented on the reduced-order model constructed with the global displacements eigenvectors. The dispersion parameters of the probabilistic model are identified using the maximum likelihood method and the responses obtained from a stochastic reference model which includes experimental data resulting from previous works. This stochastic model which has been designed for the prediction of the global displacements of the rigid parts in the LF band is validated on a simple structure of an automotive model and has been successfully applied on a complete model of automotive vehicle