This thesis suggests an approach to compute the short-time behaviour of the hypoelliptic heat kernel corresponding to sub-Riemannian structures on unimodular Lie groups of type I, without previously holding a closed form expression for this heat kernel. Our work relies on the use of classical non-commutative harmonic analysis tools, namely the Generalized Fourier Transform and its inverse, combined with the Trotter product formula from the theory of perturbation of semigroups. We illustrate our main results by computing, to our knowledge, a first expression in short-time for the hypoelliptic heat kernel on the Engel and the Cartan groups, for which there exist no closed form expression. / Thesis (Master, Mathematics & Statistics) -- Queen's University, 2011-10-08 01:32:32.896

Sub-Riemannian geometry is the natural setting for studying dynamical systems, as noise often has a lower dimension than the dynamics it enters. This makes sub-Riemannian geometry an important field of study. In this thesis, we analysis some of the aspects of sub-Riemannian diffusion processes on manifolds. We first focus on studying the small-time asymptotics of sub-Riemannian diffusion bridges. After giving an overview of recent work by Bailleul, Mesnager and Norris on small-time fluctuations for the bridge of a sub-Riemannian diffusion, we show, by providing a specific example, that, unlike in the Riemannian case, small-time fluctuations for sub-Riemannian diffusion bridges can exhibit exotic behaviours, that is, qualitatively different behaviours compared to Brownian bridges. We further extend the analysis by Bailleul, Mesnager and Norris of small-time fluctuations for sub-Riemannian diffusion bridges, which assumes the initial and final positions to lie outside the sub-Riemannian cut locus, to the diagonal and describe the asymptotics of sub-Riemannian diffusion loops. We show that, in a suitable chart and after a suitable rescaling, the small-time diffusion loop measures have a non-degenerate limit, which we identify explicitly in terms of a certain local limit operator. Our analysis also allows us to determine the loop asymptotics under the scaling used to obtain a small-time Gaussian limit for the sub-Riemannian diffusion bridge measures by Bailleul, Mesnager and Norris. In general, these asymptotics are now degenerate and need no longer be Gaussian. We close by reporting on work in progress which aims to understand the behaviour of Brownian motion conditioned to have vanishing $N$th truncated signature in the limit as $N$ tends to infinity. So far, it has led to an analytic proof of the stand-alone result that a Brownian bridge in $\mathbb{R}^d$ from $0$ to $0$ in time $1$ is more likely to stay inside a box centred at the origin than any other Brownian bridge in time $1$.

Dans cette thèse, nous développons un nouveau modèle de déformation pour étudier les formes. Les déformations, et les difféomorphismes en particulier, jouent un rôle fondamental dans l'étude statistique de formes, comme un moyen de mesurer et d'interpréter les différences entre des objets similaires. Les difféomorphismes résultent généralement d'une intégration d'un flot régulier de champs de vitesses, dont les paramètres n'ont jamais encore vraiment permis de contrôler localement les déformations. Nous proposons un nouveau modèle dans lequel les champs de vitesses sont construits grâce à la combinaison de quelques champs de vecteurs locaux et interprétables. Ces champs de vecteurs sont générés à l'aide d'une structure que nous appelons module de déformation. Un module de déformation génère un champ de vecteurs d'un type particulier (e.g. homothétie) choisi à l'avance: cela permet d'incorporer des contraintes dans le modèle de déformation. Ces contraintes peuvent correspondre à un savoir que l'on a sur les formes étudiées, ou à un point de vue à partir duquel on veut étudier ces formes. Dans un premier chapitre nous définissons les modules de déformation et nous en donnons des exemples variés. Nous expliquons également comment construire facilement un module de déformation adapté à des contraintes complexes en combinant des modules de déformations simples. Ensuite nous construisons des grandes déformations modulaires en tant que flot de champs de vecteurs générés par un module de déformation. Les champs de vecteurs générés par un module de déformation sont paramétrés par deux variables : une géométrique (descripteur géométrique) et une de contrôle. Nous associons également un coût à chaque couple de descripteur géométrique et de contrôle. Dans un deuxième chapitre nous expliquons comment utiliser un module de déformation donné pour étudier des formes. Nous construisons tout d'abord une structure sous-Riemannienne sur l'espace défini comme le produit de l'espace de formes et de celui des descripteurs géométriques. La métrique sous-Riemannienne vient du coût choisi : nous munissons le nouvel espace d'une métrique choisie, qui en générale n'est pas le pull-back d'une métrique sur les champs de vecteurs mais tient compte la manière dont les champs de vecteurs sont construits à partir des contraintes. Grâce à cette structure nous définissons une distance sous-Riemannienne et nous montrons l'existence des géodésiques (trajectoires dont la longueur vaut la distance entre les points de départ et d'arrivée). L'étude des géodésiques se ramène à un problème de contrôle optimal, elles peuvent être obtenues grâce à un formalisme Hamiltonien. En particulier nous montrons qu'elles peuvent être paramétrées par une variable initiale, le moment. Après cela nous présentons les grandes déformations modulaires optimales transportant une forme source sur une forme cible. Nous définissons également l'atlas modulaire d'une population de formes par la donnée d'une forme moyenne et d'une grande déformation modulaire par forme. Dans la discussion nous étudions un modèle alternatif dans lequel les géodésiques sont paramétrées en dimension plus petite. Dans un troisième chapitre nous présentons l'algorithme implémenté pour obtenir les grandes déformations ainsi que la descente de gradient estimant les atlas. Dans un dernier chapitre nous présentons plusieurs exemples numériques grâce auxquels nous étudions certains aspects de notre modèle. En particulier nous montrons que le choix du module de déformation utilisé influence la forme moyenne, et que choisir un module de déformation adapté permet d'effectuer simultanément des recalages rigides et non linéaires. Dans le dernier exemple nous étudions des formes sans a priori, nous utilisons donc un module correspondant à des contraintes faibles et nous montrons que l'atlas obtenu est toujours intéressant. / This thesis is dedicated to the development of a new deformation model to study shapes. Deformations, and diffeormophisms in particular, have played a tremendous role in the field of statistical shape analysis, as a proxy to measure and interpret differences between similar objects but with different shapes. Diffeomorphisms usually result from the integration of a flow of regular velocity fields, whose parameters have not enabled so far a full control of the local behaviour of the deformation. We propose a new model in which velocity fields are built on the combination of a few local and interpretable vector fields. These vector fields are generated thanks to a structure which we name deformation module. Deformation modules generate vector fields of a particular type (e.g. a scaling) chosen in advance: they allow to incorporate a constraint in the deformation model. These constraints can correspond either to an additional knowledge one would have on the shapes under study, or to a point of view from which one would want to study these shapes. In a first chapter we introduce this notion of deformation module and we give several examples to show how diverse they can be. We also explain how one can easily build complex deformation modules adapted to complex constraints by combining simple deformation modules. Then we introduce the construction of modular large deformations as flow of vector fields generated by a deformation module. Vector fields generated by a deformation module are parametrized by two variables: a geometrical one named geometrical descriptor and a control one. We build large deformations so that the geometrical descriptor follows the deformation of the ambient space. Then defining a modular large deformation corresponds to defining an initial geometrical descriptor and a trajectory of controls. We also associate a notion of cost for each couple of geometrical descriptor and control. In a second chapter we explain how we can use a given deformation module to study data shapes. We first build a sub-Riemannian structure on the space defined as the product of the data shape space and the space of geometrical descriptors. The sub-Riemannian metric comes from the chosen cost: we equip the new (shape) space with a chosen metric, which is not in general the pull-back of a metric on vector fields but takes into account the way vector fields are built with the chosen constraints. Thanks to this structure we define a sub-Riemannian distance on this new space and we show the existence, under some mild assumptions, of geodesics (trajectories whose length equals the distance between the starting and ending points). The study of geodesics amounts to an optimal control problem, and they can be estimated thanks to an Hamiltonian framework: in particular we show that they can be parametrized by an initial variable named momentum. Afterwards we introduce optimal modular large deformations transporting a source shape into a target shape. We also define the modular atlas of a population of shapes which is made of a mean shape, and one modular large deformation per shape. In the discussion we study an alternative model where geodesics are parametrized in lower dimension. In a third chapter we present the algorithm that was implemented in order to compute these modular large deformations and the gradient descent to estimate the optimal ones as well as mean shapes. In a last chapter we introduce several numerical examples thanks to which we study specific aspects of our model. In particular we show that the choice of the used deformation module influences the form of the estimated mean shape, and that by choosing an adapted deformation module we are able to perform in a satisfying and robust way simultaneously rigid and non linear registration. In the last example we study shapes without any prior knowledge, then we use a module corresponding to weak constraints and we show that the atlas computation still gives interesting results.

In this thesis, we examine key geometric properties of a class of Carnot groups of Heisenberg type. After first computing the geodesics, we consider some partial differential equations in such groups and discuss viscosity solutions to these equations.

Dans cette thèse, on présente une notion de courbure géodésique pour les courbes lisses horizontales dans une variété sous-Riemannienne de contact, qui indique dans quelle mesure une courbe est différente d'une géodésique. Cette courbure géodésique se présente sous la forme de deux fonctions qui sont toutes deux identiquement nulles le long d'une courbe lisse horizontale si et seulement si cette dernière courbe est une géodésique. Le résultat principal de cette thèse réside dans l'interprétation métrique que l'on donne de ces fonctions de courbure. Cette interprétation consiste à extraire la courbure géodésique des premiers termes de correction dans le développement limité de la distance sous-Riemannienne entre deux points proches le long de la courbe. / We present a notion of geodesic curvature for smooth horizontal curves in a contact sub-Riemannian manifold, measuring how far a horizontal curve is from being a geodesic. This geodesic curvature consists in two functions that both vanish along a smooth horizontal curve if and only if this curve is a geodesic. The main result of this thesis is the metric interpretation of these geodesic curvature functions. This interpretation consists in seeing the geodesic curvature functions as the first corrective coefficients in the Taylor expansion of the sub-Riemannian distance between two close points on the curve.

京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第22972号 / 理博第4649号 / 新制||理||1668(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 藤原 耕二, 教授 山口 孝男, 教授 入谷 寛 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

Nous étudions la commandabilité du système de contrôle décrivant le procédé de roulement, sans glissement ni pivotement, de deux variétés riemanniennes n-dimensionnelles, l'une sur l'autre. Ce modèle est étroitement associé aux concepts de développement et d'holonomie des variétés, et il se généralise au cas de deux variétés affines. Les contributions principales sont celles données dans quatre articles, attachés à la fin de la thèse.Le premier d'entre eux «Rolling manifolds and Controllability : the 3D case»traite le cas où les deux variétés sont 3-dimensionelles. Nous donnons alors, la liste des cas possibles pour lesquelles le système n'est pas commandable.Dans le deuxième papier «Rolling manifolds on space forms», l'une des deux variétés est supposée être de courbure constante. On peut alors réduire l'étude de commandabilité à l'étude du groupe d'holonomie d'une certaine connexion vectorielle et on démontre, par exemple, que si la variété à courbure constante est une sphère n-dimensionelle et si ce groupe de l'holonomie n'agit pas transitivement, alors l'autre variété est en fait isométrique à la sphère.Le troisième article «A Characterization of Isometries between Riemannian Manifolds by using Development along Geodesic Triangles» décrit, en utilisant le procédé de roulement (ou développement) le long des lacets, une version alternative du théorème de Cartan-Ambrose-Hicks, qui caractérise, entre autres, les isométries riemanniennes. Plus précisément, on prouve que si on part d'une certaine orientation initiale, et si on ne roule que le long des lacets basés au point initial (associé à cette orientation), alors les deux variétés sont isométriques si (et seulement si) les chemins tracés par le procédé de roulement sur l'autre variété, sont tous des lacets.Finalement, le quatrième article «Rolling Manifolds without Spinning» étudie le procédé de roulement et sa commandabilité dans le cas où l'on ne peut pas pivoter. On caractérise alors les structures de toutes les orbites possibles en termes des groupes d'holonomie des variétés en question. On montre aussi qu'il n'existe aucune structure de fibré principal sur l'espace d'état tel que la distribution associée à ce modèle devienne une distribution principale, ce qui est à comparer notamment aux résultats du deuxième article.Par ailleurs, dans la troisième partie de cette thèse, nous construisons soigneusement le modèle de roulement dans le cadre plus général des variétés affines, ainsi que dans celui des variétés riemanniennes de dimensiondifférente. / We study the controllability of the control system describing the rolling motion, without slipping nor spinning, of two n-dimensional Riemannian manifolds, one against the other.This model is closely related to the concepts of development and holonomy of the manifolds, and it generalizes to the case of affine manifolds.The main contributions are those given in four articles attached to the the thesis.First of them "Rolling manifolds and Controllability: the 3D case"deal with the case where the two manifolds are 3-dimensional. We give the listof all the possible cases for which the system is not controllable.In the second paper "Rolling manifolds on space forms"one of the manifolds is assumed to have constant curvature.We can then reduce the study of controllability to the study of the holonomy groupof a certain vector bundle connection and we show, for example, thatif the manifold with the constant curvature is an n-sphere and ifthis holonomy group does not act transitively,then the other manifold is in fact isometric to the sphere.The third paper "A Characterization of Isometries between Riemannian Manifolds by using Development along Geodesic Triangles"describes, by using the rolling motion (or development) along the loops,an alternative version of the Cartan-Ambrose-Hicks Theorem,which characterizes, among others, the Riemannian isometries.More precisely, we prove that if one starts from a certain initial orientation,and if one only rolls along loops based at the initial point (associated to this orientation),then the two manifolds are isometric if (and only if) the pathstraced by the rolling motion on the other manifolds, are all loops.Finally, the fourth paper "Rolling Manifolds without Spinning"studies the rolling motion, and its controllability, when slipping is allowed.We characterize the structure of all the possible orbits in terms of the holonomy groupsof the manifolds in question. It is also shown that there does not exist anyprincipal bundle structure such that the related distribution becomes a principal distribution,a fact that is to be compared especially to the results of the second article.Furthermore, in the third chapter of the thesis, we construct carefully the rolling modelin the more general framework of affine manifolds, as well as that of Riemannian manifolds,of possibly different dimensions.

In [2], Beals, Gaveau and Greiner find the fundamental solution to a 2-Laplace-type equation in a class of sub-Riemannian spaces. This fundamental solution is based on the well-known fundamental solution to the p-Laplace equation in Grushin-type spaces [4] and the Heisenberg group [6]. In this thesis, we look to generalize the work in [2] for a p-Laplace-type equation. After discovering that the "natural" generalization fails, we find two generalizations whose solutions are based on the fundamental solution to the p-Laplace equation.

Cette thèse est consacrée à l’étude du problème de transport de Monge pour le coût quadratique en géométrie sous-Riemannienne et des conditions essentielles à l’obtention des résultats d’existence et et d’unicité de solutions. Ces travaux consistent à étendre ces résultats au cas des structures sous-Riemanniennes admettant des géodésiques minimisantes singulières. Dans une première partie, on développe des techniques inspirées de travaux de Cavalletti et Huesmann pour d’obtenir des résultats significatifs pour des structures de rang 2 en dimension 4. Dans une deuxième partie, on étudie des outils analytiques de la h-semiconcavité de la distance sousriemannienne et on montre comment ce type de régularité peut aboutit à l’obtention d’existence et d’unicité de solutions dans un cas général. / This thesis is devoted to the study of the Monge transport problem for the quadratic cost in sub-Riemannian geometry and the essential conditions to obtain existence and uniqueness of solutions. These works consist in extending these results to the case of sub-Riemannian structures admitting singular minimizing geodesics. In a first part, we develop techniques inspired by works by Cavalletti and Huesmann in order to obtain significant results for structures of rank 2 in dimension 4. In a second part, we study analytical tools of the h-semiconcavity of the sub-Riemannian distance and we show how this type of regularity can lead to the well-posedness of the Monge problem in general cases.

In Riemannian geometry, the fundamental fact is that there exists a unique torsion-free connection (called the Levi-Civita connection) compatible with the Riemannian metric g, i.e. having the property ∇g = 0. In projective geometry, the class of covariant derivatives defining the geometry is fixed and all these covariant derivatives have the same class of (non- parametrized) geodesics. Old (and non-trivial) problem is to find whether these curves are geodesics of a (pseudo-)Riemannian metric. Such projective structures are called metrizable. Surprisingly enough, U. Dini and R. Liu- oville found in 19th century that the metrizability problem leads to a system of linear PDE's. In the last years, there were several papers dealing with these problems. The projective geometry is a representative example of the so called parabolic geometries (for full description, see the recent monograph by A. Čap and J. Slovák). It was realized recently that the corresponding linear metrizability operator is a special example of the so called first BGG operator. The flat model of projective geometry is the (real) projective space. In this more general context, the metrizability problem for (pseudo- )Riemannian geometries is naturally generalized to the sub-Riemannian situation. In the recent preprint, D.Calderbank, J....