Diese Dissertation untersucht Brill-Noether-Theorie der algebraischen Kurven, unter besonderer Berücksichtigung von Kurven auf K3-Flächen und Del-Pezzo-Flächen. In Kapitel 2 studieren wir den Gieseker-Petri-Ort GP_g im Modulraum M_g der glatten irreduziblen Kurven vom Geschlecht g. Dieser Ort wird definiert durch Kurven mit einer Brill-Noether-Varietät G^r_d(C), die singulär ist oder deren Dimension größer als erwartet ist. Der Satz von Gieseker-Petri impliziert, dass GP_g mindestens Kodimension 1 hat, und es wurde vermutet, dass er von reiner Kodimension 1 ist. Wir beweisen diese Vermutung für Geschlecht höchstens 13. Dies wird dadurch ermöglicht, dass man für kleine Geschlechter die Dimension der irreduziblen Komponenten von GP_g mittels "ad hoc"-Beweisführungen untersuchen kann. Lazarsfelds Beweis des Gieseker-Petri-Theorems mittels Kurven auf allgemeninen K3-Flächen deutet darauf hin, dass die Brill-Noether-Theorie von K3-Schnitten wichtig ist, um den Gieseker-Petri-Ort besser zu verstehen. Linearscharen von Kurven, die auf K3-Flächen liegen, stehen in tiefgehender Beziehung zu sogenannten Lazarsfeld-Mukai-Vektorbündeln. In Kapitel 3 untersuchen wir die Stabilität der Lazarsfeld-Mukai-Vektorbündel vom Rang 3 auf einer K3-Fläche S, und wir zeigen, dass sie viele Informationen über Netze vom Typ g^2_d auf Kurven in S enthalten. Wenn d größ genug ist, erhalten wir eine obere Schranke für die Dimension der Varietät G^2_d(C). Wenn die Brill-Noether-Zahl negativ ist, beweisen wir, dass jedes g^2_d in einer von einem Geradenbündel induzierten Linearschar enthalten ist, wie von Donagi und Morrison vermutet wurde. Kapitel 4 befasst sich mit Syzygien einer gegebenen Kurve C, die auf einer Del-Pezzo-Fläche liegt. Wir insbesondere, dass C die Greens Vermutung erfüllt, die impliziert, dass die Existenz gewisser spezieller Linearscharen auf C von den Gleichungen ihrer kanonischen Einbettung abgelesen werden kann. / We investigate Brill-Noether theory of algebraic curves, with special emphasis on curves lying on $K3$ surfaces and Del Pezzo surfaces. In Chapter 2, we study the Gieseker-Petri locus GP_g inside the moduli space M_g of smooth, irreducible curves of genus g. This consists, by definition, of curves [C] in M_g such that for some r, d the Brill-Noether variety G^r_d(C), which parametrizes linear series of type g^r_d on C, either is singular or has some components exceeding the expected dimension. The Gieseker-Petri Theorem implies that GP_g has codimension at least 1 in M_g and it has been conjectured that it has pure codimension 1. We prove this conjecture up to genus 13; this is possible since, when the genus is low enough, one is able to determine the irreducible components of GP_g and to study their codimension by "ad hoc" arguments. Lazarsfeld''s proof of the Gieseker-Petri-Theorem by specialization to curves lying on general K3 surfaces suggests the importance of the Brill-Noether theory of K3-sections for a better understanding of the Gieseker-Petri locus. Linear series on curves lying on a K3 surface are deeply related to the so-called Lazarsfeld-Mukai bundles. In Chapter 3, we study the stability of rank-3 Lazarsfeld-Mukai bundles on a K3 surface S, and show it encodes much information about nets of type g^2_d on curves C contained in S. When d is large enough and C is general in its linear system, we obtain a dimensional statement for the variety G^2_d(C). If the Brill-Noether number is negative, we prove that any g^2_d is contained in a linear series which is induced from a line bundle on S, as conjectured by Donagi and Morrison. Chapter 4 concerns syzygies of any given curve C lying on a Del Pezzo surface S. In particular, we prove that C satisfies Green''s Conjecture, which implies that the existence of some special linear series on C can be read off the equations of its canonical embedding.

Cette thèse est consacrée à l’étude des monoïdes plaxiques par une nouvelle approche utilisant des méthodes issues de la réécriture. Ces méthodes sont appliquées à des présentations de monoïdes plaxiques décrites en termes de tableaux de Young, de bases cristallines de Kashiwara et de modèle des chemins de Littelmann. On étudie le problème des syzygies pour la présentation de Knuth des monoïdes plaxiques. En utilisant la procédure de complétion homotopique basée sur les procédures de complétion de Squier et de Knuth–Bendix, on construit des présentations cohérentes de monoïdes plaxiques de type A. Une telle présentation cohérente étend la notion de présentation convergente d’un monoïde par une famille génératrice de syzygies, décrivant toutes les relations entre les relations. On explicite une présentation cohérente finie des monoïdes plaxiques de type A avec les générateurs colonnes. Cependant, cette présentation n’est pas minimale dans le sens que plusieurs de ses générateurs sont superflus. En appliquant la procédure de réduction homotopique, on réduit cette présentation en une présentation cohérente finie qui étend la présentation de Knuth, donnantainsi toutes les syzygies des relations de Knuth. D’une manière plus générale, on étudie des présentations de monoïdes plaxiques généralisés du point de vue de la réécriture. On construit des présentations convergentes finies de ces monoïdes en utilisant les chemins de Littelmann. De plus, on étudie ces présentations pour le type C en termes de bases cristallines de Kashiwara. En introduisant les générateurs colonnes admissibles, on construit une présentation convergente finie du monoïde plaxique de type C avec des relations explicites. Cette approche nous permettrait d’étudier le problème des syzygies des présentations de monoïdes plaxiques en tout type / This thesis focuses on the study of plactic monoids by a new approach using methods issued from rewriting theory. These methods are applied on presentations of plactic monoids given in terms of Young tableaux, Kashiwara’s crystal bases and Littelmann path model. We study the syzygy problem for the Knuth presentation of the plactic monoids. Using the homotopical completion procedure that extends Squier’s and Knuth–Bendix’s completions procedure, we construct coherent presentations of plactic monoids of type A. Such a coherent presentation extends the notion of a presentation of a monoid by a family of generating syzygies, taking into account all the relations among the relations. We make explicit a finite coherent presentation of plactic monoids of type A with the column generators. However, this presentation is not minimal in the sense that many of its generators are superfluous. After applying the homotopical reduction procedure on this presentation, we reduce it to a finite coherent one that extends the Knuth presentation, giving then all the syzygies of the Knuth relations. More generally, we deal with presentations of plactic monoids of any type from the rewriting theory perspective. We construct finite convergent presentations for these monoids in a general way using Littelmann paths. Moreover, we study the latter presentations in terms of Kashiwara’s crystal graphs for type C. By introducing the admissible column generators, we obtain a finite convergent presentation of the plactic monoid of type C with explicit relations. This approach should allow us to study the syzygy problem for the presentations of plactic monoids for any type