La première partie de la thèse concerne l'étude d'une classe particulière de systèmes dynamiques déterministes présentant deux problèmes: la présence de points fixes neutres et des points de discontinuité auxquels la dérivée n'est pas bornée. La seconde partie traite des systèmes dynamiques aléatoires: du problème de la récurrence dans ce type de système puis de leur application à la modélisation de petites perturbations stochastiques. On traite en particulier du problème de la stabilité stochastique.

Dans cette thèse, on étudie deux paradigmes du chaos quantique: celui des symplectomorphismes linéaires du tore et celui du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Dans les deux cas, on étudie le problème d'ergodicité quantique associé. Les résultats obtenus sont de deux sortes. D'une part, on obtient des bornes inférieures sur l'entropie des mesures semi-classiques en dimension 2. D'autre part, on obtient des résultats de type grandes déviations semi-classiques en toute dimension.

Euler et Lagrange ont prouvé l'existence de cinq points d'équilibre dans le problème restreint des trois corps, c'est-à-dire le mouvement d'un corps de masse négligeable dans le champ gravitationnel de deux autres corps de masse beaucoup plus importante. Ces points d'équilibre sont appelés points de Lagrange et sont communément notés L1 , ..., L5. Autour de ces points d'équilibre, on peut prouver l'existence d'orbites périodiques, appelées orbites de halo, qui offrent des propriétés vraiment intéressantes tant pour l'exploration spatiale que pour l'observation (la sonde d'observation du Soleil SOHO est située sur une orbite de halo autour du point L1 ). Ces orbites pourraient même servir de site à une future station spatiale (autour de L1 du système Terre-Lune) ou être utilisées comme site pour relayer des transmissions (un satellite orbitant autour de L2 du système Terre-Lune permettrait une communication permanente avec la face cachée de la Lune). Depuis ces orbites de halo, se propagent des variétés invariantes, sorte de tubes, qui créent dans l'espace un réseau entre différentes régions de capture et dans lequel les trajectoires calculées ont un coût énergétique faible. Ceci permet de calculer des missions d'exploration interplanétaire à bas coût d'où l'intérêt croissant du domaine aérospatial pour les trajectoires autour des points de Lagrange.

Dans de nombreuses applications modernes, l'interaction de plus en plus importante entre les systèmes numériques (ordinateurs, logiciels, composants logiques, etc.) et les processus physiques (relations entre signaux continus) a conduit, en Automatique, à l'émergence et à la formalisation des systèmes dits hybrides. Formellement, les systèmes hybrides peuvent être définis comme des systèmes mixtes où interagissent des phénomènes de nature à la fois continue et événementielle. L'analyse et la conduite de tels systèmes comme de tout autre type de système dynamique nécessitent bien souvent que l'on dispose d'un modèle mathématique de ces systèmes. Ainsi, nous nous intéressons dans ce travail, à l'identification de systèmes hybrides linéaires à partir de mesures entrée-sortie. Après avoir fait le point sur les méthodes disponibles dans la littérature récente en relation avec ce sujet, nous mettons en évidence la nécessité de développer des méthodes d'identification de systèmes hybrides multivariables dans le contexte très délicat où ni le nombre de sous-modèles constitutifs du système hybride, ni les ordres de ces sous-modèles, ni leurs paramètres ne sont connus a priori. Nous considérons d'abord des modèles d'état à commutations. Pour estimer ces modèles par les méthodes des sous-espaces, il est indispensable de contrôler dans l'espace d'état, les bases de représentation des matrices de paramètres associées aux différents sous-modèles à estimer. Cela nous a conduit au développement de nouvelles techniques d'identification structurée de modèles linéaires d'état qui possèdent cette propriété. Nous généralisons ensuite les techniques ainsi développées à l'identification de systèmes multivariables commutants, représentés par des modèles d'état. Cependant, dans le cas général, l'identification de modèles d'état hybrides est limitée par de sévères problèmes de complexité numérique. De ce fait, nous étudions le cas particulier où les instants de commutation sont séparés par un certain temps de séjour minimum dans les différents modes du système. Afin de nous affranchir de cette contrainte, nous investiguons l'identification de modèles MIMO commutants de type Auto-Regressif à entrée eXogène (ARX). Nous généralisons alors la méthode algébro-géométrique (GPCA) à l'identification de systèmes multivariables, discutons quelques problèmes de complexité numérique et suggérons des alternatives. La dernière partie du travail est consacrée à la validation de nos méthodes sur des exemples de simulation ainsi que sur un procédé de montage automatique de composants électroniques sur circuit imprimé.

Ce travail présente des contributions théoriques et pratiques à la théorie des codages symboliques de systèmes dynamiques. Les applications concernent différents champs mathématiques et la modélisation en biologie moléculaire. Le but est d'illustrer comment des méthodes de discrétisation de systèmes dynamiques et une approche algorithmique permettent d'exploiter au mieux les connaissances disponibles sur le système, même partielles. Un premier objectif est d'exhiber des informations au sujet d'une dynamique que l'on connaît explicitement et les traduire en propriétés concrètes. Un deuxième objectif est de produire de la connaissance sur une dynamique ou un modèle lorsqu'on ne le connaît pas explicitement.Dans ce document, ces deux questions sont abordées sur deux grandes classes de systèmes dynamiques. <br /><br />Les premiers systèmes considérés sont des automorphismes et des translations sur un tore. Inspirés par les cas unidimensionnels (beta-numération, étude des suites sturmiennes), la question principale qui se pose est de trouver un domaine fondamental pour le tore dans lequel les trajectoires de la dynamique considérée se codent par des systèmes symboliques simples. Dans le cas où l'automorphisme du tore considéré admet une unique direction dilatante (le cas Pisot), un bon candidat pour ces partitions est donné par un domaine dont la base est fractale, introduit par G. Rauzy dans les années 1980. Nous décrivons comment une approche décidable pour décrire le bord fractal du domaine et ses propriétés de pavage, permet de s'assurer qu'il s'agit d'un domaine adéquat pour un codage du l'automorphisme. La description du bord du domaine permet de décrire ses propriétés topologiques, et de les exploiter dans les différents domaines d'informatique théorique où les automorphismes et les additions sur un tore apparaissent. Ainsi, en théorie des nombres, nous nous appuyons sur la topologie du domaine pour caractériser les propriétés des développements finis ou purement périodiques de rationnels en base non entière. En géométrie discrète, ces propriétés s'interprètent en termes de conditions pour l'engendrement de plans discrets par des méthodes itératives. <br /><br />La deuxième classe de systèmes concerne les systèmes dynamiques de grande échelle en biologie moléculaire. Il s'avère que les données et les connaissances sur les modèles de régulations transcriptionnelles dans une cellule sont souvent trop partielles pour leur appliquer les méthodes usuellement utilisées pour la modélisation de systèmes expérimentaux. Dans ce document, nous discutons d'un formalisme (inspiré par la dynamique) qui permet d'interpréter les observations en biologie moléculaire, pour aider à la correction de modèles, et, dans le futur, à la mise en place de plans expérimentaux. Au vu de la qualité des données, les aspects dynamiques sont alors remplacés par des considérations sur les déplacements d'états stationnaires, et analyser les données revient à formaliser puis résoudre des contraintes portant sur des ensembles discrets. Nous montrons ainsi comment aborder les notions de corrections de modèles et de diagnostic de réseaux grande échelle.

Nous nous intéressons à la linéarisation de certaines familles de germes analytiques. En généralisant les définitions et propriétés du diamètre transfini, nous obtenons un théorème de majoration polynomiale valable à la fois pour les nombres complexes et p-adiques. Nous utilisons ensuite ces outils pour donner une nouvelle démonstration du théorème de Perez-Marco concernant la linéarisation des familles non résonantes de germes analytiques qui subissent une perturbation polynomiale. Cette nouvelle preuve permet de démontrer un analogue du théorème de Perez-Marco dans le cadre p-adique. De plus, cette nouvelle technique nous permet de récupérer une information diophantienne et donne de nouveaux exemples de germes non linéarisables. Nous généralisons ensuite ce théorème au cas des perturbations par des fractions rationnelles et finissons par étudier un cas résonant et retrouvons, de façon élémentaire, certaines propriétés concernant le centralisateur des germes tangents à l'identité.

Cette th{è}se traite des propri{é}t{é}s des syst{è}mes dynamiques associ{é}s aux pavages du plan<br />euclidien $\R^2$ et du demi-plan hyperbolique \H. Un pavage de $\R^2$ ou de \H, code une action<br />d'un groupe d'isom{é}tries (soit le groupe des translations du plan, soit le groupe des<br />transformations affines) sur un espace m{é}trique compact $\Omega$ de sorte que les propri{é}t{é}s de<br />cette action sont reli{é}es avec les propri{é}t{é}s combinatoires du pavage. Les actions obtenues par<br />cette mani{è}re ont des comportements tr{è}s vari{é}s. Pour certains cas, comme par exemple pour le<br />pavage de Penrose, cette action est libre et minimale. Ceci donne {à} l'espace $\Omega$ une structure<br />de lamination particuli{è}re appell{é}e {\it sol{é}no{\"\i}de}. Localement, cet espace est le produit d'un<br />ensemble de Cantor par un ouvert du plan euclidien (resp. hyperbolique). Dans cette th{è}se, nous<br />{é}tudions principalement le comportement statistique des orbites de telles actions. Pour cela nous<br />caract{é}risons les mesures finies invariantes pour ces actions ainsi que les mesures harmoniques des<br />sol{é}no{\"\i}des associ{é}s. Il apparait des diff{é}rences fondamentales dans les techniques utilis{é}es entre<br />le cas euclidien et le cas hyperbolique. Nous donnons de plus, pour tout entier $r\geq 1$ des<br />exemples explicites de pavages du demi-plan hyperbolique dont le syst{è}me dynamique associ{é} est une<br />action libre et minimale poss{é}dant $r$ mesures finies invariantes et ergodiques.

Ce mémoire a pour objectif d'étudier la stabilité de systèmes dynamiques chaotiques à partir de la structure géométrique de leurs attracteurs dont une partie s'appuie sur une variété appelée variété lente. Dans ce but, une nouvelle approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle a été développée et a conduit à une interprétation géométrique et cinématique de l'évolution des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques au voisinage de la variété lente.<br /><br />L'utilisation du formalisme de la Mécanique du Point a permis, grâce à l'emploi des vecteurs, vitesse et accélération instantanées attachées à un point courant de la courbe trajectoire, de discriminer le domaine lent du domaine rapide et de situer la position de la variété lente à l'intérieur de l'espace des phases. <br /><br />Certaines notions de Géométrie Différentielle, comme la courbure, la torsion et le plan osculateur, ont fourni une équation analytique de la variété lente indépendante des vecteurs propres lents du système linéaire tangent, donc définie sur un plus grand domaine de l'espace des phases. <br /><br />La variété lente a alors été envisagée comme le lieu des points où la courbure des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques, est minimum (en dimension deux ce minimum devient égal à zéro). Le signe de la torsion a permis, de caractériser son attractivité et, de discriminer la partie attractive de la partie répulsive de la variété lente et de statuer sur la stabilité de ces courbes trajectoires.<br /><br />Ainsi, la présence dans l'espace des phases d'une variété lente attractive qui contraint les courbes trajectoires, intégrales du système dynamique à visiter son voisinage permet d'étudier la structure de l'attracteur.<br /><br />Cette approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle et qui s'est accompagnée de l'élaboration de programmes numériques a permis de constituer un nouvel outil d'investigation des systèmes dynamiques chaotiques.<br /><br />Son application à des modèles de référence comme celui de B. Van der Pol, de L.O. Chua ou d'E.N. Lorenz a permis d'obtenir plus directement et avec précision l'équation analytique de leur variété lente. De plus, une étude détaillée des modèles de type prédateur-proie comme celui de Rosenzweig-MacArthur ou d'Hastings-Powell, a conduit d'une part à la détermination de leur variété lente et d'autre part à la conception d'un nouveau modèle de type prédateur-proie à trois espèces appelé Volterra-Gause dont l'attracteur chaotique a la forme d'un escargot (chaotic snail shell).

Les problèmes d'ordonnancement constituent une classe importante des problèmes d'optimisation combinatoire. La plupart des travaux dans ce domaine considèrent des problèmes statiques pour lesquels toutes les données (activités, ressources, contraintes) sont connues à l'avance. En réalité, ce type de problèmes est très souvent soumis aux aléas (matières premières livrées en retard, arrivées de nouvelles commandes, pannes de machines, etc.). Aussi, l'ordonnancement se déroule rarement comme prévu. On a alors affaire à un problème d'ordonnancement dit dynamique. Dans cette thèse, nous considérons un problème d'ordonnancement très général, appelé RCPSP (Resource Constrained Project Scheduling Problem), et proposons un système permettant de résoudre le cas dynamique. Bien que beaucoup de travaux concernent le RCPSP statique, seules quelques méthodes sont proposées pour le cas dynamique. De plus ces méthodes ne sont pas satisfaisantes. La méthode que nous proposons applique au RCPSP une des techniques utilisées pour résoudre les problèmes de satisfaction de contraintes dynamiques : les explications. Une explication est un ensemble de contraintes (un sous-ensemble du système de contraintes courant) qui justifie le résultat de la recherche (déduction de nouvelles contraintes, contradiction aboutissant à un échec, etc.). Ces explications sont une trace explicite du comportement de la propagation. Elles permettent de défaire efficacement les effets passés d'une contrainte et ainsi d'ajouter et retirer dynamiquement des contraintes. Nous avons ainsi développé une recherche arborescente (inspirée d'une recherche arborescente de la littérature) qui en chaque noeud propage les contraintes temporelles et de ressources (en utilisant les techniques de core-times, task-interval et resource-histogram) tout en conservant des explications. Nous utilisons de plus une notion de distance (écart entre la fin d'une activité et le début d'une autre) permettant d'exprimer toutes les contraintes temporelles dans un cadre unique. Notre système est ainsi capable de résoudre de manière efficace (i.e. sans repartir à zéro et dans un temps raisonnable) des instances de RCPSP dynamiques (i.e. ajouts/retraits de contraintes de précédence, ajouts/retraits d'activités et de ressources). De plus, notre système étant très générique, il permet de traiter des extensions du RCPSP dynamique (précédences/disjonctions/chevauchements généralises, et variation des disponibilités des ressources).

Le sujet de la thèse se situe dans le cadre de l'étude des équations différentielles ordinaires et des systèmes dynamiques non linéaires. La thèse présente une étude des attracteurs des systèmes dynamiques dissipatifs. En particulier, l'attracteur chaotique de Lorenz et les cycles limites des systèmes de Liénard. La première partie est dédiée au système de Lorenz. Ce système est obtenu par simplication des équations de Boussinesq fourmulées dans la cadre de la convection de Rayleigh-Bénard. Le système de Lorenz est important car il est le premier à avoir exhibé un comportement chaotique. On utilise des sections transverses (courbes ou surfaces qui ne sont traversées par le flot que dans un seul sens sur toute leur étendue) pour acquerir de l'information sur l'attracteur chaotique du système. Pour cela, on utilise les formes algébriques des intégrales du mouvement pour trouver des équations de sections tranverses. L'existance des ces sections transverses pour des plages de valeurs des paramètres nous permet de donner des limites algébriques à l'attracteur chaotique du systeme quand celui ci existe mais aussi de donner des plages de valeur des paramètres pour lesquelles il n'y a pas de comportement chaotique possible. La deuxième partie de la thèse présente un algorithme formel qui donne accès au nombre de cycles limites des systèmes de Liénard. En plus du nombre, on obtient une approximation algébrique de l'equation ainsi que la multiplicité de chacun de ces cycles. Le grand intérêt de cet algorithme est qu'il ne repose pas sur l'existence d'un petit paramètre (l'algorithme n'est pas perturbatif) et qu'il change le problème initial de résoudre une équation differentielle nonlinéaire en un problème algébrique de compter les racines d'un polynôme à une variable. On obtient aussi grâce à cet algorithme des approximations algébriques des courbes de bifurcations (de Hopf, saddle-node, hétérocline) des systèmes de Liénard.