University, Diss., 2002--Regensburg. / Erscheinungsjahr an der Haupttitelstelle: 2002.

Bei der Untersuchung der Lösungen von Differentialgleichungen mit zufälligen Einflüssen treten Integralfunktionale stochastischer Prozesse auf. Sind die stochastischen Prozesse schwach stationär und schwach korreliert, werden asymptotische Entwicklungen der Korrelationsfunktion von Integralfunktionalen angegeben. Für im quadratischen Mittel differenzierbare Integralfunktionale werden die Entwicklungen der ersten und zweiten Ableitung der Korrelationsfunktion hergeleitet. Approximationen der Korrelationsfunktion basieren auf der asymptotischen Entwicklung. Es wird gezeigt, daß sich die Approximationen der Ableitungen der Korrelationsfunktion im Allgemeinen nicht durch Differenzieren der Approximationen der Korrelationsfunktion ermitteln lassen. In einem Beispiel wird die Methode der asymptotischen Entwicklung genutzt, um die exakten Korrelationsfunktionen zu bestimmen.

Wir modellieren einen Finanzmarkt mit unendlich vielen Wertpapieren als stochastischen Prozeß X in stetiger Zeit mit Werten in einem separablen Hilbertraum H. In diesem Rahmen zeigen wir die Äquivalenz von Vollständigkeit des Marktes und der Eindeutigkeit des äquivalenten Martingalmaßes unter der Bedingung, daß X stetige Pfade besitzt. Weiter zeigen wir, daß (unter gewissen technischen Bedingungen) für X die Abwesenheit von asymptotischer Arbitrage der ersten/zweiten Art (im Sinne von Kabanov/Kramkov) äquivalent zur Absolutstetigkeit des Referenzmaßes zu einem eindeutigen, lokal äquivalenten Martingalmaß ist. Hat X stetige Pfade, so ist die Abwesenheit von allgemeiner asymptotischer Arbitrage äquivalent zur Existenz eines äquivalenten lokalen Martingalmaßes. Außerdem geben wir ein Kriterium für die Existenz einer optionalen Zerlegung von X an. Dies wenden wir auf das Problem der Risikominimierung bei vorgegebener Investitionsobergrenze (effizientes Hedgen (Föllmer/Leukert)) an, um dieses im unendlichdimensionalen Kontext zu behandeln. Außerdem stellen wir eine unendlichdimensionale Erweiterung des Heath-Jarrow-Morton-Modells vor und nutzen den Potentialansatz nach Rodgers, um zwei weitere Zinsstrukturmodelle zu konstruieren. Als Beitrag zur allgemeinen stochastischen Analysis in Hilberträumen beweisen wir eine pfadweise Version der Itoformel für stochastische Prozesse mit stetigen Pfaden in einem separablen Hilbertraum. Daraus läßt sich eine pfadweise Version des Satzes über die Vertauschbarkeit von stochastischem und Lebesgue-Integral ableiten. Außerdem zeigen wir eine Version der Clark-Formel für eine Brownsche Bewegung mit Werten in einem Hilbertraum. / We model a financial market with infinitely many assets as a stochastic process X with values in a separable Hilbert space H. In this setting we show the equivalence of market completeness and the uniqueness of the equivalent martingale measure, if X has continuous paths. Another result for our model is, that under some technical conditions, the absence of asymptotic arbitrage of the first/second kind (in the sense of Kabanov/Kramkov) is equivalent to the absolute continuity of the reference measure to a unique, locally equivalent, martingale measure. If X has continuous paths, the absence of general asymptotic arbitrage is equivalent to the existence of an equivalent local martingale measure. Furthermore, we give a sufficient condition for the existence of the optional decomposition of X. We apply this result to the problem of risk minimization with given upper limit for investion (efficient hedging (Föllmer/Leukert)). This allows us to solve this optimization problem in our infinite dimensional context. Another result is an infinite dimensional extension of the Heath-Jarrow-Morton term structure model. Two further term structure models are constructed, using the Markov potential approach developed by Rodgers. As a contribution to the theory of stochastic analysis in Hilbert spaces, we proof a pathwise version of the Ito formula for stochastic processes with continuous paths in a separable Hilbert space. This leads to a pathwise version of the interchangability theorem for stochastic and Lebesgue integrals. We also show a version of the Clark formula for Hilbert space valued Brownian motion.

This paper offers an existence result for finite dimensional stochastic differential inclusions with maximal monotone drift and diffusion terms. Kravets studied only set-valued drifts in [5], whereas Motyl [4] additionally observed set-valued diffusions in an infinite dimensional context. In the proof we make use of the Yosida approximation of maximal monotone operators to achieve stochastic differential equations which are solvable by a theorem of Krylov and Rozovskij [7]. The selection property is verified with certain properties of the considered set-valued maps. Concerning Lipschitz continuous set-valued diffusion terms, uniqueness holds. At last two examples for application are given.

This paper offers an existence result for finite dimensional stochastic differential inclusions with maximal monotone drift and diffusion terms. Kravets studied only set-valued drifts in [5], whereas Motyl [4] additionally observed set-valued diffusions in an infinite dimensional context. In the proof we make use of the Yosida approximation of maximal monotone operators to achieve stochastic differential equations which are solvable by a theorem of Krylov and Rozovskij [7]. The selection property is verified with certain properties of the considered set-valued maps. Concerning Lipschitz continuous set-valued diffusion terms, uniqueness holds. At last two examples for application are given.

Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge sollen erstmals in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht werden. Eine jährliche Fortsetzung ist geplant. Der 9. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 29.09.2003 bis zum 01.10.2003 in Bärenstein statt.

Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge werden seit 2003 in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht. Der 10. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 27.09.2004 bis zum 29.09.2004 in Klingenthal statt.

Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge werden in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht. Der 12. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 20.09.2006 bis zum 22.09.2006 in Schöneck/Vogtland statt.

Diese Dissertation behandelt Fragen aus der stochastischen Analysis und der Finanzmathematik, die sich unter dem Begriff der Robustheit zusammenfassen lassen. Zunächst betrachten wir finanzmathematische Modelle mit Arbitragemöglichkeiten. Wir identifizieren die Abwesenheit von Arbitragemöglichkeiten der ersten Art (NA1) als minimale Eigenschaft, die in jedem finanzmathematischen Modell gelten muss, und zeigen, dass (NA1) äquivalent zur Existenz eines dominierenden lokalen Martingalmaßes ist. Als Beispiel für Prozesse, die (NA1) erfüllen, studieren wir stetige lokale Martingale, die darauf bedingt werden nie Null zu treffen. Anschließend verwenden wir eine modellfreie Version der (NA1) Eigenschaft, die es erlaubt, qualitative Eigenschaften von “typischen Preistrajektorien” zu beschreiben. Hier konstruieren wir ein pfadweises Itô-Integral. Dies deutet an, dass sich typische Preispfade als rough-path-Integratoren verwenden lassen. Nun entwickeln wir mittels Fourierentwicklungen einen alternativen Zugang zur rough-path-Theorie. Wir zerlegen das Integral in drei Operatoren mit verschiedenen Eigenschaften. So wird offensichtlich, dass Integratoren mit der Regularität der Brownschen Bewegung mit ihrer Lévy-Fläche versehen werden müssen, um ein pfadweise stetiges Integral zu erhalten. Daraufhin bemerken wir, dass die Integration zweier Funktionen gegeneinander äquivalent dazu ist, eine Funktion mit der Ableitung einer anderen (im Allgemeinen eine Distribution) zu multiplizieren. In höheren Dimensionen ist das Multiplikationsproblem jedoch allgemeiner. Wir verwenden Littlewood-Paley-Theorie, um unseren Fourier-Zugang zur rough-path-Theorie auf Funktionen mehrdimensionaler Variablen zu erweitern. Wir konstruieren einen Operator, der für Funktionen mit dem punktweisen Produkt übereinstimmt und in einer geeigneten Topologie stetig ist. Nun lassen sich stochastische partielle Differentialgleichungen lösen, die bisher aufgrund von Nichtlinearitäten nicht zugänglich waren. / This thesis deals with various problems from stochastic analysis and from mathematical finance that can best be summarized under the common theme of robustness. We begin by studying financial market models with arbitrage opportunities. We identify the weak notion of absence of arbitrage opportunities of the first kind (NA1) as the minimal property that every sensible asset price model should satisfy, and we prove that (NA1) is equivalent to the existence of a dominating local martingale. As examples of processes that satisfy (NA1) but do not admit equivalent local martingale measures, we study continuous local martingales conditioned not to hit zero. We continue by working with a model free formulation of the (NA1) property, which permits to describe qualitative properties of “typical asset price trajectories”. We construct a pathwise Itô integral for typical price paths. Our results indicate that typical price paths can be used as integrators in the theory of rough paths. Next, we use a Fourier series expansion to develop an alternative approach to rough path integration. We decompose the integral into three components with different behavior. Then it is easy to see that integrators with the regularity of the Brownian motion must be equipped with their Lévy area to obtain a pathwise continuous integral operator. We now note that integrating two functions against each other is equivalent to multiplying one with the derivative of the other, which will in general only be a distribution. In higher index dimensions however, the multiplication problem is more general. We use Littlewood-Paley theory to extend our Fourier approach from rough path integrals to multiplying functions of a multidimensional index. We construct an operator which agrees with the usual product for smooth functions, and which is continuous in a suitable topology. We apply this to solve stochastic partial differential equations that were previously difficult to access due to nonlinearities.

In dieser Arbeit untersuchen wir Superlösungen stochastischer Rückwärtsdifferentialgleichungen (BSDEs) und ein Gleichgewichtsmodell angewandt auf zwei spezifische verallgemeinerte Capital Asset Pricing Models (CAPMs). Unter der Annahme, dass Generatoren der BSDEs unterhalbstetig und von unten durch eine affine Funktion der Kontrollvariablen beschränkt sind sowie eine spezifische Normalisierungseigenschaft erfüllen, beweisen wir Existenz und Eindeutigkeit der minimalen Superlösung, wobei wir Semimartingalkonvergenz und eine geeignet definierte Präorder in Verbindung mit dem Zornschen Lemma nutzen. Anschließend betrachten wir konvexe Generatoren und restringieren admissible Kontrollen auf stetige Semimartingale, wobei wir eine Abhängigkeit des Generators von den Zerlegungsteilen zulassen. Wir beweisen Existenz von Superlösungen, die an endlich vielen Zeitpunkten minimal sind. Neben Stabilitätsresultaten für den nichtlinearen Operator, der einer Endbedingung den Wert der minimalen Superlösung zum Zeitpunk null zuordnet, leiten wir dessen duale Darstellung her und geben eine explizite Form dieser im Falle eines quadratischen Generators an. Ferner geben wir mittels der Dualität Bedingungen für die Existenz von Lösungen unter Nebenbedingungen. Im zweiten Teil der Arbeit behandeln wir ein Gleichgewichtsmodell in stetiger Zeit für verallgemeinerte CAPMs, das endlich viele Agenten und Finanzprodukte umfasst. Die Agenten maximieren exponentielle Nutzenfunktionen und ihre Anfangsausstattung wird von den gehandelten Produkten aufgespannt. Wir zeigen Existenz eines Gleichgewichts, in welchem die optimalen Handelsstrategien konstant sind und von jeweiliger Risikoaversion und Anfangsausstattung abhängen. Hiernach werden affine Prozesse sowie die Theorie des sogenannten Information-based Asset Pricing zur Modellierung herangezogen. Wir leiten semi-explizite Preisformeln her, die sich für effiziente numerische Berechnungen eignen, da keine Monte-Carlo-Methoden gebraucht werden. / In this thesis we study supersolutions of backward stochastic differential equations (BSDEs) and equilibrium pricing within two specific generalized capital asset pricing models (CAPMs). In the first part of the thesis we begin by assuming that the generators of the BSDEs under consideration are jointly lower semicontinuous, bounded from below by an affine function of the control variable, and satisfy a specific normalization property. We prove the existence and uniqueness of the minimal supersolution making use of a particular kind of semimartingale convergence and a suitably defined preorder in combination with Zorn''s lemma. Next, we assume generators to be convex and introduce constraints by restricting admissible controls to continuous semimartingales, where we allow for a dependence of the generator on the respective decomposition parts. We prove existence of supersolutions that are minimal at finitely many fixed times. Besides providing stability results for the non-linear operator that maps a terminal condition to the value of the minimal supersolution at time zero, we give a dual representation of it, including an explicit computation of the conjugate in the case of a quadratic generator, and derive conditions for the existence of solutions under constraints by means of the duality results. In the second part of the thesis we study equilibrium pricing in continuous time within generalized CAPMs. Our model comprises finitely many economic agents and tradable securities. The agents seek to maximize exponential utilities and their endowments are spanned by the securities. We show that an equilibrium exists and the agents'' optimal trading strategies are constant and dependent on their risk aversion and endowment. Affine processes, and the theory of information-based asset pricing are then used for modeling purposes. We derive semi-explicit pricing formulae which lend themselves to efficient numerical computations, as no Monte Carlo methods are needed.